(2)向量应用-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高一数学必修第二册同步周测卷（苏教版）

高一周测卷 ·数学（苏教版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（二） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算 ⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ② ③④ ⑤⑥ 档次 系数 利用向量判断四边 选择题 易 0.80 形形状 由平行四边形求点 选择题 5 易 0.72 的坐标 3 选择题 奔驰定理的应用 易 0.70 4 选择题 5 向量与位移问题 中 0.55 利用向量求线段长 5 选择题 5 V 中 0.45 度之积 选择题 利用向量求角 中 0.30 利用向量解决拉力、 选择题 6 浮力问题 易 0.75 利用向量解决三角 8 选择题 6 形的重心、内心、外 / 中 0.35 心、垂心问题 利用坐标法求力对 9 填空题 易 0.71 物体所做的功 利用向量求数量积 10 填空题 5 难 0.28 的范围 利用向量解决航行 11 解答题 13 中 0.60 问题 利用向量解决垂直 12 解答题 15 中 0.45 问题，确定点的位置 新定义题，向量在几 13 解答题 20 何问题中的综合 L L L 中 0.30 应用 ·5· ·数学（苏教版）必修第二册· 参考答案及解析 季考答案及解析 一、选择题 1.B【解析】由Ai=DC,可知AB=DC且AB∥DC, 则四边形ABCD为平行四边形，又由|AC= |BD|,可知四边形ABCD为矩形.故选B. 2B【解析】设点D的坐标为(x,y),则AD=(x十2， y十3)，BC=(-1,1),若四边形ABCD为平行四边 形，则=成.可架十名，解得即 点D的坐标为（一3，一2）.故选B. 则1座=市=号成+号，即d· 3.B【解析】由奔驰定理O是△ABC内的一点， △BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,Sc,则 sin∠BAC=√（号AC+专A) 有S·OA+SB·Oi+Se·O元=0可知，若OA+ 2Oi+3O元=0，可得SA:SB:S=1:2:3,所以 =√号AC+gA+号AC·AB,由1AC=1, Se-S=31=1.故选B. SB 2 |A=2,所以sm∠BAC=号十号+号×1×2× 4,D【解析】由题意可得，质点P位移为AD,因为AD cOs∠BAC=合+号cos∠BAC,所以9(1 =AB+BC+CD,所以AD1=√AB+BC+CD)'= cos2∠BAC)=8cos∠BAC+8,∠BAC∈(0，π)，可得 √个A12+C12+C布1+2AB·BC+2C.CD叶2AB:C而， cos∠BAC=号或cos∠BAC=-1(舍)，故sin∠BAC 因为AB=4,BC=2,CD=3,AB·BC=-2,所以AB ·CD=12,设AB,BC的夹角为0，所以AB·BC= -4号，所以an∠BAC=46.故连C ABI IBCI cos 0=-2=cos 8=- 子，因为AB/ 二、选择题 7.BC【解析】设水的阻力为∫，绳的拉力为F,绳AB CD,所以BC.CD=|BCIICD1cos0=2×3× 与水平方向的夹角为0(0<<交)，则|Fl cos0= (-）=一是，所以市=瓜.故选D. 5.A【解析】在△ABC中，由BH⊥AC,则B方.AC 11P=:0增大，eas9减小摊 大，：|F|sin0增大，船的浮力减小，故选BC =0 8.AB【解析】对于A,因为AC=AP+PC,A.AC 2,又因为P为△ABC的垂心，所以AB·PC=0,所 以AB·AC-AB·(AP+PC)=AB·AP+AB·Pd -AB·AP=2,故A正确：对于B,因为AP=xAB+ yAC且x十2y=1,所以AP=(1-2y)AB+yAC,整 理得AP-AB=y(AC-2AB),即BP=y(BC+BA), D 如图所示，设D为AC的中点，则BP=y(BC+BA) 由A,H,C三点共线，则AH·AC=|Ai·AC| =2yBD,具有公共点B,所以B,P,D三点共线， (AB+Bi)·AC=AB·AC+Bi·AC=AB· AC,设AB=a,AC=b,则a+b=2AD,且a-b=CB, 则(a+b)2-(a-b)2=4a·b=4AD-BC= 4|A12-|BC12=4×42-62=28.故a·b=7,即 AB.AC=7,所以AH·AC=7.故选A. 6.C【解析】如图C市=子Ci,所以A心=A心+Cd- AC+号i=AC+号(A店-AC)=号AC+号A店 又因为P为锐角△ABC的外心，则PD⊥AC,所以 BD垂直平分AC,故AB=BC,故B正确：对于C,如 6· 高一周测卷 ·数学（苏教版）必修第二册· 图所示，设BC的中点为E,则AB+AC=2A立，由重 四、解答题 心的性质可知A市-号A花=子×合(A+Aò) 11.解：(1)如图，建立平面直角坐标系，并确定v1和2 的位置。 专A店+号A心，故C错误：对于D,因为A市 (B十号)+(c+)衣- AB cos B 一AC+号(Ai+A心)， 如图所示，设BC的中点为E,则A言+AC=2A克，所 以AP- ABlcos B AB+TACIcos C 1AC+A, y1=(-5,5√3)，y2=(4,0). v=y+%=(-1,53), 设游船航行到达北岸的位置在点F, 则直线AF的方程为y=-5V5x, 令y=1,得到F点的坐标为(-，1小 (4分) E 所以中.武=os日 1—AB.B式+ 所以F在距离A'左侧约瓷干米处。 |AC]cos C 所以游船航行到达北岸的位置在A'的左侧.(6分) AC.BC+AE·BC=-IBC|+|BC1+AE·BC= (2)要使游船能垂直到达对岸，即v=v十v2与v2垂 A龙.BC,所以AP.BC-A正.BC=0,即(A市 直，也即(v十)·v2=0, 所以”·5十||2=0， AE)·BC=0,所以EP·BC=0,故P在BC的中垂 即|y「|2cos0+|y2|2=0, 线上，故点P的轨迹经过△ABC的外心，故D错误. 所以10×4cos0+16=0, 故选AB. 三、填空题 解得cos0=一 2 5 (10分) 9.14【解析】由题意得，F=F+F2=(-2,4)+(1, 所以，当cosB= -2)=(-1,2),AB=(3,0)-(9,-4)=(-6,4), 号时游超能垂直到达对兴 则合力F对该质点所做的功为F·AB=(一1,2)· 由同角关系可知sin=红 5 (-6,4)=6+8=14. / √2 10.[-1,0]【解析】如图，O为圆心，连接OP,则PA· t=v:sin 10X②7 42 -(h), PB=(PO+OA)·(PO+OB)=(P0+OA)· 5 (P0-OA)=|P02-1OA|2=|Pδ1？-4，因为 (13分) 点P在线段CD上且|CD|=2,则圆心O到弦CD 即需要航行会小时 的中点的距离d=√2-1F=√3，这也是OP的最 12.解：(1)依题意，记A言=a,AC=b, 小值.所以W5≤P6≤2，所以3≤P612≤4，则 因为AB=2,AC=4,∠BAC=60, 所以|a=2,|b=4,a·b=2X4cos60°=4， -1≤|P方|2-4≤0，即PA·PB的取值范围 是[-1,0]. 因为B萨-号就， 所以A-A+B萨=A+子BC -Ai+号(AC-A)=号A+号AC =号a+b, (4分) 则1a=(号a+号) =a+ab叶 7· ·数学（苏教版）必修第二册· 参考答案及解析 =号×4+号×4+号×16= 故由正方形结构性质得： 3, 当P与P2重合时，|PP取得最大值22；当P与 故1= (6分) P重合时，|PP|取得最小值O. (2)因为A花=号A心， 所以|PP+P2P+PP-PP|的取值范围为 [0,2W2] (10分) 所以B成=+AC=-A+号AC=-a+2b, (3)设单位圆E的圆心为O, 则|PP|2=(OP,-OP)2 所以A.B弦-=（号a+b)·(-a+b) =OP,:-2 OP:OP+OP, =号+6=-号×4什×16=0. P 则A下⊥BE, 即AF⊥BE. (11分) 3)因为A症=A衣， 所以E是AC的中点， 故PA+PC=2PE, 因为2PB+PA+PC=0, 所以2PB+2PE=0, 所以习1时：=觉o成-O市y 即PB=一PE, = 所以P是线段BE的中点. (15分) 习1a成：+22510d1-20市.觉am. 13.解：(1)点P1(0,0),P2(2,0),P3(0,2)不是关于 因为多边形P1P2…P226是正2026边形， D的一组稳定向量基点，理由如下： 所以由偶数边的正多边形图形结构性质可知 当P与P1(0,0)重合时，有|PP|2+1PP2?+ 家-0宫家= (15分) |PP|2=8, 当P与P2(2,0)重合时，有PP|2+|PP2+ 又1o1=1op1=1, 02 |PP12=12≠8， 所以∑1PP1:=4052, 故P1(0,0),P2(2,0),P3(0,2)不是关于D的一 故P1,P2,…,P22是关于圆E的一组稳定向量基 组稳定向量基点， (5分) 202 (2)因为PP,+P2P+PP-PP 点，且 |PP,|=4052. (20分) -P P-PP-PP, 所以|PP+P2P+PP-PP|=|PP1, 8高一同步周测卷/数学必修第二册 (二)向量应用 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知四边形ABCD满足条件AB=DC,且AC=BD,其形状是 A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 2.已知点A(一2，一3)，B(2,2),C(1,3),若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐 标为 A.(-1,-4) B.(-3,-2) C.(5,8) D.(-1,0) 3.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰” 轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是△ABC内 的一点，△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,Sc,则有SA·OA+SB·OB +Sc·OC=0,设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC,∠ABC,∠ACB分别是△ABC 的三个内角，若0+2O+30元=0，则Sc一SA= A月 B.1 C.2 D.3 4.如图所示，质点P从点A出发，沿AB,BC,CD运动至点D,已知AB∥CD,AB=4, BC=2,CD=3,AB·BC=-2,则质点P位移的大小是 A.9 B.2√/15 C.2√13 D./46 数学（苏教版）必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 5.已知在△ABC中，AD为中线，AD=4,BC=6,作BH⊥AC,则AH·AC= A.7 B.6√2 C.4√3 D.9 6.在△ABC中，已知AB=2AC=2,点D是边BC上靠近C的三等分点，AD的长等于 边AB上的高，则tan∠BAC= A.3 B.2√3 C.45 D.3√2 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀 速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是 F 7777777777777777777 A.绳子的拉力不断减小 B.绳子的拉力不断变大 B C.船的浮力不断变小 AALA D.船的浮力不变 8.已知P为△ABC所在平面内一点，则下列命题正确的是 A.若P为△ABC的垂心，AB·AC=2,则AP·AB=2 B.若P为锐角△ABC的外心，AP=xAB+yAC且x十2y=1,则AB=BC C.若P为△ABC的重心，则AP-号Ai+号AC 衣Ai-(Aob十号d+(mC十名元则点P的错速经过△AC 的内心 班级 姓名 分数 题号 1 2 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.一质点在力F1=(一2,4)，F2=(1,一2)的共同作用下，由点A(9,一4)移动到 B(3,0),则F1,F2的合力F对该质点所做的功为 高一同步周测卷三 数学（苏教版）必修第二册第2页（共4页） 10.圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中 国人所崇尚的图腾.AB是圆O的一条直径，且AB=4.C,D是圆O上的任意两 点，CD=2,点P在线段CD上，则PA·PB的取值范围是 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 长江某地南北两岸平行.如图所示，江面宽度d=1km,一艘游船从南岸码头A出发 航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度U1的大小为10km/h,水流的速度2的 大小为4km/h.设v和2的夹角为(0°<0<180°)，北岸的点A在A的正北方向. 回答下面的问题， (1)当0=120°时，判断游船航行到达北岸的位置在A的左侧还是右侧，并说明 理由； (2)当cos0为多大时，游船能到达A处？需要航行多长时间？ A d 数学（苏教版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 12.(本小题满分15分) 如图，在△ABC中，已知AB=2,AC=4,∠BAC=60°，E,F分别为AC,BC上的点， 且Ai-2AC,B=}BC (1)求AF: (2)求证：AF⊥BE; (3)若线段BE上一动点P满足2PB+PA+PC=0,试确定点P的位置. 13.(本小题满分20分) 给定平面上一个图形D,以及图形D上的点P1,P2,…,Pn,如果对于D上任意的点P, 空PF为与P无关的定值，我们荒称P,P,卫为关于图形D的一组稳定向 量基点. (1)已知P(0,0),P2(2,0),P3(0,2),△P1PP3为图形D,判断点P1,P2,P3是不是关 于图形D的一组稳定向量基点； (2)若图形D是边长为2的正方形，P1,P2,P3,P4是它的4个顶点，P为该正方形上的 动点，求|P1P2+P2P+PP-PP的取值范围； (3)若给定单位圆E及其内接正2026边形P1P2…P226,P为该单位圆上的任意一点， 证明：P1,P2,…,P226是关于圆E的一组稳定向量基点，并求 ∑P的值 高一同步周测卷二 数学（苏教版）必修第二册第4页（共4页）