(3)平面向量的应用：余弦定理、正弦定理-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高一数学必修第二册同步周测卷（人教A版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (三)平面向量的应用：余弦定理、正弦定理 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的) 1.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,bc,已知a=8,A=T,则△ABC外接 圆的周长为 A.4√2π B.8√2π C.8π D.163 元 3 2.在△ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinA:sinB:sinC=4:7:9, 则△ABC中最小角的余弦值为 A员 且器 c号 D. 3.在△ABC中，若A=若，AB=1,AC=B,则BC边上的高为 A.1 B.√2 c. D.2 4.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c<bcos A,则△ABC的形状是 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 5.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾 股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形 与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设DF=3FA,若AB= 3√/2I,则DF的长为 A.9 B.2√3 C.3 D.√3 数学（人教A版）必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 6.一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东15°方向，距离为12√6海里，灯塔C 在A的北偏东60°方向，距离为12√3海里，该渔船由A沿正东方向继续航行到D处 时再看灯塔B在其南偏西30°方向，则此时渔船位于灯塔C的 A.南偏东30°方向 B.南偏西30°方向 C.北偏西60°方向 D.北偏西30°方向 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)》 7.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则根据下列条件有两解的是 A.A=F,b=1,c=2 BA=否b=3,a=月 C.B-5b=1c=2 D.B=平，b=√3，a=2 8.某校计划开展数学建模活动，打算运用所学知识测量乐山大佛的高度.老师提前准备 了三种工具：测角仪、米尺、量角器.下面是四个小组设计的测量方案，其中可能测量 出大佛高度的方案有 A.把两只佛脚底部看作M,N两点，分别测量佛顶的仰角α，3和 MN的距离 B.在佛脚平台上一点测得佛顶的仰角为α，再面对大佛前行S米，测得 佛顶的仰角为B C.高为h的同学站在佛脚平台上，在该同学头顶和脚底分别测量佛顶 的仰角α，3 D.在佛脚平台上寻找两点A,B分别测量佛顶的仰角α，3，再测量A,B两点间距离和 两点相对于大佛底部的张角日 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=105°，C=30°，c=2,则a 高一同步周测卷三 数学（人教A版）必修第二册第2页（共4页） 10.已知在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a2+b一c2=ab,则C ,若a=2,则△ABC的面积S的取值范围为 ·(本题第一空2 分，第二空3分) 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=5sinx-2cos三，在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a, b,c,且f(B)=0. (1)求B; (2)若b=√13，且△ABC的面积为33，求a一c. 12.(本小题满分15分) 记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,且2 acos A-bos C.=G cos B (1)求A的大小； (2)若bc=4,求a的最小值； (3)若∠BAC的平分线与边BC交于点D,且AD=1,求证：方+-月. 数学（人教A版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 13.(本小题满分20分) 如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通M,N两地，M地位于岸边东西方向的直 线AB上，N地位于海上一个灯塔处，在M地用测角器测得∠NMB的大小，设 ∠NMB=a,已知1ana=是在M地正东方向号km的点P处，用测角器测得 ∠NPB=平.在直线AB上选一点Q,设∠NQB=a,且a<≤2，先沿线段MQ在 地下铺设电缆，再沿线段QN在水下铺设电缆.已知地下、水下的电缆铺设费用分别 为3万元/km,6万元/km. (1)求M,N两点间的距离； (2)设铺设电缆的总费用为f(α). ①求f(a)的表达式； ②求铺设电缆总费用的最小值，并确定此时MQ的长度. 北 西 一东 南 B 高一同步周测卷三 数学（人教A版）必修第二册第4页（共4页）高一周测卷 ·数学（人教A版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（三） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) 9 ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 利用正弦定理求三 1 选择题 5 易 0.80 角形外接圆的周长 正、余弦定理的应用 选择题 5 易 0.75 (已知三边求角) 余弦定理，利用三角 3 选择题 5 易 0.72 形面积公式求高 利用余弦定理判断 4 选择题 5 中 0.65 三角形形状 利用余弦定理求线 选择题 5 段的长（古代数学文 中 0.55 化) 利用正、余弦定理解 6 选择题 中 0.35 决航海问题 7 正弦定理中的两解 选择题 中 0.50 问题 与三角形有关的方 8 选择题 6 中 0.30 案设计问题 正弦定理的应用（已 9 填空题 5 易 0.72 知两角及一边) 利用正、余弦定理解 10 填空题 5 中 0.40 锐角三角形 三角函数与解三角 11 解答题 13 中 0.60 形的综合 解三角形与基本不 12 解答题 15 等式的综合，三角形 V 中 0.45 的角平分线问题 测量距离问题，与函 13 解答题 20 中 0.35 数的综合 ·11· ·数学（人教A版）必修第二册· 参考答案及解析 季考答案及解析 一、选择题 1.B【解析】设R为△ABC外接圆的半径，由正弦定 sin∠CDA= 12x 8 12 =号，因为AD>AC,故 理可知2R=a sin A =S=82,故△ABC外 ∠CDA为锐角，故∠CDA=60°，则此时灯塔C位于 sin4 2 渔船的北偏西30°方向，即渔船位于灯塔C的南偏东 接圆的周长为2πR=8√2元.故选B. 30°方向.故选A. 2.C【解析】因为sinA:sinB:sinC=4:7:9,所以最小 角为A,由正弦定理可设Q=4k,b=7k,c=9k.由余弦 定理得cosA=+C-a=49k:+812-16k 0 2bc 2×7k×9k 品故选C 3.C 【解析】由余弦定理得BC √2+(5)°-2x1x5Xcos若=1，设BC边上 的高为h,则Sm=号AB·AC·sn吾=X1 二、选择题 k,解得h放选C 7.BD【解析】对于A,因为两边及其夹角唯一确定一 4.A【解析】由c<cos A,可得c<+女d·b,即 个三角形，故A错误；对于B,由正弦定理得sinB= 2bc a+c<E,则cosB=+-B<0,又B∈(0，m), bsin A 2 <1,又b>a,即B∈（石，元)，所 2ac 则受<B<π，则△ABC的形状为钝角三角形，故 以B=号或B-号，放B正确；对于C,曲正弦定理得 选A. sin C=csin B= ×号 5.A【解析】由题可知在△DEF中，∠EDA=号，则 =√3>1，无解，故C错误：对 b 1 ∠ADB=答，不妨设DF=3k(k>0),由DF=3AF 于D,由正弦定理得sinA=asin B_ 知AF=k,则AD=4k,又因为△AFC与△BDA全 等，所以DB=AF=k,则在△ABD中，由余弦定理可 知cOS∠ADB=AD+BD'-AB 1,又>6，即AE(停)，又易知s如A- 3 √3 2AD·BD =4h)+（3V)=- s如子=号，则snA-气有两个解，放D正确.故 2,解得=3，所以 2 3 2×4k×k 选BD, DF=9.故选A. 8.BCD【解析】对于A,如果M,V两点与佛像底部不 6.A【解析】如图，由题意，在△ABD中，B=15°十30 在一条直线上时，就不能测量出佛像的高度，故A不 =45°，AB=12√6，∠ADB=60°，由正弦定理得 正确；对于B,如图1，设佛像高度为CD,在佛脚平台 AD=AB=125=242,所以AD=24,在 上一点测得佛顶的仰角为∠CAD=a,再面对大佛前 sin 45 sin60° 3 行AB=S米，测得佛顶的仰角为∠CBD=B,在 2 △CBD巾，CB=品在△CAD巾，CA=品，所 △ACD中，因为AC=12W3,∠CAD=30°，由余弦定 理得CD2=AC十AD-2 AC X AD X cos30°= 以CA-CB= 品即s=。一品佛俊 CDCD tan a (12B)'+24-2×125×24×5=144,所以CD 2 高度CD=1 1,故B正确：对于C,如图2，设 CD AC tan a tan B =12,由正弦定理得sn30=sn∠CDA,所以 佛像高度为CD,在△ABD中由正弦定理求AD,则 ·12· 高一周测卷 ·数学（人教A版）必修第二册· 佛像的高CD=h十ADsin a,故C正确：对于D,如图 3,在佛脚平台上寻找两点A,B分别测量佛顶的仰角 2sin[x-(A+晋] 2sin(A+号) ,所以S= α，β，再测量A,B两点间距离和两点相对于大佛底部 sin A sin A 的张角B,在Rt△ADC,Rt△BDC中用CD来表示 1 3sin(A+号)】 _3 3 AC,BC,在△ABC中由余弦定理就可以计算出佛像 ab·sinC= sin A 2tanA,因为 高度CD,故D正确.故选BCD. D 0<A<: △ABC是锐角三角形，所以 解得 0<-A受 否<A<受，所以anA> 停所以0<< 3 3,从而5∈（停，25）月 2 四、解答题 11.解：(1)由题意得f(x)=√3sinx-cosx-1 图1 =2sin(x-若）-1， (2分) 所以由f(B)=2sim(B-否）-1=0， 得m(B-吾)=宁 (4分) 又因为0<B<π， 所以-<B< B 所以B一吾=吾，B=晋 (6分) 图2 D (2)因为b=V区，B=号且△ABC的面积为35， 所以a+-2 eosB=谷且Sa度=号ecsin B =33, 即a+c2-ac=13 (10分) ac=12 C 、例 解得但支8 la=3 (12分) 图3 所以a-c=士1. (13分) 三、填空题 12.解：(1)由已知得bcos C+ccos B=2 acos A, 由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=2 sin Acos A, 9.2√2【解析】由B=105°，C=30°，得A=180°-B sin A=sin (B+C)=2sin Acos A, (3分) C=5,由正弦定理得后AC即号名， 了，解得 又sinA≠0， 2 2 所以2cosA=1, a=2√2. 即cosA=, (4分) 【解析】由余弦定理得cosC 又因为A∈(0，π)， +之-鼎=因为ce(o受)所以C 所以A=子 (5分) 2ab (2)由余弦定理得a2=十c2-2 bccos A=十c2 bc≥2bc-bc=bc=4,当且仅当b=c=2时取等号， 吾，由正弦定理品B得6 2sin(-A】 sin A (8分) 所以a≥4，a≥2， 则a的最小值为2. (10分) ·13· ·数学（人教A版）必修第二册· 参考答案及解析 (3)由∠BAC的平分线与边BC交于点D, 1 可得SAABC=SAABD十S△ADG, 解得NQ-品aM0= 5sin a-cos a (9分) sin a 因为∠BAC=号，AD为∠BAC的平分线，且AD -sin a-cos a =1, 所以f(a)=3× +6X1 sin a 所以号on∠BAC=名c·AD:血吾十b·AD: sin a =36+3(2-c0sa (12分) 5 sin a (a<a≤受) sin晋 (13分) ②令t= 2-cos a sin a 可得3bc=b十c, 则tsin a十cosa=2, 所以石+上=厅得证 (15分) 则√+1sin(a十p)=2, (14分) 1 5 其中锐角9由sing9= t 13.解：(1)在△MNP中，由taa=2, √2+1 (sin'ao +cos'ao=1 确定， 得 a-品 2 于是sin(a十o)= e+I' 解得sina,一音c0sam=是， 5 13 (2分) 则有一2 71, (16分) 则sin∠MNPp=sin(平-ao） 而>0，解得≥E,当且仅当a=号9=晋时取等 -号×（唱）-爱 号， (18分) MP 即当MQ=旦-L=-5时，f)有最小值 由正弦定理得sin /NPM sin/WyB, (4分) 5 tan a 5 3 +3va 所以M,N两点间的距离MN= 5 2 7√2 导km 所以总费用的最小值为(+3)万元，此时MQ 26 (6分) 的长度为（号-号）km (20分) 13 (2)①在△MNQ中，由正弦定理得sin(元-ad MQ NQ sin(a-ao） 13 14·