(7)平面向量的应用：平面向量在几何、物理中的应用举例-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高一数学必修第二册同步周测卷（北师大版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (七)平面向量的应用：平面向量在几何、物理中的应用举例 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知四边形ABCD满足条件AB=DC,且AC=BD,其形状是 A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 2.已知点A(一2，一3)，B(2,2),C(1,3),若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐 标为 A.(-1,-4) B.(-3,-2) C.(5,8) D.(-1,0) 3.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰” 轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是△ABC内 的一点，△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,Sc,则有SA·OA+SB·OB +Sc·OC=0,设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC,∠ABC,∠ACB分别是△ABC 的三个内角，若0+2O+30元=0，则c一SA= A月 B.1 C.2 D.3 4.如图所示，质点P从点A出发，沿AB,BC,CD运动至点D,已知AB∥CD,AB=4, BC=2,CD=3,AB·BC=-2,则质点P位移的大小是 A.9 B.2√/15 C.2√13 D.√46 数学（北师大版）必修第二册第1页（共4页）】 衡水金卷·先享题· 5.已知在△ABC中，AD为中线，AD=4,BC=6,作BH⊥AC,则AH·AC= A.7 B.6√2 C.4√3 D.9 6.在△ABC中，已知AB=2AC=2,点D是边BC上靠近C的三等分点，AD的长等于 边AB上的高，则tan∠BAC= A.3 B.2√3 C.45 D.3√2 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀 速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是 F 7777777777777777777 A.绳子的拉力不断减小 B.绳子的拉力不断变大 B C.船的浮力不断变小 AALA D.船的浮力不变 8.已知P为△ABC所在平面内一点，则下列命题正确的是 A.若P为△ABC的垂心，AB·AC=2,则AP·AB=2 B.若P为锐角△ABC的外心，AP=xAB+yAC且x十2y=1,则AB=BC C.若P为△ABC的重心，则AP-号Ai+号AC 衣Ai-(Aob十号d+(mC十名元则点P的错速经过△AC 的内心 班级 姓名 分数 题号 1 2 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.一质点在力F1=(一2,4)，F2=(1,一2)的共同作用下，由点A(9,一4)移动到 B(3,0),则F1,F2的合力F对该质点所做的功为 高一同步周测卷七 数学（北师大版）必修第二册第2页（共4页) 10.圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中 国人所崇尚的图腾.AB是圆O的一条直径，且AB=4.C,D是圆O上的任意两 点，CD=2,点P在线段CD上，则PA·PB的取值范围是 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 长江某地南北两岸平行.如图所示，江面宽度d=1km,一艘游船从南岸码头A出发 航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度U1的大小为10km/h,水流的速度2的 大小为4km/h.设v和2的夹角为(0°<0<180°)，北岸的点A在A的正北方向. 回答下面的问题， (1)当0=120°时，判断游船航行到达北岸的位置在A'的左侧还是右侧，并说明 理由； (2)当cos0为多大时，游船能到达A处？需要航行多长时间？ A d 数学（北师大版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 12.(本小题满分15分) 如图，在△ABC中，已知AB=2,AC=4,∠BAC=60°，E,F分别为AC,BC上的点， 且Ai-2AC,B=}BC (1)求AF: (2)求证：AF⊥BE; (3)若线段BE上一动点P满足2PB+PA+PC=0,试确定点P的位置. 13.(本小题满分20分) 给定平面上一个图形D,以及图形D上的点P1,P2,…,Pn,如果对于D上任意的点P, 空PF为与P无关的定值，我们荒称P,P,卫为关于图形D的一组稳定向 量基点. (1)已知P(0,0),P2(2,0),P3(0,2),△P1PP3为图形D,判断点P1,P2,P3是不是关 于图形D的一组稳定向量基点； (2)若图形D是边长为2的正方形，P1,P2,P3,P4是它的4个顶点，P为该正方形上的 动点，求|P1P2+P2P。+PP-PP|的取值范围； (3)若给定单位圆E及其内接正2026边形P1P2…P226,P为该单位圆上的任意一点， 证明：P1,P2,…,P226是关于圆E的一组稳定向量基点，并求 ∑P的值 高一同步周测卷七 数学（北师大版）必修第二册第4页（共4页)高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（七） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算 ⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ② ③④ ⑤⑥ 档次 系数 利用向量判断四边 选择题 易 0.80 形形状 由平行四边形求点 选择题 5 易 0.72 的坐标 3 选择题 奔驰定理的应用 易 0.70 4 选择题 5 向量与位移问题 中 0.55 利用向量求线段长 5 选择题 5 V 中 0.45 度之积 选择题 利用向量求角 中 0.30 利用向量解决拉力、 选择题 6 浮力问题 易 0.75 利用向量解决三角 8 选择题 6 形的重心、内心、外 / 中 0.35 心、垂心问题 利用坐标法求力对 9 填空题 易 0.71 物体所做的功 利用向量求数量积 10 填空题 5 难 0.28 的范围 利用向量解决航行 11 解答题 13 中 0.60 问题 利用向量解决垂直 12 解答题 15 中 0.45 问题，确定点的位置 新定义题，向量在几 13 解答题 20 何问题中的综合 L L 中 0.30 应用 ·25· ·数学（北师大版）必修第二册· 参考答案及解析 季考答案及解析 一、选择题 (AB+Bi)·AC=AB·AC+Bi.AC=AB· 1.B【解析】由A店=D元，可知AB=DC且AB∥DC, AC,设AB=a,AC=b,则a十b=2AD,且a-b=Ci, 则四边形ABCD为平行四边形，又由|A= 则(a十b)2-(a-b)2=4a·b=4AD-BC= |BD1,可知四边形ABCD为矩形.故选B. 4|AD12-|BC12=4×42-62=28.故a·b=7,即 2.B【解析】设点D的坐标为(x,y),则AD=(x十2， AB.AC=7,所以AH·AC=7.故选A. y十3)，BC=(-1,1),若四边形ABCD为平行四边 6.C【解析】如图Ci=令C成，所以A市=AC+C市 x+2=-1 形，则AD=BC,可得 x=-3 ,解得 即 y+3=1 y=-2 AC+号C市-AC+子(Ai-AC)-号AC+号Ai 点D的坐标为(-3，-2).故选B. 3.B【解析】由奔驰定理O是△ABC内的一点， △BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,Sc,则 有SA·OA+SB·OB+Sc·OC=0可知，若OA+ 2OB+3OC=0,可得SA:SB:Se=1:2:3,所以 Sc-SA=3一1=1.故选B. SB 2 4,D【解析】由题意可得，质点P的位移为AD,因为AD 则成1=A市1=号AC+子A站，即1A心1· =AB+BC+CD,所以|AD1=√(AB+BC+CD)2= sn∠BAC=√（号Ac+A) √/个A12+C12+1C而12+2B·C+2C.C而+2AB·C而， 因为AB=4,BC=2,CD=3,AB.BC=-2,所以AB 售A心+专A迹+号A心·A成，由心=1， ·CD=12,设A店，BC的夹角为9，所以AB.BC- 1=2,所以sim∠BAC=号+号+号×1×2× |A1BC|cos0=-2→cos0=-子，因为AB∥ Os∠BAC=号+号os∠BAC,所以91 CD,所以BC.Ci=|BC|CD1cos0=2X3X cos∠BAC)=8cos∠BAC+8,∠BAC∈(0，π)，可得 (-)=-,所以1A=6.故选D. cos∠BAC=号或cos∠BAC=-1(舍)，故sin∠BAC 5.A【解析】在△ABC中，由BH⊥AC,则B方.AC =0, =4 9 -,所以tan∠BAC=4√5.故选C. 二、选择题 7.BC【解析】设水的阻力为f,绳的拉力为F,绳AB H 与水平方向的夹角为0(0<9<交)，则|Fleos0 1= :日增大，cos9减小，·F增 由A,H,C三点共线，则AH·AC=|Ai.AC|= 大，|F|sin日增大，∴.船的浮力减小.故选BC. ·26· 高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· 8.AB【解析】对于A,因为AC=A产+PC,AB.AC AE)·BC=0,所以EP·BC=0,故P在BC的中垂 2,又因为P为△ABC的垂心，所以A店·P元=0，所 线上，故点P的轨迹经过△ABC的外心，故D错误. 以AB.AC=AB.(AD+P心)=AB.A市+AB.Pd 故选AB. =A方，A市=2，故A正确：对于B,因为AP=xA言+ 三、填空题 yAC且x+2y=1,所以AP=(1-2y)AB+yAC,整 9.14【解析】由题意得，F=F十F2=(-2,4)十(1， 理得A市-AB=y(AC-2AB),即B=y(BC+BA), -2)=(-1,2),AB=(3,0)-(9-4)=(-6,4) 如图所示，设D为AC的中点，则B驴=y(BC+BA) 则合力F对该质点所做的功为F·AB=(一1,2)· =2yBD,具有公共点B,所以B,P,D三点共线， (-6,4)=6+8=14. 10.[-1,0]【解析】如图，O为圆心，连接OP,则PA· PB=(Pò+Oi)·(pi+Oi)=(Pi+OA)· (Pò-OA)=|Pò12-1OA2=|Pò12-4，因为 点P在线段CD上且|CD|=2,则圆心O到弦CD 的中点的距离d=√2-1严=√3，这也是OP的最 又因为P为锐角△ABC的外心，则PD⊥AC,所以 小值.所以≤|PO|≤2，所以3≤|P6|2≤4，则 BD垂直平分AC,故AB=BC,故B正确；对于C,如 -1≤|P01-4≤0，即PA·P店的取值范围 图所示，设BC的中点为E,则A言+AC=2A花，由重 是[-1,0]. 心的性质可知市=号A它=号×(A店+AC) 子A店+号AC,故C错误：对于D,因为A市= (aleB+号)d+(adoc+号)ac- A+一A+之(A+AC) AB]cos B AC]cos C 如图所示，设BC的中点为E,则A范+AC=2AE,所 四、解答题 以A= 1 11.解：(1)如图，建立平面直角坐标系，并确定v1和 的位置 所u.成-os后兹，成+c AC.BC+AE.BC=-IBC+BCI+AE.BC- y=(-5,5√/3)，2=(4,0). A正.BC,所以AD.BC-A正.BC=0,即(AD- v=y十%=(-1,5√3)， ·27· ·数学（北师大版）必修第二册· 参考答案及解析 设游船航行到达北岸的位置在点F, 故- (6分) 则直线AF的方程为y=-5√3x, 令y=1,得到P点的坐标为（一得1小 (2)因为A正=号AC, (4分) 所以B2-Bi+号AC=-A计号AC--a+号b, 所以F在距离A左侧约干米处， 15 所以A.酝=（号a+号b)·(-a+号） 所以游船航行到达北岸的位置在A'的左侧.(6分) (2)要使游船能垂直到达对岸，即v=y1十v2与v2垂 =-号a+名6=-号×4+合×16=0， 直，也即(1十2)·2=0， 则A市⊥B2, 所以v1·+2|2=0, 即AF⊥BE. (11分) 即|y1|1w|cos0+|2=0, (3)因为A-号A心， 所以10×4cos0+16=0, 所以E是AC的中点， 解得c0s0=一号， (10分) 故PA+PC=2P, 所以，当09=一号时，游船能垂直到达对岸。 因为2PB+PA+PC=0, 所以2PB+2P2=0, 由同角关系可知sing=2」 即Pi=一P龙， 所以P是线段BE的中点. (15分) 1 =Isin0 10X②7 13.解：(1)点P(0,0),P2(2,0),P(0,2)不是关于 5 D的一组稳定向量基点，理由如下： 即需姿航行会小时。 (13分) 当P与P1(0,0)重合时，有|PP12+|PP|+ |PP12=8, 12.解：(1)依题意，记AB=a,AC=b, 当P与P2(2,0)重合时，有|PP12+|PP1十 因为AB=2,AC=4,∠BAC=60°， 所以|a|=2,|b|=4,a·b=2×4cos60°=4， |PP|=12≠8， 故P1(0,0),P2(2,0),P(0,2)不是关于D的一 因为萨-号心， 组稳定向量基点， (5分) 所以A市-A店+B萨-A言+子BC (2)因为P1P+PP+PP-P,户 -PP:-Pi P-PP:. =Ai+号(AC-A)=号AB+号AC 所以|PP+PP+PP-P|=|Pp|, =号a+ (4分) 故由正方形结构性质得： 当P与P2重合时，PP|取得最大值2√2；当P与 则1a=(号a+号) P,重合时，|PP|取得最小值0. =合a+号ab叶号 所以|PP+PP+PP-P户|的取值范围为 [0,22] (10分) =号×4+×4+×16= 3 (3)设单位圆E的圆心为O, ·28· 高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· 则1Pp1=(oP-o) 因为多边形P1P2…P22是正2026边形， =0P2-20P,.O2+Op2, 所以由偶数边的正多边形图形结构性质可知 分家-0市.登家- 102 (15分) 又1o1=1oP1=1, 所以 1Pp12=4052, 故P,P2,…,P22s是关于圆E的一组稳定向量基 (20分) 所以1m:=觉0丽-0市) 点，且号1时1=42 -1m+20%1市-市.罗前， ·29·