(6)平面向量的应用；余弦定理与正弦定理-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高一数学必修第二册同步周测卷（北师大版）

高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（六） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) 9 ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 利用正弦定理求三 1 选择题 易 0.80 角形外接圆的周长 正、余弦定理的应用 选择题 易 0.75 (已知三边求角) 余弦定理，利用三角 3 选择题 5 易 0.72 形面积公式求高 利用余弦定理判断 4 选择题 5 中 0.65 三角形形状 利用余弦定理求线 选择题 段的长（古代数学文 中 0.55 化) 利用正、余弦定理解 6 选择题 中 0.35 决航海问题 正弦定理中的两解 7 选择题 中 0.50 问题 与三角形有关的方 8 选择题 6 中 0.30 案设计问题 正弦定理的应用（已 9 填空题 5 易 0.72 知两角及一边) 利用余弦定理求角 10 填空题 5 中 0.40 及三角形的周长 三角函数与解三角 11 解答题 13 中 0.60 形的综合 解三角形与基本不 12 解答题 15 等式的综合，三角形 中 0.45 的角平分线问题 13 解答题 20 距离问题 中 0.35 ·21· ·数学（北师大版）必修第二册· 参考答案及解析 季考答案及解析 一、选择题 理得CD2=AC2十AD-2 ACX AD×cos30°= 1.B【解析】设R为△ABC外接圆的半径，由正弦定 =144,所以CD 理可知2R=a (123)‘+242-2×123×24× 2 sin A 8=8=82,故△ABC外 n3π sin =12,由正弦定理得CD AC 2 sin30°= sin∠CDA,所以 接圆的周长为2πR=8√2π.故选B. sin∠CDA= 12×号 2.C【解析】因为sinA:sinB:sinC=4:7:9,所以最小 12 =号，因为AD>AC,故 角为A,由正弦定理可设a=4k,b=7k,c=9k.由余弦 ∠CDA为锐角，故∠CDA=60°，则此时灯塔C位于 定理得cosA=6+d-49k十8116k 渔船的北偏西30°方向，即渔船位于灯塔C的南偏东 2bc 2X7kX9k 30°方向，故选A. 导故选C 3.C【解析】由余弦定理得BC= 609 √1+(W5)-2X1×/3×cos否=1，设BC边上 的商为，则Sa=AB·AC·sim晋=合X1· ,解得力-怎放送C 4,A【解析】由c<bosA,可得(<+d.b,即 2bc 二、选择题 a+c<6,则oB=G+ci<0,又B∈(0，元， 7.BD【解析】对于A,因为两边及其夹角唯一确定一 2ac 个三角形，所以A错误；对于B,由正弦定理得sinB 则受<B<元，则△ABC的形状为钝角三角形.故 -bsin A 选A. √3 -5<1,又b>a,即B∈（若 2 5.A【解析】由题可知在△DEF中，∠EDA=号，则 所以B=号或B-要，故B正确：对于C,由正孩定理 ∠ADB=经，不妨设DF=3k(>0),由DF=3AF 知AF=k,则AD=4k,又因为△AFC与△BDA全 得sinC-csin B 2X3 2 -=√3>1，无解，故C错误； b 1 等，所以DB=AF=k,则在△ABD中，由余弦定理可 AD:+BD*-AB 对于D,由正弦定理得sinA=asin B_ 2X 2 知cos ∠ADB 2AD·BD 3 3 (4k)+E-(32)=- 之，解得k=3,所以DF 6 2×4k×k <1,又a>6,即A∈（子，x),又易知sinA=是 =9,故选A √ 6.A【解析】如图，由题意，在△ABD中，B=15°+30° sin 4 3有两个解，故D正确.故 =45°，AB=12√6，∠ADB=60°，由正弦定理得 选BD. AD AB126 8.BCD【解析】对于A,如果M,N两点与佛像底部不 sin 45 sin 603= ,=24√2，所以AD=24,在 3 在一条直线上时，就不能测量出佛像的高度，故A不 2 正确；对于B,如图1，设佛像高度为CD,在佛脚平台 △ACD中，因为AC=12W3,∠CAD=30°，由余弦定 上一点测得佛顶的仰角为∠CAD=a,再面对大佛前 ·22· 高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· 行AB=S米，测得佛顶的仰角为∠CBD=B,在 △CBD,CB=在△CAD中，CA=c C=45,由正弦定理得0C·即4=2 了，解得 tan a ,所 2 a=22. 以CA-CB an&an月即S-CDCp CDCD tan a ian月，佛像 10.号 5十√I3【解析】由余弦定理得cosC= 高度CD= 1 1,故B正确：对于C,如图2，设 tan a tan B +。之-总=合因为c∈0，所以C 2ab 佛像高度为CD,在△ABD中由正弦定理求AD,则 佛像的高CD=h十ADsin a,故C正确；对于D,如图 吾，5=合absin C=万，则ab=4,故a+h>2V/6 3,在佛脚平台上寻找两点A,B分别测量佛顶的仰角 =8,当且仅当a=4b=4,即a=4,b=1时取等号，此 α，B,再测量A,B两点间距离和两点相对于大佛底部 时2=a2十6-ab=16+1-4=13,故c=√13，则 的张角9，在Rt△ADC,Rt△BDC中用CD来表示 △ABC的周长为a+b十c=5十√3. AC,BC,在△ABC中由余弦定理就可以计算出佛像 四、解答题 高度CD,故D正确.故选BCD. 11.解：(1)由已知可得g(x)=2sin(x-）-1, D (2分) 所以由f(B)=2sin(B-否)-1=0， 得s如(B-吾)=专 (4分) 又因为0<B<π， 所以-晋<B-晋<要。 6 6 图1 所以B-晋=晋，B=号 (6分) (2)因为6=V3,B=号且△ABC的面积为35， 1 所以a2+c-2 aceos B=B且SaAc=acsin B =33, 即/a+e2-ac=13 (10分) (ac=12 图2 (12分) D 所以a-c=±1. (13分) 12.解：(1)由已知及正弦定理得2 sin Asin Bcos A= sin Bsin A, (2分) 又因为A,B∈(0，π)， 所以sinA≠0，sinB≠0， Ag---- B 所以2c0sA=1,即cosA= 2 (4分) 图3 三、填空题 又因为A∈(0，x),所以A=晋 (5分) 9.22【解析】由B=105°，C=30°，得A=180°-B- (2)由余弦定理得a2=6十c2-2 bccos A=6+2 ·23· ·数学（北师大版）必修第二册· 参考答案及解析 bc≥2bc-bc=bc=4,当且仅当b=c=2时取等号， 又sin∠ABD=√3sinA, (8分) 故AD=√3BD=10W3 (10分) 所以a2≥4，a≥2，a的最小值为2. (10分) (3)由∠BAC的平分线与边BC交于点D, 放汽车所需时间为0正-(+)n 50 可得SAAx=SAABD十S△DC, (13分) 因为A=于，AD为∠BAC的平分线，且AD=1, (i)因为∠ADB=30°， 由余弦定理得AB=AD+BD-2AD· 所以号csin∠BAC=名·AD·sn晋+名6： BDcos∠ADB AD·sin晋， (13分) =300+100-2×10/5×10×5=100, 2 可得3bc=b十c, 故AB=10, (15分) 所以公+是=5，得证 故AB+BC=10+15=25, (15分) 快递小哥出发25分钟，骑行路程为20×25= 13.解：(1)因为BD=10km,∠CBD=120°，CD=5√19km, 60 由余弦定理得cos∠CBD=BC+BD-CD 2BC·BD 空m,利余路程为25-空-km, 即BC+0425-cos120=- 1 (3分) 则到达C处所需时间为9÷20=号h, (18分) 20BC 故BC2+10BC-375=0, 中（停+）-器是+品+层-器 解得BC=15km(负值舍去)， (5分) 故San-号BC·BDsin∠CBD 应_173-185-1730， 25450 450 =×15X10×m120= 7513 km. (7分) 2 故+< (2)(1)在△ABD中，由正弦定理得sn∠ABD AD 所以汽车能先到达C处. (20分) =0 ·24·高一同步周测卷/数学必修第二册 (六)平面向量的应用：余弦定理与正弦定理 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的) 1.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,bc,已知a=8,A=T,则△ABC外接 圆的周长为 A.4√2π B.8√2π C.8π D.16 -元 3 2.在△ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinA:sinB:sinC=4:7:9, 则△ABC中最小角的余弦值为 A员 且器 c号 D. 3.在△ABC中，若A=若，AB=1,AC=B,则BC边上的高为 A.1 B.√2 c. D.2 4.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c<bcos A,则△ABC的形状是 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 5.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾 股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形 与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设DF=3FA,若AB= 3√2I,则DF的长为 A.9 B.2√3 C.3 D.√3 数学（北师大版）必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 6.一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东15°方向，距离为12√6海里，灯塔C 在A的北偏东60°方向，距离为12√3海里，该渔船由A沿正东方向继续航行到D处 时再看灯塔B在其南偏西30°方向，则此时渔船位于灯塔C的 A.南偏东30°方向 B.南偏西30°方向 C.北偏西60°方向 D.北偏西30°方向 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则根据下列条件有两解的是 A.A=F,b=1,c=2 BA=否b=3,a=月 C.B-经，=1，c=2 D.B=平，b=3,a=2 8.据统计，从1932年至1990年，历次所测乐山大佛高度均不一样.某校计划开展数学 建模活动，打算运用所学知识测量乐山大佛的高度.老师提前准备了三种工具：测角 仪、米尺、量角器.下面是四个小组设计的测量方案，其中可能测量出大佛高度的方 案有 A.把两只佛脚底部看作M,N两点，分别测量佛顶的仰角a,3和 MN的距离 B.在佛脚平台上一点测得佛顶的仰角为α，再面对大佛前行S米，测得 佛顶的仰角为3 C.高为h的同学站在佛脚平台上，在该同学头顶和脚底分别测量佛顶 的仰角a,3 D.在佛脚平台上寻找两点A,B分别测量佛顶的仰角α，B,再测量A,B两点间距离和 两点相对于大佛底部的张角0 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 P 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=105°，C=30°，c=2,则a 高一同步周测卷六 数学（北师大版）必修第二册第2页（共4页） 10.已知在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a2十b一c2=ab,则C= ,若△ABC的面积为√3，则当a+4b取最小值时，△ABC的周长为 .(本题第一空2分，第二空3分) 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=2sin(2x-),将f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再向下平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象.在△ABC中，内 角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且f(B)=0. (1)求g(x)的解析式及B; (2)若b=√/13，且△ABC的面积为33，求a一c. 12.(本小题满分15分) 记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2 asin Bcos A=bsin A. (1)求A的大小； (2)若bc=4,求a的最小值； (3)若∠BAC的平分线与边BC交于点D,且AD=1,求证：方+=5. D 数学（北师大版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 13.(本小题满分20分) 如图，某快递小哥从A地出发，沿小路AB→BC以平均时速20km/h,送快件到C 处，已知∠CBD=120°，∠ADB=30°，sin∠ABD=√3sinA,BD=10km,CD= 5√/19km. (1)求△BCD的面积； (2)快递小哥出发25分钟后，公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派 汽车沿大路AD→DC追赶，若汽车平均时速50km/h. (ⅰ)求汽车到达C处所花时间； (ⅱ)汽车能否先到达C处？ 高一同步周测卷六 数学（北师大版）必修第二册第4页（共4页)