专题20 等腰三角形及直角三角形 2026年中考数学第一轮复习

专题20 等腰三角形及直角三角形 等腰三角形及直角三角形是初中几何的核心内容，是三角形知识的延伸与深化，也是中考数学的高频考点。该专题承接全等三角形、三角形基本性质等知识，同时为后续相似三角形、圆的相关内容奠定基础，在中考中覆盖选择、填空、解答三种题型，占分比重约10%-12%，核心考查学生对特殊三角形性质与判定的应用能力、几何推理能力及分类讨论思想。 考点 ①等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一、轴对称性）； ②等腰三角形的判定（等角对等边、定义法）； ③等边三角形的性质（三边相等、三角均为60°、三线合一）； ④等边三角形的判定（三边相等、三角相等、有一个角为60°的等腰三角形）； ⑤直角三角形的性质（两锐角互余、勾股定理、30°角所对直角边等于斜边的一半）； ⑥直角三角形的判定（勾股定理逆定理、有一个角为90°的三角形）； ⑦直角三角形斜边中线的性质（斜边中线等于斜边的一半）； ⑧特殊三角形的综合应用（动态几何、多结论证明、实际情境建模）。 考情 ①基础题型：侧重特殊三角形的基本性质与判定（如等腰三角形“三线合一”、直角三角形勾股定理直接应用），难度较低； ②进阶层题型：侧重特殊三角形性质的综合应用（如等腰三角形与角平分线、垂直平分线结合，直角三角形斜边中线与勾股定理综合），难度中等； ③拔高层题型：侧重特殊三角形的动态探究、分类讨论（如含不确定顶点的等腰三角形个数、直角三角形存在性问题），难度较高。 一、核心概念与性质 1. 等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形（相等的边为腰，第三边为底，两腰的夹角为顶角，腰与底的夹角为底角）； 性质： 等边对等角：等腰三角形的两个底角相等； 三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合； 轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线； 判定： 定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形； 等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 2. 等边三角形 定义：三条边都相等的三角形（特殊的等腰三角形）； 性质： 三边相等，三角均为60°； 具备等腰三角形的所有性质（三线合一、轴对称性），且有三条对称轴； 判定： 定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形； 三角相等法：三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形； 含60°角的等腰三角形：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。 3. 直角三角形 定义：有一个角为90°的三角形（直角所对的边为斜边，另外两条边为直角边）； 性质： 两锐角互余：直角三角形的两个锐角之和为90°； 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（若直角边为、，斜边为，则）； 30°角性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半； 斜边中线性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半； 判定： 定义法：有一个角为90°的三角形是直角三角形； 勾股定理逆定理：若一个三角形的三边满足，则该三角形为直角三角形； 有两个角互余的三角形是直角三角形。 二、解题提速技巧 1. 等腰三角形： 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高； 等腰三角形腰长为，底边长为，则底边上的高，面积； 等腰三角形顶角为，则底角为；底角为，则顶角为。 2. 等边三角形： 等边三角形边长为，则高，面积； 等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于该三角形的高。 3. 直角三角形： 直角三角形斜边上的高（、为直角边，为斜边）； 若直角三角形的一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角为30°； 等腰直角三角形的斜边长为直角边长的倍（若直角边长为，则斜边长为）。 4. 综合结论： 有一个角为30°的直角三角形，三边之比为； 等腰直角三角形三边之比为； 遇到等腰三角形“三线合一”条件时，优先构造直角三角形，结合勾股定理求解边长。 考点1：等腰三角形的性质 例1．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）等腰三角形的一个外角为，则它的底角是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】分该外角对应的是顶角还是底角两种情况讨论，进而求出底角的度数． 【详解】解：当顶角的外角为时， 则顶角为， ∴等腰三角形的底角度数为； 当底角的外角为时， 则底角为； 综上所述，底角可能为或． 考点2：等腰三角形的判定 例2．（25-26八年级上·广东韶关·月考）如图，在△ABC中，已知和的平分线相交于点F．过点F作，交于点，交于点E．若，，则的周长为（　 ） A．8 B．9 C．10 D．13 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质得到，，根据等角对等边可得，，于是可得结论． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， ∴△ABC的周长为： . 考点3：等边三角形的性质与判定 例3．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，将△ABC绕点逆时针旋转得到△ADE，与交于点，下列结论：；平分；；其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据旋转的性质得出，，，，由三角形内角和定理推出，由对顶角的性质确定，在上截取，由推出，推出，得到是等边三角形，因此，，于是得到，求出，即可证明平分，得． 【详解】解：∵将△ABC绕点逆时针旋转得到△ADE， ， ， 故正确； 由旋转的性质可得：，，， ， ， ， 在上截取， 由旋转的性质得：，，，， ∴， ， ， ，， ， 即， 是等边三角形， ，， ， 故正确； ， ， ， 平分， 故正确， 故正确； 其中正确的有，共个． 考点4：直角三角形的性质 例4．（25-26八年级上·广西贵港·期末）在△ABC中，，，则的度数等于________． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余，即可求得答案． 【详解】根据直角三角形两锐角互余，可得 ． 故答案为： 考点5：直角三角形斜边中线的性质 例5．（21-22八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，是斜边的中点，连接，若，，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由勾股定理可求，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 是斜边的中点， ． 考点6：勾股定理及逆定理 例6．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图，在△ABC中，，，边上的中线，求的长．   【答案】 【分析】由勾股定理逆定理得，由垂直平分线定义得垂直平分，即可求解． 【详解】解：是的中线， ， ， ， ， ， 垂直平分， ． 一、单选题 1．（2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，推导出是解题的关键． 由等腰直角三角形的性质得，由，得，而，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，和都是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（2025·西藏·中考真题）如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据等腰三角形的定义可得，再利用三角形外角的性质可得即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由三角形的外角性质，得：， ∴． 故选：C． 3．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在△ABC中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识．根据三角形内角和定理求出，由折叠得到，根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． ∴， ∴ 故选：C 4．（2025·陕西·中考真题）如图，在△ABC中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等边对等角得出，再结合根据三角形内角和定理求出，最后根据余角的性质求解即可． 【详解】解：∵在△ABC中，，， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与互余的角是，共有4个， 故选：C． 5．（2025·安徽·中考真题）如图，在△ABC中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、含角的直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握这些性质定理，通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出的度数，再利用中点得到线段关系，最后在中，结合含角的直角三角形性质及勾股定理求出的长 ． 【详解】解：∵在中，，， ． 是中点， ∴设，则． ∵， 是直角三角形，且， ， ∵，则．在中，根据勾股定理， ∴， ， ， 解得（）． ， ． 故选：． 6．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角，先证明，再利用可证明得到，利用三角形内角和定理可证明，据此根据等边对等角和三角形内角和定理可求出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 如图所示，设交于O， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 7．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在△ABC中，，点、、分别是边、、的中点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 由题意可得为△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理可得，则，四边形是平行四边形，即可判断A、B、D；再由，是边的中点，即可判断C． 【详解】解：点、、分别是边、、的中点 ∴为的中位线， ∴， ∴，四边形是平行四边形， ∴， 故A、B、D正确，不符合题意； ∵，是边的中点， ∴， 故C错误，符合题意， 故选：C． 8．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质．由题意得，，，求得，根据等腰三角形的性质得到，再利用，列式计算即可求解． 【详解】解：作于点，如图， ∵矩形， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，解得，故选：D． 9．（2025·陕西·中考真题）如图，在△ABC中，点在边上，．若，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了三角形周长的计算，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点．掌握这些是解题的关键． 根据可得：，从而得到，则三角形的周长可转化为，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：C． 10．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，△ABC中，，，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及旋转的性质，由等腰三角形的性质得；再由旋转的性质得，从而得，故可得，从而可求出结论． 【详解】解：在△ABC中，， ∴； 由旋转可知， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 11．（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可． 【详解】解：当时， ∵点在上， ∴， ∴， ∴；故选项A不符合题意； ∵， ∴，不能得到；故选项B符合题意； ∵， ∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意； 故选B 12．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定、三角形三边之间关系，解题的关键是通过设的长度为a，结合图形性质分别计算三人的路程并比较． 设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出． 【详解】解：设的长度为a， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 同理可得，和是等边三角形，设的边长为m， ∴，， ∴； 如图所示，延长与，交于点I（如图）， 同理可得，是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， 综上所述，． 故选：D． 13．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在中，，将△ABC沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（  ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边中线性质和平移的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合，得，由△ABC平移得到，根据平移对应线段相等，可知，进而得． 【详解】在中，，是中点， ∴， ∵， ∴， ∵△ABC沿方向向右平移至， ∴， 故选：B． 14．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理得到，进而得出，证明，得到，进而求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为， 由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 故选：A． 二、填空题 15．（2025·江苏南京·中考真题）若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是____________．（写出一个即可） 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，熟知等腰三角形的性质及三角形三边关系是解题的关键．可令等腰三角形的腰长为，底长为，结合等腰三角形的性质及三角形三边的关系即可解决问题． 【详解】解：设腰长为，底长为， 则， ∴． 根据三角形三边的关系可知，， 解得：， 又，即， 解得：， ∴， 故答案为：5（答案不唯一）． 16．（2025·青海西宁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为________． 【答案】7 【分析】本题考查等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分3为腰长和7为腰长，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当3为腰长时，第三边长为3，，不能构成三角形，不符合题意； 当7为腰长时，第三边长为7，，能构成三角形，符合题意； 故第三边长为7； 故答案为：7． 17．（2025·江苏宿迁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为___________． 【答案】10 【分析】本题考查等腰三角形，分情况讨论，先利用三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：当腰长为时，三条边长为，，，，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，三条边长为，，，，能构成三角形， 周长为：， 故答案为：10． 18．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在△ABC中，，点在射线上，，连接，，则_____度． 【答案】40 或60 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，理解题意，作出相应图形求解是解题关键． 根据题意分两种情况，当点D在射线上时，当点D在线段上时，作出图形，然后根据等腰三角形的性质得出，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：当点D在射线上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵点D在射线上，且在点B之外， ∴，即， ∴， ∴； 当点D在线段上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵点D在线段上，且在点B之内， ∴， ∴； 故答案为：40 或60． 19．（2025·江苏淮安·中考真题）若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为， ∴另一个底角的度数也为， ∴它的顶角的度数是； 故答案为：． 20．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在△ABC中，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是_________． 【答案】7或9 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．过点A作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则，利用勾股定理得出得长度，根据三角形面积公式得出长，设，则，表示出，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过点A作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴在中，，即， 解得，即， 解得或9， 即或9， 故答案为：7或9． 21．（2025·四川广安·中考真题）如图，在等腰中，，，D是边上的一个动点，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，垂线段最短，由勾股定理可得，由垂线段最短可得，当时，有最小值，则此时点D为的中点，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得． 【详解】解：∵在等腰中，，， ∴， 由垂线段最短可知，当时，有最小值， ∵， ∴当时，点D为的中点， ∴此时， 故答案为：． 22．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键．根据题意求出面积标记为的正方形的边长，得到，同理求出，得到规律，根据规律解答． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ∵正方形的边长为2， ， ∴面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形的边长为， 则， ……， ， 则的值为：， 故答案为：． 23．（2025·广西·中考真题）如图，点在同侧，，则_________．    【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定以及勾股定理，过点作垂线交于点，先证明，得到，证明在同一线上，根据勾股定理得到，最后通过线段和和差即可求． 【详解】解：过点作垂线交于点，即 ，即是的垂直平分线， ∵， 在同一线上， ， 故答案为：．    24．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形，若，则______cm． 【答案】12 【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质和30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； 根据等边三角形的性质可得，根据折叠的性质和平行四边形的性质可得，结合三角形的外角性质可得，进而得到，再利用30度角的直角三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵折叠， ∴， ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：12． 25．（2025·湖南·中考真题）已知，，，是△ABC的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则______； （2）下列结论正确的是______（写出所有正确的结论） ①若，，则△ABC为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7 【答案】 2 ①② 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解一元一次不等式组，三角形三边的关系，等边三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，据此求解即可； （2）当，时，可证明，由勾股定理的逆定理可判断①；当，，时，可得；当时，可得，当时，可得，则可求出，据此求出t的取值范围即可判断②；当时，则，则可得到；根据题意不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数），则可得，解不等式组求出整数n即可判断③． 【详解】解：（1）∵，，是△ABC的三条边长，且△ABC是等边三角形， ∴， ∴ ， 故答案为；2； （2）①当，时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴△ABC为直角三角形，故①正确； ②当，，时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴t随b的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴，故②正确； ③当时，则， ∵， ∴， ∴； ∵a、b、c是三个相邻的正整数，， ∴不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数）， ∵， ∴， 解得， ∴符合题意的n的值有2、3、4、5、6、7，共6个， ∴符合题意的a、b、c的取值一共有6组， ∴满足条件的△ABC的个数为6，故③错误； 故答案为：①②． 26．（2025·甘肃·中考真题）如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形．若，则_______． 【答案】12 【分析】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，折叠得到，平行线的性质，得到，进而得到，等边三角形的性质，结合三角形的外角推出，进而得到，再根据含30度角的直角三角形的性质，得到即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵平行四边形纸片， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：12 27．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是______．    【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据两直线平行，同位角相等得到，然后增加，即可根据三个角是的三角形是等边三角形． 【详解】解：增加，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：． 28．（2025·江苏南通·中考真题）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为_____________． 【答案】1.2 【分析】本题考查了含角的直角三角形，根据含角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵E是斜梁的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：1.2． 29．（2025·山东东营·中考真题）如图，在△ABC中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线． 作于点，根据垂线段最短可知，的最小值是线段的长度，根据解含角的直角三角形即可． 【详解】解：如图，作于点， ∵平分， 作点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 30．（2025·福建·中考真题）某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为_______m． 【答案】4 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．根据，得出为直角三角形，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形， ∵E是斜梁的中点， ∴． 故答案为：4． 31．（2025·山东·中考真题）如图，在中，，，．点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短等知识点，掌握平行四边形对角线相互平分是解题的关键． 由勾股定理可得，设与交于点O，过O作于点，由四边形作是平行四边形得、，根据垂线段最短可得当时，即P与重合时，最小；再运用三角函数求得，进而求得即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 如图，设与交于点O，过O作于点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴、 ∴当线段长最小，则线段的长最小， 由垂线段最短可得：时，即P与重合时，最小； ∵， ∴，解得：． ∴线段长最小为． 故答案为：． 32．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为_______m． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，根据长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为， ∴， 故答案为：． 33．（2025·四川内江·中考真题）如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是______． 【答案】5 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，通过三角形中位线定理进行转化是解题的关键．连接，先由勾股定理求得，则，再由三角形中位线定理得到，即可求解的最大值． 【详解】解：连接， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵点G为的中点，点H为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当点重合时，取得最大值为5， 故答案为：5． 34．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； 故答案为：． 三、解答题 35．（2025·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． (1)在图①中，△ABC是面积最大的等腰三角形； (2)在图②中，△ABC是面积最大的直角三角形； (3)在图③中，△ABC是面积最大的等腰直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据面积最大，且△ABC为等腰三角形，顶点均在格点上； （2）根据面积最大，且△ABC为直角三角形，顶点均在格点上； （3）作个腰长为的等腰直角三角形，顺次连接A、B、C，则△ABC即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，△ABC即为所求； （2）解；如图所示，△ABC即为所求； （3）解：如图所示，△ABC即为所求． 36．（2025·江西·中考真题）图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得，，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得 (1)在推拉门从闭合到推至最大的过程中， ①的最小值为________度，最大值为________度； ②面积的变化情况是（   ） A．越来越大    B．越来越小    C．先增大后减小 (2)当时，求的面积． 【答案】(1)①，；②C．(2) 【分析】（1）①根据临界点运用已知条件以及三角形内角和定理即可解答；②由由特殊情况分析：点与点重合时，；过没有点的限制，点与点重合时，；即可解答； （2）如图2，过N作延长线于G当时，，由勾股定理可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，则；最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：①当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合，此时有最小值； 当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，，则此时有最大值． ∵，， ∴，即有最大值为． 故答案为：，． ②由特殊情况分析：点与点重合时，； 过没有点的限制，点与点重合时，； ∴面积的变化情况是先增大后减小．故选：C． （2）解：如图2，过N作延长线于G 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平方米）． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质，理解题意解题的关键． 37．（2025·福建·中考真题）如图，△ABC是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1);(2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． （2）由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 38．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 【答案】(1) (2)，，，其中、、都是正整数，，证明见解析 (3)280 【分析】（1）先由表中勾股数规律，令，，，由勾股数定义列方程求解即可得到答案； （2）由表中数据，分别用代数式表示出，，，再由整式混合运算求证即可得证明； （3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，根据题意可知，最短边为20，另一个直角边为21，然后根据勾股定理求得斜边，即可得到答案． 【详解】（1）解：由表中勾股数的规律可知，令，，， 则由勾股数定义可知， 即， ， 解得或（舍去）； 故答案为：24． （2）解：由题意，，，，其中、、都是正整数，，证明过程如下： ，，， ， ， ， ， ； （3）解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示： 设，即直角三角形中最短边为， 仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为，三角形最短边种株花， ， 由题意可知，最小为， 那么 ， 那么这块绿地最少需要种植株花． 【点睛】本题考查由勾股数涉及的数字规律问题，难度中等偏上，涉及勾股数定义、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键． 39．（2025·江苏镇江·中考真题）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？ 【答案】5尺 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题关键．过点作于点，先证出四边形是矩形，则可得尺，，再设尺，则尺，尺，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：，尺，尺，尺， ∴四边形是矩形， ∴尺，， 设尺，则尺，尺， 在中，由勾股定理得：，即， 解得， 即尺， 答：折断处离地面5尺． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20 等腰三角形及直角三角形 等腰三角形及直角三角形是初中几何的核心内容，是三角形知识的延伸与深化，也是中考数学的高频考点。该专题承接全等三角形、三角形基本性质等知识，同时为后续相似三角形、圆的相关内容奠定基础，在中考中覆盖选择、填空、解答三种题型，占分比重约10%-12%，核心考查学生对特殊三角形性质与判定的应用能力、几何推理能力及分类讨论思想。 考点 ①等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一、轴对称性）； ②等腰三角形的判定（等角对等边、定义法）； ③等边三角形的性质（三边相等、三角均为60°、三线合一）； ④等边三角形的判定（三边相等、三角相等、有一个角为60°的等腰三角形）； ⑤直角三角形的性质（两锐角互余、勾股定理、30°角所对直角边等于斜边的一半）； ⑥直角三角形的判定（勾股定理逆定理、有一个角为90°的三角形）； ⑦直角三角形斜边中线的性质（斜边中线等于斜边的一半）； ⑧特殊三角形的综合应用（动态几何、多结论证明、实际情境建模）。 考情 ①基础题型：侧重特殊三角形的基本性质与判定（如等腰三角形“三线合一”、直角三角形勾股定理直接应用），难度较低； ②进阶层题型：侧重特殊三角形性质的综合应用（如等腰三角形与角平分线、垂直平分线结合，直角三角形斜边中线与勾股定理综合），难度中等； ③拔高层题型：侧重特殊三角形的动态探究、分类讨论（如含不确定顶点的等腰三角形个数、直角三角形存在性问题），难度较高。 一、核心概念与性质 1. 等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形（相等的边为腰，第三边为底，两腰的夹角为顶角，腰与底的夹角为底角）； 性质： 等边对等角：等腰三角形的两个底角相等； 三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合； 轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线； 判定： 定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形； 等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 2. 等边三角形 定义：三条边都相等的三角形（特殊的等腰三角形）； 性质： 三边相等，三角均为60°； 具备等腰三角形的所有性质（三线合一、轴对称性），且有三条对称轴； 判定： 定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形； 三角相等法：三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形； 含60°角的等腰三角形：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。 3. 直角三角形 定义：有一个角为90°的三角形（直角所对的边为斜边，另外两条边为直角边）； 性质： 两锐角互余：直角三角形的两个锐角之和为90°； 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（若直角边为、，斜边为，则）； 30°角性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半； 斜边中线性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半； 判定： 定义法：有一个角为90°的三角形是直角三角形； 勾股定理逆定理：若一个三角形的三边满足，则该三角形为直角三角形； 有两个角互余的三角形是直角三角形。 二、解题提速技巧 1. 等腰三角形： 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高； 等腰三角形腰长为，底边长为，则底边上的高，面积； 等腰三角形顶角为，则底角为；底角为，则顶角为。 2. 等边三角形： 等边三角形边长为，则高，面积； 等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于该三角形的高。 3. 直角三角形： 直角三角形斜边上的高（、为直角边，为斜边）； 若直角三角形的一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角为30°； 等腰直角三角形的斜边长为直角边长的倍（若直角边长为，则斜边长为）。 4. 综合结论： 有一个角为30°的直角三角形，三边之比为； 等腰直角三角形三边之比为； 遇到等腰三角形“三线合一”条件时，优先构造直角三角形，结合勾股定理求解边长。 考点1：等腰三角形的性质 例1．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）等腰三角形的一个外角为，则它的底角是（    ） A． B．或 C．或 D． 考点2：等腰三角形的判定 例2．（25-26八年级上·广东韶关·月考）如图，在△ABC中，已知和的平分线相交于点F．过点F作，交于点，交于点E．若，，则的周长为（　 ） A．8 B．9 C．10 D．13 考点3：等边三角形的性质与判定 例3．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，将△ABC绕点逆时针旋转得到△ADE，与交于点，下列结论：；平分；；其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 考点4：直角三角形的性质 例4．（25-26八年级上·广西贵港·期末）在△ABC中，，，则的度数等于________． 考点5：直角三角形斜边中线的性质 例5．（21-22八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，是斜边的中点，连接，若，，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 考点6：勾股定理及逆定理 例6．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图，在△ABC中，，，边上的中线，求的长．   一、单选题 1．（2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·西藏·中考真题）如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在△ABC中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西·中考真题）如图，在△ABC中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（2025·安徽·中考真题）如图，在△ABC中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 6．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在△ABC中，，点、、分别是边、、的中点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 9．（2025·陕西·中考真题）如图，在△ABC中，点在边上，．若，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 10．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，△ABC中，，，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（   ） A． B．4 C． D．6 11．（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 12．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在中，，将△ABC沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（  ） A．3 B．2 C．1 D． 14．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 15．（2025·江苏南京·中考真题）若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是____________．（写出一个即可） 16．（2025·青海西宁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为________． 17．（2025·江苏宿迁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为___________． 18．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在△ABC中，，点在射线上，，连接，，则_____度． 19．（2025·江苏淮安·中考真题）若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是______． 20．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在△ABC中，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是_________． 21．（2025·四川广安·中考真题）如图，在等腰中，，，D是边上的一个动点，连接，则的最小值为__________． 22．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为_____． 23．（2025·广西·中考真题）如图，点在同侧，，则_________．    24．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形，若，则______cm． 25．（2025·湖南·中考真题）已知，，，是△ABC的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则______； （2）下列结论正确的是______（写出所有正确的结论） ①若，，则△ABC为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的△ABC的个数为7 26．（2025·甘肃·中考真题）如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形．若，则_______． 27．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是______．    28．（2025·江苏南通·中考真题）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为_____________． 29．（2025·山东东营·中考真题）如图，在△ABC中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是_____． 30．（2025·福建·中考真题）某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为_______m． 31．（2025·山东·中考真题）如图，在中，，，．点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是______． 32．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为_______m． 33．（2025·四川内江·中考真题）如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是______． 34．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 三、解答题 35．（2025·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． (1)在图①中，△ABC是面积最大的等腰三角形； (2)在图②中，△ABC是面积最大的直角三角形； (3)在图③中，△ABC是面积最大的等腰直角三角形． 36．（2025·江西·中考真题）图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得，，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得 (1)在推拉门从闭合到推至最大的过程中， ①的最小值为________度，最大值为________度； ②面积的变化情况是（   ） A．越来越大    B．越来越小    C．先增大后减小 (2)当时，求的面积． 37．（2025·福建·中考真题）如图，△ABC是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 38．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 39．（2025·江苏镇江·中考真题）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $