专题03 万有引力（期中知识清单）高一物理下学期粤教版

专题03 万有引力与宇宙航行 【清单01】开普勒定律 一、开普勒定律 定律 内容 图示或公式 开普勒 第一定律 (轨道定律) 所有行星围绕太阳运行的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒 第二定律 (面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积 开普勒 第三定律 (周期定律) 所有行星的轨道半长轴的三次方与它公转周期的二次方之比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量 二、开普勒行星运动规律 1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理。 2．由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，则在近日点的速度最大，在远日点的速度最小。 3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 【清单02】万有引力定律 一、万有引力定律 1．内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的。两个物体间引力的方向在它们的连线上。引力的大小与它们质量的乘积成正比，与它们之间距离的二次方成反比。 2．表达式：F＝G，G是比例系数，称为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。 3．适用条件 (1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 (2)对于均匀的球体，r是两球心间的距离。 4．万有引力定律在天体上的应用 (1)基本特征：把天体运动看成匀速圆周运动，其所需的向心力由天体间的万有引力提供。 (2)表达式：应用万有引力定律分析天体运动的方法：G＝ma＝m＝mrω2＝mr。 二、万有引力定律的理解及应用 1．地球表面的重力与万有引力 地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力。 (1)在两极，向心力等于零，重力等于万有引力； (2)除两极外，物体的重力都比万有引力小； (3)在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力，F向和mg，这两个分力刚好在一条直线上，则有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝－mRω。 2．地球表面上的重力加速度 (1)设在地球表面附近的重力加速度为g(不考虑地球自转)，由mg＝G，得g＝G。 (2)设在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，由mg′＝，得g′＝，所以＝。 3．两点理解 (1)两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力。 (2)地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力。 【清单03】天体质量和密度的估算 1．中心天体质量的估算 (1)利用运行天体：已知运行天体的轨道半径r和运行周期T，利用＝mr得M＝。 (2)利用天体表面的重力加速度g：已知天体的半径R和g，利用＝mg得M＝。 2．天体密度的估算 (1)利用运行天体的轨道半径r和运行周期T，求中心天体质量，若已知天体的半径R，则天体密度ρ＝＝。若卫星在天体表面运行，则认为R≈r，ρ＝。 (2)利用天体表面重力加速度和天体半径R，求天体质量，再求天体密度ρ＝＝。 3．两点区别 (1)天体半径和卫星的轨道半径 通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径。卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径。卫星的轨道半径大于等于天体的半径。 (2)自转周期和公转周期 自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动运行一周所用的时间。自转周期与公转周期一般不相等。 【清单04】宇宙速度 1．第一宇宙速度 (1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9km/s。 (2)第一宇宙速度是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动时的速度。 (3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度。 (4)第一宇宙速度的计算方法 由G＝m得v＝； 由mg＝m得v＝。 2．第二宇宙速度：使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s。 3．第三宇宙速度：使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7km/s。 【清单05】卫星运行规律及特点 1．卫星的轨道 (1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种。 (2)极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星。 (3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道，且轨道平面一定通过地球的球心。 2．地球同步卫星的特点 3．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律 4.同步卫星、近地卫星和赤道上物体 比较内容 赤道上物体 近地卫星 同步卫星 向心力来源 万有引力的分力 万有引力 向心力方向 指向地心 重力与万有引力的关系 重力略小于万有引力 重力等于万有引力 线速度 v1＝ω1R v2＝ω2R＝ v3＝ω3(R＋h)＝ v1<v3<v2(v2为第一宇宙速度) 角速度 ω1＝ω自 ω2＝ ω3＝ω自＝ ω1＝ω3<ω2 向心加 速度 a1＝ωR a2＝ωR＝ a3＝ω(R＋h)= a1<a3<a2 【清单06】卫星的变轨和能量问题 1．变轨原理 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。 (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。 2．两类变轨 两类变轨 离心运动 近心运动 示意图 变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 万有引力与向心力的 大小关系 G<m′ G>m′ 3.椭圆双切轨道 如图所示，椭圆轨道Ⅱ与圆周轨道Ⅰ、Ⅲ相切于A、B点，卫星通过A、B点相继在三个轨道上运行。 (1)速度有v1>v2>v3>v4(v1是在椭圆Ⅱ上经A点时的速度，v2是在圆周Ⅰ上的速度，v3是在圆周Ⅲ上的速度，v4是在椭圆Ⅱ上经B点时的速度) 分析：在椭圆Ⅱ上的切点A处有v1>v2。 圆周Ⅰ和圆周Ⅲ比较有v2>v3。 在椭圆Ⅱ上的切点B处有v3>v4。 (2)沿椭圆Ⅱ由A至B，加速度逐渐变小。 (3)能量特点 轨道 引力做功情况 Ek Ep E机 圆周Ⅰ 不做功 大 小 小 圆周Ⅲ 不做功 小 大 大 椭圆Ⅱ A→B 负 减小 增大 B→A 正 增大 减小 中 (4)瞬时变轨特点 在A点，由圆周Ⅰ变至椭圆Ⅱ时，发动机向后喷气，推力做正功，动能增加、势能不变、机械能增加。 在B点，由椭圆Ⅱ变至圆周Ⅲ时，发动机向后喷气，推力做正功，动能增加、势能不变、机械能增加。反之也有相应的规律。 【考点题型一】开普勒定律 【例1】如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中(　　) A.从P到M所用的时间等于 B.从P到Q所用的时间等于 C.从P到Q阶段，速率逐渐变大 D.从M到N阶段，速率先增大后减小 答案　B 解析　根据开普勒第二定律，海王星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，故海王星在近日点的速率大于在远日点的速率，即从P到Q阶段，速率逐渐减小，从M到Q到N阶段，速率先减小后增大，故C、D错误；根据对称性可知，海王星从P到Q的时间等于，故B正确；根据开普勒第二定律，海王星从P到M过程它与太阳连线扫过的面积小于整个面积的，故从P到M所用的时间小于，故A错误。 【变式1】(多选)如图所示是卫星A、B绕地球运动的轨道示意图，其中卫星A做匀速圆周运动，轨道半径为RA，卫星B沿椭圆轨道运动，椭圆轨道与卫星A的圆轨道相切于P点，椭圆轨道远地点到地心距离为R，已知卫星A绕地球运动周期为T，且卫星绕地球运动与行星绕太阳运动具有相似的规律，则(　　) A.卫星B沿椭圆轨道运动时，在P点时的速度比在Q点时小 B.卫星B的周期比卫星A的周期大 C.卫星B从P第一次到Q的时间为 D.卫星B从P第一次到Q的时间为 答案　BD 解析　由开普勒第二定律可知，卫星B沿椭圆轨道从近地点P运动至远地点Q过程中，速度减小，故在P点时的速度比在Q点时大，A错误；卫星B的半长轴大于卫星A的轨道半径，由开普勒第三定律=k可知，卫星B的周期比卫星A的周期大，B正确；由B的分析可得=，卫星B从P第一次到Q的时间为t=TB，联立解得t=，C错误，D正确。 【考点题型二】万有引力定律 【例2】(多选)(2024·梅州市高一期中)对于万有引力定律的表达式F=G，下列说法正确的是(　　) A.引力常量G的单位为N·m2/ kg2 B.当物体间的距离趋近于0时，物体间的万有引力无穷大 C.两物体对彼此的万有引力总是大小相等 D.只有天体间存在万有引力，人与人间不存在万有引力 答案　AC 解析　根据公式有G=，根据单位运算可知，引力常量G的单位为N·m2/ kg2，故A正确；当物体间的距离趋近于0时，万有引力表达式已经不再适用，不能够认为当物体间的距离趋近于0时，物体间的万有引力无穷大，故B错误；两物体彼此之间的万有引力是一对相互作用力，大小总是相等，故C正确；所有物体间均存在万有引力，故D错误。 【变式2-1】(多选)(2025·湛江市高一检测改编)要使两物体间万有引力减小到原来的，可采用的方法是(　　) A.使两物体的质量各减少一半，距离变为原来的2倍 B.两物体间距离增至原来的2倍，质量不变 C.使两物体质量均减为原来的，距离变为原来的一半 D.使两物体质量及它们之间的距离都减为原来的 答案　BC 解析　使两物体的质量各减少一半，距离变为原来的2倍，根据F=G 可知万有引力减小到原来的，A错误； 两物体间距离增至原来的2倍，质量不变，根据 F=G 可知两物体间的万有引力变为原来的，B正确； 使两物体质量均减为原来的，距离变为原来的一半，根据F=G 可知两物体间的万有引力变为原来的，C正确； 使两物体质量及它们之间的距离都减为原来的，根据F=G 可知，两物体间的万有引力不变，D错误。 【考点题型三】万有引力和重力的关系 【例3】(2024·江门市高一期末)《流浪地球2》影片中，太空电梯高耸入云，在地表与太空间高速穿梭。太空电梯上升到某高度时的重力加速度为g，g为地球表面重力加速度。已知地球半径为R，不考虑地球自转，则此时电梯距离地面的高度为(　　) A.2R B.R C.R D.(-1)R 答案　B 解析　在地面时G=mg，在某高度时G=m·g，解得h=R，故选B。 【变式3-1】(2025·佛山市高一检测)假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，则地球的半径为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　在地球两极G=mg0，在赤道上G-mg=m()2R，联立解得R=，故选A。 【考点题型四】天体质量和密度的计算 【例4】2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是(　　) A.核心舱的质量和绕地半径 B.核心舱的质量和绕地周期 C.核心舱的绕地角速度和绕地周期 D.核心舱的绕地线速度和绕地半径 答案　D 解析　根据万有引力提供核心舱做匀速圆周运动的向心力，有G=m=mω2r=mr，可得M===，则已知核心舱的质量和绕地半径、已知核心舱的质量和绕地周期或已知核心舱的绕地角速度和绕地周期，都不能计算出地球的质量；若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径可计算出地球的质量，故选D。 【变式4-1】2022年11月1日，梦天实验舱成功对接天和核心舱前向端口，标志中国空间站可以根据需要扩展规模。若中国空间站离地面高度为h，地球半径为R，地表重力加速度为g，引力常量为G，轨道可视为圆，忽略地球自转的影响，下列说法正确的是(　　) A.中国空间站不受万有引力作用 B.根据题知条件，不能够求出中国空间站绕地球飞行的周期 C.根据题知条件，可以求出地球的质量为 D.根据题知条件，可以求出中国空间站的线速度的大小为 答案　D 解析　中国空间站绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，故A错误；设地球质量为M，在地球表面，根据G=mg，可得地球的质量M=，故C错误；根据万有引力提供向心力可得G=m'= m'(R+h)，解得中国空间站的线速度大小v=，中国空间站绕地球飞行的周期T=2π，故D正确，B错误。 【考点题型五】宇宙速度 【例5】(多选)(2024·茂名市期中)已知地球的第一宇宙速度为7.9 km/s，第二宇宙速度为11.2 km/s，第三宇宙速度为16.7 km/s。下列叙述正确的是(　　) A.第一宇宙速度是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度 B.第一宇宙速度是成为地球卫星的最小发射速度 C.所有地球卫星环绕地球的运行速度都介于7.9 km/s和11.2 km/s之间 D.土星探测器发射速度要大于第三宇宙速度 答案　AB 解析　第一宇宙速度是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，A正确；第一宇宙速度是成为地球卫星的最小发射速度，B正确；所有地球卫星发射速度都介于7.9 km/s和11.2 km/s之间，C错误；土星探测器发射速度要大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，D错误。 【变式5-1】(多选)(2024·湖南卷)2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是(　　) A.其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度 B.其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度 C.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 D.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 答案　BD 解析　返回舱在该绕月轨道上运动时万有引力提供向心力，且返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径，则有 mg月=得v月= 由于地球第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度， 同理可得v地= 联立解得v月=v地 故A错误，B正确； 根据线速度和周期的关系有 T=·R，=·= 得T月=T地，故C错误，D正确。 【考点题型六】地球同步卫星、近地卫星、赤道上物体的比较 【例6】(2024·广东省实验中学高一期中)如图所示，A是地球的静止轨道卫星，B是地球的近地卫星，C是地面上的物体，A、B、C质量相等，均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动，则(　　) A.A、B、C三者所受地球的万有引力FB>FC>FA B.A、B、C三者的周期TA=TC>TB C.A、B、C三者运行的线速度vA>vB>vC D.A、B、C三者的向心加速度aC>aA>aB 答案　B 解析　万有引力F=G，由于三颗卫星质量相等，近地卫星的轨道半径等于地球的半径，则有FB=FC> FA，故A错误；A是地球的静止轨道卫星，运行周期与物体C的周期相同，由G=mr，可知静止卫星A的周期大于卫星B的周期，即TA=TC>TB，故B正确；根据G=m得v=，可知vB>vA，对地球静止轨道卫星A和地面上的物体C，二者角速度大小相等，由v=ωr可知vA>vC，则vB>vA>vC，故C错误；A和地面上的物体C，二者角速度大小相等，由a=ω2r，可知aC<aA，由G=ma，可知aA<aB，所以A、B、C三者的向心加速度大小关系为aB>aA>aC，故D错误。 【变式6-1】(多选)(2024·惠州市高一期中)有a、b、c、d四颗地球卫星，卫星a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星b在地面附近近地轨道上正常运动，c是地球静止轨道卫星，d是高空探测卫星，地面附近物体所受重力等于地球对物体的万有引力，各卫星排列位置如图所示，则有(　　) A.a的向心加速度小于重力加速度g B.c在4小时内转过的圆心角是30° C.b在相同时间内转过的弧长最长 D.d的运动周期有可能是26小时 答案　ACD 解析　静止轨道卫星的周期与地球自转周期相同，角速度相同，则a与c的角速度相同，根据a=ω2r可知，c的向心加速度大于a的向心加速度，由牛顿第二定律有G=ma，解得a=，可知卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则c的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度为g，则a的向心加速度小于重力加速度g，故A正确；c是地球静止轨道卫星，周期是24 h，则c在4 h内转过的圆心角是θ=×360°=60°，故B错误；由万有引力提供向心力有=m，可得v=，可知vb>vc>vd，由公式v=ωr可知va<vc，则b的线速度最大，在相同时间内转过的弧长最长，故C正确；由开普勒第三定律得=k可知，卫星的半径r越大，周期T越大，则d的运动周期大于c的周期24 h，则有可能是26 h，故D正确。 【考点题型七】卫星的变轨和能量问题 【例7】(多选)(2024·湛江市高一期末)探月工程中，“嫦娥三号”探测器的发射过程可以简化如图，卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经过P点时变轨进入距离月球表面100公里的圆形轨道1，在轨道1上经过Q点时变轨进入椭圆轨道2，轨道2与月球表面相切于M点，月球车在M点着陆月球。下列说法正确的是(　　) A.“嫦娥三号”在轨道1上的速度比月球的第一宇宙速度小 B.“嫦娥三号”在轨道1上经过Q点时的速度大于在轨道2上经过Q点时的速度 C.“嫦娥三号”在轨道1上的运动周期比在轨道2上的小 D.“嫦娥三号”在轨道1上经过Q点时的加速度大于在轨道2上经过Q点时的加速度 答案　AB 解析　月球的第一宇宙速度等于近月轨道的环绕速度，根据G=m，解得v=，由于轨道1的半径大于近月轨道的半径，则“嫦娥三号”在轨道1上的速度比月球的第一宇宙速度小，A正确；轨道2变轨到轨道1是由低轨道变轨到高轨道，需要在两轨道切点Q位置加速，故“嫦娥三号”在轨道1上经过Q点时的速度大于在轨道2上经过Q点时的速度，B正确；根据开普勒第三定律可知=，由于轨道1的半径大于轨道2的半长轴，则“嫦娥三号”在轨道1上的运动周期比在轨道2上的大，C错误；根据G=ma，解得a=G，在Q点，不论是在轨道1还是轨道2，加速度大小相等，即“嫦娥三号”在轨道1上经过Q点时的加速度等于在轨道2上经过Q点时的加速度，D错误。 【变式7-1】(2022·浙江1月选考)“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号(　　) A.发射速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间 B.从P点转移到Q点的时间小于6个月 C.在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 D.在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度 答案　C 解析　因“天问一号”要能脱离地球引力束缚，则发射速度要大于第二宇宙速度小于第三宇宙速度，即发射速度介于11.2 km/s与16.7 km/s之间，故A错误；因从P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期(12个月)，则从P点转移到Q点的时间大于地球公转周期的一半，故应大于6个月，故B错误；环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确；假设“天问一号”在Q点变轨进入火星轨道，则需要加速，又知v火<v地，故“天问一号”在Q点的速度小于地球绕太阳的速度，故D错误。 【考点题型八】双星问题 【例8】(2024·广州市高一期中)宇宙中的“双星系统”是由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，且—般远离其他天体。如图所示，两颗恒星组成的双星系统，在相互的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗恒星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2= 3∶2。则m1、m2做圆周运动的(　　) A.线速度之比为3∶2 B.角速度之比为3∶2 C.向心力之比为2∶3 D.半径之比为2∶3 答案　D 解析　双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，则m1ω2r1=m2ω2r2，所以r1∶r2=m2∶m1=2∶3，根据v=ωr，可知v1∶v2=2∶3，故D正确，A、B、C错误。 【技巧点拨】 1.双星模型 (1)如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”。 (2)特点 ①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同。 ②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。 ③两星的轨道半径之和等于两星中心之间的距离，即r1+r2=L。 (3)处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即=m1ω2r1，G=m2ω2r2。 【变式8-1】(多选)(2024·深圳市高一期中)科学家威廉·赫歇尔首次提出了“双星”这个名词。现有由两颗中子星A、B组成的双星系统(不考虑其他星球的影响)，可抽象为如图所示绕O点做匀速圆周运动的模型。已知A的轨道半径小于B的轨道半径，若A、B的总质量为M，A、B间的距离为L，A、B运动周期为T，则下列说法正确的是(　　) A.A的线速度一定大于B的线速度 B.A的质量一定大于B的质量 C.若L一定，则M越大，T越小 D.若M一定，则L越大，T越小 答案　BC 解析　因为双星的角速度相等，且rA<rB，由v=rω可得vA<vB，故A的线速度一定小于B的线速度，故A错误；由万有引力提供向心力有G=mArAω2，G=mBrBω2，联立可得mArA=mBrB，因为rA<rB，所以mA>mB，即A的质量一定大于B的质量，其中rA+rB=L，mA+mB=M，T=，联立可得T=2π，由此式可知，若L一定，则M越大，T越小；若M一定，则L越大，T越大，故B、C正确，D错误。 学科网（北京）股份有限公1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 万有引力与宇宙航行 【清单01】开普勒定律 一、开普勒定律 定律 内容 图示或公式 开普勒 第一定律 (轨道定律) 所有行星围绕太阳运行的轨道都是______________，太阳处在__________的一个焦点上 开普勒 第二定律 (面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的__________ 开普勒 第三定律 (周期定律) 所有行星的轨道半长轴的__________与它公转周期的____________之比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量 二、开普勒行星运动规律 1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理。 2．由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，则在近日点的速度最大，在远日点的速度最小。 3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 【清单02】万有引力定律 一、万有引力定律 1．内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的。两个物体间引力的方向在它们的连线上。引力的大小与它们质量的乘积成__________________，与它们之间距离的二次方成_____________。 2．表达式：F＝G，G是比例系数，称为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。 3．适用条件 (1)公式适用于________________________间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 (2)对于均匀的球体，r是____________间的距离。 4．万有引力定律在天体上的应用 (1)基本特征：把天体运动看成__________运动，其所需的向心力由天体间的万有引力提供。 (2)表达式：应用万有引力定律分析天体运动的方法：G＝ma＝m＝mrω2＝mr。 二、万有引力定律的理解及应用 1．地球表面的重力与万有引力 地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力。 (1)在两极，向心力等于零，重力等于万有引力； (2)除两极外，物体的重力都比万有引力小； (3)在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力，F向和mg，这两个分力刚好在一条直线上，则有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝－mRω。 2．地球表面上的重力加速度 (1)设在地球表面附近的重力加速度为g(不考虑地球自转)，由mg＝G，得g＝G。 (2)设在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，由mg′＝，得g′＝，所以＝。 3．两点理解 (1)两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力。 (2)地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力。 【清单03】天体质量和密度的估算 1．中心天体质量的估算 (1)利用运行天体：已知运行天体的轨道半径r和运行周期T，利用＝mr得M＝。 (2)利用天体表面的重力加速度g：已知天体的半径R和g，利用＝mg得M＝。 2．天体密度的估算 (1)利用运行天体的轨道半径r和运行周期T，求中心天体质量，若已知天体的半径R，则天体密度ρ＝＝。若卫星在天体表面运行，则认为R≈r，ρ＝。 (2)利用天体表面重力加速度和天体半径R，求天体质量，再求天体密度ρ＝＝。 3．两点区别 (1)天体半径和卫星的轨道半径 通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径。卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径。卫星的轨道半径大于等于天体的半径。 (2)自转周期和公转周期 自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动运行一周所用的时间。自转周期与公转周期一般不相等。 【清单04】宇宙速度 1．第一宇宙速度 (1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为__________________ km/s。 (2)第一宇宙速度是物体在__________附近绕地球做匀速圆周运动时的速度。 (3)第一宇宙速度是人造卫星的最小________速度，也是人造卫星的最大______________速度。 (4)第一宇宙速度的计算方法 由G＝m得v＝____________________； 由mg＝m得v＝__________________________。 2．第二宇宙速度：使物体挣脱____________引力束缚的最小发射速度，其数值为____________ km/s。 3．第三宇宙速度：使物体挣脱____________引力束缚的最小发射速度，其数值为__________ km/s。 【清单05】卫星运行规律及特点 1．卫星的轨道 (1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种。 (2)极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星。 (3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道，且轨道平面一定通过地球的球心。 2．地球同步卫星的特点 3．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律 4.同步卫星、近地卫星和赤道上物体 比较内容 赤道上物体 近地卫星 同步卫星 向心力来源 万有引力的分力 万有引力 向心力方向 指向地心 重力与万有引力的关系 重力略小于万有引力 重力等于万有引力 线速度 v1＝ω1R v2＝ω2R＝ v3＝ω3(R＋h)＝ v1<v3<v2(v2为第一宇宙速度) 角速度 ω1＝ω自 ω2＝ ω3＝ω自＝ ω1＝ω3<ω2 向心加 速度 a1＝ωR a2＝ωR＝ a3＝ω(R＋h)= a1<a3<a2 【清单06】卫星的变轨和能量问题 1．变轨原理 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。 (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。 2．两类变轨 两类变轨 离心运动 近心运动 示意图 变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 万有引力与向心力的 大小关系 G<m′ G>m′ 3.椭圆双切轨道 如图所示，椭圆轨道Ⅱ与圆周轨道Ⅰ、Ⅲ相切于A、B点，卫星通过A、B点相继在三个轨道上运行。 (1)速度有v1>v2>v3>v4(v1是在椭圆Ⅱ上经A点时的速度，v2是在圆周Ⅰ上的速度，v3是在圆周Ⅲ上的速度，v4是在椭圆Ⅱ上经B点时的速度) 分析：在椭圆Ⅱ上的切点A处有v1>v2。 圆周Ⅰ和圆周Ⅲ比较有v2>v3。 在椭圆Ⅱ上的切点B处有v3>v4。 (2)沿椭圆Ⅱ由A至B，加速度逐渐变小。 (3)能量特点 轨道 引力做功情况 Ek Ep E机 圆周Ⅰ 不做功 大 小 小 圆周Ⅲ 不做功 小 大 大 椭圆Ⅱ A→B 负 减小 增大 B→A 正 增大 减小 中 (4)瞬时变轨特点 在A点，由圆周Ⅰ变至椭圆Ⅱ时，发动机向后喷气，推力做正功，动能增加、势能不变、机械能增加。 在B点，由椭圆Ⅱ变至圆周Ⅲ时，发动机向后喷气，推力做正功，动能增加、势能不变、机械能增加。反之也有相应的规律。 【考点题型一】开普勒定律 【例1】如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中(　　) A.从P到M所用的时间等于 B.从P到Q所用的时间等于 C.从P到Q阶段，速率逐渐变大 D.从M到N阶段，速率先增大后减小 【变式1】(多选)如图所示是卫星A、B绕地球运动的轨道示意图，其中卫星A做匀速圆周运动，轨道半径为RA，卫星B沿椭圆轨道运动，椭圆轨道与卫星A的圆轨道相切于P点，椭圆轨道远地点到地心距离为R，已知卫星A绕地球运动周期为T，且卫星绕地球运动与行星绕太阳运动具有相似的规律，则(　　) A.卫星B沿椭圆轨道运动时，在P点时的速度比在Q点时小 B.卫星B的周期比卫星A的周期大 C.卫星B从P第一次到Q的时间为 D.卫星B从P第一次到Q的时间为 【考点题型二】万有引力定律 【例2】(多选)(2024·梅州市高一期中)对于万有引力定律的表达式F=G，下列说法正确的是(　　) A.引力常量G的单位为N·m2/ kg2 B.当物体间的距离趋近于0时，物体间的万有引力无穷大 C.两物体对彼此的万有引力总是大小相等 D.只有天体间存在万有引力，人与人间不存在万有引力 【变式2-1】(多选)(2025·湛江市高一检测改编)要使两物体间万有引力减小到原来的，可采用的方法是(　　) A.使两物体的质量各减少一半，距离变为原来的2倍 B.两物体间距离增至原来的2倍，质量不变 C.使两物体质量均减为原来的，距离变为原来的一半 D.使两物体质量及它们之间的距离都减为原来的 【考点题型三】万有引力和重力的关系 【例3】(2024·江门市高一期末)《流浪地球2》影片中，太空电梯高耸入云，在地表与太空间高速穿梭。太空电梯上升到某高度时的重力加速度为g，g为地球表面重力加速度。已知地球半径为R，不考虑地球自转，则此时电梯距离地面的高度为(　　) A.2R B.R C.R D.(-1)R 【变式3-1】(2025·佛山市高一检测)假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，则地球的半径为(　　) A. B. C. D. 【考点题型四】天体质量和密度的计算 【例4】2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是(　　) A.核心舱的质量和绕地半径 B.核心舱的质量和绕地周期 C.核心舱的绕地角速度和绕地周期 D.核心舱的绕地线速度和绕地半径 【变式4-1】2022年11月1日，梦天实验舱成功对接天和核心舱前向端口，标志中国空间站可以根据需要扩展规模。若中国空间站离地面高度为h，地球半径为R，地表重力加速度为g，引力常量为G，轨道可视为圆，忽略地球自转的影响，下列说法正确的是(　　) A.中国空间站不受万有引力作用 B.根据题知条件，不能够求出中国空间站绕地球飞行的周期 C.根据题知条件，可以求出地球的质量为 D.根据题知条件，可以求出中国空间站的线速度的大小为 【考点题型五】宇宙速度 【例5】(多选)(2024·茂名市期中)已知地球的第一宇宙速度为7.9 km/s，第二宇宙速度为11.2 km/s，第三宇宙速度为16.7 km/s。下列叙述正确的是(　　) A.第一宇宙速度是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度 B.第一宇宙速度是成为地球卫星的最小发射速度 C.所有地球卫星环绕地球的运行速度都介于7.9 km/s和11.2 km/s之间 D.土星探测器发射速度要大于第三宇宙速度 【变式5-1】(多选)(2024·湖南卷)2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是(　　) A.其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度 B.其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度 C.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 D.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 【考点题型六】地球同步卫星、近地卫星、赤道上物体的比较 【例6】(2024·广东省实验中学高一期中)如图所示，A是地球的静止轨道卫星，B是地球的近地卫星，C是地面上的物体，A、B、C质量相等，均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动，则(　　) A.A、B、C三者所受地球的万有引力FB>FC>FA B.A、B、C三者的周期TA=TC>TB C.A、B、C三者运行的线速度vA>vB>vC D.A、B、C三者的向心加速度aC>aA>aB 【变式6-1】(多选)(2024·惠州市高一期中)有a、b、c、d四颗地球卫星，卫星a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星b在地面附近近地轨道上正常运动，c是地球静止轨道卫星，d是高空探测卫星，地面附近物体所受重力等于地球对物体的万有引力，各卫星排列位置如图所示，则有(　　) A.a的向心加速度小于重力加速度g B.c在4小时内转过的圆心角是30° C.b在相同时间内转过的弧长最长 D.d的运动周期有可能是26小时 【考点题型七】卫星的变轨和能量问题 【例7】(多选)(2024·湛江市高一期末)探月工程中，“嫦娥三号”探测器的发射过程可以简化如图，卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经过P点时变轨进入距离月球表面100公里的圆形轨道1，在轨道1上经过Q点时变轨进入椭圆轨道2，轨道2与月球表面相切于M点，月球车在M点着陆月球。下列说法正确的是(　　) A.“嫦娥三号”在轨道1上的速度比月球的第一宇宙速度小 B.“嫦娥三号”在轨道1上经过Q点时的速度大于在轨道2上经过Q点时的速度 C.“嫦娥三号”在轨道1上的运动周期比在轨道2上的小 D.“嫦娥三号”在轨道1上经过Q点时的加速度大于在轨道2上经过Q点时的加速度 【变式7-1】(2022·浙江1月选考)“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号(　　) A.发射速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间 B.从P点转移到Q点的时间小于6个月 C.在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 D.在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度 【考点题型八】双星问题 【例8】(2024·广州市高一期中)宇宙中的“双星系统”是由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，且—般远离其他天体。如图所示，两颗恒星组成的双星系统，在相互的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗恒星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2= 3∶2。则m1、m2做圆周运动的(　　) A.线速度之比为3∶2 B.角速度之比为3∶2 C.向心力之比为2∶3 D.半径之比为2∶3 【技巧点拨】 1.双星模型 (1)如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”。 (2)特点 ①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同。 ②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。 ③两星的轨道半径之和等于两星中心之间的距离，即r1+r2=L。 (3)处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即=m1ω2r1，G=m2ω2r2。 【变式8-1】(多选)(2024·深圳市高一期中)科学家威廉·赫歇尔首次提出了“双星”这个名词。现有由两颗中子星A、B组成的双星系统(不考虑其他星球的影响)，可抽象为如图所示绕O点做匀速圆周运动的模型。已知A的轨道半径小于B的轨道半径，若A、B的总质量为M，A、B间的距离为L，A、B运动周期为T，则下列说法正确的是(　　) A.A的线速度一定大于B的线速度 B.A的质量一定大于B的质量 C.若L一定，则M越大，T越小 D.若M一定，则L越大，T越小 学科网（北京）股份有限公1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $