第31期 正方形-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（湘教版·新教材）

八年级数学湘教第31~34期 数理树 答案详解 2025~2026学年 八年级数学湘教第31~34期(2026年2月) 31期2版 所以∠ACD=45°， 1.7.1正方形的性质 所以∠CEG=90°-∠GCE=45. 1.C:2.C:3.115. 所以EG=CG 4.证明：因为四边形ABCD是正方形， 根据勾股定理，得CE=√EG+CG=2-√2. 所以AB=AD=BC=CD. 6.解：连接BF,图略 ∠B=∠D=90. 根据题意，得∠EAF-90°， 因为AE=AF, ∠AFE=∠AEF=45°，AF=AE=4. 所以AB-AE=AD-AF, 根据勾股定理，得EFP=AF2+AE2=32. 即BE=DF 因为四边形ABCD是正方形 BE DF. 所以AB=AD,∠DAB=90°， 在△BCE和△DCF中，{∠B=∠D, 所以∠EAF-∠DAF=∠DAB-∠DAF, BC DC, 即∠EAD=∠FAB. 所以△BCE≌△DCF(SAS), AD AB, 所以CE=CF 在△ADE和△ABF中 ∠EAD=∠FAB, 因为点M是EF的中点， LAE AF, 所以CM⊥EF: 所以△ADE≌△ABF(SAS), 5.解：(1)因为四边形ABCD是边长为1的正方形， 所以DE=BF=2,∠AED=∠AFB=45°， 所以AD=CD=1,∠D=90°，AD∥BC, 所以∠BFE=∠AFB+∠AFE=90° 所以∠DAE=∠F 根据勾股定理，得BE=√EF+BF=6. 因为AE平分∠CAD, 1.7.2正方形的判定 所以∠CAE=∠DAE, 1.A:2.D:3.不-定 所以∠CAE=∠F. 4.证明：因为四边形ABCD是矩形，OA=1, 根据勾股定理，得CF=AC=√AD2+CD=2. 所以OB=1. (2)过点E作EG⊥AC于点G,图略， 因为AB=√2 所以∠EGA=∠EGC=90°. 所以0A2+0B2=AB, 因为AE平分∠CAD, 所以∠A0B=90°， 所以ED=EG. 所以AC⊥BD, AE AE, 在Rt△ADE和Rt△AGE中， 所以四边形ABCD是正方形. LED EG, 5.证明：因为四边形ABCD是矩形， 所以Rt△ADE≌Rt△AGE(HL), 所以∠ABC=90°. 所以AD=AG=1, 因为BE⊥EF,所以∠BEF=90°. 所以CG=AC-AG=2-1. 因为∠ABE+∠CEF=45°， 因为四边形ABCD是正方形， 所以∠CEB+∠CBE=∠BEF-∠CEF+∠ABC-∠ABE 八年级数学湘教 第31~34期 =180°-（∠CEF+∠ABE) 所以S隅影=(a-m)2+m(a-m）+a(a-m） =135°， 2a(a-m)4SABer. 所以∠BCE=180°-（∠CEB+∠CBE)=45°， 所以若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出△BEF 所以∠BAC=90°-∠BCE=45°， 的面积. 所以AB=BC, 二填空题 所以四边形ABCD是正方形. 11.135°；12.√6；13.AC=BD(答案不唯一)； 6.证明：(1)因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AD∥BC,AD=BC. 14:158: 因为AC∥DE, 16.AC=BD且AC⊥BD. 所以四边形ACED是平行四边形， 提示： 所以AD=CE, 16.解：因为E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点， 所以BC=CE. 所以在△ADC中，HG为△ADC的中位线， (2)因为四边形ACED是平行四边形， 所以AG∥AC且HG=AC 所以CD=2CF. 因为AD=2CF, 同理EF∥AC且EF=2AC,EH=BD,EH∥BD, 所以AD=CD, 则HG∥EF且HG=EF, 所以四边形ABCD是菱形. 所以四边形EFGH为平行四边形. 因为AD∥EC, 又因为AC=BD,所以EF=EH, 所以∠DAF=∠FEB. 所以四边形EFGH为菱形. 因为∠DAF=∠FBE, 因为AC⊥BD,EF∥AC,EH∥BD 所以∠FBE=∠FEB, 所以EF⊥EH,所以∠FEH=90°， 所以FB=FE. 所以菱形EFGH是正方形. 因为BC=CE, 三、解答题 所以FC⊥BE, 17.解：因为四边形ABCD是正方形， 所以∠BCF=90°， 所以∠ABD=∠ADB=45. 所以四边形ABCD是正方形. 因为BE=BD, 31期3,4版 一、选择题 所以∠BDE=∠E=(180-∠BBD)=61.5, 所以∠EDA=∠BDE-∠ADB=22.5. 题号 1 2345678910 答案B BBDBBADDC 18.证明：因为∠ACB=90°，DE⊥BC,DF⊥AC, 所以四边形CFDE是矩形. 提示： 又因为CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC, 10.解：由题易知四边形EFGH是矩形，因为矩形纸片和正 所以DE=DF,所以四边形CFDE是正方形. 方形纸片的周长相等，所以FG=GH,所以矩形EFGH是正方 19.证明：因为四边形ABCD是正方形， 形 所以AD=BC=CD,∠C=∠D=90, 如图1，设正方形的边长为 m 因为BP=3PC,所以可设PC=x,BP=3x, a,小矩形的宽为m. 则AD=BC=CD=4x. 则S正方形Pc=(a-m)2 因为Q是CD的中点，所以CQ=DQ=2x, 1 SAAM SAecr 2m(a -m), 所以AQ=√AD2+DQ=25x, 1 SAwEr =Ssncn 2a(a-m). PQ=√PC2+CQ2=√5x, 所以AQ=2PQ 八年级数学湘教 第31~34期 20.证明：因为四边形ABCD是矩形， 所以DF的长是25. 所以∠B=∠DAB=∠BAF+∠DAF=90°. 23.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形， 因为AF⊥DE,所以∠AGD=90°， 所以∠DAE=∠BCF=45°，AD=BC. 所以∠ADE+∠DAF=90°、 AD CB. 所以∠BAF=∠ADE. 在△ADE和△CBF中 ∠DAE=∠BCF, ,∠B=∠EAD, AE CF, 在△ABF和△DAE中 ∠BAF=∠ADE, 所以△ADE≌△CBF(SAS) AF DE. (2)解：因为四边形ABCD是正方形， 所以△ABF≌△DAE(AAS), 所以∠BAD=90°，AC⊥BD,OA=OB=OC=OD. 所以AB=DA. 因为AB=AD=4, 所以矩形ABCD是正方形. 所以BD=AB+AD2=42=AC, 21.(1)证明：因为BD平分∠ABC, 所以0A=0B=22. 所以∠ABD=∠CBD. 因为AE=CF=√2， AB CB. 在△ABD和△CBD中， ∠ABD=∠CBD, 所以OE=OA-AE=OC-CF=OF=2, BD BD, 所以四边形BEDF为菱形，DE=√OD+OE=√O. 所以△ABD≌△CBD(SAS), 所以四边形BEDF的周长为：4DE=4√10. 所以∠ADB=∠CDB. 24.(1)证明：因为DE⊥BC,所以∠DFB=90. (2)解：因为PM∥CD,PN∥AD, 因为∠ACB=90°，所以∠ACB=∠DFB, 所以四边形MPND是平行四边形，∠MPD=∠NDP, 所以AC∥DE. 所以∠MPD=∠MDP, 因为MN∥AB,即CE∥AD 所以PM=DM,所以四边形MPND是菱形. 所以四边形ADEC是平行四边形，所以CE=AD, 所以当MN=PD时，四边形MPWD是正方形. (2)解：四边形CDBE是菱形.理由如下： 22.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形， 因为D为AB中点，∠ACB=90°， 所以AB=BC,∠B=90°. 所以AD=BD=CD. 因为FH⊥BH,所以∠H=90°=∠B.因为∠AEF=90°， 因为CE=AD,所以BD=CE. 所以∠AEB=90°-∠FEH=∠EFH. 又因为BD∥CE, r∠B=∠H, 所以四边形CDBE是平行四边形 在△ABE和△EHF中， ∠AEB=∠EFH, 因为CD=BD,所以四边形CDBE是菱形 AE =EF (3)解：当AC=BC时，因为∠ACB=90°，D为AB的中点， 所以△ABE≌△EHF(AAS), 所以CD⊥AB,所以∠CDB=90°， 所以AB=EH,所以BC=EH, 所以菱形CDBE是正方形. 所以BC-EC=EH-EC,即BE=CH. 故答案为AC=BC. (2)解：延长HF,AD交于点G,如图2. 32期 由(I)知△ABE≌△EHF,BE=CH 一、选择题 所以FH=BE=CH=2. 题号12345678910 B E 因为∠DCH=∠H=∠GDC=90°， 图2 答案ACDD C A B D AA 所以四边形DCHG是矩形 提示： 所以GH=CD=AB=6,DG=CH=2, 10.解：连接BF,交AE于点O,图略. 所以FG=GH-FH=6-2=4. 因为将△ABE沿AE折叠得到△AFE, 在Rt△DGF中，DF=√DG+FG=22+4=25, 所以EB=EF,AB=AF,∠AEB=∠AEF 八年级数学湘教 第31~34期 所以AE垂直平分BF, 19.解：(1)设多边形的边数为n, 所以∠BOE=90°，B0=F0. 则(n-2)·180°=1520°，解得n=104 91 因为点E为BC的中点，AB=4,BC=6, 所以BE=CE=EF=3, 因为n为正整数， 所以∠EFC=∠ECF 所以多边形的内角和不可能为1520° 因为∠AEB+∠AEF=∠BEF=∠ECF+∠EFC, (2)因为n=号=104， 所以∠AEB=∠ECF, 依题意，该多边形的边数为10， 所以AE∥CF, 所以(10-2)×180°=8×180°=1440°， 所以∠BFC=∠BOE=90. 故该多边形的内角和为1440°. 在Rt△ABE中，AE=√AB+BE=√42+32=5， 20.证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 因为Sm=4B,B0=号4B,BE, 所以AB=CD,BC=AD,∠ABC=∠ADC. 因为△BCE和△CDF都是等边三角形， 所以B0=AB:BE=4X3=2 AE 5 5 所以CD=DF,BC=BE,∠EBC=∠CDF=60° 所以BF=2B0=24 所以AB=DF,BE=AD, ∠ABC+∠EBC=∠ADC+∠CDF, 在R△BCF中，CF=√BC-BF=√6-(= 即∠ABE=∠FDA. 所以△ABE≌△FDA(SAS),所以AE=AF 二填空题 21.(1)证明：因为四边形ABCD是菱形， 11.72°；12.∠ABC=90(答案不唯一)；13.100°： 所以AB=AD,所以∠ABD=∠ADB. 14.2；15.24;16.3. 因为AE=AB,所以AE=AD,所以∠E=∠ADE 提示： 所以2∠ADB+2∠ADE=180°， 16.解：设AC与DE交于点0， 所以∠ADB+∠ADE=90°，即∠BDE=90°， 因为四边形ADCE是平行四边形， 所以△BDE为直角三角形， 所以OD=OE,0A=0C. (2)解：因为四边形ABCD是菱形， 当OD取最小值时，线段DE最短，此时OD⊥BC. 所以OA=OC,OB=OD. 因为在Rt△ABC中，∠B=90°， 因为AE=AB, 所以BC⊥AB,所以OD∥AB. 又因为点O是AC的中点，所以OD是△ABC的中位线， 所以0c=0A=20E=3×6=3(cm). 所以0D=分4B=子，所以DE=20D=3. 22.(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AD=BC,AD∥BC. 三、解答题 因为BE=DF, 17.证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以AD-DF=BC-BE,即AF=EC, 所以AB∥CD,AC⊥BD. 所以四边形AECF是平行四边形 因为DE⊥BD,所以DE∥AC 又因为AC=EF,所以四边形AECF是矩形. 所以四边形ACDE是平行四边形. (2)解：因为四边形AECF是矩形， 18.证明：因为△AGB与△CGD关于点G中心对称， 所以∠AEC=∠AEB=90°. 所以BG=DG,AG=CG 因为AF=CE,所以AF-AG=CE-CG, 因为AE=BE,AB=2, 所以FG=EG. 所以AE=BE=2,所以CE=2BE=2√2， 又因为∠DGE=∠BGF, 所以AC=AE+CE=√2+8=I0 所以△DGE≌△BGF(SAS), 23.(1)证明：因为点D,E运动的时间是t秒(t>0), 所以BF=DE. 所以CD=2t,AE=t. 八年级数学湘教 第31~34期 因为在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°， (3)317. 所以DF=子CD=1,所以AE=DR 如图2，过点D作DH⊥AE于点H. 因为∠B=90°，所以AB⊥BC. 因为四边形BEFE'是正方形， 又因为DF⊥BC,所以AE∥DF, 所以BE=E'F=BE=9. 所以四边形AEFD是平行四边形. 因为CF=3, (2)解：四边形AEFD能够成为菱形.理由如下： 所以AE=CE'=CF+E'F=3+9=12. 因为在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=53,∠C=30°， 由(2)可知，BE=AH=9,DH=AE=CE'=12, 所以B=之4C,所以BC=3AB, 所以HE=3, 所以DE=√D㎡+HE=√122+32=3√17. 所以AB=3BC=5,所以AC=2AB=10 33期2版 所以AD=AC-DC=10-2t, 2.1平面直角坐标系 由(1)知四边形AEFD为平行四边形， 1.D:2.D:3.D:4.C: 所以要使口AEFD为菱形，则需AE=AD, 5.(5,150):6.(-3,-2). 即t=10-2,解得1=10 7.解：(1)以正东为x轴正方向，正北为y轴正方向建立平 3 面直角坐标系，图略。 所以当：=9时，四边形A6PD为菱形 德斋(-25,100)，马约翰体育馆(-75，-75). 24.解：(1)四边形BEFE是正方形.理由如下： (2)图略 由题意知∠AEB=∠CE'B=90°，BE=BE', 8.解：(1)因为点P在x轴上， ∠EBE'=90°， 所以m-1=0,解得m=1, 所以∠BEF=90°，所以四边形BEFE'是矩形. 所以2m+4=6,所以P(6,0). 因为BE=BE',所以四边形BEFE'是正方形 (2)根据题意，得12m+41=1m-11. (2)CF=E'F.证明如下： ①当2m+4=m-1时，解得m=-5, 如图1，过点D作DH⊥AE于点H, 此时2m+4=-6,m-1=-6, 因为DA=DE,DH⊥AE, 即P(-6,-6); 所以Ah=46,∠A0h+∠DiH=90e ②当2m+4+m-1=0时，解得m=-1, 因为四边形ABCD是正方形， 此时2m+4=2,m-1=-2, 所以AD=AB,∠DAB=90°， 即P(2,-2). 所以∠DAH+∠BAE=90°，所以∠ADH=∠BAE, 综上所述，当点P到两坐标轴的距离相等时，点P的坐标 又因为AD=AB,∠AHD=∠BEA=90°， 为(-6，-6)或(2，-2) 所以△ADH≌△BAE(AAS), 2.2简单图形的坐标表示 所以4M=8B-4E, 1.C;2.C;3.(11,8). 4.答案不唯一，略 由旋转的性质知AE=CE. 5.解：(1)图略.所描出的图形像五角星。 因为四边形BE'FE是正方形， (2)位于y轴上的顶点是A(0,4),F(0,-2),它们的横坐 所以BE=EK,所以EF=CE, 标都为0. 所以CF=E'F 2.3轴对称和平移的坐标表示 D 1.B;2.B;3.0;4.(3,4) 5.解：(1)图略。 E (2)点A'的坐标为(4,0)， 点B的坐标为(-1，-4)， 图1 图2 点C”的坐标为(-3，-1) 八年级数学湘教第31~34期 6.解：点M(m+3,2m-1)向上平移4个单位得到点N的 由平移可知，点B在第二象限， 坐标为(m+3,2m+3). 所以点B的横坐标为负数，纵坐标为正数。 (1)因为点N的纵坐标比横坐标大3， 因为点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离， 所以2m+3-(m+3)=3, 所以x+1>-(5-2x),解得x<6, 解得m=3, 所以3<x<6. 所以m+3=6,2m-1=5, 三、解答题 即点M的坐标为(6,5). 17.解：A(-3,1),B(0.1),C(1,-1),D(-2,0),E(2,0), (2)因为点M到x轴的距离为2，且在第四象限， F(-1,-2). 所以2m-1=-2, 18.解：(1)因为点A的坐标为(a-3,2a+1), 解得m=-2: 1 点A在y轴上， 所以a-3=0,解得a=3, 所以m+3= 昌2m+3=2, 所以2a+1=6+1=7, 即点N的坐标为(3,2 所以点A的坐标为(0,7). (2)因为点A在x轴上方且到x轴的距离为5， 33期3,4版 所以2a+1=5,解得a=2, 一、选择题 所以a-3=-1, 题号 1 2345678910 所以点A的坐标为(-1,5). 答案BC C A CAB D BA 19.解：(1)因为A(3,-2),B(3,-6)是对称的两个点， 提示： 所以A,B两点关于过(3，-4)且平行于x轴的直线对称， 10.解：由题意，结合A(1,2),B(-1,2),D(-3,4),G(3, 所以C(-2,1)关于该直线的对称点为(-2，-9). 4),得C(-1,4),E(-3,0),F(3,0),H(1,4), (2)因为A(3,-2),B(3,-6),所以AB=4. 所以图形“凹”的边长为 因为C(-2,1),所以Sc=) 2 ×4×5=10. AB +2BC+2CD +2DE EF 20.解：(1)建立的平面直角坐标系如图1所示. =2+2×2+2×2+2×4+6 北 =24, 4 衣同学家3 个东 所以图形“凹”一圈长24个单位. B同学家 因为2025=24×84+9，即绕了84圈后又按A→B→C 5-4-3-2-10128456x →D→E绕，从而确定细线另一端点在线段DE上，距点E1个 单位， 图1 所以细线另一端所在位置的坐标为(-3,1). (2)B同学家的坐标是(5,3)，C同学家的位置如图1所示 二、填空题 21.解：(1)如图2所示，四边形A'BC'D'即为所求. 11.(2,2)；12.2;13.-5;14.北偏东39°，19海里； 15.(0,5):16.3<x<6. 提示： 16.解：因为点A(6-2x,x-3)在x轴的上方， 所以x-3>0,所以x>3. 将点A向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到点B, 则点B的坐标为(6-2x-1,x-3+4), 图2 即(5-2x,x+1). (2)B'(6,-3),C(4,-5),D'(2,3). 因为x>3,所以6-2x<0, 22.解：(1)(0,2)：(4,2). 所以点A在第二象限. (2)存在.假设点P(0,b), 6 八年级数学湘教 第31~34期 因为△PAB的面积等于四边形ABDC的面积， 提示： 所以2×(3+1)61=(3+1)×2， 10.解：因为点A1的坐标为(2,4)， 所以A2(-3,3),A(-2,-2),A4(3,-1),A(2,4),… 解得b=±4， 依此类推，每4个点为一个循环组依次循环 所以点P的坐标为(0,4)或(0，-4). 因为2025÷4=506…1， 23.解：(1)点P(-1,6)的“3属派生点”p'的坐标为 所以点A2m5的坐标与点A,的坐标相同，为(2,4). (-1+3×6,3×(-1)+6),即(17,3) 二、填空题 (2)设点P的坐标为(x,y), 由题意知厂+3y=6 11.4;12.(3,5)；13.(3,-3);14.(-1,3)； 解得0， l3x+y=2,ly=2, 15.m=1或3<m≤4：16.(5-1,2)或(-5-1,2). 提示： 所以点P的坐标为(0,2) (3)设点P(a,b) 16.解：因为点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,2)， 因为点P在x轴的正半轴上， 所以AB=42+22=25, 所以b=0,a>0, BC=4,AC=A0-0C=2. 所以点P的坐标为(a,0),点P'的坐标为(a,ha), 由题意可知，点D在∠CAB的平分线 H D'CD B 所以线段PP'的长度为点P'到x轴的距离，为|haI. 或∠CAB的邻补角的平分线上. 因为点P在x轴的正半轴上， 当点D在∠CAB的平分线上时， 0 图1 所以线段OP的长度为a, 作DH上AB于点H. 所以|ka1=2a,即|k|=2, 因为DC⊥AC,DH⊥AB,AD平分∠BAC, 所以k=±2. 所以DC=DH. 24.解：(1)因为(a-2)2+√b-3=0, 设DC=DH=m, 所以a=2,b=3. 则24C,c=4C.C+24B,m, 因为1c-4|≤0，所以c=4. 所以2×4=2m+25m,解得m=N5-1, 因为点A的坐标为(0,2)，所以OA=2. 因为点P(m,I)在第二象限， 所以D(5-1,2) 所以点P到线段AO的距离为mI, 当点D'在∠CAB的邻补角的平分线上时， 所以Sam=分×2Xml=lm. 同法可得CD'=5+1, 所以D'(-√5-1,2) 因为m<0,所以SAp=-m. 综上，点D的坐标为（√5-1,2）或(-5-1,2). (2)存在。 由(1)得，B(3,0),C(3,4), 三、解答题 所以BC=4,点A到BC的距离为3， 17.解：所描各点如图2所示，图案像“鱼”. 1 所以Sac=2×3×4=6, 因为△AOP的面积与△ABC的面积相等， 所以-m=6,解得m=-6, 所以存在点P(-6,1),使△AOP的面积与△ABC的面积 相等。 图2 34期 18.解：(1)高中楼，画图略。 一、选择题 (2)图书馆的坐标是(4,1)；校门在第四象限； 题号 2 3 4 5 67 8 910 分布在第二象限的是初中楼， 答案 BD BD 19.解：(1)画图略.△A,B2C2与△ABC关于原点对称. 八年级数学湘教 第31~34期 (2)Sa9=3x3-7×1x3-7x1x2-7x2x3 所以72-1×3=2×分×4x3, 7 二2 解得x=10或x=-6, 所以点P的坐标为(10,0)或(-6,0) 20.解：(1)由题可得2+a-(-3a-4)=8,解得a=2, 23.解：(1)B2,B3 (2)①当点B在x轴上时，设B(t,0), 所以-3a-4=-2+0=, 由题意得t-5=0-(-3),解得t=8, 即P() 所以B(8,0); ②当点B在y轴上时，设B(0,s), (2)由题意可得3a+4=2+a,解得a=-1, 由题意得0-5=s-(-3),解得s=-8, 所以-3a-4=-1,2+a=1, 所以B(0,-8). 即P(-1,1). 综上，点B的坐标为(8,0)或(0，-8) 21.解：(1)因为点C为OP的中点，OP=4cm, (3)由题意得23+3=-n-2m, 所以0C=20p=号×4=2(cm). 所以2m+n=-33. 因为OA=2cm, 因为m,n互为相反数，所以m+n=0, 所以与小明家距离相同的是学校和公园。 所以m=-33,n=33, (2)学校：北偏东45°，商场：北偏西30°，公园：南偏东60°， 所以点B的坐标为(23，-33). 停车场：南偏东60°. 24.解：(1)A(-6,3),B(-6,-3),C(6,-3). 公园和停车场的方位相同。 (2)由题意得点E的坐标为(0,3). (3)因为0A=2cm,且学校距离小明家400m, 设点M的坐标为(0，a), 即地图中1cm表示实际距离400÷2=200(m), 根据题意，得号×1a-31×6=石×12×6， 所以商场距离小明家2.5×200=500(m), 解得a=-1或a=7, 停车场距离小明家4×200=800(m). 所以点M的坐标为(0，-1)或(0,7) 22.解：(1)因为点A(-2,0),点A与点B关于y轴对称， (3)①(6-2，-3)，(-6，t-3). 所以点B的坐标为(2,0)， ②四边形PBQD的面积不发生变化.理由如下： 因为将点A,B同时向下平移3个单位，再向左平移2个单 四边形PBQD的面积为： 位，分别得到A,B的对应点D,C, 所以点D,C的坐标分别为(-4，-3)，(0，-3)， 12×6-2(6-)×12-7×21×6=36, 四边形ABCD如图3所示. 所以四边形PBQD的面积不发生变化， y 5 4 4-32-1012345 -1- 2 36 图3 (2)A 由平移可得AB=CD,AB∥CD, 所以四边形ABCD是平行四边形. (3)设P(x,0),因为△PBC的面积是△ADC面积的2倍，张四第器炉一烨盖·腾丹苦 本版责任编辑：张朝卿 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 PN /AD CD N. 报纸发行质量反馈电话 0351-5271248 (Z)华华航MHMN际PD湖定斜共H林·国汉洪PND福正 【)素止：ZlDB-(1 30期2版参考答案 AM货/路t：共-LDg克P.CAZ L L .正DB银电浙.CBBA.汉国A.8L图加)201(2 21 .阳：渡GRT9载EP厨PA.EP-PME.H E E 20.(8,)机图7。c账 1.6.1菱形的性质 1.D; 2.C:3.20: 4.70°. 5.证明略 6.(1)证明略 (2)3cm. 21) cm (2)证明， 1.6.2菱形的判定 1.B 2.D; 3.AB=AC(答案不唯 罗 4.(1)证明略 (2)金AB:.4E:/2.a武汉花BEbP8羽K (1):ADECBF; (2)BF=5. 23.(12)社图20。正上方浙内CV海银AC.市格汤计 (2)香业B-6.8E.2.kD可8来： 长)琴i正：BEc: A:Mb接话::EA--PEZ Li Li 30期3,4版参考答案 -、1.A;2.C:3.B: 4.C; 5.B:6.A: 7.C;8.A;9.C; 10.D 二、11.60°；12.AB= AD(答案不唯一)： 13.24;14.76°： 15.205:16.16 三、17.证明略. 18.证明略. CpBB请上行称： 田… 19.证明略. 20.证明略 (3)E(e)纳保件K·.华AC店8c指区 )ki具：CED 滤. 21.(1)证明略。 4有时C括d.200-BOMZ。店中。12魅址)21(.2 24 (2)四边形ODFC为矩 形 21=号 23.(1)证明略 (2)S菱形c=25. 24.(1)证明略 (2)①证明略。 ②S60BE= 张匹前一需灼书≥烨盖·腾丹当 数评橘 2026年2月4日·星期三 初中数学 第31期总第1175期 (湘教八年级) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 品味方法 所以EM=EN, 所以CE+CG=CE+AE=AC 判定正方形 ∠MEN=360°-∠EMF-∠ENC-∠BCD =√AD2+CD2=8. =90° 招式二、菱形+对角线相等=正方形 因为四边形DEFG是矩形， 两招式 例2如图2，在 所以∠DEF=90°， 菱形ABCD中，对角线 ⊙重庆熊知龙 所以∠MEN-∠FEN=∠DEF-∠FEN, AC,BD相交于点O,点 正方形既是矩形，又是菱形.判定一个四边 即∠MEF=∠DEN. E,F在对角线BD上， 形为正方形，通常有两种途径：先证明它是矩 在△DEN和△FEM中， 且BE=DF,OE=OA. 图2 形，再证明它是菱形；先证明它是菱形，再证明 ,∠END=∠EMF, 求证：四边形AECF是正方形. 它是矩形.现举例说明两种证明思路. EN EM, 证明：因为四边形ABCD是菱形， 招式一、矩形+一组邻边相等=正方形 L∠DEN=∠FEM, 所以AC⊥BD,OA=OC,OB=OD. 例1如图1，已知四 所以△DEN≌△FEM(ASA), 因为BE=DF, 边形ABCD是正方形，AB 所以ED=EF, 所以OB-BE=OD-DF, =42,点E为对角线AC 所以矩形DEFG是正方形. 即0E=OF, 上一动点，连接DE,过点 (2)因为四边形ABCD和四边形DEFG都 所以四边形AECF是菱形. E作EF⊥DE,交射线BC B M 是正方形， 因为OE=OA, 图1 于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接 所以AD=CD=AB=42, 所以EF=20E=20A=AC, CG. DE=DG,∠ADC=∠EDG=90°， 所以菱形AECF是正方形. (1)求证：矩形DEFG是正方形； 所以∠ADC-∠EDC=∠EDG-∠EDC 总结：证明一个四边形是正方形，当已知条 (2)求证：CE+CG=8. 即∠ADE=∠CDG 件涉及到垂直时，通常先证明它是矩形，再证明 证明：(1)过点E分别作EM⊥BC于点M, AD CD. 矩形的邻边相等或对角线垂直；当已知条件中 EN⊥CD于点N,如图1. 在△ADE和△CDG中 ∠ADE=∠CDG, 涉及到边相等时，通常先证明它是菱形，再证明 所以∠EMF=∠END=∠ENC=90°. DE DG. 菱形的对角线相等或有一个内角是直角.这是 因为点E是正方形ABCD对角线上的点， 所以△ADE≌△CDG(SAS), 证明一个四边形是正方形的四种思路，在具体 所以∠ACB=∠ACD,∠BCD=90 所以AE=CG, 的证明中，应根据题目的已知条件灵活选择. 十十 十 专题辅导8 例2如图2为某城市 BA AD+DE +EF 轴对称的性质 部分街道示意图，四边形 BA+AD+GE +AG ABCD为正方形，点G在对角 =3100+1500=4600(m). 来支招 线BD上，GE⊥CD,GF⊥ 故选B. BC,AD=1500m,小敏行走 二、运用轴对称的性质解题 ⊙湖南肖庭 的路线为B→A→G→E,小 图2 例3如图3，在正方形 在解决有关正方形的问题中，常常结合轴 聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行ABCD中，AB=5,点E是BC边 对称的性质来解题，下面列举几例加以说明，供 走的路程为3100m,则小聪行走的路程为 上一动点（点E不与B,C重E 同学们参考. )合)，连接AE,作点B关于直线 一、运用正方形关于对角线对称解题 A.3100m B.4600m AE的对称点F,则线段CF的 图3 例1如图1，F是正方形 C.3000m D.3600m 最小值为 ABCD对角线BD上一点，连接 解：连接GC,如图2. B.52-5 AF,CF,并延长CF交AD于点 因为四边形ABCD为正方形， E.若∠AFC=140°，则∠DEC 所以∠BCD=90°，∠EDG=45 C.5② ( ）B 2 n 的度数为 图1 因为GE⊥DC, A.80° B.75° 解：连接AC,AF,如图3 所以∠GED=∠GEC=90° C.709 D.659 所以∠DGE=90°-∠EDG=45°， 因为四边形ABCD为正方形，AB=5 解：因为四边形ABCD是正方形， 所以BC=5,∠ABC=90° 所以DE=GE: 根据勾股定理，得 所以∠ADF=2∠ADC=450 因为正方形ABCD关于对角线BD对称， 所以AG=CG. AC=√/AB2+BC2=52 因为正方形ABCD关于对角线BD对称， 因为GF⊥BC,所以∠GFC=90°， 因为点B,F关于直线AE对称， 所以∠BC=;LAFC=70 所以四边形GECF是矩形， 所以AF=AB=5. 由对顶角相等，得∠DFE=∠BFC=70° 所以EF=CG, 当点F在AC上时，CF最小， 所以∠DEC=180°-∠DFE-∠EDF 所以EF=AG. 所以线段CF的最小值为： =65°. 因为小敏共走了3100m, AC AF =52-5. 故选D. 所以小聪行走的路程为： 故选B. 2 素养专练 人 数理极 1.7.1正方形的性质 6.如图5，等腰Rt△AEF的斜边EF过正方形 5.如图4，已知四边形ABCD是矩形，点E在 1.下列说法正确的是 ABCD的顶点D.若AE=4,DE=2,求BE的长 对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C,D不 A.菱形的四个内角都是直角 重合)，BE⊥EF,且∠ABE+∠CEF=45°.求证： B.矩形的对角线互相垂直 四边形ABCD是正方形 C.正方形的每一条对角线平分一组对角 D.平行四边形是轴对称图形 2.如图1，正方形0ABC的顶点0，B在数轴上 对应的数分别是0,4，则顶点A,C之间的距离是 ) A.1 B.2 C.4 D.无法确定 (0) (B 0 B 图1 图2 3.如图2，在平行四边形ABCD与正方形 1.7.2正方形的判定 AEFG中，点E在BC上.若∠BAE=38°，∠CEF =13°，则∠C= 1.下列说法正确的是 4.如图3，在正方形ABCD中，E,F分别为AB, A.正方形概是矩形，又是菱形 AD上的点，且AE=AF,点M是EF的中点，连接 B.有一个内角是直角的四边形是矩形 CM,CF,CE.求证：CM⊥EF C.两条对角线互相垂直平分的四边形是正 D 方形 D.对角线互相垂直的四边形是菱形 2.如图1，点E,F,P,Q分别是正方形ABCD 的四条边上的点，并且AF=BP=CQ=DE,则下 6.如图5，四边形ABCD是平行四边形，连接 . 列结论不一定正确的是 ( 对角线AC,过点D作DE∥AC与BC的延长线交 图3 A.∠AFP=∠BPO 于点E,连接AE交DC于点F B.EF∥QP (1)求证：BC=CE; C.四边形EFPQ是正方形 (2)连接BF.若∠DAF=∠FBE,且AD= D.四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积 2CF,求证：四边形ABCD是正方形. 5.如图4，在边长为1的正方形ABCD中， 图2 ∠CAD的平分线交CD于点E,交BC的延长线于 3.李燕在商场里看到一块很漂亮的丝巾（如 点F. 图2)，非常想买，但她拿起来看时感觉丝巾不太 (1)求CF的长； +.+ 方.商店老板看她犹豫不决的样子，马上过来拉起 (2)求CE的长. 组对角，让李燕看另一组对角是否对齐.李燕还 有些疑惑，老板又拉起另一组对角让李燕检验.李 燕终于买下这块丝巾，则这块丝巾 是正 方形（填“一定”或“不一定”）. 4.如图3，矩形ABCD的边AB=2,对角线 AC与BD相交于点O,OA=1.求证：四边形ABCD 是正方形 D 图3 数理报社试题研究中心 .+ 参考答案见33期 A.1 B.2 C.3 D.4 15.如图12，正方形ABCD的边长为4，分别以正方形的三边为 1.7能力达标自评 8.如图5，用四块同样大小的正方形纸片，围出一个菱形ABCD, 直径在正方形的内部作半圆，则阴影部分的面积等于 个小孩顺次在这四块纸片上轮流走动，每一步都踩在一块纸片的 ◆数理报社试题研究中心 中心，则这个小孩走的路线所围成的图形是 ( (答题时长120分钟，满分120分) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是 ( 图12 图13 A.两组对边分别平行 B.对角线互相垂直 16.如图13，已知点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点， C.四个角都为直角 D.对角线互相平分 要使四边形EFGH是正方形，则BD,AC应满足的条件是 2.若正方形的对角线长为2cm,则这个正方形的面积为 ( 图5 图6 三、解答题（本题共8小题，共72分） A.4 cm2 B.2 cm2 9.如图6，点E为正方形ABCD外一点，且ED=CD,连接AE,交 17.(6分)如图14，正方形ABCD中，在BA的延长线上取一点 C.2 cm2 D.22 cm2 BD于点F.若∠CDE=42°，则∠BFC的度数为 ( ) E,使BE=BD,连接DE,求∠EDA的度数， 3.如图1，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,E,F分别为 A.72° B.71° C.70° D.699 AO,AD的中点，则∠AFE的度数是 10.将两张全等的矩形纸片和另两张 A.30° B.45 C.50 D.60° 全等的正方形纸片按如图7方式不重叠地 放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方 警 形纸片的周长相等.若知道图中阴影部分 数学 的面积，则一定能求出 图7 14 A.正方形纸片的面积 B.四边形EFGH的面积 湘教 C.△BEF的面积 D.△AEH的面积 冬2 级 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 18.(6分)如图15，△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB,DE 年 能 4.如图2，AC=√2cm,小红作了如下操作：分别以点A,C为圆 11.如图8，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点， ⊥BC,DF⊥AC.求证：四边形CFDE为正方形. 级能 心，1cm的长为半径作弧，两弧分别相交于点B,D,依次连接A,B, ∠1=∠2，则∠P的度数为 标 C,D,则四边形ABCD的形状是 ( 力达标 A.平行四边形 B.菱形 卷 C.矩形 D.正方形 卷 5.下列说法正确的是 A.有一个角是直角的平行四边形是正方形 B.对角线互相垂直的矩形是正方形 C.有一组邻边相等的菱形是正方形 12.如图9，点E在正方形ABCD的边CD上.若△ABE的面积为 D.各边都相等的四边形是正方形 3,则线段BC的长为 13.如图10，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD 19.(8分)如图16，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP= 6.如图3，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三 3PC,Q是CD的中点，求证：AQ=2PQ. 角形.若AB=2,则OE的长度为 成为正方形，还需添加的一个条件是」 ·(只需添加一个 4.6 即可) B.6 C.22 D.23 图10 图11 14.如图11，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向 7.如图4，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O,过点O 正方形ABCD外部作正方形BEFG,连接DF,M,N分别是DC,DF的 的直线分别交边AD,BC于E,F两点，则阴影部分的面积是() 中点，连接MN.若AB=17,BE=7,则MN=