第27期 5.1 从实际问题到方程 5.2.1 等式的性质与方程的简单变形-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学学案（华东师大版·新教材）

初中数学·华东师大七年级第27~30期 发理柄 答案详解 2025~2026学年 初中数学·华东师大七年级 第27~30期(2026年1月)》 5.2.1.2方程的简单变形 第27期2版 基础训练1.C2.B;3.6. 5.1从实际问题到方程 4y=音：(2)x=4:(8)x=号 5 基础训练1.A;2.A;3.1. 4.(1)当x=1时，左边=2x+5=7,右边=10x-3= 第27期3版 7,左边=右边，所以x=1是该方程的解。 (2)当x=0时，左边=0-5×(0-2)=10，右边=6， 题号123456 78 左边≠右边，所以x=0不是方程的解 答案CA B C DCA C 5.(1)设该数为x,则它的相反数为-x 二9.3a+5=4a;10.-3x+17;11.<;12.12. 根据题意.得-之-40%x=分 1 三、13.(1)设这所学校有学生x人，那么女生有52%x人， 男生有(1-52%)x人. (2)设小北同学冲刺的时间为x秒，则以6米/秒的速度跑 根据“女生比男生多80人”，列得方程为52%x-（1- 的时间为(65-x)秒 52%)x=80. 根据题意，得6(65-x)+8x=400. (2)设乙班植树x棵，根据“甲班植树的棵树比乙班多 (3)设支援拔草的有x人，则支援植树的有(20-x)人 20%”,得甲班植树的棵数为(1+20%)x棵， 根据题意，得31+x=2[18+(20-x)]. 根据“乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵”，列得方程 能力提高6.(1)因为2x+1=1,所以x=0.把x=0代 入1-2(x-m)=3,得1-2(0-m)=3,整理，得1+2m= 为x-之1+20%)x=10 3,解得m=1.故填1. (3)设第二层原有x本，根据“第一层书的数量是第二层 (2)解关于x的方程9-3=低+14，得=)5长≠ 的2倍”，得第一层原有书的数量为2x本， 根据“从第一层抽8本到第二层，这时第一层剩下的数量恰 9),当9-k取1，-1,17，-17时，即k取8,10，-8,26时，x的 比第二层的一半多3本”，列得方程为2x-8=之(x+8)+3. 值为整数.所以符合要求的正整数k的值为8,10,26. 5.2解一元一次方程 14.(1)移项，得4x=12, 5.2.1.1等式的性质 系数化为1，得x=3. 基础训练1.D;2.A;3.3y-7;4.1 (2)移项，得2x-5x=6, 5.(1)正确，理由：因为a=-b+2,所以a+b 合并同类项，得-3x=6, =-b+2+b.所以a+b=2. 系数化为1，得x=-2. (3)移项，得3x+2x=32-7, (2)不正确，理由：因为号=，所以6×号 3 合并同类项，得5x=25, y1×6.所以2(x-1)=3(y-1),即2x-2=3y-3.所以 系数化为1，得x=5. 2 15.将x=-3代人4-5a+10x=-a+2x,得4-5a+10 2x=3y不正确. ×(-3)=-a+2×(-3), 能力提高6.2. 解得a=-5.所以a2+12a+36=(-5)2+12×(-5) 7.(1)第一步的依据是：等式的性质1. +36=1. (2)小明第二步的结论不正确，理由：因为根据等式的性 16.(1)由题意，得剪拼后所得的长方形的长为a+a+3= 质2，等式两边都除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式， 2a+3,宽为3， 所以当x=0时，等式的两边都除以x,等式不成立.所以小明第 因此周长为(2a+3+3)×2=4a+12,面积为(2a+3)× 二步的结论不正确。 3=6a+9. 初中数学·华东师大七年级第27~30期 (2)由题意，得(2a+3-4)×(3+4)=6a+9, 所以方程x-1-m2=0的解不可能为x=-4, 解得a=2.所以a的值为2. 所以关于x的方程x-1-m2=0与方程2(x+2)=3x不 附加题1.(1)x=4. 可能为“友好方程”. (2)x=a. 5.2.2.2去分母 (3)将原方程整理，得(x-1)3+x-1=(a+1)3+a+1. 基础训练1.B;2.B;3.D;4.D; 所以x-1=a+1. 5.2022;6.55；7.5. 解得x=a+2. 8.(1)x=-1;(2)x=7; 2.(1)因为7-10=-3， 6y=导：4x=6 所以10与-3是关于7的幸福数， 因为7-(5+x)=2-x, 以.(1)4+=华是“商解方程”星由如下： 所以5+x与2-x是关于7的幸福数 故填-3,2-x 解方程4+白得x:手 (2)a与b是关于7的幸福数，理由：因为a=2x2+3x+4, b=x2-3(x2+x-1), 因为9÷4=专，所以4+=乌是“商解方程 所以a+b=2x2+3x+4+x2-3(x2+x-1)=2x2+3x (2)解方程6+x=m+3,得x=m-3. +4+x2-3x2-3x+3=7. 因为一元一次方程6+x=m+3是“商解方程”， 所以a与b是关于7的幸福数. 所以m-3=解得m= 6 5 (3)因为c=kx+1,d=x+2,且c与d是关于7的幸福数， 所以c+d=7,即kx+1+x+2=7, 第28期3版 整理，得(k+1)x=4, 题号12345678 所以x=k+了 4 答案CDDCABCA 因为k为非负整数，x为正整数， 所以x可能是1,2,4. 二9.-31010：11.4：2.-2 当x=1时，k+1=4,解得k=3; 三、13.(1)x=1;(2)x=1;(3)x=-1. 当x=2时，k+1=2,解得k=1; 14将x=3代人方程3[（号+1）+m:山]=2中，解 4 当x=4时，k+1=1,解得k=0. 所以非负整数k的值为0或1或3. 得m=-8 3 第28期2版 将m=-号代入关系式2n+3ml=0中，解得n=4 5.2.2解-元一次方程 8 4 所以m+n=-分+4=3 5.2.2.1去括号 基础训练1.A;2.D;3.A;4.C; 15.设售出的成人票为x张， 5.2；6.-3；7.23. 依题意有5(1000-x)+8x=6950, 8.(1)x=0;(2)x=5; 解这个方程，得x=650.经检验，符合题意。 所以1000-x=1000-650=350. (3)y=-子；4=0， 答：成人票售出650张，学生票售出350张. 9.(1)方程2x=4x+8的解为x=-4,方程2(x+2)= 16.(1)依题意，把x=9代入，2-1=a+二3，得 2 4 3x的解为x=4, 因为4与-4互为相反数， 9生2-1=a+9解得0=3 所以方程2x=4x+8和2(x+2)=3x为“友好方程”. (2)①方程2(x-)-n=0的解为x=1+受， (2)由①得a=3,则产-1=3+34，解得x=5. 2 附加题1.将2x+3和x-2看成整体， 因为方程2(x+2)=3x的解为x=4, 移项，得52+3)+2(2+3)=子(x-2)+2-2). 所以当1+之=-4，即n=-10时，关于x的方程2(x- 1)-n=0与方程2(x+2)=3x为“友好方程”； 合并同类项，得(2x+3)=(x-2). ②方程x-1-m2=0的解为x=m2+1>0, 去分母，得22(2x+3)=11(x-2), 2 初中数学·华东师大七年级第27~30期 去括号，得44x+66=11x-22 所以两个班一起合作完成此项任务符合题意. 移项、合并同类项，得33x=-88, 五、行程问题 系数化为1，得x=号 基础训练1A:2C:3铝 2.10原方程可变形为：(x-)(兮+5+7+马)=0， 能力提高4.(1)设乙车的速度是xkm/h,则甲车的速度 是2xkm/h, 因为时+5+行+号≠0，所以x-1=0解得x=1 根据题意，得3×2x+(3-2)x=210, （2)整理，得9.5.210 解得x=30,经检验，符合题意. 4 6 8 10 所以2x=2×30=60(km/h). =0 答：甲车的速度是60km/h,乙车的速度是30km/h 所以，23-2+19-2+15-2+：业-2+ (2)设经过yh两车相距30km, 4 6 8 根据题意，得60y+30y=210-30或60y+30y=210+30. 7-2=0,即-，27+27+-2+x:2+-27=0 10 2 4 6 8 10 解得y=2或了=号经检验，符合题意 所拟(-273+日+6+g+0=0 答：经过2h或号h两车相距30km 因为++6+8+00， 1111 第29期3版 所以x-27=0.解得x=27. 一、 题号12345678 第29期2版 答案B D C A BB D C 5.3实践与探索 二、9.810；10.6；11.15；12.4.25或0.5. 一、等积变形问题 三、13.快马20天追上慢马. 基础训练1.A;2.B;3.5. 14.长方体的体积是1000cm3. 4.这个圆柱的高是0.04厘米. 15.设乙水管每分钟注人x立方米水，甲水管每分钟注人 (0.28+x)立方米水， 能力提高51,35号 由题意，得10×[x+(0.28+x)]=9×(0.28+x)+4[x 二、和、差、倍、分问题 +(0.28+x)], 基础训练1.A;2.C;3.30.4;4.110. 解得x=0.28,经检验，符合题意 5.设两个书架借出的书为x本， 所以容积是10×[0.28+(0.28+0.28)]=8.4（立方米）. 由题意，得4+子=260， 答：这个水池的容积是8.4立方米 16.(1)设跳绳的单价是2x元，则排球的单价是7x元， 解得x=40,经检验，符合题意 由题意，得30×2x+20×7x=2000, 所以4k=160,子=10， 解得x=10.经检验，符合题意 所以2x=20(元)，7x=70(元) 答：甲书架有书160本，乙书架有书100本. 答：跳绳的单价是20元，排球的单价是70元. 三、销售问题 (2)第二次采购时，跳绳的单价是(20-a)元，排球的单 基础训练1.D;2.A;3.600. 价是(70-4a）元， 4.每个A款钥匙扣的价格为5元，每个B款钥匙扣的价格 由题意，得32(20-a)+22(70-4a)=2000, 为12元 解得a=15.经检验，符合题意. 四、工程问题 所以a的值是1.5. 基础训练1.B;2.3;3.45. 附加题 能力提高4()前后共需号h 1.(1)方案一：获利为3×8×0.6+(30-3×8)×0.05= (2)答案不惟一，如让两个班一起合作完成此项任务，设 14.7(万元)， 两个班一起合作完成此项任务需要的时间为yh, 方案二：设x吨制成罐头，则(30-x)吨进行加工包装， 根据题意，得六5+名)=1，解得y=号 ，1 根据题意，得亏+0、=8， 5 因为号<4， 解得x=15.经检验，符合题意. 所以获利为15×0.6+(30-15)×0.4=15（万元）. —3 初中数学·华东师大七年级第27~30期 因为15>14.7， 所以方程x-2=3-x与方程y+2=3(y+1)是“差3 所以方案二可使工厂所获利润最多. 方程”. (2)设加工厂到市场的距离为y千米 (2)解方程3y+5=y-1,得y=-3. 根据题意，得5×15y+50×15+450=6×15y+30×15, 因为无论k取任何有理数，关于x的方程3x+如-b=2k 解得y=50.经检验，符合题意. 2 答：加工厂到市场的距离为50千米. -1(a,b为常数)与方程3y+5=y-1是“差1方程”， 2.(1)65,50,位置C上的数的5倍. 所以1x-(-3)1=1. (2)设“Z”字型框架中位置C上的数为x,则位置A上的数 解得x=-2或x=-4. 为x-8,位置B上的数为x-7,位置D上的数为x+7,位置E 当x=-2时，6士如-6=2k-1 上的数为x+8, 因为(x-8)+(x-7)+x+(x+7)+(x+8)=5x, 整理，得(a-4)k=2b+4. 所以“Z”字型框架中的五个数的和等于C位上的数的5倍 因为无论k取任何有理数都成立， (3)因为中间的数为c, 所以a-4=0,2b+4=0. 所以最小的数为c-8,最大的数为c+8. 解得a=4,b=-2. 因为最小数与最大数的和为40， 所以a+b=2. 所以c-8+c+8=40,所以c=20. 当x=-4时，二12，+@-b=2k-1. 2 第30期综合测评卷 整理，得(a-4)k=2b+10. 题号123456789101112 因为无论k取任何有理数都成立， 答案D B CBAA A D C A C D 所以a-4=0,2b+10=0. 解得a=4,b=-5. =、13.5-y=2y:14.x=1;15号；16.1或2. 所以a+b=-1. 三1n.(0x=多(2)x=2:(3x=-号 综上所述，a+b的值是2或-1. 22.问题-：30.8. 18.任务一：(1)去分母，等式的性质2. 问题二：①当里程数不大于3千米时，快车的费用不超过： (2)三，移项未变号. (3)正确解法如下： 12+25×3+0×60×04=21.3(元 去分母，得3x-(x+1)=6,去括号，得3x-x-1=6,移项， 而出租车的起步价是14元，此时不满足从甲地到乙地，乘 7 得3x-x=6+1,合并同类项，得2x=7,系数化为1，得x=2 坐出租车比快车节省13.6元 所以甲、乙两地间的里程数一定超过3千米， 任务二：熟记等式的性质，理解并掌握移项中符号的变化，重 设甲、乙两地间的里程数为x千米。 视基础训练（答案不惟一）. 19.(1)七年级(2)班有男生22人、女生23人. 根据题意，得14+24(x-3)+13.6=12+2.5x+希× (2)应该分配25名学生搬运桌子，20名学生搬运椅子. 60×0.4. 20Da=1.(2a=子 解得x=12.经检验，符合题意 答：甲、乙两地间的里程数为12千米， (3)方程去分母，得2(2x+1）=3(ax-1)-6. ②设这两位乘客乘车的里程数为m千米， 整理，得(3a-4)x=11. 因为原方程无解，所以3a-4=0. 若m≤8，则0.8(10+28m+0.5×46×60)+5.3=12 解得a=了 4 +2.5m+0.4×40 ×60, 21.(1)方程x-2=3-x与方程y+2=3(y+1)是“差 解得m=5,经检验，符合题意： 3方程”.理由如下： 解方程x-2=3-,得x=习： 若m>8,则0.8(10+28m+0.5×40×60)+5.3=12 解方程y+2=3(y+1),得y=-2 +25m+0,4×0×60-6.5, 解得m=30.经检验，符合题意 因为1x-y1=1各-(-分1=3， 答：这两位乘客乘车的里程数为5千米或30千米4 素养·拓展 数理招 品味方法 方程的简单变形及等 数 式的性质是本章的基础，也 具体方程具体解 是后续学习不可或缺的知 识，然而不少同学在学习有 ◎浙江李冉 关知识时对基础知识掌握 远实 解方程，就是通过一系列的变形，把方程化 系数化为1，得x=0. 不牢，常会出现一些错误认O 成x=a(a是常数)的形式对于关于x的方程 三、先合并同类项，再移项 识，现举例剖析如下 离基 ax+b=cx+d(a≠c),要通过怎样的变形，才 当方程的一边有同类项时，可以先合并同 一、等式的性质掌握 北 不牢 能化成x=a(a是常数)的形式呢？下面举例类项再移项，这样既可以提高解题的速度，又可 误础 例1 下列判断错误 说明. 以提高解题的正确率， 的是 赛 ) 区 一、方程两边直接合并同类项 例3 3 A.若x=y,则xm+5 当方程中含未知数的项都在方程的一边，不 解方程：3x+8=分- =ym+5 含未知数的项都在方程的另一边时，分别在方程的 解：合并同类项，得3x+8=-x 移项，得3x+x=-8. B.若a=b,则2a 两边合并同类项 合并同类项，得4x=-8. b 例1解方程：x+4x-2x=1.2+2.4. 系数化为1，得x=-2. 2+1 解：合并同类项，得3x=3.6. 解简单的方程时，不能一概而论按照固定 C.若x=3,则x2=3x 系数化为1，得x=1.2. 的模式来解，要注意观察方程的特点.只有根据 D.若am=an,则m=n 二、先整体移项，再合并同类项 错解：选C 方程的特点灵活地解答，才能够起到事半功倍 当方程含有括号时，常规解法是：先去括号 剖析：错解误以为选项C没有应用等式的性 的效果 (下一期同学们即将学习)，然后再移项、合并同 质，而是左边平方，右边乘了x,其实是两边同时 类项、系数化为1，但是步骤较多，若能根据方程 牛刀小、武 乘了x,所以选项C是正确的.选项A是等式x= y的两边同时乘m的基础上再同时加上5，所以选 的结构特点，把相同的式子看成一个整体，先进 项A是正确的.选项B是同时除以2+1，而2+ 行移项、整体合并，则可使方程简化 解方程： 1≠0，所以选项B也正确。只有选项D同时除以 例2解方程：3(2x+1)-1=2(2x+1) 了a,而a有可能为0，所以选项D是错误的. 解：移项，得3(2x+1)-2(2x+1)=1, (1)2x- 2t=6-8; 正解：选D. 即2x+1=1. (2)2x-8=5x+4; 二、等量关系模糊不清 移项，得2x=0. (3)5(x-1)-4(x-1)=16 例2李华去商店买练习本，回来后告诉同 十十十十十 学们：“店主对我说，如果多买一些就给我8折 专题辅导 优惠，所以我就买了20本，结果便宜了4.8元. 你猜原来每本价格为多少元？”这里如果设原来 找雅关系 巧列方程 每本价格为x元，你能写出所列的方程吗？ 错解：20×0.8x=4.8. 剖析：等式左边表示李华买20本练习本实 ⊙山东王宇 际所花的钱数，而右边则表示8折优惠所节省的 列方程解决实际问题是数学应用于生活、 三、依据不变量 钱数，左右两边所表示的实际意义不相同 服务于生活的一个方面，它对于培养同学们分 例3七(1)班50名同学外出旅游，共租用 正解：20x-20×0.8x=4.8. 析问题、解决问题的能力具有重要的意义.列方5辆车，每辆中巴车可坐19人，每辆小车可坐 三、移项不变号 程解决实际问题的关键是正确理解题意，快速、4人，且每辆车都坐满，则中巴车、小车各租用多 例3解方程：3x+1=x-2 准确地找到列方程的依据一等量关系.下面少辆（只列方程不解答）？ 让我们一起来学习怎样才能找到等量关系吧！ 解析：本题出现的量比较多，但是只要抓住 错解：移项得3+=宁+1，即红=分 一、依据常见公式 一个不变的量（学生总数）即可解决问题，根据 例1一个长方形训川练场的周长为40米，“坐中巴车的人数+坐小车的人数=学生总 两边都除以4，得x=8 长比宽多8米，这个训练场的长和宽分别是多少数”来列方程 剖析：本题错在移项时没有变号，究其原因 米（只列方程不解答）？ 设中巴车有x辆，则小车有(5-x)辆 是没有正确理解移项的法则，移项要变号，但要 注意不能把未移动的项的符号也改变了， 解析：本题可以根据“长方形的周长= 根据题意，得19x+4(5-x)=50 2(长+宽)”这个公式列方程. 例4成都大运会期间，某工厂接到一批大 正解：移项，得3x-x=- 7-1,即2x= 设这个训练场的宽为x米，则长为(x+8)米运会纪念品的生产任务，组委会要求6天内完 3 3 两边都除以2，得x=-子 根据题意，得2[(x+8)+x]=40. 成若工厂安排10位工人生产，则6天后剩余 二、依据关键语句 四、单位不统一 1200套纪念品未生产；若安排15位工人生产， 例4一辆汽车从郑州开往开封需要1小、 例2某校组织活动，共有100人参加，现则提前一天完成生产任务.问这批纪念品共有 时，回来时的速度比去时的速度每小时快10千 把参加活动的人分成两组，已知第一组人数比多少套（只列方程不解答）？ 米，50分钟即可到达郑州.若设从郑州到开封的 第二组人数的2倍少8人.若设第二组有x人，则 解析：本题给出了两种生产方式，这两种方 速度为x千米/时，则可列方程为 可列方程为 式都可以计算出纪念品的总量，根据纪念品的 错解：50(x+10)=x. 解析：根据“第一组人数比第二组人数的总量不变搭建等量关系，即可列出方程 剖析：错解的原因是单位不统一.由于50的 2倍少8人”可找出等量关系，从而列出方程 设每位工人每天生产x套纪念品 单位是分钟，而速度x的单位是千米/时，所以 由题意，得第一组有(100-x)人.所以可列 根据题意，得6×10x+1200=15x× 列方程时需要将单位统一成小时 方程为100-x=2x-8.故填100-x=2x-8.(6-1). 正解：(x+10)=北 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 教理橘 2026年1月6日·星期二 初中数学 报纸发行质量反馈电话： 第 27期总第1171期 华东师大 0351-5271248 七年级 2025~2026学年 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 邮发代号：21-44 七年级数学华东师大 第二学期编辑计划 名师点晴 第27期 本周住讲 5.1从实际问题到方 透过概念看应用 程；5.2.1等式的性质 5.1从实际问题到方程 与方程的简单变形 ©湖北朱建奇 学习目标：了解方程的概念，能根据实 第28期 在数学学习中经常会接触到概念的学习， A.2 B.-1 际问题列出方程 5.2.2解一元一次方 对于概念的理解是掌握数学知识的基础，而应 C.0 D.-2 5.2.1等式的性质与方程的简单变形 用概念则是对知识的提升，会使同学们的思维 解：因为x=1是关于x的方程2x+a=0 第29期 进入新境界.下面就让我们一起踏入这个新境的解， 学习目标：1，能够熟练掌握和运用等式 5.3实践与探索 的两个性质，会利用等式的性质解简单的方 界吧 所以2×1+a=0,解得a=-2. 第30期 一、利用概念判断是不是方程 故选D. 程并检验 第5章复习与小结 例1判断下列各式是不是方程，不是方程 三、利用概念判断方程解的正误 2.熟练掌握方程的变形规则，特别是移 第31期 6.1二元一次方程组 的请说明理由. 例3小明在解关于x的方程5a-x=13 项、将未知数的系数化为“1”这两个变形 (1)4×5=3×7-1;(2)2x+5y=3;时，误将-x看作+x,得到方程的解为x=3,则 则 和它的解；6.2二元 一次方程组的解法 (3)9-4x>0: (4)x+5; 原方程的解为 ( 解法) (5)x-10=3: (6)5+6=11. A.x=-3 B.x=0 第一曲：认识曲 第32期 解：(1)不是方程，因为不含未知数；(2)是 C.x=2 D.x=1 了解等式的概念 6.2二元一次方程组 方程；(3)不是方程，因为不是等式；(4)不是方 解：把x=3代入方程5a+x=13,得5a+ 像2x=3x,3×3+ 的解法（应用）；6.3三 程，因为不是等式；(5)是方程；(6)不是方程，3=13. 元一次方程组及其解 因为不含未知数 解得a=2. 1=5×2,3x+1=5y, 法；6.4实践与探索 二、利用概念确定某些未知系数的值 把a=2代入原方程5a-x=13,得10-x 这种用等号“=”来表 第33期 例2已知x=1是关于x的方程2x+a= =13,解得x=-3. 示相等关系的式子叫做 第6章复习与小结 0的解，则a的值是 故选A 等式 等式学习 第34期 第二曲：理解曲 西 7.1认识不等式；7.2 知识梳理 掌握等式的性质 不等式的基本性质； 7.3解一元一次不等 关往“四招”学移顶 等式的性质1：等式 林晨阳 两边都加上（或都减去） 式（解法） 第35期 ©四川 王一冰 同一个数或同一个整式， 7.3解一元一次不等 一、注意理解移项法则的由来 变换等号一边某些项的位置，这种“换项”与“移 所得结果仍是等式.例 式（应用）；7.4解 例如，解方程：3x-2=2x+5. 项”是两种完全不同的变形，其主要区别如下： 如，3+5=8，则3+5 元一次不等式组 为了去掉方程左边的“-2”以及右边的未 ()变换范围不同.“换项”只在等号一边 4=8-4,3+5+a=8+a. 第36期 知项“2x”,可以在方程的两边都加上2，再减去 的内部进行，而“移项”则是在等号的两边之间 等式的性质2：等式两边都乘以（或都除 第7章复习与小结 第37期 2x,即3x-2+2-2x=2x+5+2-2x,也就是 进行“调动” 以)同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等 变形为： (2)变换依据不同.“换项”的依据是加法 式.例如，3×6=18，则3×6×2=18×2,3× 期中复习 3x-2x=5+2. ① 6÷2=18÷2. 第38期 交换律，而“移项”的依据是等式的性质1. 8.1与三角形有关的 把①式与原方程相比较，这个变形相当于： 第三曲：运用曲 运用等式的性质 (3)符号变化不同.“换项”只改变项在 边和角 例1若a=b,则下列等式不正确的是 3x =2x+5 边的排列顺序，不能改变项的符号，而“移项”是 第39期 8.2多边形的内角和 从等号的一边移到另一边，必须改变项的符号. A.a+3=b+3 与外角和：8.3用正多 四、灵活运用移项法则 边形铺设地面 例解方程4x-1=7x+5. B.I 3x-2x=5+2 第40期 从上面可以看出，这个变形相当于把原方 解法1：移项，得4x-7x=5+1. C.-4a+7=-4b+7 第8章复习与小结 程中的已知项“-2”改变符号后，从方程的左边 合并同类项，得-3x=6. D.2a+1=2b-1 第41期 9.1轴对称 移到方程的右边，把原方程中的未知项“2x”改 系数化为1，得x=-2. 解析：仔细观察原等式与各选项中等式的 第42期 变符号后，从方程的右边移到方程的左边，这种 解法2：移项，得-1-5=7x-4x 结构、系数有何区别，从而确定是应用了哪条性 9.2平移 变形就叫做移项 合并同类项，得-6=3x 质.选项A应用了等式的性质1；选项B应用了 第43期 二、牢记移项要变号 系数化为1，得-2=x,即x=-2. 等式的性质2；选项C和D应用了等式的性质1 9.3旋转：9.4中心对 运用移项可以把方程左边的项移到方程右 温馨提示：解方程时，通过移项、合并同类 和2.选项D中2a+1=2b+1,所以选项D不 称；9.5图形的全等 边，也可以把方程右边的项移到方程左边，但要 项把方程变形为mx=n(m≠0)的形式.因此 正确.故选D. 第44期 牢记：移项一定要变号 移项时，一般是把含未知数的项移到等号左边 例2利用等式的性质解下列方程： 第9章复习与小结 第45~52期 温馨提示：本要移动的项，只有将它们分别 常数项移到等号右边，如解法1.但解法1中由 (1)-4x= 2 (2)3x+5=2. 升级突破（合刊） 改变符号后，才能从一边移到另一边，未移动的 于x的系数是负数，给解题带来不便.为了使x 项的符号不能改变 的系数不为负数，有时也把含未知数的项移到 解析：()两边除以-4，得x=-令 三、弄清“移项”与在一边“换项”的区别 等号右边，常数项移到等号左边，如解法2.但写 (2)两边减5，得3x=-3 解方程合并同类项时，有时为了简便，需要 方程的解时，仍要将未知数写在方程的左边， 两边除以3，得x=-1. 素养专练 数理极 7.在将等式3x-2y=2x-2y变形时，小明的 跟踪训练 能刀提高 变形过程如下： 6.方程的解的定义：能使方程左、右两边的值 因为3x-2y=2x-2y, GENZONGXUNLIAN 相等的未知数的值.如果一个方程的解是整数，那 所以3x=2x(第一步) 5.1从实际问题到方程 么这个方程即叫做“立信方程”. 所以3=2.（第二步） (1)若“立信方程”2x+1=1的解也是关于x (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ 垦础训练 的方程1-2(x-m)=3的解，则m= (2)小明第二步的结论正确吗？请说明原因， 1.下列式子不是方程的是 ) (2)关于x的方程9x-3=x+14是“立信 A.5x+3 B.7x-1=5 方程”，直接写出符合要求的正整数k的值 C.x2+1=10 》子0 2.若比某数的相反数大2的数是8，设某数为 x,可列方程为 ( A.-x+2=8 B.7x-1=5 C.x2+1=10 D冬=0 3.若x=2是方程8-3x=ax的解，则a的 值为 4.检验下列方程后面小括号内的数是否为相 应方程的解 5.2.1.2方程的简单变形 (1)2x+5=10x-3(x=1); 5.2解一元一次方程 (2)x2-5(x-2)=6(x=0). 5.2.1.1等式的性质 垦础训练 屋础训练 1.方程x+3x=-4的解是 1.已知a=b,则下列变形错误的是( ) A.x=-2 B.x=2 A.2+a=2+b B.a-b=0 C.x=-1 D.x=1 D.4=b 2.解方程2x-5=1+x移项后正确的是 C.-2a=-2b c () 2.等式x-2=-2x+▲中的部分数字被墨 A.2x-x=1-5 B.2x-x=1+5 渍污染，则被墨渍污染的“▲”为 ( C.2x+x=1+5 D.-2x-x=1+5 A.3x-2 B.-x-2 3.当x= 时，代数式2x+6与3x的值 C.-x+2 D.3x+2 相等 3.如果y-x-2=0,那么用含有y的代数式 4.解下列方程： 表示3x-1应该为 (1)8y-7y-12y=-5; 5.根据下列问题，设未知数并列出方程： (1)某数的40%比它的相反数的2还少分： 4.若30+2b=24,则子-5+20的值是 (2)小北同学在校运会400米赛跑中，先以 5.判断下列等式变形是否正确，并说明理由， 6米/秒的速度跑完大部分赛程，最后以8米/秒 (1)若a=-b+2,则a+b=2; 的速度冲刺到达终点，成绩为65秒，求小北同学 冲刺的时间： 《2)若；=2则2= 3 (3)在一次美化校园活动中，学校先安排 31人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援 (2)3x-1=x+7: 他们，结果拔草的人数是植树人数的2倍.问支援 拔草和植树的分别有多少人？ 能刀提高 6.“九宫图”传说是近古时 代洛河中的一个神龟背上的图 9 (3)25x+=2-号 案，故又称“龟背图”，中国古代 2 数学史上经常研究这一神话.数 学上的“九宫图”所体现的是 个表格，每行的三个数、每列的三个数、斜对角的 三个数之和都相等，也称为三阶幻方.如将-5， -3,-1,1,3,5,7,9,11填入图中，使其构成一个 数理报社试题研究中心 三阶幻方，则图中m-n的值为 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 5 16.(12分)如图2，将边长为a+3的正方形 同步检测（一）】 纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可 剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长 TONGBUJIANCE 方形一边长为3，请解答下列问题： 【检测范围：5.15.2.1】 (1)分别计算剪拼后所得的长方形的周长和 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 11.已知8m+3n+2=4m+7n,利用等式的 面积（用含a的代数式表示）； 性质比较m与n的大小关系：m n(填 (2)若将剪拼后的长方形的长减少4，宽增加 题号12345 6 7 4,所得的新长方形的面积恰好等于原长方形的面 答案 >”“<”或“=”) 12.对于有理数a和b,定义一种新运算“※” 积，求a的值 1.下列各式中，属于方程的是 规定a※b=a+36.若x※(-1)=3※2，则x= A.3+(-1)=2 B.x+5 C.2x-1=0 D.4>3-1 三、耐心解一解（共52分） 2.方程2x=8的解是 13.（15分)根据题意设未知数，并列出方程 图2 A.x=4 B.x=6 (不必求解)： c=号 n=6 (1)某校女生占全体学生数的52%，比男生多 3.已知m+a=n+b,利用等式的基本性质可 80人，求这所学校有多少学生； 变形为m=n,则a,b必符合条件的是 ( (2)在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙 A.a =-b 班多20%，乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵， B.a=b 求乙班植树多少棵； C.-a =b (3)书架上，第一层书的数量是第二层的2倍， 附加题⊙ D.a,b为任意有理数或整式 从第一层抽8本到第二层，这时第一层剩下的数量 (以下试题供各地根据实际情况选用)》 4.若代数式2n+3与2-3n互为相反数，则n 恰比第二层的一半多3本，求第二层原有多少本 1.(10分)阅读下列材料： 的值为 关于x的方程： A.1 B.2C.5 D.7 x3+x=13+1的解是x=1: 5.学校体育组有学生41人参加了篮球队或足 x3+x=23+2的解是x=2; 球队，其中只参加篮球队的学生人数是只参加足 x3+x=(-2)3+(-2)的解是x=-2. 球队的学生人数的1.5倍，两队都参加的有8人 根据以上材料，解答下列问题： 设参加足球队的学生人数有x人，则下列方程中正 (1)观察上述方程以及解的特征，请你直接写 确的是 ( 出关于x的方程x3+x=43+4的解是 A.1.5x+x=41 (2)比较关于x的方程x3+x=a+a与上面 B.1.5x+x+8=41 14.(15分)解方程： 各式的关系，猜想它的解是 C.1.5(x-8)+x+8=41 D.1.5(x-8)+x=41 (1)4x-3=9; (3)利用第(2)问的结论，求解关于x的方程 (x-1)3+x=(a+1)3+a+2的解. 6.若a-b=8,b-c=5,则a-c的值为 A.3 B.8 C.13 D.无法确定 7.嘉琪在进行解方程的思维训练，其中有 (2)2x-6=5x; 个方程2-方=分+中的■”没印清断， 嘉琪问老师，老师只是说：“‘■’是一个有理数，该 方程的解与当x=2时整式5(x-1)-2(x-2)- 2.(10分)定义：若a+b=7,则称a与b是关 4的值相同.”嘉琪很快补上了这个有理数.你认为 (3)3x+7=32-2x. 于7的幸福数， 嘉琪补的这个有理数是 ( (1)10与 是关于7的幸福数，5+x与 A.1 B.-1 是关于7的幸福数（填一个含x的代数式）： C.2 D.-2 (2)若a=2x2+3x+4,b=x2-3(x2+x-1), 8.中央电视台某益智节目中，有一期的题目 判断α与b是否是关于7的幸福数，并说明理由； 如图1所示，若两个天平都平衡，则与1个球体质 15.(10分)已知关于x的方程4-5a+10x (3)若c=kx+1,d=x+2,且c与d是关于 量相等的正方体的个数为 =-a+2x的解是x=-3,求a2+12a+36的值. 7的幸福数，若x为正整数，求非负整数k的值， ee M △ △ 图1 A.4个 B.3个C.2个D.1个 二、细心填一填（每小题4分，共16分） 9.“比a的3倍大5的数等于a的4倍”可用 等式表示为 10.由5x-17=3x+2,得5x-3x=2+17 数理报社试题研究中心 在此变形中方程的两边同时加上了」 (参考答案见下期)