第35期 第18章 勾股定理及其逆定理 综合测评卷-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（沪科版·新教材 安徽专版）

初中数学·沪科八年级(AH)第32~35期 装理橘 答案详解 2025~2026学年 初中数学·沪科八年级(AH) 第32~35期 所以方程无实数解， 第32期2版 所以商家每天的获利不能达到3000元. 17.3一元二次方程根的判别式 17.5.2第二课时 基础训练1.C;2.A;3.4:4.四. 基础训练1.D;2.C;3.25%;4.5. 5.(1)证明：因为4=(2k+1)2-4×1×(k-3)=42 能力提高5.(1)依题意，得BC=(32-2x)m,羊的活动 +13>0, 范围的面积为S长方形BCD一S正方彩CG, 所以该方程总有两个实数根。 所以x(32-2x)-12=95, (2)答案不惟一，如当k=3时，方程为x2+7x=0,解得 整理得x2-16x+48=0, x1=0,x2=-7. 解得x1=12,x2=4, 17.4一元二次方程的根与系数的关系 所以AB的长为12m或4m 基础训练1.A;2.16:3.20. (2)羊的活动范围的面积不能为130m2.理由如下： 4.(1)因为2,3是方程x2+px+9=0的两根， 依题意，得x(32-2x)-1=130, 所以2+3=-卫=-p,2×3=9, 1 整理得2x2-32x+131=0, 所以p=-5,9=6. 因为4=（-32)2-4×2×131=-24<0， (2)因为两个不同的实数m,n满足m2+5m-3=0,n2+ 所以方程无实数解， 5n-3=0, 所以羊的活动范围的面积不能为130m2 所以m≠0，n≠0，m≠n,m,n可看作方程x2+5x-3= 第32期3版 0的两根， 所以m+n=-5,mn=-3, 一、 题号12345678 所以业+卫=m+n=m+n2-2m= 答案AAD D DBBC mn mn --3》=-} 二9.-6；10.6；11.k>-4且k≠0：12.6 -3 即二+片的值为碧 三，13.根据题意，得4=(2k-1)2-4h(子+1)=1.解 n 得k=0(舍去)，k2=8.所以k的值是8. 17.5一元二次方程的应用 17.5.1第一课时 14.方程整理，得x2-（m+2)x+2m=0. 基础训练1.B;2.C;3.63;4.19. (1)因为4=(m+2)2-8m=(m-2)2≥0，所以不论 能力提高5.(1)y=10x+100. m为何值，该方程总有实数根 (2)由题意可得(50-30-x)(10x+100)=1760, (2)设另一个根为a.由根与系数的关系，得3a=2m,3+ 整理得x2-10x-24=0, a=m+2.解得m=3,a=2.所以方程的另一个根为2. 解得1=-2（舍去），x2=12, 15.设每次降价的百分率为x. 所以50-12=38（元）， 根据题意，得200(1-x)2=128 所以该商品的销售单价是38元时，商家每天获利 解得x1=0.2=20%,x2=1.8(舍去). 1760元. 答：每次降价的百分率为20%。 (3)由题意可得(50-30-x)(10x+100)=3000, 16.(1)根据题意，得4=-4ac=4-4m≥0，解得m 整理得x2-10x+100=0, ≤1. 因为4=(-10)2-4×1×100=-300<0， 故m的取值范围为m≤1. 初中数学·沪科八年级(AH)第32~35期 (2)根据题意，得+=-占=2，=二=m, a 第33期综合测评卷 因为2x1+2x2+12=0, 题号12345678910 所以2×2+m=0, 答案ADBCDACD C B 解得m=-4. 17.(1)依题意，得四边形ABCD是长方形，四边形ABFE 二、11.3；12.0（答案不惟一，k≥0即可）；13.5： 是正方形， 14.1:15.4或-2. 所以四边形EFHG,四边形CDGH,四边形CWMH均为长方 三、16.x1=-3,x2=1. 形， 17.因为关于x的一元二次方程ax2-4x+2=0有两个相 所以AB=BF=EF=AE=GH=CD=45cm,DG=MW 等的实数根， 所以4=(-4)2-4a×2=0,解得a=2, =CH 40 cm,EG FH. 因为长方形置物架ABCD是用总长为400cm的木板制作 此时x=二（，)±6=1，即==1 2×2 的， 18.（1)设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑， 所以EG+FH=400-(6×45+3×40)=10(cm), 根据题意，得2(1+x)+2(1+x)x=288, 所以EG=FH=5cm 整理，得(1+x)2=144,解得x1=11,x2=-13(舍去) 故填5. 答：每轮传播中平均一台电脑会感染11台电脑， (2)因为AB=BF=EF=AE=GH=CD=xcm,DG= (2)由题意可知，288×（1+11)=3456（台）. MN CH 40 cm,EG FH, 答：三轮传播后，被感染的电脑共有3456台. 所以EG+FH=400-(6.x+3×40)=(280-6x)cm, 19.(1)解方程x2=2x得x1=0,x2=2. 所以EG=FH=(140-3x)cm, 因为x1≤2，所以P(0,2), 所以AD=AE+EG+DG=x+140-3x+40=(180- (2)设方程x2-(k+1)x+k=0的两根为x1和：2(x1≤ 2x)cm. 2),则P(x1,x2) 故填(180-2x). 因为点P在直线y=-x上， (3)依题意，得AB=AE=xcm,由(2)可知AD=(180- 所以x1+x2=0,即k+1=0,解得k=-1. 2x)cm,EG=(140-3x)cm, 20.(1)设每件商品的售价为x元，则每件的利润为(x- 因为长方形ABCD的面积为4000cm, 40)元，销售量为200-10(x-50)=(700-10x)件， 所以AB·AD=4000,即x(180-2x)=4000, 依题意，得(x-40)(700-10x)=2250,整理，得x2-110x 整理得x-90x+2000=0, +3025=0,解得x1=x为2=55. 解得x1=40,x2=50, 答：每件商品的售价为55元。 当x=40时，EG=140-3×40=20(cm), (2)涨价后商场销售这批商品平均每周盈利不可以达到 因为EG的高度不小于18cm, 2500元.理由如下： 所以x=40符合题意. 设每件商品的售价为y元，则每件的利润为(y-40)元，销 当x=50时，EG=140-3×50=-10(cm),不合题意， 售量为200-10(y-50)=(700-10y)件， 舍去. 依题意，得(y-40)(700-10y)=2500,整理，得y2-110y 所以x的值为40 +3050=0. 附加题(1)2s或4s后，△PBQ的面积等于8cm2. 因为4=(-110)2-4×1×3050=-100<0，所以方 (2)△PBQ的面积不能等于10cm2,理由如下： 程无实数根， 设AP=xcm,则PB=(6-x)cm,BQ=2xcm, 所以涨价后商场销售这批商品平均每周盈利不可以达到 2500元. 根据题意，得号×2x(6-)=10 21.(1)①不是“差1方程”：②是“差1方程” 整理，得2-6x+10=0. (2)整理方程得(x-m)(x+1)=0,所以x=m或x= 因为4=(-6)2-4×1×10=-4<0， -1.因为方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“差1方 所以方程没有实数根， 程”，所以m=-1+1或m=-1-1,所以m=0或-2. 所以△PBQ的面积不能等于10cm2, (3)由题可得4=b2-4a×1=62-4a≥0，所以解方程 (3)号，后，P0的长度等于6cm 得=二b±二4血因为关于x的方程a2+bx+1=O(a, 2a 2 初中数学·沪科八年级(AH)第32~35期 b是常数，a>0)是“差1方程，所以二b+√公=4 所以△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°， 2a (2)由(1)得AC2=144,所以AC=12. -6--40-1,所以2=2+4a.因为t=10a-B,所 2a 所以S06=SE+Sam=分4C,BC+之AC·A 以t=6a-a2=-(a-3)2+9≤9，所以t的最大值为9. 3x12x9+分×12x5=8M 第34期2版 6.(1)因为AB2+BC2=202+152=625,AC2=252= 18.1勾股定理 625,所以AB+BC2=AC2. 18.1.1认识勾股定理 所以△ABC是直角三角形，且∠ABC=90° 基础训练1.B:2.18;3.1. (2)设AD=x米，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，则 4.(1)16+2. CD=AD=x米，BD=(20-x)米. (2)因为BD=3,CD=x,所以BC=BD+CD=3+x. 在Rt△BDC中，由勾股定理，得CD=BD+BC,即x2= 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB+AC2=BC2. (20-x)2+152. 又因为AB=5,AC2=16+2,所以52+16+x2=(3+ x)2. 解得x=12 8 解得=乌 答：这架无人机向下飞行的距离(4D的长)为紧米 能力提高5.55或55. 第34期3版 18.1.2勾股定理的验证 基础训练1.D;2.4. 题号12345678 3.连接BF,图略. 答案A CC A B D A D 因为AC=b,所以S正方形DE=6子. 二、9.9；10.3cm;11.12;12.8,10. 由题易得，△BAF为等腰直角三角形. 三、13.因为m,n为整数，且m>n>1,a=m2-n2,b= 所以5awm=Sr+Sar=子2+分(b-a)a+ 2mn,c=m2+n2,所以a,b,c均为正整数.因为(m2-n2)2+ (2mn)2=m-2m2n2+n+4m2n2=m4+2m2n2+n,(m2+ 0=+28-22 n2)2=m+2m2n2+n.所以a2+2=c2.所以a,b,c为勾股 又因为S正方形CDE=S四边形ABF, 数 所以8=+8-2 14.(1)由勾股定理，得c2=a2+=92+402=412,所 以c=41. 所以+8= (2)因为a:b=3:4,所以设a=3k,b=4k(k>0). 由勾股定理，得c2=a2+b2=(3k)2+(4k)2=252= 所以&2+62=c2. (5k)2. 18.1.3勾股定理的应用 又因为c=10,所以5k=10, 基础训练1.C:2.B:3.4m:4.10. 解得k=2. 5.在Rt△ABC中，AB=2米，BC=1.5米，由勾股定理，得 所以a=6,b=8. AC2=AB2+BC2=6.25. 15.△ABC为直角三角形.理由如下： 所以AC=2.5米. 因为CD是△ABC的高，所以∠ADC=∠BDC=90°.在 在Rt△DEC中，DE=2.4米，EC=AC=2.5米，由勾股定 Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2=AD+CD2=42+22=20. 理，得CD2=EC2-DE2=0.49. 在Rt△CBD中，由勾股定理，得CB2=BD2+CD2=12+22= 所以CD=0.7米. 5.因为AB=AD+BD=4+1=5,所以AC2+CB2=20+5 所以BD=CD+BC=2.2米 =25=AB2.所以△ABC为直角三角形. 答：小巷的宽度为2.2米 16.连接AB,过点C作CD⊥AB于点D,图略 18.2勾股定理的逆定理 由题意可得，BC=30km,AC=40km,∠ACB=90° 基础训练1.C;2.D;3.60;4.2. 由勾股定理，得AB2=AC2+BC. 5.(1)在Rt△ABC中，AB=15,BC=9,由勾股定理，得 所以AB=50km. AC=AB2-BC2=144. 因为AD=5,DC=13,所以AD2+AC2=169=DC2. 因为S4B=AC;BC=4B;CD,所以40×30=0CD, 2 2 2 2 3 初中数学·沪科八年级(AH)第32~35期 解得CD=24km, 所以该车符合安全标准， 因为24>23，所以这艘轮船沿着直线AB返航至港口B,没 18.补充过程如下：所以S四边形BDE=S△Ac+S△F十 有触礁的危险. 1 1 17.因为点N是FG的中点，FG=BC=6cm,所以FW= S长方形0cE=之ab+2ab+b(6-a）=6,S助形BE=SaAE+ 2FG=3cm因为AB=9cm,AM=3cm,所以BM=AB-AM目 =+宁+a0-0)=+-，所u 二6cm当展开图如图1所示时，因为：5cm,所以N三？=+方8-方，所以云+=配 BF+FN=8cm.由勾股定理，得MN2=BM+BN2=1O0.所 19.(1)如图3所示，点P即为所求. 以MN=10cm. D D H (2)如图3，过点B作BE垂直于AC于 点E.由题意，得A1C=AC=2cm,BE= 10cm,CE=BD=26-4=22(cm).所以 AE=AC+CE=24cm.在Rt△A,BE中， 图3 由勾股定理，得A1B=AE2+BE=676, A M B M B 所以A,B=26cm,即蚂蚁爬行的最短路径长是26cm 图1 图2 当展开图如图2所示时，过点N作NP⊥BC于点P,则BP 20.(1)因为AB=20,AC=16,BC=12,所以AC2+BC =FN=3cm,NP=BF=5cm.所以PM=BM+BP=9cm. =162+122=400,AB2=202=400, 由勾股定理，得MW2=PM2+PW2=106.因为100<106，所以 所以AC2+BC2=AB2. 它需要爬行的最短路程是10cm. 所以△ABC是直角三角形. 附加题(1)方法一：以c为边的正方形的面积+两个直 (2)连接BE,图略 角三角形的面积，即最后化简为c2+ab: 因为DE是AB的垂直平分线，所以AD=BD,AE=BE. 方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积和+两个直 由(1)可得△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°. 角三角形的面积，即最后化简为a2+b2+ab.根据面积相等，直 设CE=x,则BE=AE=AC-CE=16-x 接得等式c2+ab=a2+b2+ab,所以a2+b2=c2. 在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE+CB=BE2,即x2+ (2)因为HB=4千米，设CA=AB=x千米，则AH=(x- 12=(16-x)2,解得x=2 7 4)千米，在Rt△ACH中，CH=6千米，由勾股定理，得CA2=C +A,即2=62+(x-4)2,解得x=6.5,即C4=6.5千米 所以Sn=S-SacE=分4C·BC-方CE:BC= 答：原路CA长6.5千米 75 第35期综合测评卷 所以5am=分5w-空 题号12345678910 21.(1)点M,N不是线段AB的“勾股分割点”.理由如下： 因为AM=2,MN=3,WB=4, 答案CBAACDBA CC 所以AM+MN2=22+32=13≠NB2, 二、11.6；12.4（答案不惟一）；13.北偏西60°； 所以以AM,MN,NB为边的三角形不是一个直角三角形. 1441米：15.2或爱 所以点M,N不是线段AB的“勾股分割点”. 三、16.因为AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90° (2)①因为点M,N是线段AB的“勾股分割点”，MW为以 在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2=AB2-AD2=172- AM,MW,NB为边的三角形的最长边，且AM=0.7,BW=2.4, 82=225,所以BD=15. 所以MN2=AMP+NB=0.7+2.42=2.52, 所以CD=BC-BD=21-15=6. 所以MN=2.5.所以AB=AM+BN+MN=5.6. 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2=AD+CD2=82+6 ②设BN=x,则MW=AB-AM-BW=12-4-x=8-x. =100,所以AC=10. 因为点M,N是线段AB的“勾股分割点”，AM为以AM, 17.在△ABD中，∠ABD=90°，由勾股定理，得BD2=AD MN,NB为边的三角形的直角边，且AM=4, -AB2=902-602=4500. 所以当BN为直角三角形的斜边时，BN2=MN2+AM, 在△BCD中，BC2+CD2=302+602=4500. 即x2=(8-x)2+42,解得x=5,此时BN=5; 所以BC+CD2=BD 当BN为直角三角形的直角边时，MNP=AM+BNP, 所以△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°， 即(8-x)2=42+x2,解得x=3,此时BW=3. 所以BC⊥CD, 综上所述，BN的长为3或5《勾股定理及其逆定理》 综合测评卷 班级： 姓名： 学号： 满分：120分 题号 二 三 总分 郑 得分 、精心选一选 题号 1 2 3 4 5 6 P 9 10 得分 答案 二、细心填一填 11. 12 13. 14. 得分 15. 一、精心选一选（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1.一个直角三角形，若三边的平方和为200，则斜边长为 A.8 B.9 C.10 D.11 2.下列四组数据中，不是勾股数的是 A.3,4,5 B.5,6,7 C.5,12,13 D.6,8,10 3.如图1是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三 一克 角形.若正方形A,B,C,D的面积分别是3,5,2,3，则正方形E的面积是 A.13 B.11 C.8 D.6 黄实 实 朱实 图1 图2 图3 4.市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分.如图 2是某款自带勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是6cm,水杯的内侧高度为 8cm,若勺子的长度为14cm,则勺子漏出杯子的部分至少为 ( A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm 5.赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形.图中包含四个全等的勾股形和一个小正方 形，其面积称为朱实和黄实.如图3，设每一个勾股形的两条直角边长分别为a和b,若ab=8,且 a2+b2=25,则黄实为 A.25 B.16 C.9 D.3 6.已知一个三角形的三边长分别为3,4，x,若此三角形是直角三角形，则x的值是() A.4 B.5 C.万 D.5或7 7.如图4，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点， 点E,F都在格点上，连接AE,AF,则∠EAF的度数为 ( A.30° B.45° C.60° D.75 A E D 20 图4 图5 图6 8.如图5是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是20dm,3dm,2dm,A和B是这个 台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到B处去吃食物，则这只蚂蚁沿台阶面爬行到B 处的最短路程为 ( A.25 dm B.26 dm C.24 dm D.27 dm 9.定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的 “中偏度值”.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,则△ABC中AB边的“中偏度值”为 A.2 B.3 c. n号 10.如图6，在长方形ABCD中，AB=8,AD=12,将其沿EF折叠，点A,B分别落到点A'与 点B'处，恰好点C在A'B'上，且EG=CG,则线段CF的长度为 A.5 B号 c D. 7 4 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11.在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=2,AB=1,BC=a,则代数式(a-1)2+2a的值为 12.将小棍AB,BC和CD在同一平面内首尾顺次相接，AB⊥BC,小棍CD可绕点C转动，在 A与D之间用有弹性（可伸缩）的绳子连接，小棍长度如图7所示，绳子长度为x,请写出一个满 足条件的x的整数值： 0 4米 图7 图8 图9 图10 13.如图8，甲、乙两艘客轮同时离开港口0，航行的速度都是40m/min,甲客轮用15min到 达点A,乙客轮用20in到达点B.若A,B两点的直线距离为1000m,甲客轮沿着北偏东30°的 方向航行，则忆客轮的航行方向是 14.一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图9所示的隧道，则卡车的外形高必须低于 15.如图10，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发，沿射线 BC以2cm/s的速度移动.当运动的时间为时，△ABP为直角三角形. 三、耐心解一解（本大题共6小题，共60分） 16.(8分)如图11，在△ABC中，AD⊥BC于点D,AB=17,BC=21,AD=8,求AC的长 D 图11 17.（10分)如图12-①是某品牌婴儿车，图12-②为其简化结构示意图，现测得AB=CD =60cm,BC=30cm,AD=90cm,其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD =90°)，根据安全标准需满足BC⊥CD,通过计算说明该车是否符合安全标准 ② 图12 18.(10分)我国古代数学家赵爽利用弦图验证了勾股定理，小明也仿照赵爽的方法借助图 形的拼接验证勾股定理.他发现只需将两张全等的直角三角形纸片与一张满足一定要求的长方 形纸片，如图13-①所示，拼成如图13-②所示的图形，利用面积的不变性也可验证勾股定理 α2+2=c2.下面是小明验证勾股定理的部分过程，请你帮助小明续写验证过程. b-a b C a B ① 图13 解：如图13-②，连接EB,由题意，得∠AEF=∠BAC,∠AEF+∠EAF=90°， 所以∠BAE=∠BAC+∠EAF=∠AEF+∠EAF=90°. 19.(10分)如图14-①，圆柱形容器高为26cm,底面周长为20cm,在杯内壁离杯底4cm 的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，为了吃 到蜂蜜，蚂蚁从外壁A处沿着最短路径到达内壁B处 (1)如图14-②是杯子的侧面展开图，请在杯沿CD上确定一点P,使蚂蚁沿A-P-B路 线爬行，距离最短； D (2)求蚂蚁爬行的最短路径长 蚂蚁A B蜂蜜 ① ② 图14 20.(10分)如图15，在△ABC中，AB=20,AC=16,BC=12,DE是AB的垂直平分线，DE 分别交AC,AB于点E,D. (1)试说明：△ABC是直角三角形； (2)求CE的长及△AED的面积. D 图15 21.(12分)综合与探究 定义：如图16，点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB.若以AM,MN,NB为边的三角形是 个直角三角形，则称点M,N是线段AB的“勾股分割点”. 数学思考： (1)已知M,N把线段AB分割成AM,MN,NB.若AM=2,MN=3,NB=4,则点M,N是线 段AB的“勾股分割点”吗？请说明理由 深入探究： (2)已知点M,N是线段AB的“勾股分割点”. ①“善思小组”提出问题：若MW为以AM,MN,NB为边的三角形的最长边，且AM=0.7,BN =2.4,求AB的长 ②“智慧小组”提出问题：若AM为以AM,MN,NB为边的三角形的直角边，且AM=4,AB= 12,请直接写出BN的长 图16 些 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期)