专题02 一元二次方程全章15种题型（期中复习知识清单）八年级数学下学期新教材浙教版

专题02 一元二次方程 一元二次方程的概念 概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程. 一般式：ax2+bx+c=0(a≠0) · ax2：二次项，a为二次项系数（a≠0是核心前提）; · bx：一次项，b为一次项系数; · c：常数项. 判定三要素（缺一不可）： · ① 整式方程（分母、根号内不含未知数）; · ② 只含1个未知数; · ③ 未知数最高次数为2（二次项系数不为0）. 一元二次方程的解法 1. 直接开平方法（★★★） 适用形式：(x+m)2=n(n≥0). 解法：直接开平方得 x+m=±，即x=−m±; 注意：若n<0，方程无实数根. 2. 配方法（★★★★） 步骤：① 化二次项系数为1：方程两边同除以a; ② 移项：把常数项移到等号右边; ③ 配方：两边同时加上一次项系数一半的平方; ④ 开平方求解核心公式：x2+px+q=0→(x+)2=−q. 3. 公式法（★★★★★，通用解法） 求根公式：对于ax2+bx+c=0(a≠0)，当Δ=b2−4ac≥0时，x=.​ 根的判别式Δ： · Δ>0：方程有两个不相等的实数根; · Δ=0：方程有两个相等的实数根; · Δ<0：方程无实数根. 4. 因式分解法（★★★★） 适用形式：方程可化为(mx+n)(px+q)=0. 解法：令mx+n=0 或 px+q=0，分别求解. 常用方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法. 根与系数的关系（韦达定理，★★★★） 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,Δ≥0)，设两根为x1,x2，则：x1+x2=,x1x2=. 常见变形： · x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2; · ; · ∣x1−x2∣=(x1+x2)2−4x1x2. 一元二次方程的应用（★★★★★） 1. 常见应用类型 · 增长率问题：a(1±x)n=b（a为初始量，x为增长率/降低率，n为次数，b为最终量）; · 面积问题：根据图形边长、面积关系列方程（如矩形、正方形、道路面积等）; · 利润问题：总利润 =（单件售价-单件成本）× 销售量; · 动点问题：根据运动时间、路程、几何关系列方程; · 传播问题：a(1+x)n=b（a为初始传染源，x为每轮传染数，n为轮数）. 2. 解题步骤 ① 审：审题，明确已知量、未知量; ② 设：设未知数（直接设 / 间接设）; ③ 列：根据等量关系列一元二次方程; ④ 解：解方程，求出未知数的值; ⑤ 验：检验根是否符合实际意义（如长度、时间不能为负）; ⑥ 答：写出完整答案. 一元二次方程的定义 1.忽略二次项系数不为 0：判定方程为一元二次方程时，忘记要求a≠0，导致参数取值范围错误（如方程kx2+3x−2=0是一元二次方程，必须k≠0）; 2.误判方程类型：把分式方程（分母含未知数）、根式方程（根号含未知数）、二元方程（含2个未知数）错判为一元二次方程; 3.一般式整理错误：移项漏变号、未按降幂排列、漏写系数符号，导致二次项 / 一次项 / 常数项识别错误; 4.忽略 “最高次数为2”：化简后二次项被抵消（如(x+1)2=x2+2x+1），仍误判为一元二次方程. 一元二次方程的解法 1.直接开平方法：忽略n≥0的前提，对负数开平方；漏写正负号，只取一个根; 2.配方法：二次项系数不为1时，未先化系数为1就配方；配方时漏加常数项，或只在一边加平方数; 3.公式法：记错求根公式符号；未先计算判别式Δ，直接代入公式；代入时漏带系数符号; 4.因式分解法：方程两边同时除以含未知数的因式（如x(x−2)=x，直接两边除以x，漏根x=0）；因式分解错误. 根的判别式与韦达定理 1.忽略Δ≥0的前提：使用韦达定理、求根公式前，未验证判别式非负，导致出现无实根的错误结论; 2.韦达定理符号错误：记错两根和公式x1+x2=，漏写负号; 3.参数范围漏条件：已知根的情况求参数时，只考虑Δ，忘记二次项系数a≠0. 一元二次方程的应用 1.等量关系找错：增长率、利润、面积问题中，对题意理解偏差，列错方程; 2.漏检验根的实际意义：解出方程后，直接写答案，未舍去负数、不符合题意的根（如长度、时间不能为负）; 3.单位不统一：列方程时，单位未统一，导致计算错误; 4.设未知数错误：间接设元时，未对应问题所求，答非所问. 一元二次方程的判断技巧 1.三要素快速判定法：先看是否为整式方程→再看是否只含1个未知数→最后看最高次数是否为2（且二次项系数≠0），三步缺一不可； 2.一般式转化步骤：去分母→去括号→移项（变号）→合并同类项→整理为ax2+bx+c=0(a≠0)，再识别各项系数. 一元二次方程的解法选择技巧 方程特征 最优解法 技巧说明 形如(x+m)2=n(n≥0) 直接开平方法 最快，直接开平方，注意正负号 二次项系数为 1，一次项系数为偶数 配方法 配方简单，适合求最值、证明 所有一元二次方程（通用） 公式法 万能解法，先算Δ再代入 可因式分解（提公因式、十字相乘） 因式分解法 最快，避免复杂计算，注意不要漏根 根的判别式与韦达定理技巧 1.判别式速用技巧： · 定根的情况：直接算Δ=b2−4ac，Δ>0两不等实根，Δ=0两相等实根，Δ<0无实根; · 求参数范围：根据根的情况列Δ的不等式，同时保证a≠0. 2.韦达定理常用变形： · x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2; · ; · ∣x1−x2∣=(x1+x2)2−4x1x2. 3.已知一根求另一根：用韦达定理x1+x2=，直接计算，无需重新解方程. 一元二次方程应用解题技巧 1.六步解题法：审（找等量关系）→设（直接 / 间接设元）→列（列方程）→解（解方程）→验（验根的实际意义）→答（规范作答）. 2.常见题型公式速记： · 增长率问题：a(1+x)n=b（a初始量，x增长率，n次数，b终量）; · 利润问题：总利润 =（售价 - 成本）× 销售量; · 面积问题：用 “割补法” 表示图形面积，列方程. 3.避坑技巧：解完方程必须检验，舍去不符合实际的根；单位统一后再列方程. 一元二次方程的定义 【例1】下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列方程中，是关于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列方程①x2﹣5x＝2022，②，③，④，一定是关于x的一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 根据一元二次方程的定义求参数 【例2】若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】若方程是关于x的一元二次方程，则________． 【变式2-2】若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（    ） A．或1 B．1 C． D． 【变式2-3】已知关于x的方程为一元二次方程，则m的值是________． 根据一元二次方程的解求参数 【例3】若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 【变式3-1】关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．0 【变式3-2】已知a是方程的一个根，则代数式的值为______． 【变式3-3】已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 一元二次方程的解的估算 【例4】根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 【变式4-1】观察表格，估算一元二次方程的近似解： x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】根据下列表格的对应值： 可以判断方程（，a，b，c为常数）的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 【变式4-3】根据下列表格的对应值，判断方程．（，、、为常数）一个解的范围是（    ） x A． B． C． D． 一元二次方程的一般形式 【例5】一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为_____，一次项系数为______，常数项为____． 【变式5-1】把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 【变式5-2】将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 直接开平方法解一元二次方程 【例6】方程的根是（   ） A．， B．， C． D．， 【变式6-1】用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【变式6-2】求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)． 【变式6-3】解方程： 配方法解一元二次方程 【例7】用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【变式7-2】配方法解一元二次方程：． 【变式7-3】解方程：（用配方法） 公式法解一元二次方程 【例8】用公式法解方程时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是（   ） A．0，， B．1，， C．1，3， D．1，， 【变式8-1】在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】若直角三角形的两边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是（    ） A．6 B．12 C．12或 D．6或 【变式8-3】（用公式法）解一元二次方程：． 因式分解法解一元二次方程 【例9】一元二次方程的解是（      ） A． B． C． D． 【变式9-1】方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【变式9-2】方程的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式9-3】解方程： (1)； (2)． 配方法的应用 【例10】已知一元二次方程可配成，则的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【变式10-1】用配方法解方程，将方程变成的形式，则的值分别为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】代数式的值恒为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【变式10-3】已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（    ） A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例11】下列方程中，有两个相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【变式11-2】关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．根的个数与m的取值有关 【变式11-3】已知关于x的方程，下列说法中正确的是（    ） A．当时，方程有两个不相等的实根 B．当时，方程无解 C．当时，方程只有一个实根 D．当时，方程一定有两个不相等的实根 根据一元二次方程根的情况求参数 【例12】若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（    ） A．36 B． C．9 D． 【变式12-1】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．16 【变式12-2】已知关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是_________． 【变式12-3】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（   ） A．0 B．1 C． D．3 【变式12-4】已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个根都是正整数，求m的最小值. 换元法解一元二次方程根 【例13】阅读并填空：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，原方程化为______① 解得______． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了“降次”和“整体”的数学思想． 请你利用上述材料中的方法解方程：． 【变式13-1】已知方程的解是，则另一个方程的解是（ ） A． B． C． D． 【变式13-2】已知，则的值等于___________． 【变式13-3】阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)； (2)． 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 【例14】若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】已知一元二次方程的两根为，，式子的值是（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________． 【变式14-3】若是一元二次方程的两个根，则的值为____． 【变式14-4】已知一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 一元二次方程的实际应用 【例15】某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（    ） 【变式15-2】如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式15-3】某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 【变式15-4】如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒. (1)当 时，平分四边形的面积. (2)当与四边形的某一边平行时，求的值. (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求出值，若不存在，说明理由. 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 一元二次方程的概念 概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程. 一般式：ax2+bx+c=0(a≠0) · ax2：二次项，a为二次项系数（a≠0是核心前提）; · bx：一次项，b为一次项系数; · c：常数项. 判定三要素（缺一不可）： · ① 整式方程（分母、根号内不含未知数）; · ② 只含1个未知数; · ③ 未知数最高次数为2（二次项系数不为0）. 一元二次方程的解法 1. 直接开平方法（★★★） 适用形式：(x+m)2=n(n≥0). 解法：直接开平方得 x+m=±，即x=−m±; 注意：若n<0，方程无实数根. 2. 配方法（★★★★） 步骤：① 化二次项系数为1：方程两边同除以a; ② 移项：把常数项移到等号右边; ③ 配方：两边同时加上一次项系数一半的平方; ④ 开平方求解核心公式：x2+px+q=0→(x+)2=−q. 3. 公式法（★★★★★，通用解法） 求根公式：对于ax2+bx+c=0(a≠0)，当Δ=b2−4ac≥0时，x=.​ 根的判别式Δ： · Δ>0：方程有两个不相等的实数根; · Δ=0：方程有两个相等的实数根; · Δ<0：方程无实数根. 4. 因式分解法（★★★★） 适用形式：方程可化为(mx+n)(px+q)=0. 解法：令mx+n=0 或 px+q=0，分别求解. 常用方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法. 根与系数的关系（韦达定理，★★★★） 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,Δ≥0)，设两根为x1,x2，则：x1+x2=,x1x2=. 常见变形： · x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2; · ; · ∣x1−x2∣=(x1+x2)2−4x1x2. 一元二次方程的应用（★★★★★） 1. 常见应用类型 · 增长率问题：a(1±x)n=b（a为初始量，x为增长率/降低率，n为次数，b为最终量）; · 面积问题：根据图形边长、面积关系列方程（如矩形、正方形、道路面积等）; · 利润问题：总利润 =（单件售价-单件成本）× 销售量; · 动点问题：根据运动时间、路程、几何关系列方程; · 传播问题：a(1+x)n=b（a为初始传染源，x为每轮传染数，n为轮数）. 2. 解题步骤 ① 审：审题，明确已知量、未知量; ② 设：设未知数（直接设 / 间接设）; ③ 列：根据等量关系列一元二次方程; ④ 解：解方程，求出未知数的值; ⑤ 验：检验根是否符合实际意义（如长度、时间不能为负）; ⑥ 答：写出完整答案. 一元二次方程的定义 1.忽略二次项系数不为 0：判定方程为一元二次方程时，忘记要求a≠0，导致参数取值范围错误（如方程kx2+3x−2=0是一元二次方程，必须k≠0）; 2.误判方程类型：把分式方程（分母含未知数）、根式方程（根号含未知数）、二元方程（含2个未知数）错判为一元二次方程; 3.一般式整理错误：移项漏变号、未按降幂排列、漏写系数符号，导致二次项 / 一次项 / 常数项识别错误; 4.忽略 “最高次数为2”：化简后二次项被抵消（如(x+1)2=x2+2x+1），仍误判为一元二次方程. 一元二次方程的解法 1.直接开平方法：忽略n≥0的前提，对负数开平方；漏写正负号，只取一个根; 2.配方法：二次项系数不为1时，未先化系数为1就配方；配方时漏加常数项，或只在一边加平方数; 3.公式法：记错求根公式符号；未先计算判别式Δ，直接代入公式；代入时漏带系数符号; 4.因式分解法：方程两边同时除以含未知数的因式（如x(x−2)=x，直接两边除以x，漏根x=0）；因式分解错误. 根的判别式与韦达定理 1.忽略Δ≥0的前提：使用韦达定理、求根公式前，未验证判别式非负，导致出现无实根的错误结论; 2.韦达定理符号错误：记错两根和公式x1+x2=，漏写负号; 3.参数范围漏条件：已知根的情况求参数时，只考虑Δ，忘记二次项系数a≠0. 一元二次方程的应用 1.等量关系找错：增长率、利润、面积问题中，对题意理解偏差，列错方程; 2.漏检验根的实际意义：解出方程后，直接写答案，未舍去负数、不符合题意的根（如长度、时间不能为负）; 3.单位不统一：列方程时，单位未统一，导致计算错误; 4.设未知数错误：间接设元时，未对应问题所求，答非所问. 一元二次方程的判断技巧 1.三要素快速判定法：先看是否为整式方程→再看是否只含1个未知数→最后看最高次数是否为2（且二次项系数≠0），三步缺一不可； 2.一般式转化步骤：去分母→去括号→移项（变号）→合并同类项→整理为ax2+bx+c=0(a≠0)，再识别各项系数. 一元二次方程的解法选择技巧 方程特征 最优解法 技巧说明 形如(x+m)2=n(n≥0) 直接开平方法 最快，直接开平方，注意正负号 二次项系数为 1，一次项系数为偶数 配方法 配方简单，适合求最值、证明 所有一元二次方程（通用） 公式法 万能解法，先算Δ再代入 可因式分解（提公因式、十字相乘） 因式分解法 最快，避免复杂计算，注意不要漏根 根的判别式与韦达定理技巧 1.判别式速用技巧： · 定根的情况：直接算Δ=b2−4ac，Δ>0两不等实根，Δ=0两相等实根，Δ<0无实根; · 求参数范围：根据根的情况列Δ的不等式，同时保证a≠0. 2.韦达定理常用变形： · x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2; · ; · ∣x1−x2∣=(x1+x2)2−4x1x2. 3.已知一根求另一根：用韦达定理x1+x2=，直接计算，无需重新解方程. 一元二次方程应用解题技巧 1.六步解题法：审（找等量关系）→设（直接 / 间接设元）→列（列方程）→解（解方程）→验（验根的实际意义）→答（规范作答）. 2.常见题型公式速记： · 增长率问题：a(1+x)n=b（a初始量，x增长率，n次数，b终量）; · 利润问题：总利润 =（售价 - 成本）× 销售量; · 面积问题：用 “割补法” 表示图形面积，列方程. 3.避坑技巧：解完方程必须检验，舍去不符合实际的根；单位统一后再列方程. 一元二次方程的定义 【例1】下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； B．该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意； C．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； D．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】下列方程中，是关于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．逐个判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、，方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、，方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程中若为0，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理；如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程． 【详解】解： A、当时，不是一元二次方程，故不符合题意； B、原方程整理得：，是一元一次方程，故不符合题意； C、是分式方程，故不符合题意； D、符合一元二次方程的定义，故符合题意． 故选：D． 【变式1-3】下列方程①x2﹣5x＝2022，②，③，④，一定是关于x的一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：①x2﹣5x＝2022，是一元二次方程； ②，当a=0时不是一元二次方程； ③，是一元二次方程； ④，整理后不含二次项，不是一元二次方程， 所以，一定是关于x的一元二次方程的是①③，共2个， 故选：B 【点睛】本题主要考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 根据一元二次方程的定义求参数 【例2】若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意，得， 解得：，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，特别注意二次项系数不等于0这个条件． 【变式2-1】若方程是关于x的一元二次方程，则________． 【答案】2 【分析】此题主要是注意一元二次方程的定义：未知数的最高次数是二次的整式方程，且二次项系数不得为0，根据一元二次方程的定义得到且，求得m的值即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义，得且， 解得. 故答案为：2 【变式2-2】若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（    ） A．或1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，绝对值，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，根据一元二次方程的定义得出且，即可求出m的值． 【详解】解：若方程是关于x的一元二次方程， 则， 解得或， ， ， ， 故选：B． 【变式2-3】已知关于x的方程为一元二次方程，则m的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，列出关于的一元二次方程和一元一次不等式，解之即可． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：，， ， 解得：， 即， 故答案为：． 根据一元二次方程的解求参数 【例3】若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把根代入方程中，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：； 故答案为：1． 【变式3-1】关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解，但一定要注意一元二次方程二次项系数不等于0，然后舍去不满足的取值即可． 【详解】解：把 代入， 得到： ∴或 ∵ 方程是一元二次方程， ∴ ， ∴， ∴； 故选：B ． 【变式3-2】已知a是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，巧用整体思想是解题的关键． 将代入方程，再结合整体思想即可解决问题． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴ 故答案为： 【变式3-3】已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解、已知式子的值求代数式的值、整体思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 把m代入一元二次方程得到，再利用整体代入法解题即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴， 故选C 一元二次方程的解的估算 【例4】根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格，找到相邻两个的值，使的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知：当时，，当时，， ∴当时，必然存在一个，使， ∴（，，，为常数）一个解的范围是； 故选D． 【变式4-1】观察表格，估算一元二次方程的近似解： x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的估算，解题的关键是根据表格数据找出位于哪两个数之间即可． 【详解】解：由表格可知， 当时，与时， ∴时，， 故选C． 【变式4-2】根据下列表格的对应值： 可以判断方程（，a，b，c为常数）的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】B 【分析】本题考查利用函数值的连续性估算方程近似解，需关注函数值跨过目标值的区间． 通过比较表格中的值与1的大小关系，确定函数值从小于1到大于1的区间，从而得到方程解的范围． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴方程的一个解的范围是， 故选：B． 【变式4-3】根据下列表格的对应值，判断方程．（，、、为常数）一个解的范围是（    ） x A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的图象与直线的交点就是方程的根，再根据函数的增减性即可判断方程一个解的范围． 【详解】解：函数的图象与直线的交点就是方程的根， 由表中数据可知：在与之间， ∴对应的x的值在与之间，即． 故选：D． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，掌握函数（，、、为常数）的图象与直线的交点与方程的根的关系是解题的关键所在． 一元二次方程的一般形式 【例5】一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为_____，一次项系数为______，常数项为____． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握形如的式子叫做一元二次方程是解题的关键． 先将方程化为一般形式，即可求解． 【详解】解：将方程化成一般形式为， ∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为． 故答案为：． 【变式5-1】把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解本题的关键． 将方程整理成一元二次方程的一般形式，确定各项系数、、的值． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项，得， 方程化简为， 可得，，， 故选：B． 【变式5-2】将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中a，b，c是常数，且，分别方程的是二次项系数，一次项系数和常数项；把方程化为一元二次方程的一般形式，据此即可求解． 【详解】解：方程化为一元二次方程的一般形式为：，则二次项系数，一次项系数和常数项分别是； 故选：B． 【变式5-3】把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程一般形式的特点是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是（、、为常数，）． 【详解】解：根据题意得：， ， ， 故选：D． 直接开平方法解一元二次方程 【例6】方程的根是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接开平方法解方程即可，掌握一元二次方程解法是解题的关键． 【详解】解： ， 或 ， ∴ ，， 故选：． 【变式6-1】用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键； （1）根据直接开平方法可进行求解方程； （2）根据直接开平方法可进行求解方程 【详解】（1）解：移项，得， 根据平方根的意义，得， 即． （2）解：移项，得， 两边同除以3，得， 根据平方根的意义，得， 即． 【变式6-2】求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查直接开方法解一元二次方程，掌握直接开方的计算方法是解题的关键． （1）先移项，再直接开方，即可求解； （2）先移项，再直接开方，即可求解； （3）先移项，再直接开方，即可求解． 【详解】（1）解：， 移项得，， ∴， 直接开方得，． （2）解：， 移项得，， 直接开方得，或， ∴． （3）解：， 直接开方得，或， ∴． 【变式6-3】解方程： 【答案】， 【分析】直接开方可得或，然后计算求解即可． 【详解】解：∵ ∴或 解得，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 配方法解一元二次方程 【例7】用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方． 【变式7-1】 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， 则，即， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 【变式7-2】配方法解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 两边同除以，得， 移项，得， 配方，得，即， 开平方，得， ∴，或， ∴，． 【变式7-3】解方程：（用配方法） 【答案】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，把方程变形为，开平方得到，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解： ∴ 则 ∴ 开平方得， 解得 【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 公式法解一元二次方程 【例8】用公式法解方程时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是（   ） A．0，， B．1，， C．1，3， D．1，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程公式法，一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解答本题的关键． 首先转化成一元二次方程的一般形式，然后求解即可． 【详解】解： 整理得， ∴二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是1，3，． 故选：C． 【变式8-1】在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 【变式8-2】若直角三角形的两边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是（    ） A．6 B．12 C．12或 D．6或 【答案】D 【分析】根据题意，先将方程的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边和斜边进行分情况讨论，最终求得该直角三角形的面积即可． 【详解】解方程得， 当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为； 当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为，面积为； 则该直角三角形的面积是6或， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角边斜边的确定、直角三角形的面积求解，熟练掌握解一元二次方程及勾股定理是解决本题的关键． 【变式8-3】（用公式法）解一元二次方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解一元二次方程，根据公式法解方程，正确掌握一元二次方程的解法是解题的关键 【详解】解： ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 因式分解法解一元二次方程 【例9】一元二次方程的解是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵ ∴或 ∴ 故选C． 【变式9-1】方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再利用因式分解法解答即可求解，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，， 故选：． 【变式9-2】方程的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：， ， 或， 所以，． 故选：B． 【变式9-3】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程， （1）采用因式分解法作答即可； （2）两边同时开方转化为一元一次方程，即可作答． 【详解】（1）， 方程左边分解因式，得 所以或， 解得，； （2）， 开平方，得，或， 解得，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 配方法的应用 【例10】已知一元二次方程可配成，则的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，利用配方法把一元二次方程变形为，所以，，然后求出m、n的值，最后计算它们的和即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴，， 解得， ∴． 故选：D． 【变式10-1】用配方法解方程，将方程变成的形式，则的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 先整理方程，然后再运用完全平方公式配方即可解答． 【详解】解：， ， ， 所以． 故选C． 【变式10-2】代数式的值恒为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将原式整理为，即可获得答案． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴代数式的值恒为正数． 故选：A． 【变式10-3】已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（    ） A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75 【答案】A 【分析】本题考查了代数式及配方法，不等式及偶次方的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键．先将代入原式，可整理得，再代入到，配方得，进而求解即可． 【详解】∵当时，该多项式的值为， ∴， 整理得，即 ∵， ∴，即， ∴， ∴， 四个选项中，只有A符合， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例11】下列方程中，有两个相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式间的关系是解题的关键．根据根的判别式逐一判断即可． 【详解】A、中，，此方程有两个相等的实数根，故选项A符合题意； B、中，，此方程没有实数根，故选项B不符合题意； C、中，，此方程有两个不相等的实数根，故选项C不符合题意； D、中，，此时方程无实数根，故选项D不符合题意； 故选：A． 【变式11-1】一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的根的情况，掌握根的判别式，利用判断根的情况是解题的关键； 当，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当，方程无实数根，计算得出即可． 【详解】解：，，， ， ∴原方程无实数根． 故选：C． 【变式11-2】关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．根的个数与m的取值有关 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的情况，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．根据判别式的公式，找到题目中相应的数据，，，代入判断即可． 【详解】∵， ∴，，， ∴ ∵ ， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选 C． 【变式11-3】已知关于x的方程，下列说法中正确的是（    ） A．当时，方程有两个不相等的实根 B．当时，方程无解 C．当时，方程只有一个实根 D．当时，方程一定有两个不相等的实根 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及一元一次方程的解．需分别代入各选项中的k值，计算判别式或直接解方程，判断根的情况． 【详解】A：当时，方程为，解得，有两个不相等的实根，正确． B：当时，方程为，解为，有解，原说法错误． C：当时，方程为：，判别式，方程有两个不相等的实根，原说法错误． D：当时，判别式．当时，，方程有两个相等实根，故“一定有两个不相等的实根”错误． 故选A． 根据一元二次方程根的情况求参数 【例12】若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（    ） A．36 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】根据判别式的意义得到，然后解关于c的一次方程即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根 ∴ 解得 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的跟与的关系，关键是分清楚以下三种情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【变式12-1】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．16 【答案】C 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 【变式12-2】已知关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的根的判别式且，计算即可． 【详解】∵一元二次方程没有实数根， ∴且， 解得， 故答案为：． 【变式12-3】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（   ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，求出，然后由得到，进而求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∵， ∴， ∴m的值可以是0． 故选：A． 【变式12-4】已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个根都是正整数，求m的最小值. 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）先计算出根的判别式的值得到，则，然后根据根的判别式的意义得到结论； （）先由求根公式得到，，再利用且得，然后根据和都是正整数可确定的值； 此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程的解法，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵， ∴，， ∵方程的两个根都是正数， ∴且， 解得， ∵方程的两个根都是正整数， ∴和都是正整数， ∴的最小值为． 换元法解一元二次方程根 【例13】阅读并填空：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，原方程化为______① 解得______． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了“降次”和“整体”的数学思想． 请你利用上述材料中的方法解方程：． 【答案】；或； 【分析】本题主要考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，先根据题意填空，再设，最后仿照题干过程解方程即可． 【详解】解：设，原方程化为①， ∴， 解得或． 当时，， ∴， ； 当时，， ∴， ； 原方程的解为． 设，则原方程可化为， ∴， ∴或， 当时，，此时方程无解； 当时，， ∴， ． 【变式13-1】已知方程的解是，则另一个方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是， ∴方程的解是， ∴或， 解得， ∴程的解是， 故选：D． 【变式13-2】已知，则的值等于___________． 【答案】4 【分析】本题考查解一元二次方程，首先把当作一个整体，设，方程即可变形为关于k的一元二次方程，解方程即可求得k即的值．此题注意把看作一个整体，然后运用因式分解法解方程，最后注意根据式子的形式分析值的取舍． 【详解】解：设， ∴， ∴，即， ∴或， ∵的值一定是非负数， ∴． 故答案为：4 【变式13-3】阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）把看做一个整体，设，则原方程可化为， ． （2）把看做整体，设，则原方程可化为，解得，． 【详解】（1）解： 把看做一个整体，设 则原方程可化为 解得， ∴或者 ∴， （2）解： 把看做整体，设 则原方程可化为 解得， ∴， 【点睛】本题考查了换元法解二元一次方程的方法，熟练运用换元法将次是解题的关键． 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 【例14】若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得． 【详解】解：方程中的， 是方程的两个根， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 【变式14-1】已知一元二次方程的两根为，，式子的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题关键是明确，； 求出，再整体代入计算即可． 【详解】解：一元二次方程的两根为，， 则，， ， 故选：D． 【变式14-2】关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________． 【答案】/-0.125 【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=-2m，x1x2=，再由x12+x22=变形得到（x1+x2）2-2x1x2=，即可得到4m2-m=，然后解此方程即可． 【详解】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=， ∵x12+x22=， ∴（x1+x2）2-2x1x2=， ∴4m2-m=， ∴m1=-，m2=， ∵Δ=16m2-8m＞0， ∴m＞或m＜0时， ∴m=不合题意， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，． 【变式14-3】若是一元二次方程的两个根，则的值为____． 【答案】5 【分析】本题主要考查根与系数的关系、一元二次方程的解，将化为，分别求出、，再代入求值即可． 【详解】解：∵α、β是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：5． 【变式14-4】已知一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】该题考查了一元二次方程根与系数的关系，先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ， 故选：C． 一元二次方程的实际应用 【例15】某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：． 【详解】由题意得：， 故选：C． 【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 【变式15-1】有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意即可列出方程． 【详解】解：由题意得：； 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【变式15-2】如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合阴影部分的总面积是，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形场地的长为长，宽，且所修建停车位的两侧是宽x m的道路，中间是宽的道路， ∴停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形． 根据题意，得， 化简，得． 故选：A． 【变式15-3】某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 【答案】(1)二、三这两个月的月平均增长率为； (2)当商品降价5元时，商场获利4250元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 【变式15-4】如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒. (1)当 时，平分四边形的面积. (2)当与四边形的某一边平行时，求的值. (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求出值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)或. (3)存在为等腰三角形，值为或或. 【分析】（1）根据题意可得，，解方程即可求出答案； （2）分和两种情况，根据平行四边形的判定和性质进行列方程解答即可； （3）连接，作于点E，，，分三种情况分别列方程，解方程进行解答即可. 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵ ∴四边形是直角梯形， 由题意可得，， 解得， 故答案为： （2）当时， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则， 解得， 当时， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则， 解得， 综上可知，当与四边形的某一边平行时，求的值为或. （3）如图，连接，作于点E，则 ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， 当时，，解得（不合题意的值的解已舍去） 当时， ，解得（不合题意的值的解已舍去） 当时，，解得（不合题意的值的解已舍去） 综上可知，值为或或. 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，分情况讨论是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $