函数与不等式全真试题专项解析-【数理报】2026年高考数学专项提分

数理极 专题复习 函数与不等式全真试题专顶解析 1/ ⊙山西庞彦忠 函数是中学数学的重点内容，它几乎贯穿中域上的恒等式，奇函数的图象关于原点对称，偶 学数学的始终，蕴涵着中学阶段的所有理念、思函数的图象关于y轴对称，反之也真 想及方法，它是进一步学习高等数学的基础，因 对于一个周期函数来说，如果在所有周期中 而是高考数学的考查重点、热点，在历年的高考存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫 中所占比例较大.这些试题不仅考查有关函数的做最小正周期， 基本知识、基本技能及基本方法，而且注重考查 四、函数的最值 逻辑思维能力、运算能力，以及分析问题和解决 函数的最大（小）值是相对函数的整个定义 问题的能力.通过函数的基本知识、基本方法在域而言，其几何意义即是图象的最高（低）点的 三角函数、数列、立体几何、解析几何等各部分知纵坐标，它与函数的值域是两个不同的概念，但 识中的应用，从而提高分析问题与解决问题的能是两者有必然的联系.函数最值与极值也是不同 力.因此，我们有必要对函数的相关知识点及其概念，要注意区别. 相互之间的内在联系以及高考命题规律作重点 题型一。函数的三要素、求值问题 的讲解与分析。 一、函数的三要素 定义域、值域、对应法则是函数的三要素，定 例函数代)=士+的定义域是 义域是三要素中最关键的要素，是使函数有意义 所必须具备的前提条件.没有定义域的“函数' 解析：因为代x)=1+√个-x, 就构不成函数，而大多数同学最容易忽视的也是 这一点，因此解题时要遵循“定义域优先”的原 所以1-≥0， 解得x≤1且x≠0， 则.函数的对应法则是联系函数的自变量与函数 lx≠0， 值之间关系的“桥梁”，中学阶段函数的对应法 即函数的定义域为(-∞，0)U(0,1]. 则常见的有解析式、图象、图表三种，在表示一个 点评：本题主要考查函数的定义域，考查学 函数时，它们各有特色.解析式的特点是简洁，图生对基础知识的理解和应用以及运算求解能力. 象、图表的特点是直观.函数的值域是研究函数 例2已知函数∫(x)的定义域为D,则 的一个落脚点，它是自变量取遍定义域内所有“f(x)的值域为R”是“对任意M∈R,存在 值，通过对应法则得到的函数值的全体，函数值0∈D,使得|∫(x)1>M”的 () 域的求法很多，因此函数的值域在函数学习中是 (A)充分不必要条件 一个难点，注意函数的最值也可以利用求值域的 (B)必要不充分条件 方法来求取.这部分知识是高考考查的重点和热 (C)充要条件 点，经常涉及到方程、不等式、导数等问题 (D)既不充分也不必要条件 二、函数的单调性 解析：若函数∫(x)的值域为R,则对任意M 函数的单调性是研究函数图象形态走势的∈R,一定存在x,∈D,使得∫(x1)=|M1+1,取 一种重要工具.求函数的值域、比较函数值的大0=：1，则1f()1=|M1+1>M,充分性成 小、解不等式等都离不开函数的单调性，判断函立； 数单调性的常见方法有定义法、值域法、图象法、 取f(x)=2,D=R,则对任意MeR,一定 导数法.值得注意的是，函数的单调性是针对函存在x1∈D,使得∫(x)=|M1+1,取x,=x, 数定义域内的某个区间而言的.导函数的正负也则1(xo)I=IM1+1>M,但此时函数∫(x) 是判定函数单调性的一种方法. 的值域为(0，+∞)，必要性不成立； 三、函数的奇偶性和周期性 所以“∫(x)的值域为R”是“对任意MeR, 正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握存在x。∈D,使得I∫(x)1>M”的充分不必要 好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称条件.故选(A). 是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件； 点评：本题考查充分条件与必要条件的判 (2)f(-x)=-f(x)或∫(-x)=∫(x)是定义断，抽象函数的值域，考查学生的逻辑推理能力. 3 题型二 函数的奇偶性与单调性 例3 已知f(x)是定义在R上的奇函数， 且当x>0时，f(x)=(x2-3)e+2,则 ) (A)f(0)=0 (B)当x<0时，f(x)=-(x2-3)ex-2 (C)f(x)≥2当且仅当x≥3 (D)x=-1是∫(x)的极大值点 解析：根据奇函数的定义有∫(0)=0，(A) 正确； 当x<0时，-x>0,所以f(-x)=(x2 3)e+2,因为f(-x)=-f(x),所以f(x)= -(x2-3)e-2,(B)正确： 当x>0时f'(x)=(x2+2x-3)e=(x -1)(x+3)e,所以函数f(x)在(0,1)上单周 递减，在(1，+∞)上单调递增，又∫(3)=2， 当x→0+时∫(x)→-1， 所以由∫(x)≥2得x≥5； 当x<0时，f(-1)=2(e-1)>2,满足 f(x)≥2，但-1[5，+∞)，(C)错误： 根据(C)解析知x=1是函数∫(x)的极小 值点，根据奇函数图象关于原点对称，知x=-1 是函数∫(x)的极大值点，(D)正确 故选(A)(B)(D). 点评：本题考查函数奇偶性的应用、函数的 极值，点，考查学生的逻辑推理能力和数学运算能 力. 例4 已知函数∫(x)=e-12.记a= ()6=f()c=f(),则() (A)6>c>a (B)b>a>c (Cc >b>a (D)c a>b 解析：函数∫(x)=e(x-12是由函数y=e” 和u=-（x-1)2复合而成的复合函数，y=e“为 R上的增函数，u=-（x-1)2在(-∞，1)上单 调递增，在(1，+∞)上单调递减，所以由复合函 数的单调性可知，f(x)在(-∞，1)上单调递增， 在(1，+∞)上单调递减.易知f(x)的图象关于 直线=1对称，所以c=f()=f(2-)。 9<2-吾<9<1，所以()<- )<(),所以6>e>a 故选(A). 点评：本题考查利用复合函数单调性比较大 小，突出对基础知识的深入理解和灵活掌握，考 查学生的逻辑推理能力和运算求解能力 题型三 函数的周期性与对称性 例5 已知f(x)是定义在R上且周期为2 的偶函数，当2≤x≤3时，∫(x)=5-2x,则 f(-)= ( (A)- (B) (C) (D) 解析：当xe[-1,0]时，-x+2∈[2,3]， 所以当xe[-1,0]时，f(x)=f(-x)= f(-x+2)=5-2(-x+2)=1+2x, 所以（子）=1-子=-分故选(A)。 点评：本题考查函数的周期性和奇偶性，考 查学生的转化与化归能力和数学运算能力. 例6 (多选)已知函数f(x)及其导函数 f'(x)的定义域均为R,记g(x)=∫'(x).若 ∫（号-2x)g(2+x)均为偶函数，则 ( (A)f(0)=0 (B)g(-2)=0 (C)f(-1)=f(4) (D)g(-1)=g(2) 解析：因为f(号-2x）为偶函数，所以 f(子-2x)=(号+2x）,所以函数r(x)的图 象关于直线x=号对称（号-2×子） f(+2×),即r(-)=f(4),所以(C) 正确； 因为g(2+x)为偶函数，所以g(2+x)= g(2-x),函数g(x)的图象关于直线x=2对 称，因为g(x)=∫'(x),所以函数g(x)的图象关 于点(3,0) 对称，（二级结论：若函数h(x)为 偶函数，则其图象上在关于y轴对称的点处的切 线的斜率互为相反数，即其导函数的图象关于原 点对称.本题函数∫(x)的图象关于直线x= 对称，则其导函数g()的图象关于点(3,0)】 对称).所以g(x)的周期7=4×(2-2)=2 因为f(-1)=f(4),所以f'(-1)=-f'(4), 专题复习 即g(-1)=-g(4)=-g(2),所以(D)错误； 因为f(3-2）=f(3+2),即/(-) =f(3)所以()=-f(3), 所以8(-3）=-g(3)=-8(2×2 2）=-(-2）,所以g(-2)=0,所以（®） 正确； 不妨取∫(x)=1(x∈R),经验证满足题 意，但∫(0)=1，所以(A)错误 故选(B)(C). 点评：本题考查以抽象函数为背景的函数的 奇偶性、周期性及对称性，考查学生的运算求解 能力、分析问题与解决问题的能力 题型四 基本初等函数 例7 设a>0,s∈R,下列各项中，能推出 a>a的一项是 (A)a>1,且s>0 (B)a>1,且s<0 (C)0<a<1,且s>0 (D)0<a<1,且s<0 解析：当a>1时，a>a→s>1; 当0<a<1时，a'>a台→s<1. 结合选项可知只有(D)选项能推出a'>a. 故选(D). 点评：本题主要考查指数函数的性质，考查 学生的化归与转化能力. 例8 下列幂函数中，定义域为R的是 (A)y=x (B)y=x (C)y=x (D)y =x 解析：选项(A)中函数的定义域为(-∞， 0)U(0,+∞)，选项(B)中函数的定义域为 (0,+∞)，选项(C)中函数的定义域为R,选项 (D)中函数的定义域为[0，+∞)，故选(C). 点评：本题考查幂函数的定义域，考查学生 的化归与转化能力. 例9 已知2+log2x=3+log3y=5+ logz,则x,y,2的大小关系不可能为 (A)x>y>z (B)x z>y (C)y>x>z (D)y z>x 解析：令2+log2x=3+l0g3y=5+l0g52 =0,得x=4y=27=京此时x>y>时 2 +log2 x =3 +log3 y =5+logs=5, 数理极 得x=8,y=9,z=1,此时y>x>2; 2+log2 x=3+logs y =5 logs z=8, 得x=26=64,y=35=243,z=53=125,此 时y>z>x.故选(B) 点评：本题主要考查对数的运算性质的应 用，考查学生的运算求解能力 题型五。 分段函数 例10 已知函数f(x)=2+1,且g(x) log2(x+1),x≥0， 则方程g(x)=2的解为 /(-x),x<0, 解析：当x≥0时，由g(x)=log2(x+1)= 2,得x+1=4,解得x=3; 当x<0时，由g(x)=f(-x)=2+1= 2,解得x=0(舍去). 综上所述，方程g(x)=2的解为x=3. 点评：本题主要考查分段函数，考查学生的 运算求解能力. 例11 已知函数∫(x) -t-2ax-a,x<0, 在R上单调递增，则a ex+ln(x+1),x≥0 的取值范围是 ( (A)(-∞，0] (B)[-1,0] (C)[-1,1] (D)[0,+∞) 解析：因为函数∫(x)在R上单调递增， 且x≥0时f(x)=e+ln(x+1)单调递增， -2a 则需满足厂2×(-1)≥0， a≤e°+ln1, 解得-1≤a≤0， 即实数a的取值范围是[-1,0].故选(B). 点评：本题考查分段函数的单调性和一元二 次函数的单调性，考查学生的逻辑推理能力、运 算求解能力. 题型六令 函数的图象 例12 已知函数y= ∫(x)的图象如右图所示，则 ∫(x)的解析式可能为 ( (A)()=(B() (C)f(x)= 1-x2 (D)f ()=1x1 x2-1 解析：由题图可知函数∫(x)的定义域为 x1x≠±1}，且∫(x)为偶函数，易得∫(x)= 数理招 1x与f()=x- X 均为奇函数，排除选 项(A),(B).由题图可知当x>1时，f(x)>0, 易得当x>1时()=<0() >0.排除(C,故选(D 点评：本题考查函数图象的识别和函数的奇 偶性，考查学生的化归与转化能力、数形结合能 力以及运算求解能力.函数图象识别题一般分为 两类：一类是知图选式；一类是知式选图.解决这 两类问题的方法一般为：(1)利用函数的定义与 性质，如定义域、奇偶性、单调性（对于比较复杂 的函数，一般还会借助导数)等判断；(2)利用 函数的零，点、极值点等判断；(3)利用特殊函数 值判断。 例13 为了得到函数y=9的图象，只需把 函数y=3的图象上所有点的 (A)横坐标变为原来的) 倍（纵坐标不变） (B)横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） (C)纵坐标变为原来的；倍（横坐标不变） (D)纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 解析：因为y=9=32,所以将函数y=3 的图象上所有点的横坐标变成原来的？倍，纵 坐标不变，即可得到函数y=9的图象， 故选(A). 点评：本题考查函数的图象变化，考查学生 的化归与转化能力. 题型七。 函数的零点 例14 函数f(x)=0.3-√x的零点所在区 间是 ( (A)(0,0.3) (B)(0.3,0.5) (C)(0.5,1) (D)(1,2)》 解析：易知f(x)单调递减，又f(0)=1> 0,f(0.3)=0.33-√0.3=0.3.3-0.305> 0,f(0.5)=0.3.5-0.5=√0.3-√0.5< 0,所以f(x)的零点所在区间是(0.3,0.5)， 故选(B) 点评：本题考查函数的零点和指数函数、幂 函数的单调性，考查学生的理性思维、分析问题 和解决问题的能力. 题型八 函数的应用 例15 一定条件下，某人工智能大语言模型训 …专题复习 练N个单位的数据量所需要的时间T=logN(单 位：)，其中k为常数.在此条件下，已知训川练数 据量N从10个单位增加到1.024×10个单位 时，训川练时间增加20h;当训练数据量N从1.024 ×10°个单位增加到4.096×10°个单位时，训川练 时间增加 ( (A)2h (B)4h (C)20h (D)40h 解析：设当N取10个单位、1.024×10°个单 位、4.096×10°个单位时所需时间分别为T1,T2, T3, 由题意，T1=klog210°=6klog210, T2=log2(1.024×10)=log2(20×10) =k(10+61og210), T3=klog(4.096×10°)=log2(22×10) =k(12+6log210), 因为T32-T,=k(10+61log210)-6klog210 =10k=20,所以k=2, 所以T3-T2=k(12+6log210)-k(10+ 6log210)=2k=4, 所以当训练数据量N从1.024×10°个单位 增加到4.096×10°个单位时，训练时间增加4小N 时.故选(B) 点评：本题考查对数的运算性质的应用、利 用给定函数模型解决实际问题，考查学生分析问 题、解决问题的能力以及运算求解能力 题型九 不等式 例16 不等式 ≥2的解集是 ( (A){x|-2≤x≤1}(B){x1x≤-2 (C){xI-2≤x<1}(D){xIx>1} 解新：2得二+2≥0， 得7≤0得a+2≤0. x≠1， 得-2≤x<1,故选(C) 点评：本题主要考查分式不等式的解法，考查 运算求解能力. 例17 已知a>0,b>0,则 (A)a2+b2>2ab (B) 1 (C)a+b>ab (D) 2 / 解析：对于(A),当a=b时，a2+b2=2ab, 故(A)错误； 对于(B(D),取a=子6=子 5 此时2+=2+4=6 =8 了1 ab 4 =2+4=6> 2 =42= 4 2,故(B)(D)错误； 对于(C),由基本不等式可得a+b≥2√ab> √ab,故(C)正确 故选(C). 点评：本题主要考查基本不等式，考查学生的 逻辑推理和数学运算能力 例18 设a>0,6>0,a+6=1,则6+ 的最小值为 解析6+=(b+日)(a+云) =ab+ +2 ab ≥2b +2 =4, 当且仅当ab=即a=分，6=2时，等号成 立 点评：本题主要考查基本不等式，“1”的妙用 求和的最小值，考查学生的逻辑思维能力. 例19 若a,b∈R,Hx∈[-2,2]，均有(2a+ b)x2+bx-a-1≤0恒成立，则2a+b的最小值为 解析：设t=2a+b,则函数∫(x)=x2+bx- a-1需满足Hx∈[-2,2]，f(x)≤0恒成立， f(-2）=子+(-2)b-a-1, 由t=2a+b,得b=t-2a, 所以(2）=子-22-a1 =-千-1≤0， 4 解得t≥-4. 当t=-4时，2a+b=-4,即b=-4-2a, 所以f(x)=-4x2+(-4-2a)x-a-1. 为使∫(x)≤0对所有x成立，可尝试令 f(x)=-(mx+n)2(m>0),对比系数得 -m2=-4, m=2, -2mn=-4-2a,解得n=1, -2=-a-1, a=0, 进而得b=-4,此时f(x)=-(2x+1)2, 显然Hx∈[-2,2]∫(x)≤0恒成立 综上，2a+b的最小值为-4. 点评：本题主要考查不等式恒成立问题，考查 学生的逻辑推理、数学运算能力以及换元思想