第29期 平面向量的应用-【数理报】2025-2026学年高一数学必修第二册同步学案（人教A版）

16.(15分)如图5，在四边形ABCD中，已知∠ADC=75°，AD= 18.(17分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 19.(17分)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征 5,AB=7,∠BDA=60°，∠BCD=135° (号'-（台）°=nC+2sR 解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三 sin B (1)求BD的长； 角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了 (2)求CD的长 (1)求B; 解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠B0C= (2)若a=3,c=5,点M,N分别是边BC,BA上的动点（不包含 ∠C0A=120°的点O即为费马点：当△ABC有一个内角大于或等于 瑞点)，且MN=b,求BF+BN的最小值 120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已 知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos2A+cos2B c0s2C=1. (1)求C; (2)若ab=4,设点P为△ABC的费马点，求P.PB+PB.PC 高中数学· PC.PA: (3)设点P为△ABC的费马点，IPAI+|PBI=LI PCI,求实 高中数学· 数t的最小值. 必修第二册( (人教 17.(15分)在△ABC中，角A,B,C对应的边分别是a,b,c.已知 A cos 2A -3cos(B+C)=1. 版 同 (1)求角A的大小： 步核心素养测评 (2)若△ABC的面积S=5√3，b=5,求sin Bsin C的值 必修第二册（人教A版）同步棱心素养测评 参考答案见下期 本版责任编辑：张瑞霞 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 数评橘 2026年1月16日·星期五 高中数学 第 29期总第1173期 人教A 0351-5271248 必修（第二册】 名人名言 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 邮发代号：21-201 关键词：爱国 所以D成=M, 巧用向量法 新题速成 1.苟利国家生死 又DM与MB有公共点M, 以，岂因祸福避趋之 所以D,M,B三点共线 一林则徐 解决平面几何问题 方法二如右图， 以旧求新看向量 以E为原点，AB所在直 2.为天地立心 ⊙湖南苏振宇 线为x轴，EC所在直线 ◎山东 欧阳金 为生民立命，为往圣 (1)基底法：利用向量的运算法则、运算律 为y轴建立平面直角坐 一、新定义型问题 继绝学，为万世开太 或性质计算，有时可选取适当的基底（尽量用已标系，（在建立平面直角 特点是题中给出一种新的定义，如新运算 一张载 知模或夹角的向量作为基底)，将题中涉及的向坐标系时，要尽可能使 新函数、新概念等，要求我们在新环境下解决新 3.壮志饥餐胡虏 量用基底表示 更多的点落在坐标轴上，使更多的线与x轴、y轴 问题 肉，笑谈渴饮匈奴血 (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向平行)连接MB,MD. 例1我们把形如a=(x,y),b=(y,x)(x 一岳飞 量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行 令1AD1=1,则1DC1=1,1AB1=2. ≠y)的一对向量称为“对称向量”.请证明： (1)若a与b是“对称向量”，则必有(a+b) 4.靖康耻，犹未 等问题转化为代数运算 因为CE⊥AB,且AD=DC, 所以四边形AECD为正方形. (a-b)=0; 雪；臣子恨，何时灭 一般地，易建坐标系的问题适合用坐标法 例已知在直角梯形ABCD中，AD⊥AB,AB 所以可求得各点的坐标分别为E(0,0) (2)若a,Be(0,平)，且a≠B,则a= 岳飞 B(1,0),C(0,1),D(-1,1) 5.以身殉道不苟 =2AD=2CD,过点C作CE1AB于点E,M为 (cosa,sina),b=(cosB,sinB)一定不是“对 CE的中点，用向量的方法证明： (1)因为ED=(-1,1)-(0,0)=(-1,1), 称向量” 生，道在光明照千古」 (1)DE∥BC; BC=(0,1)-(1,0)=(-1,1). 分析：求解本题可直接套用所给出的新定 一文天祥 (2)D,M,B三点共线 所以ED=BC,所以ED∥BC,即DE∥BC 义，根据定义对第(1)，（2)小问进行证明. 6松柏后凋于岁 解：方法一由已知得四边形AECD为正 证明：(1)设a=(x,y),b=(y,x)(x≠y), 寒，鸡鸣不已于风雨 (2)因为M为EC的中点，所以M(0,3) 则(a+b)·(a-b) 方形，设A正=a,AD=b. 保天下者，匹夫之贱 =(x+y,y+x)·(x-y,y-x) 与有责焉耳矣 (1)因为DE=A正-AD=a-b,c店=EB 所以i=(-1,)-(03)=(-1,2) =(x+y)(x-y)+(y+x)(y-x)=0 一顾炎武《日知论》 -E元=a-b,所以D正=C正，所以D呢∥CB,即 MB=(1,0)- (0,3)=(1,-2) (2)因为a,Be(0,）, 7.先天下之忧而 DE∥BC 2 忧，后天下之乐而乐 (2)连接DM,MB,Di=DC+CM=a 所以MD=-MB,所以MD∥MB. 所以cwsa>是sinB< 2 一范仲淹 b,M=+E=-b+a, 又MD与MB有公共点M, 假设a与b是“对称向量”， 8.捐躯赴国难 所以D,M,B三点共线 则有cosa=sinB,故矛盾. 视死忽如归 所以a与b一定不是“对称向量” (A)⑤ (B) 二、开放探索型问题 曹植 3 4 开放探索型问题往往是题目的条件或结论 9.王师北定中原 日，家祭无忘告乃翁 (c 号 不完整，需要我们充分利用题目所给的信息，认 正、余花定理的应年 真分析，勇于探索，最后能对自已的猜想给出严 一陆游 解：在△ABC中，a= 48 格证明. 10.人生自古谁 例2设边长为1的正n边形A,A2…An,定义 ◎山西冯俊凤 无死，留取丹心照汗 一、判断三角形的形状 Sn=A1A·A2A+A2A·A3A+…+AnA· 由正弦定理有 青 一文天祥 例1在△ABC中，如果a'tan B=b2tanA, sin A sin 2B =2sin Bcos B. A14 11.风声雨声读 (1)求S3与S4; 试判断△ABC的形状， 书声声声入耳，国事 5 解：由已知得02sinB-2sinA 消去sinA可得：inB=2 sin Beos B, (2)根据上述计算，你能否得到S,的计算 家事天下事事事关 公式？证明你的结论， cos B cos A 分析：猜测Sn的计算应有一定的规律，因此 心 一顾宪成 12.英雄非无泪 由正弦定理得sin'Asin B =sin'Bsin A 因为sinB≠0，所以cosB= 4 .故选(B) 应在计算S,与S4的过程中仔细分析，总结规 cos B cos A 三、边角关系的证明 律，猜想结果，最后给出严格证明。 不洒敌人前.男儿七 因为sinA≠0，sinB≠0， 例3在△ABC中，角A,B,C的对边分别为 解：(1)53=AA·A4+A4·AA+ 尺躯，愿为祖国捐 一陈辉 所部 sin B a,b,c. =Cos A' d=314i1d1o- 13.我们爱我们 即sinA·cosA=sinB·cosB, 证明：，=sin(A-B) sin C S4=A4·A2A3+A4·AA+A4·A44 的民族，这是我们自 所以sin2A=sin2B. 证明：由a2=b2+c2-2 bccos A,b2=a2+ 因A,B是△ABC的内角，则有2A=2B或c2-2 accos B得 +AA·AA=41AA11A41c0s号=0. 信心的源泉。 周恩来 2A+2B=T,即A=B或A+B=T, ,所以 a2 -b2b2 a2 -2bccos A 2accos B, (2)由(1)可以猜想 15.谁不属于自 整理得0-？ acos B-bcos A S。=AA·A2A+A2A·AA+…+An1A △ABC是等腰三角形或直角三角形， 己的祖国，他就不属 二、求三角函数的值 由正弦定理得号=册C:mC sin A b =sin B 不+A不A=牙 于人类 一海涅 通过对S,与S4的计算发现，相邻两边构成 例2△ABC的三内角A,B,C的对边边长分 别为a6,c,若4=56.A=2B,则cosB= 所以4-6 .sin Acos B-sin Bcos A 的向量的夹角0均相等，都等于这个正n边形内 c2 sin C 2 角的补角，即0=T-n-2)五=2如，又正儿边 =sin(A-B) sin C 形的边长为1，所以容易得出Sn的计算公式 2 素养专练 数理招 专项小练一、平面向量的应用 专项小练二、余弦定理 专项小练三、正弦定理 1.如果a表示“向南走5km”,b表示“向北 1.在△ABC中，记内角A,B,C所对的边分别 1.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 走10km”,c表示“向东走10km”,d表示“向西 为a,b,c.若c2-ab=(a-b)2,则C=（ a,b,c,若a=6,b=5,B=30°，则sinA= 走5km”,那么下列向量中表示“向北走15km” () 的是 ( (君 (®)平 (A)a+b (B)c+d (c)哥 (D)罗 (a是 语@号⑩ (C)a+2b (D)a-b 2.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b, 2.已知△ABC的三个J顶点A,B,C及平面内 2.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为 26+c 点P满足P+PB=PC,则点P在 a,b,c.若B=120°，则2+ac+c2-b2的值 c,若A=,a=5,则2n84nG ( (A)△ABC的内部(B)线段AB上 ( (A)大于0 (B)小于0 (C)直线BC上 (D)△ABC的外部 (A)2 (B)5 (C)4 (D)25 3.(多选)已知A,B,C,D四点的坐标分别为 (C)等于0 (D)不确定 3.(多选)在△ABC中，角A,B,C的对边分 3.(多选)有一个内角为120°的三角形的三 (1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形不可能 别为a,b,c,若a=6,B=30°，则使此三角形只有 为 边长分别是m,m+1,m+2,则实数m的值不可 唯一解的b的值可以是 () (A)梯形 (B)菱形 能为 () (A)22(B)3 (C)5 (D)5√2 (C)矩形 (D)正方形 (A)1 (B号 (C)2 (D) 4.在△ABC中，a=12,b=43,A=120°， 4.两个力F=(1,1),F,=(4,-5)作用于 4.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为 则S△ABc= 同一个质点，使该质点从点A(20,15)移到点 5.在△ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c, a,b,c,且a=2 bcos C,则这个三角形一定是 B(7,0),则这两个力的合力对质点所做的功为 Esin2 B+sin2C+sin Bsin C=sin2A,a =7,6= 三角形. 5,则c= 5.已知4根细钢丝的长度分别为2,3,4,6 5.在△ABC中，0为其外心，20+20B+ 用其中的3根细钢丝围成一个三角形，则该三角 0元=0，若BC=2,则cos∠C0B= 形最小内角的余弦值可以是 数理报社试题研究中心 参考答案见下期 第28期2版参考答案 17.解：(1)设D(x,y)(x,y>0), 依题意可得AB=C⑦，又A(-2,-4),B(2,0),C(-1,1), 3 =7. 专项小练 入+ 所以4B=(4,4),CD=(x+1,y-1), 1.C;2.BCD;3.D:4.3:5.子a-bi 所以4解得即035 19.解：(1)因为a+2b=(5,3)+2(-3,2)=(-1,7), 专项小练二 1C:2B:3AcD:46,4):5-9 (2)设A正=AAC,A∈[0,1]，则(m+2,n+4)=A(1,5), @1a+“a239-是 (a+2b)2 (-1)2+72 所以厂m+2=A,则m=A-2, 故a(a+2b)的值为 专项小练三 n+4=5λ，ln=5λ-4， (2)设向量a与a-b的夹角为ax 1.B;2A:3.BD;49;5-子 所以(m-2)2+n2=(A-4)2+(5入-4)2=262-48X+ 因为向量a,b是单位向量，所以1a=1,b1=1, 2=6(a-)°+紧 由(a+b)⑧(2a-b)=i6, 5 第28期2版参考答案 因为Ae0o.,所以当X=号时，(m-2P+n2取最小值 可调2边答0办-高 a·b+1 、单项选择题 (2a-b)2 1~4 DBBB 5~8 BBDB 当入=0时，(m-2)2+n2取最大值32， 二、多项选择题 解得ab=子由(a-b)2=G-2a:b+份=子 9.AB;10.BC;11.BD. 所以(m-22+心的取值范围为[答2] 三、填空题 可得1a-b1=(a-b)严=6 2 18.(1)解：不妨设O=ma+nb.由于A,D,M三点共线，则存 12.3e:132+号：14.2 在a(a≠-1)使得Ai=aM,即Ad+0m=a(M心+0)，于是 2-a…b1-4 四、解答题 0m.耐+a0西 所以ma=a分=☆ 6 15.解：由题可得a·(a-2b)=a2-2a·b=0, 1+a 1x6 4 即(22+22)-2×(2x-2)=0, 解得x=3,所以b=(3,-1), 又而=分成所以成 0耐+号0i 1 O 故向量a与。-b的夹角的余弦值为 所以a与b的夹角的余弦值为b a.b 1+a =1+a+21ta (3)设向量a与b的夹角为9， 1 由题意可知0<6<牙，则0<cos9<1, 公×， 2×3+2×(-1) 【m=1+a' 则 即m+2n=1. ② 【n=2(1+a 因为1a≥311，所以0<☆≤了 16.解：(1)设点P的坐标为(x,y), 由于B,C,M三点共线，则存在B(B≠-1)使得C=BM店，即 则B=(x-1,y-4),P元=(3-x,3-y) 因为脉=号P元， 可+0m=B(Md+0i,于是0成-0元+B0应 1+B 因为b@a行兰=合8， 则-1子3-， 解得{ 成}成，所诚子，a成 所以0<b⑧a<},即0<4(b因a)<号 -4=分3-w,1=告 1+94n+0+中， 因为4(b⑧a)是整数，所以4(b⑧a)=1, 1 所以点P的坐标为（各，号）】 [m=41+B'即4m+n=1 所以 ② 所以6图a=则叫=一0 Q n=1+B 而0<≤分即0<4≤号 (2)设向量0币的坐标为(a,b),即D(a,b) 由①2可得m=子，m=多，所以O成=之0+多b 所以子≤cos6<1, 则4市=(a-2,b-1),0i=(1,4),0元=(3,3)， 压分风1成别0- (2)证明：由于E,M,F三点共线，所以存在实数n(n≠-1)使 得E=n,即E可+0成=n(d+0,于是O成-0正+n0正 为a®b=:0 1+7 4c0s20, 解得 a=5 又0尼=A0A,0㎡=40， ≤om20<1腕以}≤420<4， 所成远+骨， 1+7 即}≤a⑧b<4, 所以向量励的坐标为（子，~子） 所以+十”+， 故a®6的取值范用为[？4） 7.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a-ccos B=b 平面向量的应用 ccosA,则△ABC的形状是 ( 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 同步核心素养测评 (A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等腰或直角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 ◎数理报社试题研究中心 8.已知△ABC是锐角三角形，内角A,B,C所对应的边分别为a, 12.在△ABC中，a=4,b=5,c=6,则in24 sin C b,c.若(a-b)(sinA+sinB)=csin B且b=2,则△ABC外接圆面 13.曲柄连杆机构的示意图如图4所 第I卷选择题（共58分） 积的取值范围是 示，当曲柄OA在水平位置OB时，连杆端一 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (A)(T,2π) (B)(T,4T) 点P在Q的位置，当OA自OB按顺时针方 图4 1.在△4Bc中b=2,B=4,sinA=,则a与 (c)(,4知】 (D)(2π，4π》 向旋转角a时，P和Q之间的距离是xcm.若OA=3cm,AP=7cm (A)5 cm. (B)23 (C)6 (D)2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 x=5cm,则点A运动路径AB的长度是 高 2.已知力F的大小1F1=10,在F的作用下产生的位移s的大小 14.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c=4,CD 9.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.根据下列条 y 高 中数学 为|s|=14,F与s的夹角为60°，则F做的功为 AB于点D,且ccos Ccost(A-B)+4=csin2C+bsin Asin C,则线段CD 件解三角形，其中有两解的是 ( (A)7 (B)10 (C)14 (D)70 长度的最大值为 中数学 (A)b=10,A=45°，C=70°(B)b=45,c=48,B=609 四、解答题：本题共5小题，共77分 必修第二册 3.在△ABC中，若A=T,AB=1,AC=5,则BC边上的高为 6 (C)a=14,b=16,A=45° (D)a=7,b=5,A=80° 15.(13分)某潜艇为躲避反潜飞机的侦察，紧急下潜50m后，以 10.在日常生活中，我们会看到两个人共提一 必修第一 F 15km/h的速度沿北偏东45°前行5min,后又以10km/小h的速度沿北 册 (A)1 (B)2 (D)2 个行李包的情况行李包的受力情况如图2所示， 偏东60°前行8min,最后摆脱了反潜飞机的侦察.试画出潜艇整个过 假设行李包所受重力为G,作用在行李包上的两个 程的位移示意图。 A 4.设t为实数，满足t,t+1,t+2构成一个钝角△ABC的三边长， YG 拉力分别为F,F2,且IF|=IF2I,F与F2的夹 图2 版 则t的取值范围为 )同步核 (A)(1,3) (B)(2,3) (C)(1,2) (D)(1,4) 角为6.下列结论中正确的是 5.平面向量有这样一个结论：已知0是△ABC内的一点，若 (A)0越大越费力，0越小越省力 心素养测评 △B0C,△A0C,△A0B的面积分别为SA,SB,Sc,则SA·O4+Sa·OB+ (B)0的取值范围为[0，π] A版)同步核心素养测评 S。·0C=0.设0为△ABC内一点，且满足：0+20店+30C=3AB (C)当6=受时，1P1=G +2BC+C,则A4c= S△ABC (D)当9=2时，1下1=1G1 3 B号 (c日 11.如图3，△ABC的内角A,B,C所对的边 6.金山寺位于江苏省镇江市润州区，始建于 分别为a,b,c.若a=b,且√3(acos C+ecos A) 东晋时期，是中国佛教禅宗名寺，民间传说《白 =2 bsin B,D是△ABC外一点，DC=1,DA=3, 蛇传》中的金山寺即指此，与普陀寺、文殊寺、大 则下列说法正确的是 明寺并列为中国的四大名寺，其中慈寿塔为金山 (A)△ABC是等边三角形 标志，砖木结构，七级八面，嘉立于数重楼台殿宇 图1 之上，如图1：记慈寿塔塔高0T,某测量小组选取与塔底0在同一水平 (B)若AC=23,则A,B,C,D四点共圆 面内的两个测量点A,B.现测得∠OAB=45°，∠OBA=105°，AB (C)四边形ABCD面积最大值为5+3 186m,在B点处测得塔顶T的仰角为30°，则塔高0T为( (A)36m (B)63m (C)45m (D)153m (D)四边形ABCD面积最小值为55-3高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 发评柄 答案详解 2025~2026学年高一数学人教A(必修第二册) 第27~31期(2026年1月)》 第27期2版 9-16 -1487 √/37×13 481 专项小练一 1.D;2.B;3.AD:4.F2,BC,C 第27期3,4版 5.解：由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点 平面向量的概念及运算同步核心素养测评 连成的有向线段，共有20个， 一、单项选择题 即AB,AC,AD,Ad:BA,B元，BD,BO:C,C元，C元，Cd:D 1~4 CBDB 5 ~8 DBCB DB,DC,Dd:0A,0B,0元，0i 提示： 1.7(a+2b-3c)-3(a-2b-c)=-3a+7b+3c 5 由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等， 即AB=D元，AD=-BC,D=cE,BA=cD,Ad=OC,OA- 2.向量b在向量a方向上的投影向量的模为 CO,DO OB,OD BO. 1a…b1 2万×3×c0s 又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个 3 3 专项小练二 I al 23 1.C;2.B;3.ABD: 3.-70+2b=2(b-a)=2(d- 1 4.2a+7b;5.C 6.解：在矩形ABCD中，1AD1=1BC=45,IAB1=8, =方励=励 则1B1=√AB12+1AD2=√82+(43)2=4万， 4.a∥b(b≠0)台存在唯一入∈R,使a=Ab,故①错误； ④中当入1=入2=0时等式成立，故④错，故选(B). 因为BC=b,AB=a,BD=c, a-b-c AB-BC BD=AB-AD BD 5.根据已知可得元=成+武=成+之花 DB+DB 2 DB. =0i+2(0成-0动 因此，1a-b-c1=21DB1=2×4万=8万 专项小练三 =是成-2=0-a 1.D;2.C;3.BD;4.e1+2e2;5.2. 6.由a1(2a+b)得a·(2a+b)=21a12+a·b= 6.解：因为M元=子+子， 21a13-71a1b1=0,21a2=1a11b1, 所以4M元=MA+3MB, 所以M元-MA=3(MB-MC), 则子 所以AC=3CB 7.连接0A因为B元=AC-A正=3AN-3A=3(0 所以A,B,G三点共线且：4 0A-3(0M-0A=3(0N-0i). I BCI 所以BC.0i=3(0N-0)·0 专项小练四 =3(0N.0M-1012) 1.C;2.A;3.BD;4.万；5.3g =3×(2×1×c0s120°-12) =3×(-2)=-6. 6.解：(1)因为1a+b12=a2+b2+2a·b=9+16+2 8.因为a+b与c共线，b-c与a共线， ×3×4×c0s60°=37， 所以存在实数m,n使a+b=mc,b-c=na, 所以1a+b1=√/37. 即b=-a+mc,b=na+c, (2)因为1a-b12=a2+b2-2a·b=9+16-2×3× 所以-a+mc=na+c, 4×c0s60°=13， 因为a,c不共线，所以m=1,n=-1, 所以1a-b1=√13. 所以b-c=-a,(b-c)2=(-a)2,所以2-2b·c=1, 所以cos0=(a+b)·(a-b bc=2 1 l a+bl l a-bl 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 设向量b,c的夹角为0， 故选(A)(C)(D. 则1×1×cos0=7,60s0=7,0=60 三、填空题 二、多项选择题 9.BD;10.AB;11.ACD. 提示： 提示： 12.由题知2x-0- 2 9分励=网≠故()错误： 2 b 2℃+ 2x+b=0, 所以子 2 1 号-分币（店-动分成=m放） 4a-b+7 所以=20-78 .1 正确； A-A不=N成≠M,故(C)错误； 1 13.因为a+b+2c=0, M元+BD+DN=MD+D=MN,故(D)正确. 故选(B)(D). 所以宁c=-(a+b), 10.因为1a1=1b1=1且|b-2al=√5， 所以(b-2a)2=b2-4a·b+42=1-4a·b+4=3, 两边平方得二=[-a+b)]=。6+2ab, 所以a:b=之， 因为a,b,c均是单位向量， 所以1a+b1=√(a+b)7=√a+2a·b+b= 所以4=1+1+2ab,所以ab=-日，所以1a-b1- 7 √个+1+1=5，故(A)正确； d+8-2ab=1+1-2×(-名）=界， a在a+b上的投影向量的模长为a,(a+b)_。+a·b l a+bl 所以1a-b1=⑤ 2 京厚k四隐 14.1a+b12=a2+2aa·b+X2b2 =1+4Acos0+4A2 因为1a-Ab12=a2-2a·b+A2b2=X2-A+1 =4+A6+2.9）+1 4 =(a-)广+子=子 33 =4A+cos0)2 2）+1-cos20 所1。-41=号>9 即不布在AeR使得1a-A61=竖故(C)错误： 4a+学)+ma 当入=-eos9时，1a+b1n=1sin01, 2 当入=-1时，a-Ab=a+b, 此时a-Ab与a+b的夹角为0，不是锐角，故(D)错误 A=-c059c0s0<0, 2 故选(A)(B). 11.如图1,20+3(0A+AB)+4(0A+AC=90A+3AB 因为1a+Ab1=宁所以1sm91=宁 +4花=0，则0=宁+号d.()正确： 因为0e0,],所以sm0=分， 若0i=20,0i=30B,0=40元， 所以0晋或9=装， 则0D+0尼+0示=0， 所以O是△DEF的重心，直线AO过 因为cos0<0,所以0=5知 6 EF的中点， 四、解答题 而EF与BC不平行，所以直线AO不 15.解：因为ka+3b与2a+kb共线， 过BC边的中点，(B)错误； 图1 所以存在实数入，使ka+3b=A(2a+b), 又SAOE=S△EoF=S△D0F, 即(k-2A)a=(k-3)b. SADOE 6S AAOB,SAEOF 12SABOE, 所以S△oB:S△Boc=2:1,(C)正确； 由于a,b不共线，所以-2】=0=k=±6 xk-3=0 若1041=10B1=10C1=1, 即实数k的值为6或-√6. 且160C=(20+30B2=40求+120A.0B+90, 16.(1)证明：如图2,0B+0元= 所以0·0成=子 20D,0A+0元=20正 而0心.4店=-子(20+30成(0成-0=4(20M 因为0+20B+30元=(0A+ 0C)+2(0B+0C)=2(0正+20i) B< +0.成-30应）=-6，(D)正确 图2 =0,即20D+02=0, 2 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 所以0D与0正共线。 解得t=3,所以△ABC的边长为3. 又0D与0正有公共点0，所以D,E,0三点共线。 19.(1)证明：因为e1,e2分别为Ox,0y正方向上的单位向 量，且夹角为60°， (2)解：由(1)知210元1=10呢1， 所以5e=2SE=2×号5E 所以e·g=1e,16,1cos60=之 所以花1}·2,2} =(xe1+y1e2)·（xe1+y2e2) 所3 =x1x2ei+x1ye1·e2+x2y1e1·e2+yiy2e2 =162+7%+分+y16 17.解：(1)由题意知1a+b12=a2+2a·b+b2=12, 1 又1a1=2,1b1=4, =x名+2+2（为+）小. 所以a·b=-4, (2)解：因为向量a,b的“@未来坐标”分别为sinx,1}, 由(2a-b)⊥(ha+b)得(2a-b)·(ha+b)=0, cos x,1, 即2ha2+2a·b-k2a·b-b2=0. 所以f(x)=a·b=(sin xe1+e2)·(cos xe1+e2) 所以8k-8+42-16k=0, =sin xcos xe+sin xe1·e2+cos xe1·e2+ei 解得k=1±5. (2)a·(3a+b)=3a2+a·b=8, =imos+1+分(m+eas动， 13a+b1=√9a2+60·b+b=27, 设a与3a+b的夹角为0， 令t=sinx+cos=万sin(x+牙） 则0=022万9 8 27 则sin xeos=分(-10. 所以a与3a+b的夹角的氽弦值为识 因为xeR,所以-2≤2simx+年）≤2， 即-√2≤t≤2， 18.解：(1)因为MN∥BC, 所以示=-d=b-子， 1 令0=(f+1+1)(-万≤1≤. 正=子布-g(硒+西=文+名8 因为对称轴为1=一方，函数图象开口向上， (2)(i)设AN=xAC,因为M,E,N三点共线， 所以当t=- 时80)取得最小值(-分)=宁× 所以存在唯一的实数入，使得M正=入M示， 所以A正-AM=A(AN-A), (4=8 即A正=(1-A)AM+AA, 当1=万时，g(e)取得最大值g(2)=号×(2+万+1) 所以A正=，AA店+xAC 2 =3+2 2 即正=2a+Ab ()可得花=日a+女， 所以)的最小值为号，最大值为告三 第28期2版 时g且=令 2 专项小练一 解得入= 3 1 4x=6, LC:2.BeD:3.D:43:5号0- 所以不=石花， 专项小练二 示=-d=。d-分证=名b-2a 1.C:2B:3A0D:454:5-治 专项小练三 (i)h丽=b-之=名(-3a+b,花=女+ 1B,2A:3BD,4格：反- 1 gb=ga+),丽证=名得， 第28期3,4版 石(-如+b)·ga+b)=6 平面向量的基本定理及坐标表示同步核心素养测评 即0(-+6-2a)=-6 一、单项选择题 1~4 DBBB 5 ~8 BBDB 即6(-3+f-2rcos号）=-6 提示： 1.根据题意，b=2a=2(1,1)=(2,2). 一3 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 2.由题意得x2=2(x+4), 当+6=8时，则次数为8+2=10： 解得x=4或x=-2. lc+d=2 3.由题意得b=Ad-应c=花-A花=店-2， 当+6=3时，则次数为3+9=12 lc+d=9 故2h+e=-号。 综上，次数最小值为10， 二、多项选择题 9.AB:10.BC:11.BD 提示： 4.设正方形边长为2，以A为原点，AB,AD为x轴，y轴的正 9.对于(A),假设存在实数入使得e1=Ae2, 方向建立平面直角坐标系， 即(1,0)=A(0,1),即=A×0无解， 则M(2,1),D(0,2),B(2,0),C(2,2),BD=(-2,2), L0=λ 依题意AC=AAi+uB配， 则e1=(1,0),e2=(0,1)不共线， 所以可以作为一组基底； =3 即2A-24=,2解得 对于(B),假设存在实数A使得e1=Ae2, 1λ+2μ=2， 1 4=3, 明1,2)A-2.62无解。 所以A+红=多 则e1=(1,2),e2=(-2,1)不共线， 所以可以作为一组基底； 5.由题意可得，设点P(0,y), 对于(C),e1=-5e2, 则Pi=(2,2-y),P=(5,-2-y), 所以e1=(-3,4),e2= 3 4 共线，所以不可以作 又因为∠MPW为直角， 所以P.P示=0， 为一组基底： 即2×5+(2-y)(-2-y)=0, 对于(D),e1=-2e2, 化简可得6+y2=0,方程无实根， 所以e1=(2,6),e2=(-1,-3)共线，所以不可以作为 一组基底 所以满足要求的点P不存在. 6.a=(2,x),b=(0,2), 故选(A)(B) 故4=2·(02 2x 2 10.a与b的夹角为钝角，故a·b<0,且a,b不反向共线， 1a12 22+x2 x2+4x+ 4 则a·b=(3,k)·(2,-1)=6-k<0且-3-2k≠0， 3 解得k>6且k≠- 因为>0所以+兰≥2√，=4， 综上，k>6,(A)正确： 当且仅当x兰即x=2时，等号成立， 1a1=√9+2≥3，当且仅当k=0时，等号成立， 故IaI的最小值为3，(B)错误； 。1 4≤2 1b1=4+I=5,与b共线的单位向量有2个， x+- 为±（后）=±(-)(c)铅误 7.因为AB与a=(1,-2)的夹角为π， 所以A正=ka=(k,-2k)(k<0). 若1al=31b1,则√9+=35， 解得k=±6，(D)正确。 因为1AB1=25, 故选(B)(C). 所以√2+(-2k)2=25 11.如右图，作0E⊥0C,分别以 解得k=-2(舍正)，即AB=（-2,4). OC,OE为x,y轴建立平面直角坐标系， 设点B(x,y）,因为A(2,1), 则10.c4.o)(-9） 所以AB=(x-2,y-1)=(-2,4), 所以x=0,y=5,即点B的坐标为(0,5) D(-2,25), 8.由题可得，每次跳跃的路径对应的向量为 a1=(3,4),b1=(4,3),c1=(5,0),d1=(0,5), 设0(cos0,sm0),0e[0,号]. 设对应的跳跃次数分别为a,b,c,d,其中a,b,c,d∈N, 则P(4cos0,4sin0), 可得00=aa1+bb1+cc1+dd 由00=x0元+y0D可得， =(3a+4b+5c,4a+3b+5d)=(33,33), cos 0 =4x -2y,sin 0 =23y,>0y >0, 则3a+46+5c=3, 若y=x,则cos20+sim20=(4x-2y)2+(25y)2=1, L4a+3b+5d=33. 两式相加可得7(a+b)+5(c+d)=66, 解得=y=子（负值合去），放x+y=分()错误： 因为a+b,c+deN, 则a+b=8,或a+6=3, 若y=2,则c0s0=4k-2y=0,0=受 lc+d=2 lc+d=9. 所以O·O=0,故(B)正确： 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 .0亦=(-号号)(4os0,4sin) 解得x=3,所以b=(3,-1), 所以Q与b的夹角的余弦值为b a·b =-6cos0+25im0=45sim0-号）， 2×3+2×(-1) 由于0e[0,号]，放9-号e[-号号]， 2+2×V3+-厅分 16.解：(1)设点P的坐标为(x,y), 故-6≤45sim(0-号）≤6，(C)错误； 则B=(x-1,y-4),P元=(3-x,3-y), 由于p=(1-4cos0,-4sin0), 因为成：宁风， 成=（方-4m6,吾-4m), 「x= 解得 3 则.P元=(1-4eos0)×(-号-4cos0+ -4=3-0, b 1 3 (-4m0)x(停-4n0）=}-2s0-28in0=头 所以点P的华标为（号号 4sin(a+g）, (2)设向量0D的坐标为(a,b),即D(a,b), 面0+ge[] 则Ad=(a-2,b-1),0i=(1,4),0元=(3,3)， 因为d/o成，0元10而，则4(a-2)=6-1, 所以m(0+君)e[分小， l3a+3b=0, 所以.i=}-4m(a+君）≥}-4受放(D) 解得 a=5 正确.故选(B)(D). b=-5 三、填空题 12；13g+是：142 所以向量0励的坐标为（子，一子）片 17.解：(1)设D(x,y)(x,y>0), 提示： 依题意可得正=C, 12.由已知得AB=(2,1),CD=(5,5),因此AB在CD上的 又A(-2,-4),B(2,0),C(-1,1), 投影向量为或。15.3E -e= 2e=2e 所以AB=(4,4),C⑦=(x+1,y-1), 1c152 所以+1=4解得=3即D(35). 13.因为B正=3E, y-1=4, ly=5, 所以成=子酥，亦=-=-子花。 (2)设A正=AAC,A∈[0,1]， 4 则(m+2,n+4)=入(1,5)， 所以脉=a+序=a-子花， ① 所以m+2=人则m=A-2, ln+4=5λ，Ln=5λ-4， 成-子酥=b+花， ② 所以(m-2)2+2=(X-4)2+(5A-4)2=26A2-48入 由①+子x2相院成=a+子b, +24号+ 即脉=总+是 因为AE0,1】,所以当A=号时，(m-2户+取最小值 14.设a=(1,0),b=(1,s),c=(1-st,t),8,t∈R, 答当A=0时.(m-2°+广取最大值32 由已知可得：la-b+c1=√(1-st)2+(t-s) =√/1+(st)2-4t+s2+7 所以(m-2+的取值花围为[2]， ≥√/(st)2-4st+21st1+1, 18.(1)解：不妨设0M=ma+nb.由于A,D,M三点共线， 当且仅当2=子时，取等号， 当st≥0时，有(st)2-2st+1≤8，得0≤st≤2万+1， 则存在a(a≠-1)使得AM=aMD, 当st<0时，有(st)2-6st+1≤8，得-1≤st<0, 即Ad+0成=（元+0币，于是Om=+a0西 1+a 所以当-1≤st≤22+1时，-22≤a·c=1-t≤ 2.所以a·c的最大值为2. 又0成=分0成， 四、解答题 15.解：由题可得a·(a-2b)=a2-2a·b=0, 耐+受丽 1 即(22+22)-2×(2x-2)=0, 所以O= 1+ +a+2 5 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 [m=1+a 1 所以cosa=a·(a-b) a2-a·b 则 即m+2n=1. ① lall a-bl=lall a-bl 16 1 n=2(1+a)' 由于B,C,M三点共线， 则存在B(B≠-1)使得C=BMB,即C⑦+O=B(Md +0B), 放向量a与。-b的夹角的余弦值为5 于是0成=0元+B0正 (3)设向量a与b的夹角为0， 1+B 又0成=4oi 由题意可知0<0<号，则0<c0s0<1, O+B0 因为1a1=31b1,所以0<合≤宁 所以O成= 4 1+B =+0+中， 1 即0<2部s0<分 1 所以 [m=41+B'即4m+n=1 ② 因为b⑧a-b行2=招=， =1+B n B 所以0<b⑧a<号，即0<4(b⑧a)<号 由①2可得m=7a=号 1 因为4(b☒a)是整数，所以4(b⑧a)=1, 所以成-+ 所以b©a=子时a=0 1 (2)证明：由于E,M,F三点共线， 1 所以存在实数n()≠-1)使得E=nM下产 即Ed+0成=n(Md+0,于是O成=0正+m0应 所以3 ≤c0s0<1, 1+7 又0正=A0,0=40店， 因为a@6=6=8s0=4ma 所0成：A牛成+骨 又96≤cos6<1,所以9 1+” 4 -≤4cos20<4, 所以+马=十 3 at un b. 1+m1+7 即}≤a8b<4, 1 故a☒b的取值范围为 +m门消去n得+三7 1+m 第29期2版 19.解：(1)因为a+2b=(5,3)+2(-3,2)=(-1,7), 专项小练一 所以a⑧(a+2b)=a·(a+2b) (a+2b)2 1.C2D:3.BcD:4.-5;5- -5x2=g 专项小练二 (-1)2+72 1.C;2.C;3.ACD;4.等腰； 放a②(a+2)的值为袋 5端 (2)设向量a与a-b的夹角为a, 专项小练三 因为向量a,b是单位向量， 1.C;2.A;3.BD;4.125;5.3. 所以1a1=1,1b1=1, 由(a+b)⑧(2a-b)=i6 5 第29期3,4版 可得a+b):(2a-b)=2a+a·b- 平面向量的应用同步核心素养测评 (2a-b)2 4a2-4a·b+b 一、单项选择题 a·b+1-5 1 ~4 CDCA 5 ~8 CADD 5-4a·b=i6 提示： 解得ab=子 1.由正弦定理得a sin A=sin B' 由(a-b)2=a2-2ab+b=2 3 2 =√6. 可得1a-b1=√(a-b)2= 6 则a=6sin42×尽 sin B 2 sin 4 一6 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 2.F做的功为Fs=1F1s1es0°=0×14×分 =70. 因为△ABC是锐角三角形， 3.由余弦定理得 所以0<A<号，0<B<受 BC=√/1+(5)2-2×1×5×cosI 6 =1, 所以-受<A-B<受 设BC边上的高为h, 又ym在(-受受) 上单调递增， 则5am=了×1×in君=子×1·么，解得h= 1 1 2 所以B=A-B,则A=2B. 4.设△ABC的内角C为最大角， 又0<B<受0<A=2B<受.0<C=T-36<受 则cosC=+(t+)2:t+2)<0, 2t(t+1) b 2 所以若<B<于，由正弦定理得2R=B=品B 再由三角形三边关系可得+t+1>1+2, 所以2 <2R< 2 lt>0, 解得t>1, sin 4 sin 6 ”-38 所以2<R<2, 所以外接圆面积S∈(2π，4π). 解得1<t<3. 二、多项选择题 5.因为3AB+2BC+CA=3(0B-0)+2(0元-0+ 9.BC;10.AD;11.AC. (0A-0C=-204+0B+0元 提示： 所以0A+20+30C=-20i+0B+0元， 9.选项(A):因为A=45°，C=70°， 所以B=65°，三角形的三个角是确定的值，故只有一解； 即304+0店+20C=0, 所漂凉 1 1 选项(B:因为mC=血B=85<1,且c>6, b 15 所以角C有两解； 6.在△OAB中，因为∠OAB=45°，∠0BA=105°， 所以∠A0B=180°-45°-105°=30°， 选项（C:因为mB=n4=42<1,且6>a, a 7 由正弦定理可知。4B。一 OB sin∠A0B=sin∠OAB' 所以角B有两解； 所以186-05，则0B=365m, 选项(D):因为imB=sinA<1,且b<a, 1 所以角B仅有一解 2 故选(B)(C). 在直角三角形OTB中， 10.根据题意，得1G1=1F,+F21, m∠0=0即9：7 3 所以IGI2=IF112+IF22+21F1I×1F2I×cos0= 365 21F1I2(1+cos0), 解得0T=36m 1G12 7.由题及余弦定理得 a-cxato-b2 解得1F,12=21+cos0)' 因为0∈(0，π)时，y=cos0单调递减， 2ac =b-cxbto-a 2bc 化简得+公-c-。2+-c2 所以0越大越费力，0越小越省力，故(A)正确； 由题意知6的取值范围是(0，π)，故(B)错误； a b 当a2+62-c2=0时，即a2+b2=c2, 则△ABC为直角三角形； 因为1F,2=21+00) 1G12 当a2+b2-c2≠0时，得a=b, 所以当0=受时，1R12=1G 2 则△ABC为等腰三角形. 综上，△ABC为等腰或直角三角形 所以1P,1=号G1,放(C)错误： 8.由正弦定理可得a2-2=bc, 1G12 所以a2=62+bc 因为1F,12=21+c0s' 由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos A, 所以2+bc=b2+c2-2 bccos A, 所以当0=要时.F,12=1G13, 即b=c-2 bcos A, 所以IFI=IG1,故(D)正确 由正弦定理得sinB=sinC-2 sin Bcos A, 故选(A)(D). 因为C=π-(A+B), 1l.由正弦定理a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C, 所以sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 得5·(sin Acos C+sin Ccos A)=2sinB·sinB, sin B sin Acos B-cos Asin B, 即sinB=sin(A-B). 所以5=2sinB,所以sinB=5, 2 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 因为a=b,B是等腰△ABC的底角， 由于0<A<T,0<B<T,0<C<T,sin A≠0，sinB 所以Be(o,受），所以B=号 ≠0，所以esC=分，则C=号 所以△ABC是等边三角形，(A)正确： 所以16=c2=a2+b2-2 abeos C=a2+b2-ab≥2ab- 若A,B,C,D四点共圆， ab,得ab≤16，当且仅当a=b=4时，等号成立， 则四边形对角互补， 因为cD上AB,所以Sm=dimC=子·CD, 由(A)正确知∠D=,osD=-子 故CD=absin 但由于DC=1,DA=3,AC=23时， 学n号26， cos D DC D4-AC 1+3-2 所以CD的最大值为25. 2·DA·DC 2×1×3 四、解答题 ≠-子，所以(B)不正确： 15.解：15km/h=250m/min,250×5=1250m. 设∠D=0, 10kmh-9mmi,9×8-4g0m 则AC2=DC2+DA2-2DC·DA·cos0=10-6Cos0, 整个过程为A店，B元，C心，如图1所示， 所以Sac=车(10-6s)=5,5_35eo 4 2 2 -c0s0, 种1=0m,成1=1230m,可1=490m Saein A G60e→D 所以S四边形ABCD 200s0+5 =5amc+5aw-多in8-35。 图1 2 16.解：(1)在△ABD中AD=5,AB=7,∠BDA=60°， =3(m0-s0)+55 所以由余弦定理AB=AD2+BD-2AD·BD·cOS∠BDA 2 可得49=25+BD2-2×5·BD·c0s60°， =3n(0-号）+5 则BD-5BD-24=0, 解得BD=8(BD=-3舍去) 因为0e(0,m),所以sim(g-于）e（-,1小， (2)在△BCD中，∠BDC=∠ADC-∠BDA=75°-60° =15°，又∠BCD=135°， 沉5<u≤誓+3，以C正疏，(D)不征确 则∠CBD=180°-135°-15°=30°. 由(1)得BD=8, 故选(A)(C) BD 三、填空题 由正弦定理得。CD 得im∠CBD=sin ZBCD, 12.1;13.2m;14.25. 即.CD 提示： 0=n35解得cD=4万 12.sin 24=2sin Acos A 2a 17.解：(1)由cos2A-3cos(B+C)=1得 sin C sin C c 2bc 2cos2 A 3cos A -2 =0, -2×4.25+36-16=1 (2cos A -1)(cos A +2)=0, 62×5×6 13.由题意得OP=OB+BP=OA+AP-x=5cm, 解得c0sA=分或c0sA=-2(含去)， 在△A0P中，cs&=0A+0P2-AP 2·0A·0P 因为0<1<，所以4=骨 9+25-49 2×3×5 2分 2②)由s=之einA=经e-5g. 4 因为∈(0，π)， 得bc=20,又b=5,所以c=4. 所以&=2年，B=a·0A=2mcm 由余弦定理得a2=b2+c2-2 becosA=25+16-20=21, 3 14.因为ccos Ccos(A-B)+c=csin2C+bsin Asin C, 解得a=√2T, 所以由正弦定理得sin Ccos Ccos(A-B)+sinC 又由正孩定理得mnG-.4-告A a a sin Csin2 C+sin Bsin Asin C, 由于0<C<m,sinC≠0， × 所以cos Ccos(A-B)+1=sinm2C+sin Bsin A, 所以sin Bsin A=cos Ccos(A-B)+1-sim2C 18解：)由正孩边角关系得(：)°-（台厂 cos Ccos(A -B)cos2 C cos C[cos(A -B)+cos C] 2sin Acos C+2cos B=2acos C+2cos B. sin B b cos C[cos(A -B)-cos(A B) 所以a2-c2=2 abeos C+2 bcos B, 2cos Csin Asin B, 由余弦定理得a2-c2-a2+b2-c2+2 cos B, -8 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 即b2(1+2cosB)=0, I ABI2 m'd2 n2d2 -2mnd cos 120 所以csB=-子又B∈(0，)，则B=受 =(m2+n2+mn)d, 由IACI2+IBCI2=1ABI2得 (2)由(1)及题设知，b=√a+c2-2 accos B= (n2+n+1)+(m2+m+1)=(m2+n2+mn)d, V3+5-2x3x5×(7)=7 整理得m+n+2=mn,而m>0,n>0, 如图2所示，此时W==子 则m++2:m≤(“兰)广 当且仅当m=n,即m=n=1+√5时取等号， 设BM=x,BV=y, 又m+n=t,即有t-4t-8≥0， 而t>0,解得t≥2+25， 所以实数t的最小值为2+25. 第30期3,4版 图2 平面向量及其应用核心素养综合测评 由余弦定理得2+>2-2c02=MW心=49 3 41 一、单项选择题 1~4 CBAB 5~8 BCBB 即2+y2+y=49 4 提示： 因为++≤+少+生兰=多+. 3 1.由余弦定理可得a2=b2+c2-2 becos A, 2 拟+≥号×9-。 即1=3+2-2cx. 整理得2-3c+2=0, _75时取等号， 当且仅当x=y=6 解得c=1或c=2. 2.由题意知1el=1, 所以BM+BN2的最小值为 所以向量a在向量e上的投影向量为： 6 19.解：(1)在△ABC中，cos2A+cos2B-cos2C=1, (a1me）=(2s）e=-e 1 2sin2 A +1 -2sin2 B -1 +2sin2 C 1, 3.设c=(x,y), 则sin2C=sin2A+sin2B, 由正弦定理得c2=a2+b2, 则·c=2x+y=0, b·c=x+2y=32, 所以△ABC是直角三角形，即C=受 解得x=2, (2)(1)知c=受， y=22, 所以1c1=√R+y=2+8=0. 则△ABC的三个角都小于120°，如图3， 4.因为在△ABC中，A,B∈(0，m), 由费马点的定义知∠APB=∠BPC= ∠APC=120°， 所以cosB=7 I PAl =x,I PBI =y,I PCI =2, 由SAAPB+S△BPc+SAAPC=SAAB得 即sinB=V个-cosB-43 7 图3 1 2 ×4 由正弦定理可知smA=0B=。 2 b 83 整理得xy+yz+xz= 即4：号或号又a<么.则A<B, 3 所以P.P+P.P元+P元.P 所以A=罗不成立，故4=号 =2y-如 1 5.设线段BC的中点为M,则0B+0元=2O, 因为2A0=0正+0元，所以4d=0, =-分×89- 31 期0=分成-（花+⊙=4（花+十而） (3)由点P为△ABC的费马点， 得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°， 子应+ IPBI ml PCI,I PAI nl PCI,I PCI d,m 0,n>0,d>0, 由B,00三点共线得子+=1，解得6=} 则由IPAI+PBI=I PCI得m+n=t, 6.如图1，过点P作PM⊥AC,垂足为 由余弦定理得1AC12=dP+n2P-2 nd cos120° M,由题意可知∠PAM=∠PBM= =(n2+n+1)d, 45°， BC12 =d2 m'd -2md cos 120 (m2 +m +1)d, 则△PAM,△PBM均为等腰直角 A D M E B 1 -9 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 三角形，可得AM=BM=PM, 提示： 且∠PCM=30°，可得MC=√5PM, 9.BC=AC-AB=(3,0),(A)正确： 因为BC=200(5-1)米， 因为2BC-4A元=(4，-1)， 则5PM-BM=(5-1)BM=200(35-1), 所以AB.(2BC-AC)=-5,(B)错误； 解得BM=200米， 因为AB.AC=-1,1AB1=2,「A元1=5， 所以DE=AB-AD-EB=2BM-AD-EB=350(米)， 即隧道DE的长度为350米. 所以cos0=万×5 -1 =(0)正确： 7.正八边形的每个内角为5×！80°=135°， 8 入AB+uAC=(2μ-A,4+A)=(3μ，A+1), 延长GH交直线AB于点M,延长DC交直线AB于点N, 所以2业-入=3业，解得入=-1,4=1， 则∠HAM=∠AHM=45°， u+A=入+1， 则△AHM为等腰直角三角形， 则4-入=2，(D)正确。 且AM=BN=AHcos45°=2√2， 故选(A)(C)(D). 以点A为坐标原点，AB,AF所 y 10.因为a=√7，b=3,c=2,所以simA:sinB:sinC= 在直线分别为x,y轴建立如图2所 a:b:c=√7：3：2，(A)正确； 示的平面直角坐标系， 则A(0,0),B(4,0),M(-22, 由余弦定理得cosA=c+6-a-22+32-(万 2cb 2×2×3 0),N(4+22,0), H ,因为Ae(0,),所以A=号，(B)错误； 设点P(x,y),则-2万≤x≤ 4+22,A=(x,y）,A店=(4,0)， M A B 5am=宁in4=宁×2×3×号-39.(C)正确： 所以AB·AP=4x∈[-82， 图2 16+82] 因为∠DMB的平分线交直线CB于点E,A=号， 8.因为(b+c)2-a2=45S, 所以∠BAE=T 3 所以+6-d2+2c=46:合sinA 所以S AACE=S△ABc+S△ABE, 即+c-心+1=万imA, 即24报x3n号=宁×3×2n号+分4×2sn号， 2bc 解得AE=6,(D)正确。 由余弦定理得3sinA-cosA=1, 故选(A)(C)(D) 则2n(4-君）=1， 11.对于(A),由奔驰定理可得S4:SB:Sc=2:3:4,故 (A)错误； 即sin(4-无)=2 1 对于(B),由=号店+子配 在△ABC中A∈(0，T), 即A-君e(晋爱) 即-0=与(0成-0M+号(d-0i. 整理得20+0+20C=0, 则4-吾=石故4=于 由奔驰定理可得S4:Sg:Sc=2:1:2,故(B)正确； 由余弦定理得a2=b2+c2-2 becosA=4+9-2×2×3 对于(C),由50A+120B+130C=0, ×2=7,所以a=万， 1 可得S4:Sg:Sc=5:12:13, 设△ABC的内切圆半径为T, 由正弦定理得2R=a, 5-2 sin A B ,则R= 1 √F 则S:S:S=之·Bc:之Ac:之·AB, 3 所以BC:AC:AB=5：12:13, 因为(a+b+cr= Ibesin A, 即BC2+AC2=AB2,所以BC⊥AC, 即∠ACB=,故(C)正确； bcsin A 2x3×5 所以r= 2 35 a+b +c 5+万5+万 对于(D)S=1应10元1sm∠B0c, 万 。=子01成1sn∠A0c, 所以R」 7+5万 35 9 及。=1a110i1sim∠A0B, 5+7 因为O为△ABC的垂心， 二、多项选择题 所以sin∠BOC=sin∠BAC,sin∠AOC=sin∠ABC, 9.ACD;10.ACD;11.BCD. sinm∠AOB=sin∠ACB, -10