2026年中考数学第二次模拟考试检测卷（江苏常州专用）

2026年中考第二次模拟考试检测卷 数学·答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1[W1【/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题2分，共16分） 1.A][B][CI[D] 5.A][B][CJ[D1 2[A][B][C][D] 6.[A1[B1[C1ID1 3.A1[B1[CI[D] 7.AJ[B1[C1[D1 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题2分，共20分) 10. 11 12. 13 14 15. 6 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共10个小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19.(8分) 20.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) A b% E 32% 12%D 22.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) 24.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(8分) M A ⊙ 26.(10分) A B D B A C 图1 图2 C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(10分) A E A D B D DB 图① 图② 图③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28.(10分) YA 力 C DM A B B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年中考第二次模拟考试检测卷 数学·答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1·答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂 [×][√][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题2分，共16分） 1.AIIBIICIIDI 5.IAlIBIICIDI 2.JAlIBIICIIDI 6.AlIBIICIIDI 3.IA]IBIICIID] 7.AIIBIICIIDI 4.[AIIBI[CIID] 8.AJIBIICIIDI 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题2分，共20分） 9. 10 12. 14 15 16 17 女力脑口hA脂可h体切，m么e,标阳宀反h体中干效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本天逖共0个小邀，共84分.瓣合应与西义子况明，址明心程叱澳昇步漾) 19.(8分) 20.(6分) 请在题路图趣翠序作域，作出组路送插限国限城序族无效！ 21.(8分) A b% E B 2% 12%D 22.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(8分) A D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(10分) C D D B DB 图① 图② 图③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28.(10分) y D M B B 图1 图22026年中考第二次模拟考试检测卷 数学·参考答案 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 第I卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 2 3 4 8 D B B D 第II卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分） 9.-5 10.0(答案不唯一) 11.y(x-6)2 12. 2.232×10-5 ∫x=2 13.1y=4 14.200π 15.45 16.6+25 17.6 18.①③④ 三、解答题（本大题共10个小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(本题8分)(1)解：x2-2x-8=0, (x-4)(x+2)=0, .x-4=0或x十2=0， 81=4,X2=-2. 5x+2>7① (2) 2x23x-2② 解不等式①得：x>1: 解不等式②得：x≤2： ·不等式组的解集是：1<x≤2 1/10 20.(本题6分)解：[(x+y)(x-y)-(x-2y)2-3y2]÷4y =(x2-y2-x2+4xy-4y2-3y2)÷4y =(4xy-8y2)÷4y =x-2y; 当x=-2,y=1时， 原式=-2-2×1=-4· 21.(本题8分)(1)总人数=3÷12%=25（人)， :a=25-6-7-3-1=8(人)月 ·优秀等级所占百分比为号×100%=24%， ·b=24; (2)由题可得，等级C所占的百分比=3×100%=286， ÷等级C所对的圆心角度数=28%×360°=100.8°： (3)2400×=96(人). 22.(本题8分)(1)解：由题意得：小梦从这4张卡片中随机摸出一张，摸到B.天问探火的概率是京； 故答案为疗： (2)解：由题意可列表如下： D A AA AB AC AD B BA BB BC BD CA CB CC CD D DA DB DC DD 由表可知总共有16种等可能的情况，其中两人介绍的航天工程主题相同的有4种等可能的情况，所以他们两 人介绍的航天工程主题相同的概率为P=是=· 23.(本题8分)(1)证明：：AF‖BC, ·∠AFE=∠DCE, :AE=DE,∠AEF=∠CED, ·△AEF≌△DEC(AAS), 2/10 :AF =CD, AF=BD, BD=CD (2)解：△ABD,△ACD,△ABF,△ACF.理由如下： BD=CD :S△ABD=S△4CD=S△ABc, AF BC,AF=BD, :四边形ADBF是平行四边形， S△4BR=S△4BD=S△ABC :AF‖BC :S△ACr=S△4Br=SAABC 24.(本题8分)(1)解：设该超市10月份第一周到第三周订单量的周平均增长率为x. 根据题意，得250(1+x)2=490, 解得x1=0.4=40%,x2=-2.4(舍) 答：该超市10月份第一周到第三周在该配送平台的订单量的周平均增长率为40% (2)解：设配送费用上涨y元，则实际配送费为(8+y)元，日订单量为(200-10y)单. 根据题意，得(200-10y)(8+y-4)=1280 解得y1=12,y2=4. :要降低用户的配送成本， ·每单实际配送费为8十4=12（元） 答：每单实际配送费应定为12元 25.(本题8分)(1)解：：正方形ABCD,A0,2,B(0,-3), :BC=AB=2-（-3)=5, .C5,-3), 把C(5,-3)代入y=奈得：k=-3×5=-15, ·反比例函数解析式为y=一要； b=2 把A0,2,C5,-3)代入一次函数y=ax+b得：{5a十b=-3' ∫a=-1 解得b=2· 3/10 ·一次函数解析式为y=一x+2; y=-x+2 (2)解：联立y=-受 x=5 x=-3 解得：{y=-3或y=5, M(-3,5),C5,-3), 由函数图象可得，ax+b>会的解集是：x<-3或0<x<5; (3)解：设P点的坐标为&y), :S△0AP=S正方形ABCD …支×2x=52 解得：x=±25， 当x=25时，y=-第=-寻： 当x=-25时，y=-号=寻： ÷P点的坐标为(25，-)或(-25，) 26.(本题10分)(1)解：点A(-3,一3绕点0逆时针旋转90°，根据坐标变换规律(x,y)→（-y,x), 得B的坐标为3，-3). 故答案为：(3，-3). (2)解：设抛物线C1的表达式为y=ax2+bx+c（a≠0). :抛物线C1过0(0,0)、A-3,-3、B(3,-3, c=0 9a-3b+c=-3 9a+3b+c=-3 (9a-3b=-3 将c=0代入后两个方程，得9a+3b=一3： 两式相加得18a=-6,解得a=-寺： 两式相减得6b=0,解得b=0. :抛物线C1的表达式为y=-专x2, (3)解：0(0,0)，A-3,-3, “0A的中点D的坐标为（学，学），即(-多，-) :抛物线C2与C1形状相同， 4/10 ·设C2的表达式为y=-x+h)+k. “D(-,-)是C2的顶点， :h=是，k=-是，即C2的表达式为y=-(x+)2-是， :点r(myJ、Q(2,y在C2上，y1>y2 :m+引<|2+引，即-子<m+3<, 解得-5<m<2. 故m的取值范围为一5<m<2. 27.(本题10分)(1)解：补全缺失的证明过程如下： 如图1，过点C作CFOB,过点E作EFICD,连接ED,FD, D B 图1 :四边形CODF是平行四边形， :∠A0B=90°， “.平行四边形CODF是矩形， ·C0=DF,∠CFD=90°， :∠DCE=90°， S△cDE=克·CD·CE, :CD.CE=16, S△cDE=支×16=8， EFICD, ·S△cDE=S△cDF, S△cDF=8, :S△cDr=克×CFX0C,0C=2,∠A0B=90, CF=8; (2)解：：∠CEF=90°， 5/10 点E在⊙G上运动； 如图2，作CF的垂直平分线交CF于点G,以G为圆心，CF为直径作圆，点E的运动轨迹就是⊙G, A G B 图2 当OE过点G时OE的值最大， :CF=8, ·EG=CG=4, 由勾股定理得：0G=22+42=25, 0E=0G+EG=25+4, 即0E的最大值是2V5+4: (3)解：如图3，过点C作CFOB,过点E作EFCD,连接ED,FD,过点C作CM⊥OB于点M, M DB 图3 .∠CM0=90°， :∠A0B=60°， ·∠0CM=30°， ÷0M=0C=专×6=3，CM=V62-32=35, :∠DCE=90°， :S△cDE=支·CD·CE, CD.CE=183, S△cpE=青×183=9V5, 6/10 EFICD, SACDE=S△cDF, SACDR=93, :S△cDr=CF.CM, :×CF×33=93, CF=6, :∠CEF=90°， 点E在⊙G上运动， 可知当0E过点G时0E的值最大， 如图4，过点G作GN⊥OB于点N,过点F作FK⊥OB于点K, M NDK B 图4 ∴.四边形CGNM、CFKM是矩形， GN=CM=33. :CF=6 .MN=CG=3, :ON=0M+MN=3+3=6, 由勾股定理得：0G=VGN2+0N=V(3V5)+62=3√5， ÷0E=0G+EG=37+3, 即0E的最大值为3V万+3. 28.(本题10分)(1)解：：A(-2,0), ·0A=2, :0C=20A, .0C=4, 7/10 ：C(0,4), :抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2,0),B(4,0),C(0,4), (4a-2b+c=0 16a+4b+c=0 c=4 a=-支 解得： b=1, 、c=4 ·该抛物线的解析式为y=一x2+X十4； (2)解：如图1，过点P作PE‖y轴交直线BC于E,连接CP, 图1 设直线BC的解析式为y=kx+d, :B(4,0),C(04), 4k+d=0 d=4, ∫k=-1 解得：气d=4’ ·直线BC的解析式为y=一x+4, 设P(t,-t2+t+4),则E(5-t+4), :PE=-t2+t+4-(-t+4)=-t2+2t, :直线y=kx+1(k>0)与y轴交于点D, D(0,1), ·CD=4-1=3, :PE‖y轴，即PECD, ·△EMP∽△CMD, ：器=器=--吉2+t 8/10 :m=器=器， ·m=-名t2+号t=-名(t-2)2+号， :-言<0， :当t=2时，m取得最大值号，此时点P的坐标为(2,4)； (3)解：存在这样的点Q、N,使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形. ①当DP是矩形的边时，有两种情形， a、如图2-1中，四边形DQNP是矩形时， B E02 图2-1 由(2)可知P(2,4),代入y=kx+1中，得到k=号， :直线DP的解析式为y=x+1,可得D(0,1),E(-,0), 由△D0E△Q0D可得器=器， 0D2=0E·0Q, ÷1=号0Q, 0Q=3, ： Q(3,0) 根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N, ÷N(2+3,4-1),即N(3,3), b、如图2-2中，四边形PDNQ是矩形时， 9/10 y P/ C A B E 0 图2-2 入V :直线PD的解析式为y=x+1,PQ⊥PD, ·直线PQ的解析式为y=-x+号， ÷Q(8,0), 根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N, N(0+6,1-4),即N(6,-3). ②当DP是对角线时，设Q(x,0), 则QD2=x2+1,QP2=(x-2)2+42,PD2=13, :Q是直角顶点， ·QD2+QP2=PD2, :x2+1+(x-2)2+42=13, 整理得x2-2x+4=0,方程无解，此种情形不存在， 综上所述，满足条件的N的坐标为(，3)或(6，一3). 10/10 2026年中考第二次模拟考试检测卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图1，古代有一种计量粮食的器具叫“斗”，整体呈上宽下窄的四棱台形状（即方斗形）．如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（   ） A． B． C． D． 4．某文具店推出三种笔记本：“车缝本”（5元）、“胶套本”（6元）和“活页本”（7元）．根据某月销售统计，三种笔记本的销量占比分别为：车缝本占、胶套本占、活页本占．则该月笔记本的平均售价为（    ） A．5.6元 B．5.7元 C．5.8元 D．5.9元 5．将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，点D在边上，保持点D位置不动，将绕点D旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（    ） A． B． C． D． 6．2025年广东非遗周暨佛山秋色巡游活动中，主办方制作了4种非遗主题纪念徽章，图案分别为“醒狮”“广绣”“粤剧”“石湾陶塑”．现将这4枚徽章（除图案外完全相同）背面朝上放好，洗匀后从中随机抽取1枚，记下图案名称后放回；洗匀后再随机抽取1枚．两次抽取的徽章图案名称不相同的概率为（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知，点D在边上，以为直径的与边相切于点，若，（    ） A．5 B． C． D． 8．如图，在反比例函数的图象上有动点，连接，的图象经过的中点，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，交轴于点，连接与交于点． 下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分） 9．计算：__________． 10．请写出使分式有意义的x的一个值：________． 11．分解因式：________． 12．气凝胶是一种纳米级多孔固态材料，是世界上密度最小的固体，在热学、电学、光学、声学、 吸附催化等方面均表现出优异的性能，这使其在航空航天、建筑节能、化工工业、电子电工、生物 医药等领域有着广阔的应用前景．质量为的某种二氧化硅气凝胶的体积约为．将数据0.00002232用科学记数法表示是________________． 13．如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解是__________． 14．扇形餐盘具有独特的视觉效果和实用性，广泛应用于家庭、餐饮及商业场景，如图，一餐盘所在大圆的半径为，所在小圆的半径为，对应的圆心角为，则该餐盘的面积为______．（结果保留） 15．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面送到离地面4米高的地方，那么物体所经过的路程是___________米（结果保留根号）． 16．如图，在菱形中，，，，则周长的最小值为_____． 17．如图，在中，为的直径，弦，垂足为．若，且，则______． 18．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，直线交轴于点，交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，与交于点，连接，．给出下面四个结论： ； ； ； ．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共10个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题8分）解下列方程和不等式组 (1)解方程：； (2)解不等式组：． 20．（本题6分）先化简，再求值：，其中，． 21．（本题8分）为深入推进校园心理健康关爱工程，落实“全员育人、全程关爱”理念，某中学聚焦“悦纳自我・温暖同行”核心主题，开展系列心理健康赋能活动．为精准掌握全校师生心理健康状态，筑牢校园心理防护网，学校对全体2400名师生开展专业心理测评，随机抽取25名师生的测评分数进行数据整理、分析，为后续个性化心理疏导、团体辅导提供数据支撑． 【数据收集】抽取的25名师生测评分数（满分100分）如下： 88，84，92，75，79，86，95，97，82，68，74，56，81， 77，72，87；85，66，93，91，78，80，94，69，71． 【数据整理】将收集的数据进行分组制作统计表和扇形统计图． 分数 90≤x＜100 70≤x＜80 60≤x＜70 人数 6 7 3 1 等级 A（优秀） B（良好） C（合格） D（待提升） E（需辅导） 【数据分析】依据统计信息回答问题 (1)统计表中的_____，统计图中的_____ (2)通过计算，得出心理测评等级C等（合格）扇形统计图中所占圆心角度数； (3)学校计划对E级（需辅导）的师生开展一对一的心理帮扶活动，请根据抽样数据分析结果，估计全校需要参加心理辅导的师生总人数． 22．（本题8分）中国航天科技以自主创新为核心驱动力，成为推动国家科技进步与产业升级的重要引擎．在航天科技主题班会上，同学们提议从“嫦娥探月”“天问探火”“北斗组网”“神舟飞天”这四个航天工程中，随机选择一个主题进行介绍．下面是班长制作的正面印有不同航天主题的卡片，卡片除正面图案和文字外，其余完全相同．将这4张卡片背面向上，洗匀，放好． (1)小梦从这4张卡片中随机摸出一张，摸到“B．天问探火”的概率是_______； (2)若小航从这些卡片中随机摸出一张对卡片主题进行介绍，然后将卡片放回，洗匀，小天再从这些卡片中随机摸出一张卡片对主题进行介绍，请利用画树状图或列表的方法求他们两人介绍的航天工程主题相同的概率（卡片名称用A，B，C，D表示即可）． 23．（本题8分）如图，在中，D是边上的一点，是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点，且，连接； (1)求证：； (2)请写出四个图中的三角形，并且每个三角形的面积都等于． 24．（本题8分）根据以下素材，完成任务． 素材1：优优生鲜超市月份在某配送平台开展外送服务．已知该超市月份第一周在该配送平台完成订单单，月份第三周完成订单单． 素材2：该配送平台每单的配送成本为4元，当每单配送费定为8元时，日订单量为单；若配送费每提高1元，日订单量将减少单． 问题解决 任务： (1)求该超市月份第一周到第三周在该配送平台的订单量的周平均增长率； (2)为使在该配送平台日利润达到元，且尽可能降低用户的配送成本，则每单实际配送费应定为多少元？ 25．（本题8分）如图，四边形为正方形．点A的坐标为，点B的坐标为，反比例函数的图象经过点C，一次函数的图象经过点C和点A． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)写出的解集； (3)点P是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积，求P点坐标． 26．（本题10分）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段． (1)直接写出点的坐标__________； (2)若抛物线经过点O，A，B，求此抛物线的表达式； (3)如图2，设的中点为，抛物线与的形状相同，且经过点（抛物线的顶点）．若点是抛物线上两点，当时，求的取值范围． 27．（本题10分）【问题原型】 如图①，，点为上一点，且，是边上的动点，，且，连接，求的最大值． 【问题探究】 (1)如图②，小明过点作，过点作，可得，连接，将转化为，再利用，通过面积计算，从而确定为定值，又因为，最终确定点的轨迹进而解决问题． 以下是小明确认为定值的部分过程： 证明：由【问题原型】的作法可知，，． 证明过程缺失 ； 请你补全缺失的证明过程 【问题解决】 (2)请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出【问题原型】中的点的轨迹，并直接写出最大值___________（保留作图痕迹） 【问题拓展】 (3)如图③，，为上一点，，是边上的动点，，且，直接写出的最大值___________． 28．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． 　 (1)试求抛物线的解析式； (2)直线与轴交于点，与抛物线在第一象限交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，取最大值时，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的点的坐标． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第二次模拟考试检测卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了有理数的乘方、相反数等知识点，掌握乘方的运算法则成为解题的关键． 根据有理数乘方以及相反数的定义逐项判断即可． 【规范解答】解：A． ，，相等，不是相反数，不符合题意； B． ，，相等，不是相反数，不符合题意； C．，，是相反数，符合题意； D．，，相等，不是相反数，不符合题意． 故选：C． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先确定是否是同类项解答A，再求出算术平方根解答B，然后根据完全平方公式解答C，最后根据单项式除以单项式判断D即可． 【规范解答】解：因为不是同类项，不能合并，所以A不符合题意； 因为，所以B不符合题意； 因为，所以C不符合题意； 因为，所以D符合题意． 3．如图1，古代有一种计量粮食的器具叫“斗”，整体呈上宽下窄的四棱台形状（即方斗形）．如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据俯视图的意义，判断解答即可． 【规范解答】解：“斗”的俯视图的是： ． 4．某文具店推出三种笔记本：“车缝本”（5元）、“胶套本”（6元）和“活页本”（7元）．根据某月销售统计，三种笔记本的销量占比分别为：车缝本占、胶套本占、活页本占．则该月笔记本的平均售价为（    ） A．5.6元 B．5.7元 C．5.8元 D．5.9元 【答案】B 【思路引导】本题考查加权平均数的计算，利用加权平均公式，将每种笔记本的单价乘对应销量占比后求和，即可得到平均售价. 【规范解答】解：∵平均售价为各单价乘对应销量占比的和， ∴平均售价 （元）． 5．将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，点D在边上，保持点D位置不动，将绕点D旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据题意可得，，从而得，根据三角形内角和定理得出，即可得． 【规范解答】解：根据题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．2025年广东非遗周暨佛山秋色巡游活动中，主办方制作了4种非遗主题纪念徽章，图案分别为“醒狮”“广绣”“粤剧”“石湾陶塑”．现将这4枚徽章（除图案外完全相同）背面朝上放好，洗匀后从中随机抽取1枚，记下图案名称后放回；洗匀后再随机抽取1枚．两次抽取的徽章图案名称不相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】列表得到共有种等可能的结果，其中抽到的两枚徽章图案名称不相同的结果有种，再由概率公式求解即可. 【规范解答】解：把图案分别为“醒狮”“广绣”“粤剧”“石湾陶塑”的枚徽章分别记为、、、，列表如下： 共有种等可能的结果，其中两次抽取的徽章图案名称不相同的结果有种， ∴两次抽取的徽章图案名称不相同的概率为． 7．如图，已知，点D在边上，以为直径的与边相切于点，若，（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【思路引导】连接，过点作于点，根据切线的性质得到，设半径为，则，根据勾股定理求出，求出以及，即可得到答案． 【规范解答】解：连接，过点作于点， 与相切， ， ， 设半径为，则， 在中，， 解得， ， ， ， 在中，， ， 在中，． 8．如图，在反比例函数的图象上有动点，连接，的图象经过的中点，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，交轴于点，连接与交于点． 下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【思路引导】设，则的中点为，即可求得，即可判断①；表示出的坐标，即可表示出，求得，即可判断②；计算出，，即可求得，即可判断③；先证是的中点，然后根据直角三角形斜边中线的性质和平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，从而得到，即可判断④． 【规范解答】解：动点在反比例函数的图象上， 设， 的中点为， 的图象经过点， ，故①正确； ∵轴， 的纵坐标， 把代入得，， ， ， ，故②正确； 如图，过点作轴于， ，，， 过点作轴交函数的图象于点，交轴于点， ， 直线的解析式为，直线的解析式为， 由， 解得， ， ， ， ， ，故③错误； ，，， 是的中点， ， ， 轴， ， ， 若，则， ， ．故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 【考点剖析】本题以反比例函数为载体，融合中点坐标、三角形面积、角度推导等考点，通过设参表示各点，逐一验证结论，考查数形结合与代数运算能力，体现函数与几何的综合应用． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分） 9．计算：__________． 【答案】 【思路引导】根据绝对值的性质和负整数指数幂的规则进行计算即可． 【规范解答】解：． 10．请写出使分式有意义的x的一个值：________． 【答案】0（答案不唯一） 【规范解答】解：使分式有意义， ∴， 解得，， ∴当时，可以使分式有意义， 故答案为：0 （答案不唯一）． 11．分解因式：________． 【答案】 【思路引导】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解因式． 【规范解答】解：原式 ． 12．气凝胶是一种纳米级多孔固态材料，是世界上密度最小的固体，在热学、电学、光学、声学、 吸附催化等方面均表现出优异的性能，这使其在航空航天、建筑节能、化工工业、电子电工、生物 医药等领域有着广阔的应用前景．质量为的某种二氧化硅气凝胶的体积约为．将数据0.00002232用科学记数法表示是________________． 【答案】 【思路引导】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【规范解答】将数据0.00002232用科学记数法表示是． 故答案为：． 13．如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解是__________． 【答案】 【思路引导】先将交点的纵坐标代入求出横坐标，确定交点的坐标；再根据二元一次方程组的解与两直线交点坐标的对应关系，得出方程组的解． 【规范解答】解：∵ 点在直线上， ∴ 把代入，得， 解得， ∴ 点的坐标为， ∵ 二元一次方程组可变形为， ∴ 该方程组的解就是直线与交点的坐标， ∵ 直线与的交点为 ∴方程组的解是． 14．扇形餐盘具有独特的视觉效果和实用性，广泛应用于家庭、餐饮及商业场景，如图，一餐盘所在大圆的半径为，所在小圆的半径为，对应的圆心角为，则该餐盘的面积为______．（结果保留） 【答案】 【思路引导】直接利用餐盘的面积，再代入即可求解． 【规范解答】解：如图， 该餐盘的面积 ． 15．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面送到离地面4米高的地方，那么物体所经过的路程是___________米（结果保留根号）． 【答案】 【思路引导】本题考查坡度问题，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据坡度为，得，可求得，进而用勾股定理求出． 【规范解答】解：作， ∵坡度为， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 16．如图，在菱形中，，，，则周长的最小值为_____． 【答案】 【思路引导】作点F关于的对称点，在中，过点F作，求得，当E，G，三点共线时，最小，此时，据此求解即可． 【规范解答】解：如图，作点F关于的对称点， ∴，且，为定点， 在菱形中，，， ∵， ∴， ∴在中，过点F作， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵周长为， 且， 当E，G，三点共线时，最小，此时， ∵，且菱形中，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴周长的最小值为． 17．如图，在中，为的直径，弦，垂足为．若，且，则______． 【答案】6 【思路引导】连接，如图，设的半径为R，先根据圆周角定理得到，再根据垂径定理由得到，在中，，利用余弦的定义得，即，求出R，进而可得出结论． 【规范解答】解：连接，如图，设的半径为R， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 18．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，直线交轴于点，交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，与交于点，连接，．给出下面四个结论： ； ； ； ．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】 【思路引导】①设点，点，则，，，，进而得，，由此得，，据此可对结论进行判断；证明四边形是矩形，得，进而得，结合得，由此可判定和不相似，据此可对结论进行判断；根据三角形的面积公式得，，由结论正确得，则，由此得，据此可对结论进行判断；连接，在和中，根据，，得和相似，进而得，再根据，，则四边形和四边形都是平行四边形，由此得，，由此可对结论进行判断，综上所述即可得出答案. 【规范解答】解：∵点，在函数的图象上， ∴设点的坐标为，点的坐标为， ∵轴于点，过点作轴于点，与交于点， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴，故结论正确； ∵轴于点，过点作轴于点，与交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由结论正确得：， ∴， ∴和不相似，故结论不正确； ∵， ∴，， 由结论正确得， ∴， ∴， ∴，即，故结论正确； 连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， 由结论正确得， 在和中，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵轴于点，轴于点， ∴，， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∴，， ∴，故结论正确， 综上所述：正确的结论的序号是． 三、解答题（本大题共10个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题8分）解下列方程和不等式组 (1)解方程：； (2)解不等式组：． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】（1）用因式分解法解一元二次方程； （2）先解不等式组中的每个不等式，然后取其解集的公共部分即可求出不等式组的解集． 【规范解答】（1）解：， ， ∴或， ∴，． （2） 解不等式①得：； 解不等式②得：； 不等式组的解集是：． 20．（本题6分）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【思路引导】本题考查整式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后合并同类项，再进行多项式除以单项式．最后代入求值即可． 【规范解答】解： ； 当，时， 原式． 21．（本题8分）为深入推进校园心理健康关爱工程，落实“全员育人、全程关爱”理念，某中学聚焦“悦纳自我・温暖同行”核心主题，开展系列心理健康赋能活动．为精准掌握全校师生心理健康状态，筑牢校园心理防护网，学校对全体2400名师生开展专业心理测评，随机抽取25名师生的测评分数进行数据整理、分析，为后续个性化心理疏导、团体辅导提供数据支撑． 【数据收集】抽取的25名师生测评分数（满分100分）如下： 88，84，92，75，79，86，95，97，82，68，74，56，81， 77，72，87；85，66，93，91，78，80，94，69，71． 【数据整理】将收集的数据进行分组制作统计表和扇形统计图． 分数 90≤x＜100 70≤x＜80 60≤x＜70 人数 6 7 3 1 等级 A（优秀） B（良好） C（合格） D（待提升） E（需辅导） 【数据分析】依据统计信息回答问题 (1)统计表中的_____，统计图中的_____ (2)通过计算，得出心理测评等级C等（合格）扇形统计图中所占圆心角度数； (3)学校计划对E级（需辅导）的师生开展一对一的心理帮扶活动，请根据抽样数据分析结果，估计全校需要参加心理辅导的师生总人数． 【答案】(1)； (2) (3) 【思路引导】（1）根据组人数以及百分比求出总人数，再求出即可；（2）根据圆心角百分比即可得解；（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可； 【规范解答】（1）总人数（人）， （人）； 优秀等级所占百分比为， ； （2）由题可得，等级所占的百分比， 等级所对的圆心角度数； （3）（人）． 22．（本题8分）中国航天科技以自主创新为核心驱动力，成为推动国家科技进步与产业升级的重要引擎．在航天科技主题班会上，同学们提议从“嫦娥探月”“天问探火”“北斗组网”“神舟飞天”这四个航天工程中，随机选择一个主题进行介绍．下面是班长制作的正面印有不同航天主题的卡片，卡片除正面图案和文字外，其余完全相同．将这4张卡片背面向上，洗匀，放好． (1)小梦从这4张卡片中随机摸出一张，摸到“B．天问探火”的概率是_______； (2)若小航从这些卡片中随机摸出一张对卡片主题进行介绍，然后将卡片放回，洗匀，小天再从这些卡片中随机摸出一张卡片对主题进行介绍，请利用画树状图或列表的方法求他们两人介绍的航天工程主题相同的概率（卡片名称用A，B，C，D表示即可）． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键； （1）根据概率公式可进行求解； （2）由题意可进行列表，然后问题可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得：小梦从这4张卡片中随机摸出一张，摸到“B．天问探火”的概率是； 故答案为； （2）解：由题意可列表如下： A B C D A B C D 由表可知总共有种等可能的情况，其中两人介绍的航天工程主题相同的有种等可能的情况，所以他们两人介绍的航天工程主题相同的概率为． 23．（本题8分）如图，在中，D是边上的一点，是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点，且，连接； (1)求证：； (2)请写出四个图中的三角形，并且每个三角形的面积都等于． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）先证明，可得，再利用等量代换即可； （2）利用三角形中线的性质和平行线间的距离处处相等，结合平行四边形的性质即可得到答案 【规范解答】（1）证明：， ， ， ， ， ， ． （2）解：．理由如下： ∵， ∴， ，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ 24．（本题8分）根据以下素材，完成任务． 素材1：优优生鲜超市月份在某配送平台开展外送服务．已知该超市月份第一周在该配送平台完成订单单，月份第三周完成订单单． 素材2：该配送平台每单的配送成本为4元，当每单配送费定为8元时，日订单量为单；若配送费每提高1元，日订单量将减少单． 问题解决 任务： (1)求该超市月份第一周到第三周在该配送平台的订单量的周平均增长率； (2)为使在该配送平台日利润达到元，且尽可能降低用户的配送成本，则每单实际配送费应定为多少元？ 【答案】(1)； (2)元 【思路引导】（1）利用增长率公式建立方程：，其中为增长次数，这里第一周到第三周经过2次增长，代入数据求解即可； （2）根据“日利润=每单利润×日订单量”列方程，再结合“尽可能降低用户配送成本”的条件选择较低的配送费作为解． 【规范解答】（1）解：设该超市月份第一周到第三周订单量的周平均增长率为． 根据题意，得． 解得，(舍)． 答：该超市月份第一周到第三周在该配送平台的订单量的周平均增长率为． （2）解：设配送费用上涨元，则实际配送费为元，日订单量为单． 根据题意，得． 解得，． 要降低用户的配送成本， 每单实际配送费为(元)． 答：每单实际配送费应定为元． 25．（本题8分）如图，四边形为正方形．点A的坐标为，点B的坐标为，反比例函数的图象经过点C，一次函数的图象经过点C和点A． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)写出的解集； (3)点P是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积，求P点坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【思路引导】（1）先根据正方形的性质求出点C的坐标为，再将C点坐标代入反比例函数中，运用待定系数法求出反比例函数的解析式；同理，将点A，C的坐标代入一次函数中，运用待定系数法求出一次函数函数的解析式； （2）解析式联立，求得M的坐标，然后根据图象即可求得； （3）设P点的坐标为，先由的面积恰好等于正方形的面积，列出关于x的方程，求出x的值，再将x的值代入反比例函数解析式，即可求出P点的坐标． 【规范解答】（1）解：正方形，，， ， ， 把代入得：， 反比例函数解析式为； 把，代入一次函数得：， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：联立， 解得：或， ，， 由函数图象可得，的解集是：或； （3）解：设P点的坐标为， 解得：， 当时，； 当时，； 点的坐标为或． 26．（本题10分）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段． (1)直接写出点的坐标__________； (2)若抛物线经过点O，A，B，求此抛物线的表达式； (3)如图2，设的中点为，抛物线与的形状相同，且经过点（抛物线的顶点）．若点是抛物线上两点，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1） 利用平面直角坐标系内点绕原点逆时针旋转的坐标变换规律（），直接确定点的坐标； （2） 设抛物线的解析式为一般式，代入、、三点坐标，列方程组求解系数，得到解析式； （3） 先求中点的坐标，结合抛物线与形状相同确定的解析式，再利用二次函数的对称性与开口方向，结合列不等式求解的取值范围． 【规范解答】（1）解：点绕点逆时针旋转，根据坐标变换规律，得的坐标为． 故答案为：． （2）解：设抛物线的表达式为（）． ∵ 抛物线过、、， ∴ ． 将代入后两个方程，得． 两式相加得，解得； 两式相减得，解得． ∴抛物线的表达式为． （3）解：∵，， ∴的中点的坐标为，即． ∵ 抛物线与形状相同， ∴ 设的表达式为． ∵是的顶点， ∴，，即的表达式为． ∵点、在上，且， ∴，即， 解得． 故的取值范围为． 27．（本题10分）【问题原型】 如图①，，点为上一点，且，是边上的动点，，且，连接，求的最大值． 【问题探究】 (1)如图②，小明过点作，过点作，可得，连接，将转化为，再利用，通过面积计算，从而确定为定值，又因为，最终确定点的轨迹进而解决问题． 以下是小明确认为定值的部分过程： 证明：由【问题原型】的作法可知，，． 证明过程缺失 ； 请你补全缺失的证明过程 【问题解决】 (2)请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出【问题原型】中的点的轨迹，并直接写出最大值___________（保留作图痕迹） 【问题拓展】 (3)如图③，，为上一点，，是边上的动点，，且，直接写出的最大值___________． 【答案】(1)见解析； (2)见解析，； (3)． 【思路引导】（1）根据三角形的面积公式和平行线间的距离相等即可解答； （2）以为直径作圆，点E的轨迹是，当O，G，E三点共线时，有最大值，根据勾股定理即可解答； （3）过点C作，过点E作，连接，，过点C作于点M，根据度角的性质及勾股定理得到，同（1）证明，根据得到点E在上运动，可知当过点G时的值最大，过点G作于点N，过点F作于点K，可知四边形、是矩形，得到，根据勾股定理求出，即可求出的最大值． 【规范解答】（1）解：补全缺失的证明过程如下： 如图1，过点C作，过点E作，连接，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ； （2）解：， ∴点E在上运动； 如图2，作的垂直平分线交于点G，以G为圆心，为直径作圆，点E的运动轨迹就是， 当过点G时的值最大， ， ， 由勾股定理得：， ， 即的最大值是； （3）解：如图3，过点C作，过点E作，连接，，过点C作于点M， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴点E在上运动， 可知当过点G时的值最大， 如图4，过点G作于点N，过点F作于点K， ∴四边形、是矩形， ∴， ∵ ∴， ， ∴由勾股定理得：， ， 即的最大值为． 28．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． 　 (1)试求抛物线的解析式； (2)直线与轴交于点，与抛物线在第一象限交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，取最大值时，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)取得最大值，此时点的坐标为 (3)存在，满足条件的的坐标为或 【思路引导】（1）根据已知条件求得点的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）过点作轴交直线于，连接，先求得直线的解析式，设，则，可得，再由，根据相似三角形的性质及等高三角形的面积比等于底的比可得，利用二次函数的性质解决问题即可； （3）存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形，分是矩形的边和是矩形的对角线两种情况求点的坐标． 【规范解答】（1）解： ， ， ， ， ， 抛物线经过点，，， ， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）解：如图1，过点作轴交直线于，连接， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， 直线与轴交于点， ， ， 轴，即， ， ， ， ， ， 当时，取得最大值，此时点的坐标为； （3）解：存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形． ①当是矩形的边时，有两种情形， a、如图2﹣1中，四边形是矩形时， 由（2）可知，代入中，得到 ， 直线的解析式为，可得，， 由可得， , ， ， ． 根据矩形的性质，将点向右平移个单位，向下平移1个单位得到点， ，即， b、如图2﹣2中，四边形是矩形时， 直线的解析式为，， 直线的解析式为， ， 根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N， ，即． ②当是对角线时，设， 则，，， 是直角顶点， ， ， 整理得，方程无解，此种情形不存在， 综上所述，满足条件的的坐标为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考第二次模拟考试检测卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图1，古代有一种计量粮食的器具叫“斗”，整体呈上宽下窄的四棱台形状（即方斗形）．如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（   ） A． B． C． D． 4．某文具店推出三种笔记本：“车缝本”（5元）、“胶套本”（6元）和“活页本”（7元）．根据某月销售统计，三种笔记本的销量占比分别为：车缝本占、胶套本占、活页本占．则该月笔记本的平均售价为（    ） A．5.6元 B．5.7元 C．5.8元 D．5.9元 5．将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，点D在边上，保持点D位置不动，将绕点D旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（    ） A． B． C． D． 6．2025年广东非遗周暨佛山秋色巡游活动中，主办方制作了4种非遗主题纪念徽章，图案分别为“醒狮”“广绣”“粤剧”“石湾陶塑”．现将这4枚徽章（除图案外完全相同）背面朝上放好，洗匀后从中随机抽取1枚，记下图案名称后放回；洗匀后再随机抽取1枚．两次抽取的徽章图案名称不相同的概率为（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知，点D在边上，以为直径的与边相切于点，若，（    ） A．5 B． C． D． 8．如图，在反比例函数的图象上有动点，连接，的图象经过的中点，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，交轴于点，连接与交于点． 下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分） 9．计算：__________． 10．请写出使分式有意义的x的一个值：________． 11．分解因式：________． 12．气凝胶是一种纳米级多孔固态材料，是世界上密度最小的固体，在热学、电学、光学、声学、 吸附催化等方面均表现出优异的性能，这使其在航空航天、建筑节能、化工工业、电子电工、生物 医药等领域有着广阔的应用前景．质量为的某种二氧化硅气凝胶的体积约为．将数据0.00002232用科学记数法表示是________________． 13．如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解是__________． 14．扇形餐盘具有独特的视觉效果和实用性，广泛应用于家庭、餐饮及商业场景，如图，一餐盘所在大圆的半径为，所在小圆的半径为，对应的圆心角为，则该餐盘的面积为______．（结果保留） 15．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面送到离地面4米高的地方，那么物体所经过的路程是___________米（结果保留根号）． 16．如图，在菱形中，，，，则周长的最小值为_____． 17．如图，在中，为的直径，弦，垂足为．若，且，则______． 18．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，直线交轴于点，交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，与交于点，连接，．给出下面四个结论： ； ； ； ．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共10个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题8分）解下列方程和不等式组 (1)解方程：； (2)解不等式组：． 20．（本题6分）先化简，再求值：，其中，． 21．（本题8分）为深入推进校园心理健康关爱工程，落实“全员育人、全程关爱”理念，某中学聚焦“悦纳自我・温暖同行”核心主题，开展系列心理健康赋能活动．为精准掌握全校师生心理健康状态，筑牢校园心理防护网，学校对全体2400名师生开展专业心理测评，随机抽取25名师生的测评分数进行数据整理、分析，为后续个性化心理疏导、团体辅导提供数据支撑． 【数据收集】抽取的25名师生测评分数（满分100分）如下： 88，84，92，75，79，86，95，97，82，68，74，56，81， 77，72，87；85，66，93，91，78，80，94，69，71． 【数据整理】将收集的数据进行分组制作统计表和扇形统计图． 分数 90≤x＜100 70≤x＜80 60≤x＜70 人数 6 7 3 1 等级 A（优秀） B（良好） C（合格） D（待提升） E（需辅导） 【数据分析】依据统计信息回答问题 (1)统计表中的_____，统计图中的_____ (2)通过计算，得出心理测评等级C等（合格）扇形统计图中所占圆心角度数； (3)学校计划对E级（需辅导）的师生开展一对一的心理帮扶活动，请根据抽样数据分析结果，估计全校需要参加心理辅导的师生总人数． 22．（本题8分）中国航天科技以自主创新为核心驱动力，成为推动国家科技进步与产业升级的重要引擎．在航天科技主题班会上，同学们提议从“嫦娥探月”“天问探火”“北斗组网”“神舟飞天”这四个航天工程中，随机选择一个主题进行介绍．下面是班长制作的正面印有不同航天主题的卡片，卡片除正面图案和文字外，其余完全相同．将这4张卡片背面向上，洗匀，放好． (1)小梦从这4张卡片中随机摸出一张，摸到“B．天问探火”的概率是_______； (2)若小航从这些卡片中随机摸出一张对卡片主题进行介绍，然后将卡片放回，洗匀，小天再从这些卡片中随机摸出一张卡片对主题进行介绍，请利用画树状图或列表的方法求他们两人介绍的航天工程主题相同的概率（卡片名称用A，B，C，D表示即可）． 23．（本题8分）如图，在中，D是边上的一点，是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点，且，连接； (1)求证：； (2)请写出四个图中的三角形，并且每个三角形的面积都等于． 24．（本题8分）根据以下素材，完成任务． 素材1：优优生鲜超市月份在某配送平台开展外送服务．已知该超市月份第一周在该配送平台完成订单单，月份第三周完成订单单． 素材2：该配送平台每单的配送成本为4元，当每单配送费定为8元时，日订单量为单；若配送费每提高1元，日订单量将减少单． 问题解决 任务： (1)求该超市月份第一周到第三周在该配送平台的订单量的周平均增长率； (2)为使在该配送平台日利润达到元，且尽可能降低用户的配送成本，则每单实际配送费应定为多少元？ 25．（本题8分）如图，四边形为正方形．点A的坐标为，点B的坐标为，反比例函数的图象经过点C，一次函数的图象经过点C和点A． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)写出的解集； (3)点P是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积，求P点坐标． 26．（本题10分）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段． (1)直接写出点的坐标__________； (2)若抛物线经过点O，A，B，求此抛物线的表达式； (3)如图2，设的中点为，抛物线与的形状相同，且经过点（抛物线的顶点）．若点是抛物线上两点，当时，求的取值范围． 27．（本题10分）【问题原型】 如图①，，点为上一点，且，是边上的动点，，且，连接，求的最大值． 【问题探究】 (1)如图②，小明过点作，过点作，可得，连接，将转化为，再利用，通过面积计算，从而确定为定值，又因为，最终确定点的轨迹进而解决问题． 以下是小明确认为定值的部分过程： 证明：由【问题原型】的作法可知，，． 证明过程缺失 ； 请你补全缺失的证明过程 【问题解决】 (2)请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出【问题原型】中的点的轨迹，并直接写出最大值___________（保留作图痕迹） 【问题拓展】 (3)如图③，，为上一点，，是边上的动点，，且，直接写出的最大值___________． 28．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． 　 (1)试求抛物线的解析式； (2)直线与轴交于点，与抛物线在第一象限交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，取最大值时，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的点的坐标． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $