专题8：伪相关变量问题&专题9：等效替换法

数理极 导轨平面的倾角为，条形匀强磁场的宽度为d, 磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直.长 度为2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框 连接在一起组成“五”型装置，总质量为m,置于 导轨上.导体棒中通以大小恒为I的电流（由外 接恒流源产生，图中未图出).线框的边长为d(d <),电阻为R,下边与磁场区域上边界重合.将 装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下 边界处返回，导体棒在整个运动过程中始终与导 轨垂直.重力加速度为g.求： (1)装置从释放到开始返回的过程中，线框 中产生的焦耳热Q; (2)线框第一次穿越磁场区域所需的时间1； (3)经过足够长时间后，线框上边与磁场区 域下边界的最大距离xm, 【解析】(1)设装置由静止释放到导体棒运 动到磁场下边界的过程中，作用在线框上的安培 力做功为W 由动能定理有mgsin·4d+W-Bld=0 且Q=-W 解得Q=4 ngdsin a-Bld (2)设线框刚离开磁场下边界时的速度为 "1,接着向下运动2d 由动能定理有mgsin a·2d-BIld=0- 装置在磁场中运动时受到的合力 F mgsin a-F' 感应电动势e=Bdu 感应电流1=发 安培力F'=BI'd 由牛顿第二定律，在t到t+△t时间内，有△v m 则∑Ae=∑[gsin a-BE]Ar mR 有4=g,sin&- 2B2d mR 解得 /2m(B1M-2 ngdsin）+名 2B2d R t1= mgsin a (3)经过足够长时间后，线框在磁场下边界 与最大距离xm之间往复运动 由动能定理可列式 mgsin a.xm-BIl(xm-d)=O BIld 解得xm= BIl -mgsin a 【小结】第(2)问能将复杂问题分解，综合 运用牛顿运动定律、电磁感应定律和电路知识， 应用过程微元法求出运动时间. 2.对象微元法 对象微元法主要解决研究对象难以选择的 情形，通常的做法是把实体模型等分为很多很多 的等份，研究其一份，运用物理规律，辅以数学方 ·方法专项 法求解，由此求出整体受力或运动情况，在中学 阶段比较常见的有类似流体问题、铁链条的连续 体模型 例4.高压采煤水枪出水口的横截面积为S, 水的射出速度为，射到煤层上后，水的速度为 零，设水的密度为P,求对煤层的冲力大小 解析：设在△时间内，水枪中喷出水的质量 为mo,则有：mo=p(S·vAt) 以这部分水为研究对象，设煤层对这部分水 的作用力为F,由动量定理有： -F△t=0-mo 得：F=m=S,A)E=pSw △t △ 依牛顿第三定律，对煤层的冲力大小与F 相等 F=F=pSv2. 例5.某种气体分子束由质量m=5.4× 10-26kg、速度v=460m/s的分子组成，各分子都 向同一方向运动，垂直地打在某平面上后又以原 速率反向弹回，如分子束中每立方米的体积内有 no=1.5×10”个分子，求被分子束撞击的平面 所受到的压强. 解析：设在△t时间内射到面积为S的某平面 上的气体的质量为△M,则：△M=v△S·nom 取△M为研究对象，受到的合力等于平面作 用到气体上的压力F,规定以v方向为正方向，由 动量定理得： -F·△t=-△Mm-△M 解得：F=22nSm 所以平面受到的压强p为： P=- =2m=342sPa 【小结】对连续体（如高压水枪，漏斗装煤， 水车洒水等)产生的持续作用问题，若用牛顿运 动定律求解，一般比较麻烦，甚至难以求解，记住 可采用“微元法”，即取时间△，得出相应的质量 m。,然后对m。在时间△t中应用动量定理可轻松 得到问题的解.解决此类问题时，关键在于：一是 正确选取研究对象—一△时间内动量发生变化 的物质；二是根据题意正确地表示出其质量及动 量变化量. 针对训练.半径为R的均质圆环，质量为m, 在光滑水平面上以角速度ω匀速转动，求环中张 力. 【解析】模型构建：环为刚性环，水平面为光 滑平面，环上某个点作匀速圆周运动， 数理整合：如图6，取 环上一小段弧长，其所对应 的圆心角为0 △l=0R 其受力如图， F 图6 F 2FTsin 12 由向心力公式 69 F=△mo2R ③ △m= m△L 2πR ④ 联立①②③④得：Fx= mROo2 4πsin 2 当0→0时.sim号=号 mRo? 2T 【小结】截取环的微小的一段进行受力分 析，利用向心力公式列出方程，再借助于近似公 式求解，得出结论 专题8 伪相关变量问题 在高中物理习题中，大多数都是通过已知量 求解未知量，这些已知量对于未知量来说，叫做 相关变量.在解答有些问题时，我们发现这样的 情况：某一物理量与未知量关系非常紧密，在思 维过程中无法绕过，似乎是其必然的相关变量， 但问题中却并没有告知这个物理量.有些学生认 为问题缺条件，其实不然，我们在解题列式过程 中把这个貌似的相关变量引入，再应用适当的方 法，就可以把它消掉，这个貌似的相关变量叫 “伪相关变量”.比如：物体在平面上自由滑行时 的质量之于加速度；速度选择器问题中的电量之 于速度；初速为零的带电粒子经电场加速后垂直 进入电场偏转，其比荷之于偏转位移或偏转角； 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的速度之于 周期等等. “伪相关变量”问题是高中物理中的一大难 ,点，难主要表现在以下几个方面：一是在思雏上 误导学生，使学生错误地认为问题缺少条件，终 止解题.二是伪相关变量与未知量关系紧密，解 题过程中绕不开它，要引入它并在解题过程中消 掉，就意味着要多列物理表达式，应用较多的物 理规律，问题的难度必然要加大，三是解这类问 题常常要用到一些特殊的数学方法，比如微元 法、对称法等，而这些方法在高中物理习题教学 中不常用，学生对这些方法比较生疏，有些学生 尚未熟练掌握这些方法，这必然增加解题难度， 例1.如图1所示， 一薄木板斜搁在高度 7777777 一定的平台和水平地 图1 板上，其顶端与平台相平，末端置于地板的P处， 并与地板平滑连接.将一可看成质点的滑块自木 板顶端无初速释放，沿木板下滑，接着在地板上 滑动，最终停在Q处.滑块和木板及地板之间的 动摩擦因数相同.现将木板截短一半，仍按上述 方式搁在该平合和水平地板上，再次将滑块自木 板顶端无初速释放，（设物体在板和地面接触处 平滑过渡)，则滑块最终将停在 70 A.P处 B.P、Q之间 C.Q处 D.Q的右侧 【答案】C 解析：假设斜面与水平面的夹角为α，斜面 的高度为h,斜面在水平方向的投影长为x1,在 斜面上克服摩擦力做的功 h =umghcot a =umgx ① 设在水平面上滑行的距离为x2 则在水平面上克服摩擦力做的功W,= umgx2 整个过程克服摩擦力做得功为 W=umgx +umgx2 umg(x +x2) 由此公式可知，摩擦力做的功与斜面的夹角 无关， 又由于从相同的高度滑下，根据动能定理 得： mgh -W=0 ②③联立可知，最终还是停在Q处，故ABD 错，C正确. 【小结】解决本题的关键是掌握摩擦力做功 的特点及力对物体做功的公式的灵活运用，特别 要明白摩擦力做功与斜面的倾角无关，与动摩擦 因数、水平位移、物体的质量有关. 针对训练.如图2 所示，物块第一次沿轨 道1从A点由静止下 滑至底端B点，第二次 图2 沿轨道2从A点由静止下滑经C点至底端B点， AC=CB.物块与两轨道的动摩擦因数相同，不 考虑物块在C点处撞击的因素，则在物块两次整 个下滑过程中 ( A.物块沿1轨道滑至B点时的速率大 B.物块沿2轨道滑至B点时的速率大 C.物块两次滑至B点时速度大小相同 D.物块沿2轨道滑至B点产生的热量多 【答案】C 解析：由于物体从斜面上滑下时，受到重力 与摩擦力的作用，从不同轨道滑下时，重力做的 功是相等的，摩擦力做的功又只与重力、动摩擦 因数、斜面的底边长x有关，因为W,=mgcos0· = mgx,和除斜面与底边的夹角无关，故 摩擦力做的功也是相等的，也就是说，合外力做 的功相等，则两次滑至B点时的动能的增量相 等，故两次滑至B点时速度大小相同，C正确，A、 B错误；物体克服摩擦做的功用来产生热量，故 二者产生的热量也是相等的，D错误 例2.如图3所示为 一速度选择器，两极板 P、Q之间存在电场强度 为E的匀强电场和磁感 Q 应强度为B的匀强磁场 图3 ·方法专项 一束粒子流（重力不计）以速度v从α点沿直线 运动到b点下列说法中正确的是 A.粒子一定带正电 B.粒子的带电性质不确定 C粒子的速度一定等于号 D粒子的速度一定等于台 【答案】BD 解析：粒子受洛伦兹力和电场力，假设粒子 带正电，则受到向下的洛伦兹力，电场力向上；若 粒子带负电，洛伦兹力向上，电场力向下；均可以 平衡；故A粒子可以带正电，也可以带负电；故A 错误，B正确；为使粒子不发生偏转，粒子所受到 电场力和洛伦兹力是平衡力，即为qB=qE,所 以电场与磁场的关系为：。=片，故C错误，D正 确 【小结】在速度选择器中，粒子的受力特点： 同时受到方向相反的电场力和洛伦兹力作用；粒 子能匀速通过选择器的条件：电场力和洛伦兹力 千衡，即B=5,=会，只有连度为号的粒子 才能沿直线匀速通过选择器，与粒子的电量及电 性无关；若粒子从反方向射入选择器，所受的电 场力和磁场力方向相同，粒子必定发生偏转 针对训练.如图4所 示，一个电子经加速电场 后垂直进入两平行金属 板间的偏转电场.要使它 图4 离开偏转电场时的偏转角增大，可采用的办法有 A.增加带电粒子的电荷量 B.增加带电粒子的质量 C.增高加速电压 D.增高偏转电压 【答案】D 解析：先由动能定理求出粒子进入偏转电场 时的速度，利用类平抛规律求出粒子离开偏转电 场时的速度偏转角的正切值，然后讨论即可 设带电粒子进入偏转电场时的速度为o,加 速电压为U1,偏转电压为U2.带电粒子在加速过 程，应有=2md 进入偏转电场后，设粒子在偏转电场运动时 间为t,加速度为α，偏转角为p,由类平抛规律L vot L U, 3 md Vo tan Vo U,L 得tan9= 2U d 可见，偏转角与带电粒子 的电量和质量无关；要使偏转角增大，可减小加 速电压U,或增大偏转电压U2,故D正确. 【小结】偏转角与粒子的物理属性无关，即与 数理极 粒子的电量、质量、初速度无关.这些物理量都是伪 相关变量. 例3.如图5，质量为m的小N 球在半径为R的光滑竖直圆环 内做圆周运动，重力加速度大小 为g,不计空气阻力.下列说法 正确的是 ( 图5 A.小球经过最低点的最小速度为√gR B.小球经过最低点的最小速度为√5gR C.圆环最低点和最高点对小球的压力大小 的差值为2mg D.圆环最低点和最高点对小球的压力大小 的差值为6mg 【答案】BD 解析：小球在通过最高点时满足F+mg= m R ,通过最低点时满足F2-mg=m R,圆环 光滑，小球机械能守恒，即有：2mgR= 2 mu? 了，小球恰好能通过最高点时人、：0，联立 以上三式解得此时最低点的速度为2=√5gR, 所以A错误、B正确；联立以上三式得小球在最 高点与最低点受到的压力差F2-FN=2mg+ 朵（好-）=6mg,所以C错误D正确， 【小结】小球的所受压力大小之差与小球的 速度无关，与圆环的半径无关 针对训练.如图6，小车在圆环 轨道内壁的最低点P,小车质量为 m,其与圆环内壁的动摩擦因数为u. 如果小车在某个附加的切向力驱动 下以恒定的速度v从P点沿圆环内 图6 壁运动到最高Q点，求物体克服摩擦力做的功是 多少？ 解析：虽然圆环轨道的半径R未告知，解题 时必然要引入，由其解出小车的路程.另外，小车 在运动过程中的摩擦力是变力，高中阶段对于变 力做功问题一般应用动能定理等间接方法求解， 但本题却无法用此间接方法.通过分析，小车受 到的向心力大小与方向关于水平直径对称，因 此，小车受到的的弹力具有特殊的规律，以致于小 车受到的摩擦力及其做功具有特殊的规律 设当小车运动到M点，其与圆心连线与竖 直方向成0角时，由向心力公式得： Fu -mgcos 0 m R 在M点发生的无限小的位移△x,物体克服 摩擦力做功： F(mgeos 与M点关于水平直径对称点N点，小车与圆 心连线与竖直方向成角时，小车运动到此点， 由向心力公式得：Fx+mgcos8=mR 数理极 在N点发生无限小位移△x,物体克服摩擦 力做功： g,=E,Ax=Ax(-mgs0+m爱》 小车由P点运动到Q点的过程中，物体克服 摩擦力做功累积求和得： =∑(g+g:)=∑(aam员) -2mΣr=2un片 =um2 【小结】求物体克服摩擦力做功，往往要求 其经过的路程，因为在大小恒定的摩擦力作用 下，物体克服摩擦力做功等于摩擦力与路程之 积，必然要引入圆环轨道的半径R(半径R未 知)，圆环半径之于物体克服摩擦力做的功即是 “伪相关变量”.用对称法、微元法不仅克服了变 力做功问题，同时也突破了“伪相关变量”问题 的思维瓶颈。 例4.如图7是滑 雪场的一条雪道.质量 为70kg的某滑雪运动 员由A点沿圆弧轨道 图7 滑下，在B点以5√3m/s的速度水平飞出，落到 了倾斜轨道上的C点（图中未画出）.不计空气 阻力，0=30°，g=10m/s2,则下列判断正确的 是 ( A.该滑雪运动员腾空的时间为2s B.BC两点间的落差为5√5m C.落到C点时重力的瞬时功率为3500万W D.若该滑雪运动员从更高处滑下，落到C 点时速度与竖直方向的夹角不变 【答案】D 解析：运动员平抛的过程中，水平位移为x vot 竖直位移为)=士 落地时：tan0=y 联立解得t=1s,y=5m,故A、B错误； 落地时的速度：v,=gt=10m/s 所以落到C点时重力的瞬时功率为：P= mg·v,=70×10×10=7000W.故C错误； 根据落地时速度方向与水平方向之间的夹 2 角a与0的关系：tan0= Vot 2tana,可知 到C点时速度与竖直方向的夹角与平抛运动的 初速度无关.故D正确.故选D. 【小结】解决本题的关键是知道平抛运动在 水平方向和竖直方向上的运动规律，可以得出： 滑雪者落到斜面的方向仅与斜面倾角有关，与其 他物理量无关 专题9一 等效替换法 等效替换是把陌生、复杂的物理现象、物理 一方法专项 71 过程在保证某种效果、特性或关系相同的前提 C.a受到水平面向左的摩擦力 下，转化为简单、熟悉的物理现象、物理过程来研 D.a不受水平面的摩擦力 究，从而认识研究对象本质和规律的一种思想方 【答案】AD 法.等效替换方法广泛应用于解决特定物理问题 解析：因为不知道a的状态，若想分析α受 研究中，如：串并联总电阻、力的合成与分解、运 到水平面的摩擦力，须首先分析b对α的作用力. 动的合成与分解、等效力场、等效电源、交流电有 有些学生按照常规分析b受到a的支持力F、和 效值… 滑动摩擦力F,再根据相互作用分析a的受力， 例1.一个物体在n个恒力作用下处于静止 需分解F、和F,要应用三角函数、难度较大，怎 状态，现在使其中一个大小为F的力转过90°，欲 使该物体仍能保持静止，必须再加一个多大的力 样解决此难题？ 可以把b受到的作用力等效为地球和a两个 A.3F B.2F 物体对b施加作用力，因重力方向竖直向下，故α C.2F D.F 对b的作用力一定竖直向上：再应用相互作用力 【答案】C 可知b对a施加的作用力一定竖直向下，注意到 解析：首先对物体原来静止时受力分析：除地面对a的支持力也竖直向上，可知a水平方向 F外受到的(n-I)个力的作用等效成一个力F,不受作用力，则a一定静止、a不受地面的摩擦 的作用，如图1所示，由平衡可知F,与F等大、反 力，所以正确答案为AD. 向； 例4.如图5所示，已知电源 的内阻为r,外电路由固定电阻 R。和可变电阻R组成，若滑动 图1 变阻器的滑片P由A端向B端 图2 图5 滑动，试求： F转过90°后（称为F,)等效于物体受到夹 (1)可变电阻R的阻值多大时，电源的输出 角为90°的F,与F,作用，其合力F3大小为2F 功率最大？最大输出功率多大？ 方向沿角平分线，如图2所示，欲使物体再次平 (2)可变电阻R的阻值多大时，其本身消耗 衡，须再加一个与F3等大反向的力F4,则答案 为C. 的功率最大？最大值为多少？ 【小结】采用步步推进法和等效思想，减少 解析：由闭合电路的欧姆定律推出电源的输 了力的个数、简化了解题过程. 出功率P出随外电阻R外变化的规律表达式为 变形1.若题中F的力转过60°，欲使该物体 P出= E2 (R外-r)2 —可见，当R外=r时，电源的 仍能保持静止，必须再加一个多大的力？ +4r 变形2.若题中F的力转过120°，欲使该物 R外 体仍能保持静止，必须再加一个多大的力？ 输出功率是最大的，最大输出功率为P。= 4r 例2.如图3所示，放置在 水平桌面上的物体受到沿斜 (1)图5中，外电阻为固 向右上方的拉力F作用而处mwm 定电阻R,和可变电阻R的并 于静止状态，则物体受到的拉 图3 力和摩擦力的合力方向一定 ( ) 联总电阻，则当R,R R。+R=r故 A.斜向右上方 B.斜向右下方 Ror BRA R= 图6 C.竖直向上 D.竖直向下 ，即，此时电源的输 【答案】C 出功率是最大的，最大值为P三￡ 解析：首先对物体受力分析，物体受到重力 G、支持力F、、静摩擦力F和拉力F作用. (2)讨论可变电阻R上消耗的电功率的变 欲求F,与F的合力的方向、只需确定G与化情况时，可以把定值电阻R,当做电源内阻的 F、的合力的方向即可.根据水平方向合力平衡 一部分，即电源的等效内电阻为r=。+ Ror 可知F与F的合力必为竖直方向、而F,与F水 平方向分力平衡，则F:与F的合力方向竖直向 这时可变电阻R上消耗的电功率相当于外 上，所以正确答案为C. 电路消耗的功率，即“等效电源”（如图6所示） 【小结】把物体受到的作用力等效成两个的输出功率.此时，“等效电源”的电动势变为E 力，即F与F的合力、G与FN的合力，水到渠成 E 例3.如图4所示，斜 R+·R。 劈a放置在水平面上，滑 块b在沿斜劈a的左侧面 7A71171111771777 所以，当R=r=心千时，“等效电源的 匀速下滑，则( 图4 输出功率，即可变电阻上消耗的电功率是最大 A.a一定静止 E2 B.a受到水平面向右的摩擦力 的，最大值为P。= E2R。 4=4r(R。+r)