专题6：递推归纳法

66 如果把圆环及轨道倒置，如 D 图11所示，使A在最低点，让物 体从B、C、D点由静止开始沿光 滑弦轨道滑到A点，通过同样方 法证明，物体下滑时间仍相等。 A 图11 结论：物体由静止开始沿着一个端点在圆环 最高点的不同光滑弦轨道下滑到圆环的时间相 等；或物体在圆环上由静止开始沿着另一个端，点 在圆环最低点的不同光滑弦轨道下滑，滑到圆环 最低点的时间相等 模仿这种运动的等时性模型，通过作图的方 法可以找出各种情况下逃生者由静止开始沿光 滑滑梯下滑最短时间的滑梯。 模型1.逃生者只能由一定点从静止开始沿 光滑滑梯下滑到斜面上. 如图12，在竖直平 面内，定点A与斜面之间 连接光滑直轨道，作图求 出物体由A沿光滑直轨道 0 图12 运动到除斜面的最短时间的径迹 作法：过A点作竖直线AB,过A作水平线与 斜面交于Q点，作∠AQ0的角平分线与AB交于 0'点，以O'点为圆心、A0'长为半径作圆切斜面 于P点，AP径迹即为所求. 模型2.逃生者可以选择由斜面上某一点从 静止开始沿光滑滑梯下滑到一定点 如图13，在竖直平面 内，定点A位于斜面ML的 下面，A与斜面之间连接光 滑直轨道，作图求出物体由名 斜面上一点从静止开始沿 图13 光滑直轨道滑到A点最短时间的径迹， 作法同模型1，PA径迹即为所求. 模型3.逃生者只能由球面外一定点从静止 开始沿光滑滑梯下滑到球面上， 如图14，在竖直平面 内，定点A与圆环0之间架 设光滑直轨道，作图求出物 体由静止开始沿光滑直轨 道滑到圆环O上最短时间 B 图14 的径迹 作法：过O点作竖直半径交圆环于B点，AB 连线交圆环于P点，过A作竖直线AC,连OP交 AC于Q点，以Q为圆心、AQ为半径作圆.AP径迹 即为所求 模型4.逃生者可以选择由球面上某一点从 静止开始沿光滑滑梯下滑到球面外一定点。 如图15，在竖直平面 内，定点A与圆环0之间架 设光滑直轨道，作图求出物 体由圆环O上一点从静止 开始沿光滑直轨道滑到A 图15 点最短时间的径迹 方法专项 作法同模型3，PA径迹即为所求. 模型5.逃生者只能由球面内一定点从静止 开始沿光滑滑梯下滑到球面上 如图16，在竖直平面内， 定点A位于圆环O内，定点A 与圆环之间架设光滑直轨道， 作图求出物体由静止开始沿 光滑直轨道滑到圆环O上最 图16 短时间的径迹 作法：过O作竖直半径交圆环0于C点，连 CA交圆环于P点，连OP,过A点作竖直线AB与 P0交于Q点，以Q为圆心、AQ长为半径作圆，PA 径迹即为所求. 模型6.逃生者可以由球面上某一点从静止 开始沿光滑滑梯下滑到球面内一定点. 如图17.在竖直平面内， 定点A位于圆环Q内，定点A 与圆环Q之间架设光滑直轨 道，作图求出物体由静止开始 由圆环Q上一点沿光滑直轨 图17 道滑到定点A最短时间的径迹 作法同模型5，PA即为所求， 【小结】选择或搭建最快滑梯具有这样的特 点：滑梯一端在定点，过定点作圆，且定点处在圆 的最高点（或最低点），滑梯的另一端处在圆与 着落面（起滑处所在平面）的切，点.本问题中的 起滑处所在平面或着落面是简单的平面或球面， 作图相对简单.如果起滑处所在位置或着落面的 竖直截面是二次曲线（椭圆、双曲线、抛物线）， 则可以通过解析几何的方法，建立二次曲线方 程，再建立过定点的圆方程（定点在圆的最高点 或最低点)，利用几何画板来作图，画出它们的 切点，在定点与切点之间搭建滑梯，同样可以找 出逃生者最快通道。 以上通过模仿建模，利用作图的方法可以简 洁地求出逃生者下滑的最快滑梯.学生应学会用 较简洁的模型方法解决原始的情境问题，将有利 于培养学生学习物理兴趣，对于有些非线性变化 问题，只需要研究两者一些特殊的量值，比如最 大值、最小值、临界值等.可应用物理规律与数学 方法推导出两者的函数关系，再进行求解. 在高中物理中，典型物理问题的知识与方法 的积累对于提高解题的技巧与速度是非常重要 的，因此，每一单元学习任务完成后，学生要善于 归纳总结这个单元的典型问题及其解法.经过长 期积累，在大脑中储存相对充足的物理知识与方 法，以便于在解决问题时能进行知识的迁移与方 法的借鉴。 数理极 专题6 递推归纳法 递推归纳法是依据物理问题所呈现的物理 量之间的关系或潜在的物理条件，通过物理相关 规律，再辅以数学方法来递推归纳，得出物理量 变化的通式，从而探知物理量的变化规律.在应 用递推归纳法解决物理问题时，要善于引导学生 挖掘物理量之间的变化关系及其隐含的物理条 件，因为它是我们进一步对物理问题进行递推归 纳的抓手. 譬如，在应用递推归纳法解决动力学问题 时，首先要分析物体的受力，进一步分析物体的 运动情况，善于分析出物体运动中的相似阶段， 把握物体在相似运动阶段的节点.把整个运动过 程分为若干个相似的阶段，每个相似阶段具有宏 观运动性质的相似性.比如：有的相似性阶段是 先在电场中作匀变速运动后在磁场中做匀速圆 周运动，有的相似性阶段是先匀加速运动后做匀 减速运动.在相似性阶段还可能具有相同的某一 物理量，或是运动周期相同，或是末速度大小相 等，或是位移大小相等，如此不一而足.因此，递 推归纳出的物理量往往具有比较简单的变化规 律，或是等差数列变化，或是等比数列变化，较难 一点的是复合数列变化. 例1.如图1所示，匀强磁场的磁感应强度大 小为B.磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右 边界分别垂直相交于M、N,MN=L,粒子打到板 上时会被反弹（碰撞时间极短），反弹前后水平 分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，质 量为m、电荷量为-q的粒子速度一定，可以从左 边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周 运动的半径为d,且d<L,粒子重力不计，电荷 量保持不变， 图1 (1)求粒子运动速度的大小v; (2)欲使粒子从磁场右边界射出，求入射点 到M的最大距离dm; (3)从P点射入的粒子最终从Q点射出磁 场，PM=d,QN=号，求拉子从P到Q的运动时 间. 【解析】(1)粒子的运动 半径1=g解得0= m (2)如图2所示，粒子碰 撞后的运动轨迹恰好与磁场 图2 左边界相切 数理极 由几何关系得d.=d(1+sin60°) 解得d。=2+5d 2 (3)粒子的运动周期T= 2mm qB a.设粒子最后一次碰撞到水平板后射出磁 场的时间为，粒子斜向上射出磁场 可能1= T+4 可能=子7+ 4=2n-12T+4(n=1,2,3…) 当L=(2m-1)1+(1-夏)u时，粒子转过 夹角为石，即4，解得4=（宁+36.4） Tm 2qB b.设粒子最后一次碰撞到水平板后射出磁 场的时间为2，粒子斜向下射出磁场 2T+ 4 可能t= 4T+ 可能1= 6T+2 4-+4(n=12,3.… 当L=2nd+(1+)4时，粒子转过夹角为 名即6=吾，解得1=（片-35.4 24B 【小结】本题第三小题求带电粒子在磁场中 运动时间，带电粒子撞到水平板的次数分为奇偶 次两种情况递推，求出两种情况下粒子在磁场中 运动时间. 例2.如图3所示，以 两虚线为边界，中间存在 平行纸面且与边界垂直 的水平电场，宽度为d, 图3 两侧为相同的匀强磁场，方向垂直纸面向里.一 质量为m、带电量+g、重力不计的带电粒子，以 初速度，垂直边界射入磁场做匀速圆周运动， 后进入电场做匀加速运动，然后第二次进入磁场 中运动，此后粒子在电场和磁场中交替运动已 知粒子第二次在磁场中运动的半径是第一次的 二倍，第三次是第一次的三倍，以此类推.求： (1)粒子第一次经过电场的过程中电场力 所做的功W· (2)粒子第n次经过电场时电场强度的大 小En (3)粒子第n次经过电场所用的时间tn: ·方法专项 (4)假设粒子在磁场中运动时，电场区域场 强为零.请画出从粒子第一次射入磁场至第三次 离开电场的过程中，电场强度随时间变化的关系 图线（不要求写出推导过程，不要求标明坐标刻 度值) 【解析】带电粒子在磁场中做匀速圆周运 动，由9B=m得r= qB 则U1:v2:…:vn=T1:r2:…:Tn =1:2:…:n (1)第一次过电场，由动能定理得 g=2-a=3a (2)第n次经过电场时，由动能定理得 5,d=26-2m 2 解得E。= (2n+1)m 2qd (3)第n次经过电场时的平均速度 0n= ,+_2n+l, 2 2 则时间为。= d 2d (2n+1)u (4)如图4. 【小结】依据带电粒子在 磁场中做匀速圆周运动的半 径公式，可知带电粒子依次进 入磁场的速度大小之比等于 图4 其在磁场中的轨道半径之比，可以求出每次进入 磁场的速度，每次进入磁场的速度也是前次出电 场的速度，以这个速度关系作为抓手，再结合动 能定理即可递推归纳出第次经过电场的场强， 至于第次在电场中匀加速的时间也就迎刃而 解了.本题难度适中，运动模型虽然复杂一些，但 模型相对单一，仅是电场与磁场周期性运动，应 用的物理规律可以是动能定理，也可以是动力学 运动规律，学生的得分率较高， 专题7 微元累积法 微元法是介于初等数学与高等数学之间的 一种处理物理模型问题的方法，其要点是：在对 物理问题做整体的考查后，选取该问题过程中的 某一微小单元进行分析，通过对微元细节的物理 分析和描述，找出该微元所具有的物理性质和运 动变化规律，从而获得解决该物理问题整体的方 法.微元法按其研究物理模型问题可分为对象微 元法、过程微元法. 1.过程微元法 过程微元法着眼于研究对象物体所经历的 比较复杂的过程，比如，物体的运动不是恒力作 用下的匀变速运动，而是变力作用下的变加速运 67 动，这时物体运动的过程复杂，运动过程性规律 不甚明了，若从整体着手研究，则难以在高中物 理层面展开，不过当我们用过程微元法，把物体 的运动过程按其经历的位移或时间等分为多个 小量，将每个微元过程近似为高中物理知识所能 处理的过程，在得出每个微元过程的相关结果 后，再进行数学求和，这样就能得到物体复杂运 动过程的规律。 例1.质量为m物体从地面以初速度。竖直 上抛，经过时间达最高点，在运动过程中受到 的阻力∫=w(k是常数)，求上升的最大高度， 【解析】物体上升过程 mg kv ma kv a =g+ m ∑A=∑(g+色)A kH 得o=gt1+ H=m(。-g) ① k 针对训练.接上题，上题条件不变，物体从最 高点下落，当物体到达地面时速度刚好达到最 大，求其下落时间2 【解析】到达地面速度最大值为vm hv =mg ② 过程中mg-k=ma ③ ∑△u=∑aAt即vm=gh2- kH ④ m ①23④得：，=匹+2-1 k 【小结】本题上升下落过程受到变化的阻 力，加速度变化，需要把物体的运动过程进行微 元处理，在每一小段的时间内可以认为加速度一 定，再进行时间的累积，就可以求出结果 例2.如图1所示，顶角 0=45°的金属导轨M0N 固定在水平面内，导轨处在 XXX XX 方向竖直，磁感应强度为B XXXX× 的匀强磁场中，一根与OW N 垂直的导体棒在水平外力 图1 作用下以恒定速度沿导轨MON向右滑动，导 体棒的质量为m,导轨与导体棒单位长度的电阻 均为r,导体棒与导轨接触点为α和b,导体棒在 滑动过程中始终保持与导轨良好接触，=0时， 导体棒位于顶角处.求： (1)t时刻流过导体棒的电流强度I和电流 方向 (2)导体棒作匀速直线运动时水平外力F 的表达式 (3)导体棒在0~t时间内产生的焦耳热Q. 【解析】(1)经时间t,导体棒位移x=od 导体棒有效长度1=x