专题5：模拟图示法

64 阻力，则 满足 ( A.1< 2 <2 B.2 <3 t C.3< t3 <4 D.4 t <5 【答案】C 【解析】运动员起跳到达最高点的瞬间速度 为零，又不计空气阻力，故可逆向处理为自由落 体运动.则根据初速度为零的匀加速直线运动， 相等相邻位移时间关系1：(2-1)：(5-√2)： 2-:(5-2可听25=2+ 万，即3<三<4，故本题选C. t 【小结】运动员上升的位移与时间的关系是 非线性关系，要根据初速度为零匀加速运动的推 论得出各个相等位移所用时间的比例关系.也就 是说，把竖直上抛运动等效处理为自由落体 运动 例6.(1)雨滴落到地面 的速度通常仅为几米每秒，这 与雨滴下落过程中受到空气 阻力有关.雨滴间无相互作用 且雨滴质量不变，重力加速度 图10 为g (1)质量为m的雨滴由静止开始，下落高度 h时速度为u,求这一过程中克服空气阻力所做 的功W. (2)将雨滴看作半径为r的球体，设其竖直 落向地面的过程中所受空气阻力f=k22,其中 v是雨滴的速度，k是比例系数， a.设雨滴的密度为p,推导雨滴下落趋近的 最大速度m与半径r的关系式； b.示意图10中画出了半径为r1、2(r1>r2) 的雨滴在空气中无初速下落的v-t图线，其中 对应半径为r,的雨滴（选填“①”或 “②”)；若不计空气阻力，请在图中画出雨滴无 初速下落的v-t图线. (3)由于大量气体分子在各方向运动的几 率相等，其对静止雨滴的作用力为零.将雨滴简 化为垂直于运动方向面积为S的圆盘，证明：圆 盘以速度v下落时受到的空气阻力f∝（提示： 设单位体积内空气分子数为n,空气分子质量为 mo). 【解析】(1)根据动能定理有 mgh-W=子 2 可得W=mgh-m (2)a.根据牛顿第 二定律mg-∫=ma 得a=g- kr'v m 当加速度为零时，雨 图11 方法专项 滴趋近于最大速度vm 雨滴质量m= 由a=0,可得，雨滴最大速度vn= 4下Pgr 3k b.①，如图11中③. (3)根据题设条件：大量气体分子在各方向 运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零 以下只考虑雨滴下落的定向运动 简化的圆盘模型如图 12.设空气分子与圆盘碰撞前 A3E1381111311111111118811/7817761// 3A803103811111118E10847768777 后相对速度大小不变.在△ NAMEIIRE1F AAVASB11113111133111311118B1E/28//18// MEELVREARBEEIIR811 IEF8EH IELIJBBFAFFEE8EE// Nii日1ii4 时间内，与圆盘碰撞的空气分 图12 子质量为△m=Sv△tnmo 以F表示圆盘对气体分 子的作用力，根据动量定理，有F△tc△m×v得 F o nmoSu? 由牛顿第三定律，可知圆盘所受空气阻力「 oc v2 采用不同的碰撞模型，也可得到相同结论 【小结】本题中第二小题的加速度与速度的 关系是二次函数关系，当加速度减小为零时，速 度达到最大值.与此相类似，第三小题中圆盘所 受的空气阻力与圆盘的速度也是二次函数关系 针对训练.2018年， 人类历史上第一架由气体主 离子引擎推动的飞机 电离室 诞生，这种引擎不需要 图13 燃料，也无污染物排放.引擎获得推力的原理如 图13所示，进入电离室的气体被电离成正离子， 而后飘入电极A、B之间的匀强电场（初速度忽 略不计)，A、B间电压为U,使正离子加速形成离 子束，在加速过程中引擎获得恒定的推力.单位 时间内飘入的正离子数目为定值，离子质量为 m,电荷量为Ze,其中Z是正整数，e是元电荷. (1)若引擎获得的推力为F,求单位时间内 飘入A、B间的正离子数目N为多少； (2)加速正离子束所消耗的功率P不同时， 引擎获得的推力F也不同，试推导的表达式： (3)为提高能量的转换效率，要使尽量 大，请提出增大的三条建议。 【解析】(1)设正离子经过电极B时的速度 为v,根据动能定理，有 ① 设正离子束所受的电场力为F,,根据牛顿 第三定律，有 F=F 设引擎在△时间内飘入电极间的正离子个 数为△N,由牛顿第二定律，有 F1=△Nm v-0 △t 数理招 联立①②③式，且N= △ 得 F N= ④ 2ZemU (2)设正离子束所受的电场力为F”,由正离 子束在电场中做匀加速直线运动，有 P= 2 ⑤ 考虑到牛顿第三定律得到F'=F,联立 ①⑤式得 ⑥ (3)为使号尽量大，分析0式得到 三条建议：用质量大的离子；用带电量少的 离子；减小加速电压 【小结】以△t时间内飘入A、B间的正离子整 体为研究对象，根据反冲原理、动能定理以及动 量定理进行推导，求得的物理量与相关量是非线 性关系 专题5 模拟图示法 物理现象或物理过程如果用图示的方法直 观形象地描述，便于调动学生的学习兴趣，也便 于物理问题的理解与解决.有的物理现象看不见 摸不着，可以用模拟图示法把客观的物理现象进 行模拟还原作图，形象直观的反映物理规律；有 的物理过程比较复杂，用图示法可以客观、形象 地简洁描述其物理过程.模拟图示法可以分为无 中生有法、场景还原法。 1.无中生有法 电场与磁场是客观存在的，但电场线与磁感 线是假想虚拟的，可以根据它们的科学表达式或 借助于实验结果直观形象描述出电场、磁场的力 的性质与能的性质. 例1.如图1所示，a、b两 点位于以负点电荷-Q(Q> 0)为球心的球面上，c点在球 面外，则 A.a点场强的大小比b 图1 点大 B.b点场强的大小比c点小 C.a点电势比b点高 D.b点电势比c点低 【答案】D 【解析】负的点电荷的电 场线分布如图2（过点电荷的 截面图)，由图可知同一球面 的电势相等，电场强度大小相 等.顺着电场方向，电势逐渐 图2 降低，靠近点电荷的点电场强 数理极 度较大.容易知道D正确 【小结】本题要模拟画出负的点电荷的电场 线与等势线，依据电场线与等势线的性质来作出 判定 例2.如图3所示，实线 N 表示某电场的电场线（方 向未标出)，虚线是一带负 电的粒子只在电场力作用 图3 下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为PM、 pw,粒子在M和V时加速度大小分别为aw、aw, 速度大小分别为vM、心w,电势能分别为EwEw 下列判断正确的是 ( A.Uy UN,aM an B.Uy UN,OM ON C.u ON,EpM Ew D.ay aN,Epar EpN 【答案】D 【解析】根据电场线疏密判断电场强度的大 小，从而判断电场力及加速度的大小，有aM< aN; 作出电场力和电场 线方向草图如图4，根据 沿电场方向电势降低，知 Py >ON; 图4 因为带电粒子带负电，所以Enw<Ev; 因为只在电场力作用下，所以电势能与动能 之和不变，所以vM>w 【小结】不规则电场线是比较普遍存在的， 粒子在其中运动时，其轨迹是由初速度方向与受 到的电场力方向来确定，要正确理解曲线运动的 受力条件. 例3.空间有一沿x轴 EA 对称分布的电场，其电场强 度E随x变化的图像如图5 所示.下列说法正确的是 图5 A.O点的电势最低 B.2点的电势最高 C.x和-x1两点的电势相等 D.x,和x3两点的电势相等 【答案】C 【解析】本题的场强分布一目了然，但电势 的变化情况却不甚明了，要想知道电势的变化情 况，同学们要设法找寻出与本题图中场强分布相 似的电场模型.在所学过的电场中，点电荷的电 场是单调变化的，无需讨论.而等量同种电荷或 等量异种电荷的连线上与中垂线上的场强分布 复杂，需一一讨论.如果同学们对复合电场分布 有一定的积累，不难发现该电场分布与等量同种 电荷连线的中垂线上场强分布情况极其相似，找 到这样的电场模型，问题就迎刃而解了. 下面来讨论等量同种电荷连线的中垂线上 …方法专项 场强情况，看是否与图5的电场相吻合 如图6，MN点放置 同种正电荷Q,MN连线 E 的中垂线上，容易知O点 +0 场强为零，中垂线上方某 一P点的场强是由分场 图6 强E,E,叠加为E,设合场强与分场强的夹角为 0,MN的长为2L, 则：E,=E2= kOsin20 心 ① E =2E cos 0 ② ①②解得E=2 2kOsin2 Ocos 0 令y=io6,=7inr你in20:2s20 击积不等式得：y=in26你in0-2x心9 ≤ sin20+sin2 0 +2cos2 2 3 = 27 当sin20=2cos20时，E取得极大值， 在0点下方与P点对称的点的场强同样取 得极大值，如果规定竖直向上为正方向，则0点 上方场强为正，0点下方场强为负，以纵轴表示 场强，横轴表示中垂线，0点为坐标原点，就可以 画出本题的场强分布图.中垂线上0点上方场强 大小先增大后减小，方向向上，沿着电场线电势 降低；0点下方，场强先增大后减小，方向向下， 沿着电场线电势也降低.由于O点的上下方电势 与场强具有对称性，可知本题只能选择C. 【小结】本题的电场强度E随x变化的图像 表明电场强度不是单调变化的，分析其特点，可 以发现它与等量同种正电荷中垂线上的电场线 是一致的，中垂线上的电场强度与电势的大小关 于点电荷连线对称分布，场强的最大值也是关于 ,点电荷连线对称分布 例4.如图7，电荷量分别 为9和-q(g>0)的点电荷 固定在正方体的两个顶点上， a、b是正方体的另外两个顶 图7 点.则 A.a点和b点的电势相等 B.a点和b点的电场强度大小相等 C.a点和b点的电场强度方向相同 D.将负电荷从α点移到b点，电势能增加 【答案】BC 【解析】画出过g和 -q、a、b点所在平面电场 线与等势线模拟图，由图 线的对称性，以及电场 图8 线、等势线性质可以得出 a点和b点的电场强度大小相等，a点和b点的电 场强度方向相同. 【小结】本题中要注意到两个，点电荷与a、b 是共面的，在这个平面中画出电场线与等势线， 65 非常直观的知道αb两，点的电场强度关系以及电 势的关系，要注意图线的对称性 例5.如图9，一段半圆形 前 粗铜线固定在绝缘水平桌面 ×左 (纸面)上，铜线所在空间有 后 一匀强磁场，磁场方向竖直向 图9 下.当铜线通有顺时针方向电流时，铜线所受安 培力的方向 A.向前 B.向后 C.向左 D.向右 【答案】A 【解析】以竖直轴为对称轴，把半圆形通电 铜线对称等分，每一段通电铜线长趋近于零但不 为零，每一段通电铜线可以看作直线段，对称轴 两边的对称直铜线受到的安培力由左手定则确 定，其方向关于对称轴对称且斜向上，合力竖直 向上.由此得出半圆形通电铜线受到的合力竖直 向上 【小结】本题利用极限思维方法将半圆形通 电铜线化曲为直，从而有利于问题的解决.也可 以用等效法处理：半圆形铜线的受力与水平直径 长的铜导线等效 2.场景还原法 场景还原是解决物理问题的必备方法，下面 以逃生滑梯为例进行阐述， 在火灾、地震等灾害来临的危急情况下，需 要选择或搭建滑梯作为逃生通道，在最短的时间 内安全地逃离危险境地，是逃生者首先要考虑的 问题.由于逃生者所在的位置情况与安全地带情 况不同，搭建最快的下滑滑梯情况也随之变化 如果我们把复杂的逃生问题情境进行简化与抽 象，依据下面的弦轨道模型进行模拟建模，通过 作出图示可以找出各种情况下逃生的最快滑梯. 我们先看弦轨道模型问题并证明物体下滑 的等时性 如图10所示，让物体从竖 直圆环上的最高点A处由静止 开始沿光滑的弦轨道AB、AC、 AD下滑(AD竖直)，下滑的时间 D 分别为1、2、3·试证明t1=2 图10 =t3 证明：物体由静止开始沿AB弦轨道下滑， AB弦轨道长为x1,AB弦轨道与竖直方向夹角为 0,直径AD长为d. a=gcos 0 ① x=dcos 0 ② ③ ①②8解得：4=√g d 可知物体由静止开始沿光滑弦轨道下滑的 时间与弦与竖直方向的夹角无关，即，=2= 66 如果把圆环及轨道倒置，如 D 图11所示，使A在最低点，让物 体从B、C、D点由静止开始沿光 滑弦轨道滑到A点，通过同样方 法证明，物体下滑时间仍相等。 A 图11 结论：物体由静止开始沿着一个端点在圆环 最高点的不同光滑弦轨道下滑到圆环的时间相 等；或物体在圆环上由静止开始沿着另一个端，点 在圆环最低点的不同光滑弦轨道下滑，滑到圆环 最低点的时间相等 模仿这种运动的等时性模型，通过作图的方 法可以找出各种情况下逃生者由静止开始沿光 滑滑梯下滑最短时间的滑梯。 模型1.逃生者只能由一定点从静止开始沿 光滑滑梯下滑到斜面上. 如图12，在竖直平 面内，定点A与斜面之间 连接光滑直轨道，作图求 出物体由A沿光滑直轨道 0 图12 运动到除斜面的最短时间的径迹 作法：过A点作竖直线AB,过A作水平线与 斜面交于Q点，作∠AQ0的角平分线与AB交于 0'点，以O'点为圆心、A0'长为半径作圆切斜面 于P点，AP径迹即为所求. 模型2.逃生者可以选择由斜面上某一点从 静止开始沿光滑滑梯下滑到一定点 如图13，在竖直平面 内，定点A位于斜面ML的 下面，A与斜面之间连接光 滑直轨道，作图求出物体由名 斜面上一点从静止开始沿 图13 光滑直轨道滑到A点最短时间的径迹， 作法同模型1，PA径迹即为所求. 模型3.逃生者只能由球面外一定点从静止 开始沿光滑滑梯下滑到球面上， 如图14，在竖直平面 内，定点A与圆环0之间架 设光滑直轨道，作图求出物 体由静止开始沿光滑直轨 道滑到圆环O上最短时间 B 图14 的径迹 作法：过O点作竖直半径交圆环于B点，AB 连线交圆环于P点，过A作竖直线AC,连OP交 AC于Q点，以Q为圆心、AQ为半径作圆.AP径迹 即为所求 模型4.逃生者可以选择由球面上某一点从 静止开始沿光滑滑梯下滑到球面外一定点。 如图15，在竖直平面 内，定点A与圆环0之间架 设光滑直轨道，作图求出物 体由圆环O上一点从静止 开始沿光滑直轨道滑到A 图15 点最短时间的径迹 方法专项 作法同模型3，PA径迹即为所求. 模型5.逃生者只能由球面内一定点从静止 开始沿光滑滑梯下滑到球面上 如图16，在竖直平面内， 定点A位于圆环O内，定点A 与圆环之间架设光滑直轨道， 作图求出物体由静止开始沿 光滑直轨道滑到圆环O上最 图16 短时间的径迹 作法：过O作竖直半径交圆环0于C点，连 CA交圆环于P点，连OP,过A点作竖直线AB与 P0交于Q点，以Q为圆心、AQ长为半径作圆，PA 径迹即为所求. 模型6.逃生者可以由球面上某一点从静止 开始沿光滑滑梯下滑到球面内一定点. 如图17.在竖直平面内， 定点A位于圆环Q内，定点A 与圆环Q之间架设光滑直轨 道，作图求出物体由静止开始 由圆环Q上一点沿光滑直轨 图17 道滑到定点A最短时间的径迹 作法同模型5，PA即为所求， 【小结】选择或搭建最快滑梯具有这样的特 点：滑梯一端在定点，过定点作圆，且定点处在圆 的最高点（或最低点），滑梯的另一端处在圆与 着落面（起滑处所在平面）的切，点.本问题中的 起滑处所在平面或着落面是简单的平面或球面， 作图相对简单.如果起滑处所在位置或着落面的 竖直截面是二次曲线（椭圆、双曲线、抛物线）， 则可以通过解析几何的方法，建立二次曲线方 程，再建立过定点的圆方程（定点在圆的最高点 或最低点)，利用几何画板来作图，画出它们的 切点，在定点与切点之间搭建滑梯，同样可以找 出逃生者最快通道。 以上通过模仿建模，利用作图的方法可以简 洁地求出逃生者下滑的最快滑梯.学生应学会用 较简洁的模型方法解决原始的情境问题，将有利 于培养学生学习物理兴趣，对于有些非线性变化 问题，只需要研究两者一些特殊的量值，比如最 大值、最小值、临界值等.可应用物理规律与数学 方法推导出两者的函数关系，再进行求解. 在高中物理中，典型物理问题的知识与方法 的积累对于提高解题的技巧与速度是非常重要 的，因此，每一单元学习任务完成后，学生要善于 归纳总结这个单元的典型问题及其解法.经过长 期积累，在大脑中储存相对充足的物理知识与方 法，以便于在解决问题时能进行知识的迁移与方 法的借鉴。 数理极 专题6 递推归纳法 递推归纳法是依据物理问题所呈现的物理 量之间的关系或潜在的物理条件，通过物理相关 规律，再辅以数学方法来递推归纳，得出物理量 变化的通式，从而探知物理量的变化规律.在应 用递推归纳法解决物理问题时，要善于引导学生 挖掘物理量之间的变化关系及其隐含的物理条 件，因为它是我们进一步对物理问题进行递推归 纳的抓手. 譬如，在应用递推归纳法解决动力学问题 时，首先要分析物体的受力，进一步分析物体的 运动情况，善于分析出物体运动中的相似阶段， 把握物体在相似运动阶段的节点.把整个运动过 程分为若干个相似的阶段，每个相似阶段具有宏 观运动性质的相似性.比如：有的相似性阶段是 先在电场中作匀变速运动后在磁场中做匀速圆 周运动，有的相似性阶段是先匀加速运动后做匀 减速运动.在相似性阶段还可能具有相同的某一 物理量，或是运动周期相同，或是末速度大小相 等，或是位移大小相等，如此不一而足.因此，递 推归纳出的物理量往往具有比较简单的变化规 律，或是等差数列变化，或是等比数列变化，较难 一点的是复合数列变化. 例1.如图1所示，匀强磁场的磁感应强度大 小为B.磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右 边界分别垂直相交于M、N,MN=L,粒子打到板 上时会被反弹（碰撞时间极短），反弹前后水平 分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，质 量为m、电荷量为-q的粒子速度一定，可以从左 边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周 运动的半径为d,且d<L,粒子重力不计，电荷 量保持不变， 图1 (1)求粒子运动速度的大小v; (2)欲使粒子从磁场右边界射出，求入射点 到M的最大距离dm; (3)从P点射入的粒子最终从Q点射出磁 场，PM=d,QN=号，求拉子从P到Q的运动时 间. 【解析】(1)粒子的运动 半径1=g解得0= m (2)如图2所示，粒子碰 撞后的运动轨迹恰好与磁场 图2 左边界相切