专题3：近似值计算法

数理极 mmgR(os 0) 解得：F、N=2mg-3 ngcos0 对圆环在竖直方向进行受力分析，设绳拉力 为Fr, 则：FT+2 FNcos0=Mg 圆环上升时，绳对大圆环产生的向上的拉力 FT=0 以上各式联立解得：3M=2×3c0s9(2- m 3c0s0). 由和积不等式得 3M≤2×(2-3cos9+3cos)2 2 m≥多M,所以小球的最小质量为号M 4.几何极值法 此种极值问题的特点是其解取决于几何方 法和几何特征的理解与应用. 例6.如图9，在竖直平面 内有一个半径为R的圆环，同 一平面内有一点A,从点A到 圆环上任一点M连光滑直线 7777777777777777 图9 轨道，在重力作用下，一个金 属小球m由A点从静止出发滑到M,问M位于何 处，M滑动所用时间最短？ 【解析】模型建构：小环为质点，轨道光滑， 小环作匀加速直线运动， 数理整合：小环沿直线轨道AM下滑加速度 IAKI a gsin 0 ANT AM= ② ①②得2= 21AM1·1ANI gI AK I 过A作圆环切线切点T,由切割线定理得 IAMI·IANI=IAT12 2=1AT12 gI AKI 故当IAKI取最大，即IAMI 过圆环最低点O时，t最小. 【小结】本题是巧用几何方法中的切割线定 理，如果不用这个方法，也可以用作图法求解，大 家可以试一试。 可以证明：物体由静止开始沿着一个端，点在 圆环最高点的不同光滑弦轨道下滑到圆环上的 时间相等；或物体在圆环上由静止开始沿着另一 个端，点在圆环最低点的不同光滑弦轨道下滑，滑 到圆环最低，点的时间相等 作图法：在竖直平面内，定点A与圆环0之 间架设光滑直轨道，作图求出物体由静止开始沿 光滑直轨道滑到圆环O上最短时间的径迹： D B 图10 图11 …方法专项 作法：如图11，过0点作竖直半径交圆环于 B点，AB连线交圆环于P点，过A作竖直线AC, 连OP交AC于Q点，以Q为圆心、AQ为半径作 圆.AP径迹即为所求 高中物理中的极大值、极小值、临界值、边界 值等问题需要用数学极值法来解决，数学极值法 是物理问题与数学方法结合解题的典范，除了上 述极值法，还有三角函数极值法、几何极值法、极 限法等，希望学生有针对性地加强极值法的训 练，提高应用数学方法解决物理问题的能力 专题3■ 近似值计算法 近似计算是中学物理问题中一种常用的估 算方法，由此求出的物理量是近似值.近似值的 背后潜藏着一个确定的真实值，近似值是对物理 问题近似的描述，近似值与真实值存在着差值 一类差值来源于物理模型的近似，另一类差值来 源于数学方法的近似.如果我们拨开包围在真实 值周围的层层迷雾，就可以找寻出近似值背后的 真实值 一、近似物理模型导致的近似值 近似值与真实值之间误差的第一种来源是 物理模型的近以.物理模型是对物理问题的简化 与抽象，物理模型包括对象模型、过程模型、状态 模型.由于学生的知识结构的限制，在构建物理 模型时，对研究对象做太多的简化，所构建的物 理模型不能一步到位，把不该忽略的问题忽略 了，导致了物理模型的缺陷，也是一种近似模型 应用这样的物理模型进行估算求出近似解也无 不可，如果从精确计算来说，却不够至臻完善。 例1.最近，我国为“长征九号”研制的大推 力新型火箭发动机联试成功，这标志着我国重型 运载火箭的研发取得突破性进展.若某次实验中 该发动机向后喷射的气体速度约为3km/s,产 生的推力约为4.8×10N,则它在1s时间内喷 射的气体质量约为 ( A.1.6×102kg B.1.6×103kg C.1.6×103kg D.1.6×106kg 【答案】B 【解析】设该发动机在ts时间内，喷射出的 气体质量为m,根据动量定理，t=mw,可知，在 1s内喷射出的气体质量m,=只= F 4.8×10kg=1.6×103kg,故本题选B 3000 【小结】本题中构建物理模型非常关键，以 在$时间内喷射出这部分气体作为研究对象， 忽略气体的重力，不计这部分流体与其他流体之 间的相互作用，这样的物理模型是一种近似描述 喷出气体运动过程的的物理模型。 61 例2.一攀岩者以1m/s的速度匀速向上攀 登，途中碰落了岩壁上的石块，石块自由下落3$ 后攀岩者听到石块落地的声音，此时他离地面的 高度约为 ( A.10m B.30m C.50m D.70m 【答案】C 【解析】本题是估算题，由于石块的速度远 小于声音的传播速度，可以忽略声音传播的时间 h-1×3=22,4=3s,h=48m,故选C. 如果考虑声音从地面传播至攀岩者的时间， 可以这样计算： 设石块自由落体的时间为，他离地面的高 度为h,则i-1×3=7s(g=9.8/s),+ h =3,解得t=2.87s,h=43.4m.选C. 340 针对训练.（人教版必修一P29页练习4）为 了测定气垫导轨上滑块的加速度，滑块安装了宽 度为3.0cm的遮光板，滑块在牵引力作用下先 后通过两个光电门，配套的数字毫秒计记录了遮 光板通过第一个光电门的时间为△1=0.29s. 通过第二个光电门的时间为△2=0.11s.遮光 板从开始遮住第一个光电门到开始遮住第二个 光电门的时间为△t=3.57s,求滑块的加速度. 【解析1】滑块的宽度d=3.0cm=3.0× 102m,滑块上的光电门开始遮住第一个光电门的 瞬时速度可近以认为遮光板通过第一个光电门的 平均速度：x= △t 同理，滑块上的遮光板开始遮住第二个光电 门的瞬时速度2= d △t2 则加速度为：a= -4= d(△t1-△t2) △t △t△t1△t2 代入数据得：a=0.0474m/s2 本题若应用匀变速运动规律求解，可以求得 其真实值， 【解析2】第一个光电门至第二个光电门的 距离为x,遮光板开始遮住第一个光电门的速度 为o,所求的加速度为a.则：滑块上的遮光板通 过第一个光电门的过程中 d =tah adfi ① 滑块上的遮光板从开始遮住第一个光电门 到开始遮住第二个光电门的过程中 滑块上的遮光板从开始遮住第一个光电门 到刚穿过第二个光电门的过程中 *+d=(A+A)+Za(A+) 2d(△t1-△t2） ①②③解得：u= △k1△t2(2△t-△t1+△t2) 代入数据得：a=0.0486m/s 62 【小结】本题的近似值的误差来源于遮光板 开始遮住第一个光电门、第二个光电门的瞬时速 度物理模型的构建.只有当时间无限趋近于零 时，平均速度等于瞬时速度.实际上，以这样物理 模型求得的瞬时速度总是与真实值存在差异，也 导致了加速度的值与真实值产生误差.通过计 算，加速度的相对误差为2.5%，近似值与真实 值非常接近， 这道题是《速度变化的快慢的描述一加 速度》的问题与练习的第4题（人教版必修一）， 教师参考用书给出一个近似解法，这是由于编题 者为了巩固瞬时速度概念而用的近似求解方法， 因此，瞬时速度的模型存在一点缺陷，在要求不太 精密的情况下，可以近似计算。 二、数学方法近似导致的近似值 近似值与真实值误差的另一个来源是应用 了数学近似方法，数学近似方法包括应用数学近 似公式，或应用图像法通过读图求解等.近似公 式包括如下一些公式：当x趋近于零，sinx=x, cosx=1,tanx=x;图像法是应用各种图像的 物理意义，通过读图估算求解.能否作出如此的 近以处理，要看具体的解题要求，如果是学生的 数学知识局限，也只能应用近似的处理方法了. 例3.一质量为m=2000kg的汽车以某一 速度在平直公路上匀速行驶.行驶过程中，司机 忽然发现前方100m处有一警示牌.立即刹车. 刹车过程中，汽车所受阻力大小随时间变化可简 化为图1(a)中的图线.图(a)中，0~t1时间段 为从司机发现警示牌到采取措施的反应时间 (这段时间内汽车所受阻力已忽略，汽车仍保持 匀速行驶)，1=0.8s;t1~t2时间段为刹车系统 的启动时间，2=1.3s;从2时刻开始汽车的刹 车系统稳定工作，直至汽车停止，已知从2时刻 开始，汽车第1s内的位移为24m,第4s内的位 移为1m. (1)在图(b)中定性画出从司机发现警示 牌到刹车系统稳定工作后汽车运动的v-图线； (2)求2时刻汽车的速度大小及此后的加 速度大小； (3)求刹车前汽车匀速行驶时的速度大小 及1~2时间内汽车克服阻力做的功；司机发现 警示牌到汽车停止，汽车行驶的距离约为多少 (以1~2时间段始末速度的算术平均值替代这 段时间内汽车的平均速度)？ 2.0的0 41.0a 2.0s (a) (b) 图1 【解析】(1)v-t图像如图2所示. 411.02 2.0/s 图2 •方法专项 (2)设刹车前汽车匀速行驶时的速度大小 为v1,则1时刻的速度也为u1,2时刻的速度也 为2，在2时刻后汽车做匀减速运动，设其加速 度大小为a,取△t=1s,设汽车在t2+(n-1)△t 内的位移为sn,n=1,2,3,…. 若汽车在t2+3△t~t2+4△t时间内未停止， 设它在2+3△时刻的速度为3，在t2+4△t时刻 的速度为4，由运动学公式有 s1-s4=3a(△t)2 ① S1= 41-2a(4)2 4=2-4a△t 3 联立①②③式，代入已知数据解得4= m/s 这说明在2+4△时刻前，汽车已经停止.因 此，①式不成立 由于在t2+3△t~t2+4△t内汽车停止，由运 动学公式3=2-3a△ 2as4=喝 ⑥ 联立②⑤⑥，代入已知数据解得 a=8m/s2,2=28m/s ⑦ 或者a= 288 25 m/s2,2=29.76/s 8 第二种情形下3小于零，不符合条件，故舍 去 (3)设汽车的刹车系统稳定工作时，汽车所 受阻力的大小为f,由牛顿定律有：f=ma 在，~2时间内，阻力对汽车冲量大小为： 1=242-4)》 0 由动量定理有：I'=m,-mv2 ① 由动能定理，在1~2时间内，汽车克服阻 力做的功为：W=之m听-2m 联立⑦⑨0①②式，代入已知数据解得 v1=30m/s W=1.16×105J 从司机发现警示牌到汽车停止，汽车行驶的 距离s约为 4++36-)+爱 5 联立⑦3⑤，代入已知数据解得 s=87.5m 【小结】在t1~2时间内汽车的加速度变化 非常小，把汽车减速运动看作匀减速直线运动， 对其运动模型进行近似处理。 其位移0=)(，-)=14.5m 2 如果考虑到加速度变化，也可以精确求出这 段时间的位移。 数理招 专题4口 非线性关系问题 两个物理量之间的关系是一次函数关系，其 图像是一条直线.比如加速度与合外力关系，电 压与电流的关系.如果两个物理量不是一次函数 关系，其图像是各种各样的曲线，它们是非线性 关系.非线性关系问题是中学物理教学中的难 点，也是每年全国各地高考物理试题中的热点 按解题方法把这些问题进行梳理分类，大致 可分为数形结合法、数学解析法等几种类型.通 过解析，以期对高三物理复习有所启迪， 一、数形结合法 数形结合法是定性分析非线性关系问题的 最基本方法.这是因为在高中物理中，非线性关 系问题的研究重点是定性分析.解决这类问题首 先要定性地画出所要求的物理量与相关量的函 数图像，按曲线所体现的物理意义来解释具体的 物理问题，曲线的物理意义主要包括：曲线纵坐 标随横坐标变化的物理意义，坐标值正负的物理 意义，曲线与横轴、纵轴交点的物理意义，曲线上 任意一点切线斜率的物理意义，曲线与横轴所围 面积的物理意义等方面. 例1.如图1所示的 电路中，电源的电动势为 E,内阻为r,电感L的电 阻不计，电阻R的阻值大 图1 于灯泡D的阻值，在=0时刻闭合开关S,经过 一段时间后，在t=t1时刻断开S,下列表示A、B 两点间电压Us随时间t变化的图像中，正确的 是 A B 【答案】B 【解析】当开关闭合时，电感线圈的感抗非 常大，当电流稳定后，感抗为零，因此，从开关闭 合到电流稳定，干路电流逐渐增大，路端电压逐 渐减小，电流由A→B.断开开关后线圈自感放 电，电流逐渐减小，电流由B→A,BA间电压也逐 渐减小.所以选择B. 【小结】要弄清楚干路电流稳定前的变化以 及内外电路电压的变化，同时要明确流过灯泡电 流方向相反在图像中的意义， 例2.如图2所示，竖直放 置的冂形光滑导轨宽为L,矩 B 形匀强磁场I、Ⅱ的高和间 距均为d,磁感应强度为B.质 B×Ⅱ 量为m的水平金属杆由静止 图2 释放，进入磁场I和Ⅱ时的速度相等.金属杆在 导轨间的电阻为R,与导轨接触良好，其余电阻