专题2：极值法

数理报 方法专项· 59 (2)用图7所示电路测量A、B、C、D四块电 A.s1>52 B.s2>53 池的电动势E和内阻，图中R,为保护电阻，其 C.s1=53 D.32=s 阻值为5Ω，改变电阻箱的阻值R,测出对应的电 【答案】BC 流I,根据测量的数据分别作出A、B、C、D四块电 【解析】设小物块在轨道上下滑的高度为h, 图9 图10 池的-R图像，如图8，由图线C可知电池C的 解析：电路中的电流1=只，由闭合电路的 到轨道末端速度为 电动势E= V内阻r=2. mgh =2mi (3)分析图8可知，电池 较优（选 欧姆定律得E=U+只（九+，可得：7=言 =√2gh ① A、B、C、或D) Ro +r 在轨道末端开始做平抛运动 解析：(1)多用电表的读数为0=11.0V. 见”·六即时只图像的斜率&：。 截距6=名，由以上两式解得E=名，=台 1 4h。-A=78 ② s Vol ③ Ro 【小结】用图像法测电源的电动势和内阻关 ①2③得s=2√+4hb 键是要明确图像斜率以及图像截距的物理意义： =2√-(h-2ho)2+4h 另外，一般图像的出发点都是源于闭合电路的欧 当h=2h时水平位移s最大 图8 姆定律，因此在复习中遇到一些陌生的图像来求 当h=3ho与h=ho时，水平位移相等.故选 (2)在图7中由闭合电路的欧姆定律得：E 电源的电动势和内阻时，若自己一时看不明白图 择BC. =(R++R),由此式可得：7=官·R+像的含义，那就从闭合电路的欧姆定律出发，黎 【小结】对于极值问题，要善于找到未知物 据题目中提供的条件进行分析，从而得出图像所 理量与某一物理量的关联性，利用物理规律建立 r+Ro 表示的含义，以上两题很有代表性 函数关系，然后利用函数极值法求解 E 例2.在一次国际城市 可见图像的斜率k=二表示电源电动势的 E 专题2 运动会中，要求运动员从高 为H的平台上A点由静止 倒数：由图线C可知其斜率为k=0-6) 0.5 极值法 出发，沿着动摩擦因数为山 的滑道向下运动到B点后 图2 60 极值法是中学物理教学中重要的解题方法， 水平滑出，最后落在水池中.设滑道的水平距离 图像在纵轴上的截距为：6：=0,5在问看上主要表现在求物理登校大位、板小值！为L,B点的高度么可由运动员自由调节（取g E 由以上两式解得E=12V,=12. 临界值、物理量的取值范围等方面.在应用极值10m/s).求： 法解题时，首先要选用合适的物理模型，应用物 (1)运动员到达B点的速度与高度h的关 （3)同理根据}-合·R+'人和图像可 理规律构建待求物理量与其他物理量的函数关 系； 分别求得其他三块电池的电动势分别为： 系，再利用数学方法求其极值.极值法可分为二 (2)运动员要达到最大水平运动距离，B点 ED 10 V,En 10 V,E=9 V 次函数极值法、和积不等式极值法、几何极值法的高度应调为多大？对应的最大水平距离5m为 由此可看出电池C较优 多少？ 【小结】本实验中若直接按E=I(R+r+ 1.二次函数极值法 (3)若图中H=4m,L=5m,动摩擦因数u R。)来作电流I与外电阻R的图像，作出的是一 函数y=ar2+bx+c,依a的正负，可有极大=0.2，则水平运动距离要达到7m,h值应为多 少？ 条向线若将其转化为-R图像，得到的是一 值、极小值 【解析】(1)运动员由A到B,斜面长L,由 条很直观的直线，这种将原来的曲线转化为直线 ①若求y极值可用配方法y=a(x+会°+ 动能定理得： 多维，我们称为“化曲为直”，在研究两个物理，当x=元=4Cb b 一，（综合图像 量之间的关系时，若两个量不是成线性关系时看 4a 4a mg(H-h)-umgl cos =m 能否通过转化，使两个物理量转化成线性关系. 解) 即mg(H-h)）-ngL=之m品 在高中实验中还有一个要用到化曲为直思雏的 ②亦可用判别式法：y=ax2+bx+c整理为 是探究加速度与外力的关系时，若直接作a-M关于x的一元二次方程：r2+低+c-y=0,若 "g=√2g(H-L-h) ① 图像，得到的是一条尚线，若作a一因像便可4：一2 x有实解，则△=2-4a(c-y)≥0，y≥ (2)运动员在B点做平抛运动 h= ② 得到线性图像 4a 例9.现用定值电阻R,、电压表、电阻箱、开 例1，三个小物块分别从 4 x URl ③ 关和导线（若千）测量一节干电池的电动势和内3条不同光滑轨道的上端由 ①②③解得x=2√/-h+(H-L)h④ 阻，实验原理图如图9所示，实验时改变电阻箱静止开始滑下，已知轨道1， 轨道2、轨道3的上端距水平 令y=-P+(H-u)h=-(h-H,出： 2 的阻值R,分别读出每次实验中电阻箱和电压表 图1 相应的读数。然后根据实验数据得到了如图10地面的高度均为4h,:它们的下端水平，距地面的 +(H-L)2 4 高度分别为h1=h、h,=2hoh,=3hn,如图1 所示的亡一大图像，若图像的斜率为上，图像在所示若从最高处分沿轨道1,23下滑的小物 由二次函数配方法得：当五=H,山时有 2 纵轴上的截距为b,则由图像可求得该电源的电块的落地点到轨道下端的水平距离分别记为s1、 动势E= ,内阻r= ,则 ( ) y=(HuL)2 4 60 一方法专项 数理极 x=H-uL 运动员最大的水平位移为：SM=L+H-L 令y=-+号 当外电路电阻R=后即R=时，电源输出 (3)把数据代入④整理得：2-3h+1=0 由判别式4≥0得y≥ 的电功率最大，为 12 解得3告5A=325 无。：251此时1=号 p景 【小结】本题第(2)小题求运动员的水平位 【小结】本题是圆周运动与平抛运动的结 (3)电动势定义式E=” 移，要能自觉地利用动能定理、平抛运动规律构 合，要综合应用圆周运动与平抛运动规律以及动 根据能量守恒定律，在图4所示电路中，非 建平抛水平位移与竖直位移函数关系，并注意其 能定理来解题.要注意绳断时的速度即为平抛初 静电力做功W产生的电能等于在外电路和内电 在滑道上的水平位移保持不变，这样，构建的函 速，绳断时既是圆周运动的终点，也是平抛运动 路产生的电热，即 数关系只有两个变量，顺理成章的应用二次函数 的起点，以此临界点为转折，构建其水平位移与 W=Prt +PRt Irg IRq 配方极值法求出极值，也可以应用判别式法求其 绳长的函数关系，进而用二次函数判别式法求出 E=Ir+IR=U内+U外 极值. 水平位移最大值 【小结】构建电源的输出功率与外电阻的函 例3.小明站在水平 2.和积不等式极值法 数关系，利用和积不等式求解，利用和积不等式 地面上，手握不可伸长的 在数学中，有算术平均数与几何平均数之和定积最大，积定和最小， 轻绳一端，绳的另一端系 别，若有a1,a2,au.,算术平均数 3.三角函数极值法 有质量为m的小球，甩动 a+a2+a+…+a,几何平均数为 待求物理量与角度具有关联性，建立函数关 手腕，使球在竖直平面内 图3 n 系，当角度变化时，待求物理量也发生变化，此时 做圆周运动，当球某次运动到最低点时，绳突然 √aaaa,算术平均数总大于或等于几何平的极值依赖于三角函数求解. 断掉.球飞离水平距离d后落地，如图3所示，已 例5.质量为m的小车，在地面上用卷扬机 知握绳的手离地面高度为d,手与球之间的绳长 均数：+++…+≥a,440 n 来牵引它，它与地面动摩擦因数为，求用力最 为，重力加速度为8，忽略手的运动半径和空由是观之，不等式两边，若十++，为省时的牵引角0。 定值，则a12aan取值最大，若a1a23an为 【解析】以小车为质点，小车做匀速直线运 气阻力 定值，a1+a2+a3+…+an取最小值. 动 (1)求绳断时球的速度大小，和球落地时 例4.如图4所示，用电动势为E、内阻为r的 数理整合：小车受力如图 的速度大小2· 电源，向滑动变阻器R供电.改变变阻器R的阻7，建立如图直角坐标系由平 (2)问绳能承受的最大拉力多大？ 值，路端电压U与电流I均随之变化 衡条件得 (3)改变绳长，使球重复上述运动.若绳仍 Fcos 0-F=0 ① 在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距 F Fsin 0-mg =0 离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？ ② 【解析】(1)设绳断后小球的飞行时间为4， ③ 由平抛规律得： 图4 图5 Fr=uF (1)以U为纵坐标，I为横坐标，在图5中画 ①28得F=cos0+sin6 umg ④ 44=76 出变阻器阻值R变化过程中U-I图像的示意 令u=cota代入上式 d=vh 图，并说明U-1图像与两坐标轴交点的物理意 F= mgcos a mgcos a 解得：1=√2gd 义 sin Ocos a cos Osin a sin(a+) 由机械能守恒定律得 (2)a.请在图5画好的U-I关系图线上任 当sin(a+)=1时，F最小 之mi=m+mg(d-) 1 取一点，画出带网格的图形，以其面积表示此时 电源的输出功率； 0=号-coth 解得6=√仔 b.请推导该电源对外电路能够输出的最大 【小结】牵引力的极值与力的方向有关，显 电功率及条件 然要列出两者的函数关系再根据三角函数的值 (2)设绳能承受最大拉力为F,,小球做圆周 (3)请写出电源电动势定义式，并结合能量 域来确定其极值 运动的半径为R=子4 守恒定律证明：电源电动势在数值上等于内、外 针对训练.如图8，一个质 电路电势降落之和. 量为M的圆环用细绳悬挂着， Fr -mg =m R 解得：F,=亏mg 11 【解析】(1)U-1图像如图所示，图像与纵 有两个质量均为m的小球套在 圆环上，可沿圆环无摩擦地滑 (3)设绳长为1，绳断时小球的速度为 轴交点的坐标值为电源电动势，与横轴交点的坐 标值为短路电流： 动，现将两小球同时从环的顶端 Fr -mg =mT 图8 (2)a.如图6所示 释放，使其沿相反方向自由滑 b.电源输出的电功率 下，欲使圆环能够升起，求小球m的最小质量. √ P-FR-R 【解析】模型构建：两小球视为质点，环为光 绳断后，小球做平抛运动 滑的圆环，两小球在环两侧对称地做圆周运动. E2 4-1=方 数理整合设小球滑到图示位置，对小球受力 R+2r+R 分析 x=33 R+无=2厅=2，积定和最小，P取最 2 mgeos0+F、=mR 解得：x=4」 (d-I) 3 大值 由机械能守恒定律得： 数理极 方法专项 61 之=mgR1-eoso) 作法：如图11，过0点作竖直半径交圆环于 例2.一攀岩者以1m/s的速度匀速向上攀 B,点，AB连线交圆环于P,点，过A作竖直线AC, 登，途中碰落了岩壁上的石块，石块自由下落3s 解得：FN=2mg-3 ngcos0 ③连OP交4C于Q点，以Q为圆心4Q为半径作后攀岩者听到石块落地的声音，此时他离地面的 对圆环在竖直方向进行受力分析，设绳拉力圆，AP径迹即为所求 高度约为 为Fr, 高中物理中的极大值、极小值、临界值、边界 A.10m B.30m 则：F,+2F、cos0=Mg ④ 值等问题需要用数学极值法来解决，数学极值法 C.50m D.70m 圆环上升时，绳对大圆环产生的向上的拉力 是物理问题与数学方法结合解题的典范，除了上 【答案】c FT=0 ⑤ 述极值法，还有三角函数极值法、几何极值法、极 【解析】本题是估算题，由于石块的速度远 以上各式联立解得.3业 =2×3c0s8(2- m 限法等.希望学生有针对性地加强极值法的训小于声音的传播速度，可以忽略声音传播的时间 3cos 0). 练，提高应用数学方法解决物理问题的能力 h-1×3=,4=3sA=48m,故选C 由和积不等式得 如果考虑声音从地面传播至攀岩者的时间 3l≤2×(2-3cosg+3eos)2 专题3 可以这样计算： 近似值计算法 设石块自由落体的时间为，他离地面的高 m≥多M,所以小球的最小质量为M 度为h,则h-1×3=g2(g=9.8ms3),4+ 4.几何极值法 近似计算是中学物理问题中一种常用的估 h 此种极值问题的特点是其解取决于几何方 算方法，由此求出的物理量是近似值.近似值的 340=3,解得1=2.87s,h=43.4m选C 法和几何特征的理解与应用， 背后潜藏着一个确定的真实值，近似值是对物理 针对训练.（人教版必修一P29页练习4）为 例6.如图9，在竖直平面 问题近似的描述，近似值与真实值存在着差值。了测定气垫导轨上滑块的加速度，滑块安装了宽 内有一个半径为R的圆环，同 一类差值来源于物理模型的近似，另一类差值来度为3.0cm的遮光板，滑块在牵引力作用下先 一平面内有一点A,从点A到 源于数学方法的近似.如果我们拔开包围在真实后通过两个光电门，配套的数字毫秒计记录了遮 圆环上任一点M连光滑直线 值周国的层层迷雾，就可以找寻出近似值背后的光板通过第一个光电门的时间为41=0.29s 轨道，在重力作用下，一个金 真实值 通过第二个光电门的时间为△2=0.11s.遮光 属小球m由A点从静止出发滑到M,问M位于何 一、近似物理模型导致的近似值 板从开始遮住第一个光电门到开始遮住第二个 处，M滑动所用时间最短？ 【解析】模型建构：小环为质点，轨道光滑 近似值与真实值之间误差的第一种来源是光电门的时间为4=3.57s,求滑块的加速度。 【解析1】滑块的宽度d=3.0cm=3.0× 小环作匀加速直线运动， 物理模型的近似物理模型是对物理问题的简化 与抽象，物理模型包括对象模型、过程模型、状态 102m,滑块上的光电门开始遮住第一个光电门的 数理整合：小环沿直线轨道AM下滑加速度 a gsin 0 AKI 模型.由于学生的知识结构的限制，在构建物理 瞬时速度可近似认为遮光板通过第一个光电门的 I ANI8 ⑦ 模型时，对研究对象做太多的简化，所构建的物 平均速度："= d 理模型不能一步到位，把不该忽略的问题忽略 同理，滑块上的遮光板开始遮住第二个光电 了，导致了物理模型的缺陷，也是一种近似模型 ①②得？=21AM1AW1 门的瞬时速度？= d 8IAKI 应用这样的物理模型进行估算求出近似解也无 过A作圆环切线切点T,由切割线定理得 不可，如果从精确计算来说，却不够至臻完善 则加速度为：a=-4-(441-42) 例1.最近，我国为“长征九号”研制的大推 △ |AMI·1AN1=1ATI2 △t△t1△i2 2=1AT12 gAKT故当1AK1取最大，即1M1 力新型火箭发动机联试成功，这标志着我国重型 代入数据得：a=0.0474m/s 运载火箭的研发取得突破性进展.若某次实验中 本题若应用匀变速运动规律求解，可以求得 过圆环最低点0时，t最小 该发动机向后喷射的气体速度约为3km/s,产其真实值， 【小结】本题是巧用几何方法中的切割线定生的推力约为4.8×10N,则它在1s时间内喷 【解析2】第一个光电门至第二个光电门的 理，如果不用这个方法，也可以用作图法求解，大射的气体质量约为 () 距离为x,遮光板开始遮住第一个光电门的速度 家可以试一试 A.1.6×103kg B.1.6×103kg 为。，所求的加速度为a.则：滑块上的遮光板通 可以证明：物体由静止开始沿着一个端，点在 C.1.6×103kg D.1.6×106kg 过第一个光电门的过程中 圆环最高，点的不同光滑弦轨道下滑到圆环上的 【答案】B 1 时间相等；或物体在圆环上由静止开始沿着另一 d =toMh +aMf ① 【解析】设该发动机在ts时间内，喷射出的 个端，点在圆环最低点的不同光滑弦轨道下滑，滑 滑块上的遮光板从开始遮住第一个光电门 气体质量为m,根据动量定理，F=mw,可知，在 到圆环最低，点的时间相等 到开始遮住第二个光电门的过程中 作图法：在竖直平面内，定点A与圆环0之1s内喷射出的气体质量m=四=上 = t ② 间架设光滑直轨道，作图求出物体由静止开始沿4.8×10 光滑直轨道滑到圆环O上最短时间的径迹 3000 g=1.6×103kg,故本题选B. 滑块上的遮光板从开始遮住第一个光电门 到刚穿过第二个光电门的过程中 【小结】本题中构建物理模型非常关键，以 在s时间内喷射出这部分气体作为研究对象， x+d=(4+4)+(4+4,)户③ 忽略气体的重力，不计这部分流体与其他流体之 2d(△61-△2) 间的相互作用，这样的物理模型是一种近似描述 ①②8解得：a=h,△，(2A1-△1+△ 1 111 喷出气体运动过程的的物理模型 代入数据得：a=0.0486m/s