专题1：图像法

数理极 方法专项 冲喇2025 高 =mg,即该星球的质量M=g又因为：M=p 80」=20N,解得m=2kg,故A正确： 专题1口 4m ,联立得口=品c放两星球的密度之比 4TR B.h=0时，E,=0,E,=Em-En=100J 图像法 为巴=型.尽=1：1，故A正确： -0=10J,故7m2=100J,解得：=10m/, gn Ry 故B错误： 物理图像是一种非常形象的数学语言和工 B.当物体在弹簧上运动过程中，加速度为0 C.h=2m时，E。=40J,E=E机-E。= 具，利用它可以很好地描述物理过程，反映物理 的一瞬间，其所受弹力和重力二力平衡，mg=90」-40J=50J,故C错误； 概念和规律，推导和验证新的规律.物理图像不 kx,即：m=任；结合a-x图像可知，当物体P和 D.h=0时，E=Em-E。=100J-0=100J, 仅可以使抽象的概念形象化，还可以恰当地表示 g 语言难以表达的内涵，用图像解物理问题，不但物体Q分别处于平衡位置时，弹簧的压缩量之比 h=4m时，E=En-E。=80J-80J=0J,故 迅速、直观，还可以避免复杂的运算过程.图像可 E-E4=100J,故D正确 为号云=宁故物体P和物体Q的质量之 1 【小结】在问题分析时要注意到本题物体的 以分为线性关系图像和非线性关系图像 1.线性图像法 比为品女总石故B错误： 机械能在衰减，可以从两条直线的截距及其交点 线性关系图像解题主要步骤是： mo xo gu 得出斜率，E,的斜率表示物体的重力，E起的斜 (1)根据物理变化过程中各物理量的关系， C.物体P和物体Q分别处于各自的平衡位率的绝对值表示摩擦力. 正确画出物理图线； 置(a=0)时，它们的动能最大：根据2=2ax, 例3.竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水 (2)找出图线上某些特殊点的横、纵坐标 结合α-x图像面积的物理意义可知：物体P的平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，小物块B 值，并确定其物理意义，比如说直线的横、纵截最大速度满足号=2×？×3a,·0=3a,物静止于水平轨道的最左端，如图3()所示1=0 时刻，小物块A在倾斜轨道上从静止开始下滑， 体Q的最大速度满足：品=2ao。,则两物体的最 (3)注意图线上某一点斜率的物理意义，图 一段时间后与B发生弹性碰撞（碰撞时间极 1 线与横轴所围面积的物理意义，比如：-t图像 2m_m2.=4,C正 短)；当A返回到倾斜轨道上的P点（图中未标 中，斜率表示加速度，所围的面积为物体在这段 大动能之比： 1 2%, mp vp 出)时，速度减为0，此时对其施加一外力，使其 时间发生的位移. 在倾斜轨道上保持静止.物块A运动的v-图像 确； 例1.在星球M上将 如图(b)所示，图中的，和1均为未知量.已知A D.物体P和物体Q分别在弹簧上做简谐运 轻弹簧竖直固定在水平桌 的质量为m,初始时A与B的高度差为H,重力加 动，由平衡位置(a=0)可知，物体P和Q振动的 面上，把物体P轻放在弹簧 速度大小为g,不计空气阻力. 振幅A分别为x,和2x,即物体P所在弹簧最大 上端，P由静止向下运动， 压缩量为2x。,物体Q所在弹簧最大压缩量为 物体的加速度a与弹簧的 图1 4x。,则Q下落过程中，弹簧最大压缩量是P物体 压缩量x间的关系如图1中实线所示.在另一星 最大压缩量的2倍，D错误 球V上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样 (b) 【小结】本题创设的问题情境新颖，知识，点 图3 的过程，其口-x关系如图1中虚线所示，假设两综合度比较高，对图像的两裁一斜一面积的物理 星球均为质量均匀分布的球体已知星球M的意义的理解有较高的要求，特别强调的是：当物 (1)求物块B的质量； 半径是星球N的3倍，则 () (2)在图(b)所描述的整个运动过程中，求 体初速度为零时，面积表示末速度平方的一半 A.M与N的密度相等 物块A克服摩擦力所做的功 B.Q的质量是P的3倍 ,由此求出PQ最大动能的比例关泰 【解析】(1)根据图(b),“为物块A在碰撞 C.Q下落过程中的最大动能是P的4倍 例2.从地面竖直向上 ↑EM 前瞬间速度的大小，？为其碰撞后瞬间速度的 D.Q下落过程中弹簧最大压缩量是P的抛出一物体，其机械能E机 100 0 大小设物块B的质量为m',碰撞后瞬间的速度 4倍 等于动能E,与重力势能E。 0 40 大小为'，由动量守恒定律和机械能守恒定律有 【答案】AC 之和.取地面为重力势能零 【解析】A.由a-x图像可知，加速度沿竖直点，该物体的Ea和E,随它 1234M m=m(-2)+m ① 图2 向下方向为正方向，根据牛顿第二定律有：mg- 离开地面的高度h的变化 1 ② kx=ma,变形式为：a=g-x,该图像的斜率 如图2所示重力加速度取10m/s2.由图中数据 2=(-号yP+nw m 可得 ( 联立①②式得 为~上，纵轴截距为星球表面重力加速度g.根 A.物体的质量为2kg m'=3m m 据图像的纵轴截距可知，两星球表面的重力加速 B.h=0时，物体的速率为20m/s (2)在图(b)所描述的运动中，设物块A与 C.h=2m时，物体的动能E.=40J 度之比为=0：子：又因为在某是球表面 轨道间的滑动摩擦力大小为F,下滑过程中所 D.从地面至h=4m,物体的动能减少100J走过的路程为s,返回过程中所走过的路程为 【答案】AD 上的物体，所受重力和万有引力相等，即：GMm 52,P点的高度为h,整个过程中克服摩擦力所做 R 【解析】A.E。-h图像知其斜率为G,故G=的功为W,由动能定理有 58 方法专项 数理极 mgh-r,4=2m听-0 ④ 于等于第一次面积，故第二次竖直方向下落距离确。 大于第一次下落距离，所以，A错误： 例7.如图5，方向竖 -(R,+mg)=0-2a(-22⑤ B.由于第二次竖直方向下落距离大，而位直向下的匀强磁场中有 移方向不变，故第二次水平方向位移大，故B两根位于同一水平面内 从图(b)所给的v-图线可知 正确； 的足够长的平行金属导 图5 s1=26 C.由v-t斜率第一次大、第二次小，斜率越 轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上.1 。=方受4 ⑦大，加速度越大，或由a=易知4，>，故 =0时，棒ab以初速度，向右滑动.运动过程 中，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速 由几何关系 C错误； 度分别用”、2表示，回路中的电流用I表示.下 D.由图像斜率，速度为1时，第一次图像陡 列图像中可能正确的是 峭，第二次图像相对平缓，故a1>a2,由G-f 物块A在整个过程中克服摩擦力所做的功ma,可知，1<∫2，故D正确 为 【小结】-（图面积表示下落的纵向位移，可 人 W=F·s1+Fr·s2 ⑨以数格子比较两种情况下的位移大小，纵向的阻 联立④⑤⑥⑦⑧⑨式可得 力与纵向速度正相关，两种情况由于运动员姿势 【答案】AC F=后msh 0 不同，受力面不同，因此正相关系数不同，导致纵 【解析】αb棒向右运动，切割磁感线产生感 向的速度-时间图像不同. 应电流，则受到向左的安培力，从而做减速运动， 【小结】本题涉及的运动过程与状态较多， (2)辨识图像真伪 金属棒cd受向右的安培力作用而做加速运动， 且只有m、H两个已知量，给解题带来较大的难 给出一组图像，辨析哪一个图像与所要回答 随着两棒的速度差的减小安培力减小，加速度减 度，围绕过程与状态，要列足方程，方能消掉未知 的问题一致，这类问题首先要分析物理过程，利小，当两棒速度相等时，感应电流为零，最终两棒 量 用物理规律推导出纵坐标与横坐标所代表的物共速，一起做匀速运动，故最终电路中电流为0， 2.非线性图像法 理量的关系式，再根据关系式画出图像，或用于故AC正确，BD错误 非线性图像是指横坐标与纵坐标不是一次判定哪一个图像是正确的，或用于辅助解题。 【小结】这是双杆模型，两杆构成的系统动 函数关系，呈现的图像是曲线，解这类问题也要 例5.2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功量守恒，双杆最终速度相同，可以得出末速度，两 搞清楚截距、面积、斜率的具体物理意义，特别是在月球背面软着陆，在探测器“奔向”月球的过者的相对速度为零。电路中的电动势是切割类 斜率问题，由于曲线的斜率变化，要知道斜率代程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表型，E=B,速度是两杆的相对速度，相对速度 表的物理量是什么，是如何变化的.非线性图像 示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系逐渐减小，安培力逐渐减小，加速度逐渐减小，当 问题可以分为两类：一类读取图像信息，一类是 的图像是 两杆的相对速度为零，安培力为零，加速度也为零 辨识图像真伪。 3.“化曲为直”法 (1)读取图像信息 由于高中生数学知识的局限，学生对非线性 给定图像，分析物理量的变化规律，要分析 关系的研究往往限于定性分析如果需要定量计 截距、面积、斜率的具体物理意义，看纵坐标随横 算，可借助图像来解决，但是两物理量的图像关 坐标如何变化，看斜率如何变化，看面积如何变 【答案】D 系是曲线，从曲线去研究有时无法展开，这时需 化； 【解析】根据万有引力定律可得：F= 要通过变换坐标轴的物理意义，把曲线转化为直 例4.如图4(a),在跳合滑雪比赛中，运动员 在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度 (R+,h越大，F越小，且非线性变化，故选项 GMm 线，这样就容易研究两者之间的定量关系.在坐 标轴变换中，横轴或纵轴所表示的变量与原来的 和滑翔的距离.某运动员先后两次从同一跳合台起 D符合题意 物理量有一定的关系，比如：在《探究加速度与 跳，每次都从离开跳台开始计时，用表示他在 【小结】推导出地球引力F与探测器与地球 质量、力的关系》实验中，a-M的关系图像是曲 竖直方向的速度，其：-1图像如图(b)所示，4 表面的距离h的表达式，由表达式知道两者的变 和2是他落在倾斜雪道上的时刻.则 ( 线，但a一寸的关系图像是直线：在（探究变力做 化规律 例6.一匀强电场的方向竖直向上，‘=0时 功与速度变化的关系》实验中W-v的关系图像 刻，一带电粒子以一定初速度水平射入该电场， 是曲线，但W-2的关系图像是直线 电场力对粒子做功的功率为P,不计粒子重力， 例8.电动自行车的电池用久以后性能会下 则P-1关系图像是 降，表现之一为电池的电动势变小，内阻变大.某 图4 兴趣小组将一辆旧电动自行车充满电，取下四块 A.第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移 电池，分别标为A、B,C、D,测量它们的电动势和 比第一次的小 内阻： B.第二次滑翔过程中在水平方向上的位移 (1)用多用电表直流电压50V挡测量每块 C 比第一次的大 电池的电动势，测量电池A时，多用电表的指针 C.第二次滑翔过程中在竖直方向上平均加 【答案】A 如图6中所示，其读数为 V. 速度比第一次的大 【解析】由于带电粒子在电场中做类平抛运 D.竖直方向速度大小为，时，第二次滑翔 动，在电场力方向上做匀加速直线运动，加速度 在竖直方向上所受阻力比第一次的大 为5，经过时间，电场力方向速度为吗，功率为 m -V-0 m 【答案】BD P=Fu=gE×些，所似P与L成正比，故A正 图6 图7 【解析】A.由v-t图面积易知第二次面积大 m 数理报 方法专项· 59 (2)用图7所示电路测量A、B、C、D四块电 A.s1>52 B.s2>53 池的电动势E和内阻，图中R,为保护电阻，其 C.s1=53 D.32=s 阻值为5Ω，改变电阻箱的阻值R,测出对应的电 【答案】BC 流I,根据测量的数据分别作出A、B、C、D四块电 【解析】设小物块在轨道上下滑的高度为h, 图9 图10 池的-R图像，如图8，由图线C可知电池C的 解析：电路中的电流1=只，由闭合电路的 到轨道末端速度为 电动势E= V内阻r=2. mgh =2mi (3)分析图8可知，电池 较优（选 欧姆定律得E=U+只（九+，可得：7=言 =√2gh ① A、B、C、或D) Ro +r 在轨道末端开始做平抛运动 解析：(1)多用电表的读数为0=11.0V. 见”·六即时只图像的斜率&：。 截距6=名，由以上两式解得E=名，=台 1 4h。-A=78 ② s Vol ③ Ro 【小结】用图像法测电源的电动势和内阻关 ①2③得s=2√+4hb 键是要明确图像斜率以及图像截距的物理意义： =2√-(h-2ho)2+4h 另外，一般图像的出发点都是源于闭合电路的欧 当h=2h时水平位移s最大 图8 姆定律，因此在复习中遇到一些陌生的图像来求 当h=3ho与h=ho时，水平位移相等.故选 (2)在图7中由闭合电路的欧姆定律得：E 电源的电动势和内阻时，若自己一时看不明白图 择BC. =(R++R),由此式可得：7=官·R+像的含义，那就从闭合电路的欧姆定律出发，黎 【小结】对于极值问题，要善于找到未知物 据题目中提供的条件进行分析，从而得出图像所 理量与某一物理量的关联性，利用物理规律建立 r+Ro 表示的含义，以上两题很有代表性 函数关系，然后利用函数极值法求解 E 例2.在一次国际城市 可见图像的斜率k=二表示电源电动势的 E 专题2 运动会中，要求运动员从高 为H的平台上A点由静止 倒数：由图线C可知其斜率为k=0-6) 0.5 极值法 出发，沿着动摩擦因数为山 的滑道向下运动到B点后 图2 60 极值法是中学物理教学中重要的解题方法， 水平滑出，最后落在水池中.设滑道的水平距离 图像在纵轴上的截距为：6：=0,5在问看上主要表现在求物理登校大位、板小值！为L,B点的高度么可由运动员自由调节（取g E 由以上两式解得E=12V,=12. 临界值、物理量的取值范围等方面.在应用极值10m/s).求： 法解题时，首先要选用合适的物理模型，应用物 (1)运动员到达B点的速度与高度h的关 （3)同理根据}-合·R+'人和图像可 理规律构建待求物理量与其他物理量的函数关 系； 分别求得其他三块电池的电动势分别为： 系，再利用数学方法求其极值.极值法可分为二 (2)运动员要达到最大水平运动距离，B点 ED 10 V,En 10 V,E=9 V 次函数极值法、和积不等式极值法、几何极值法的高度应调为多大？对应的最大水平距离5m为 由此可看出电池C较优 多少？ 【小结】本实验中若直接按E=I(R+r+ 1.二次函数极值法 (3)若图中H=4m,L=5m,动摩擦因数u R。)来作电流I与外电阻R的图像，作出的是一 函数y=ar2+bx+c,依a的正负，可有极大=0.2，则水平运动距离要达到7m,h值应为多 少？ 条向线若将其转化为-R图像，得到的是一 值、极小值 【解析】(1)运动员由A到B,斜面长L,由 条很直观的直线，这种将原来的曲线转化为直线 ①若求y极值可用配方法y=a(x+会°+ 动能定理得： 多维，我们称为“化曲为直”，在研究两个物理，当x=元=4Cb b 一，（综合图像 量之间的关系时，若两个量不是成线性关系时看 4a 4a mg(H-h)-umgl cos =m 能否通过转化，使两个物理量转化成线性关系. 解) 即mg(H-h)）-ngL=之m品 在高中实验中还有一个要用到化曲为直思雏的 ②亦可用判别式法：y=ax2+bx+c整理为 是探究加速度与外力的关系时，若直接作a-M关于x的一元二次方程：r2+低+c-y=0,若 "g=√2g(H-L-h) ① 图像，得到的是一条尚线，若作a一因像便可4：一2 x有实解，则△=2-4a(c-y)≥0，y≥ (2)运动员在B点做平抛运动 h= ② 得到线性图像 4a 例9.现用定值电阻R,、电压表、电阻箱、开 例1，三个小物块分别从 4 x URl ③ 关和导线（若千）测量一节干电池的电动势和内3条不同光滑轨道的上端由 ①②③解得x=2√/-h+(H-L)h④ 阻，实验原理图如图9所示，实验时改变电阻箱静止开始滑下，已知轨道1， 轨道2、轨道3的上端距水平 令y=-P+(H-u)h=-(h-H,出： 2 的阻值R,分别读出每次实验中电阻箱和电压表 图1 相应的读数。然后根据实验数据得到了如图10地面的高度均为4h,:它们的下端水平，距地面的 +(H-L)2 4 高度分别为h1=h、h,=2hoh,=3hn,如图1 所示的亡一大图像，若图像的斜率为上，图像在所示若从最高处分沿轨道1,23下滑的小物 由二次函数配方法得：当五=H,山时有 2 纵轴上的截距为b,则由图像可求得该电源的电块的落地点到轨道下端的水平距离分别记为s1、 动势E= ,内阻r= ,则 ( ) y=(HuL)2 4