专题02 平行四边形与三角形中位线（期中复习知识清单，14题型，56题）八年级数学下学期新教材苏科版

专题02 平行四边形与三角形中位线 平行四边形的性质 (1)边：对边________且________ (2)角：________相等 (3)对角线________ (4)对称性：平行四边形是________图形但不是________，两条对角线的交点是它的________ (5)平行四边形具有________ 平行四边形的判定 (1)两组对边________的四边形是平行四边形 (2)两组对边________的四边形是平行四边形 (3)一组对边________的四边形是平行四边形 (4) ________互相平分的四边形是平行四边形 (5)两组对角分别________的四边形是平行四边形(应用时需证明) 平行四边形的中心对称 (1)若直线经过平行四边形对角线交点，则： ①该直线被平行四边形的边所截的线段被对角线交点________，如下图：OE=OF ②该直线分平行四边形为________的两部分，如上左图：S四边形ABFE＝S四边形EFCD，如上右图：S四边形AEFD＝S四边形EBCF 中位线 连接三角形两个边________线段是三角形的中位线 DE是中位线 ________且________ 当三角形中遇到中点时，常构造三角形中位线，可简单地概括为“已知中点找中位线” 利用平行四边形的性质求解 【例1】如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】中，的平分线把边分成4和6两部分，则的周长是______． 【变式2】如图，四边形是平行四边形，O是对角线与的交点，，若，则的长是________． 【变式3】如图，在中，平分，交边于点，是边上的高，垂足为，交于点．已知． (1)求的度数． (2)若，，求的长度． 利用平行四边形的性质证明 【例1】如图，在中，，的平分线分别交于点，，、相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式1】在中，是的中点，的延长线交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)求证： 【变式2】如图，在中，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点． (1)求证：； (2)求的面积． 【变式3】如图，平行四边形的对角线，交于点，平分，交于点，连接，且，设． (1)求证：； (2)若，请判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，当时，请求出平行四边形的面积； (4)设，请直接写出与满足的关系． 三角形中位线性质的应用 【例1】如图，在中，，于点，点在上，且，连接，为的中点，连接，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（　　） A．2 B． C．1 D． 【变式2】如图，在矩形中，点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，连接，，M，N分别是，的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【变式3】如图，在四边形中，分别是边的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，则四边形的周长为_________． 平行四边形性质的应用 【例1】嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作，请用一条直线平分与组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出，，，对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 【变式1】点为平面直角坐标系中的任意一点，记（x，y分别为点P的横、纵坐标），把m称为点P的特征数．    (1)当点P的坐标为时，求m的值． (2)若点的特征数是5，点的特征数是6，求点M的坐标． (3)如图，在平面直角坐标系中的顶点A、B、C的坐标分别为． ①点D的坐标为 ． ②当且点在内部（不包含边界）时，直接写出x的取值范围． ③当点在内部（不包含边界）时，直接写出m的取值范围． 【变式2】如图：的对角线交于点O．    (1)基础训练： 经过点O且与、分别相交于E、F．求证： (2)拓展变式 若将条件改为经过点O且与、的延长线分别相交于E、F，第（1）问的结论是否成立，请按题意画出图形，标注字母，并给予证明． (3)观察归纳 的对角线交于点O，直线是经过点O的任意一条直线，将的面积分为两部分，设四边形的面积为，四边形的面积为，则______．    (4)实践操作 你能否只画一条直线，将下图中两个平行四边形的面积同时平分，若能，请画出这条直线（用虚线画出辅助线）；若不能，请说明理由．    【变式3】如图，在中，，，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点． (1)求证； (2)求的面积． 平行四边形的判定问题 【例1】如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【详解】【变式1】下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D．， 【变式2】依据图中所标数据，能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．B．C． D． 【变式3】在四边形中，已知，若再从下列条件：①；②；③；④中任意选取一个来判定四边形是平行四边形，则能断定四边形是平行四边形的选法共有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 平行四边形的证明 【例1】学习了平行四边形和尺规作图后，小明进行了拓展性探究，他发现由一个三角形构造出平行四边形的一种作法，并与他的同伴进行了交流．现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空． 第一步：构造相等的角． 小明确定了的中线，并延长（如图）．请利用尺规作图，在右侧作，与的延长线相交于点，连接，四边形即为平行四边形（不写作法，保留作图痕迹） 第二步：利用三角形全等证明他的想法． 证明：， ， 是的中线， ． 在和中， ， ． ， 四边形是平行四边形． 【变式1】如图，中，，点D在上，交于E，将绕点A旋转得到，连结、． (1)求证：； (2)若，在旋转的某一时刻，点恰好在线段上，试判断此时四边形的形状，并说明理由． 【变式2】如图，四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别在，上，已知，． (1)求证：； (2)添加，求证：四边形是平行四边形． 【变式3】如图，点E、F分别为线段上的点，且，，连接，分别交于点G、H，连接，． (1)证明：； (2)证明：四边形为平行四边形． 添加条件构成平行四边形的 【例1】如图，在四边形中，，要使为平行四边形，下列添加的条件不能是（ ） A． B． C． D． 【变式1】如图，若增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形为平行四边形，则这条线段为（   ） A．a B．b C．c D．d 【变式2】如图，的对角线，相交于点，点，在上，请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下面是嘉淇不完整的推理过程，小明为保证嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列正确的是（    ） ∵， ∴， ∵（    ）， ∴四边形是平行四边形    A． B． C． D． 已知三点构造平行四边形 【例1】在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式1】点、、是平面内不在同一条直线上的三个定点，点是平面内任意一点，若、、、四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点有___________个 【变式2】在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ________． 【变式3】如图直角坐标系，网格中最小正方形的边长为，已知． (1)画出关于原点成中心对称的； (2)画出将绕坐标原点逆时针旋转，得到； (3)请直接写出以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标． 平行四边形背景下的尺规作图问题 【例1】如图，四边形是平行四边形，，的平分线交于点． (1)实践与操作：利用尺规过点作的垂线，垂足为（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）； (2)猜想与证明：在（1）的条件下，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【变式1】如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点E，若，，则的长为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【变式2】如图，的对角线相交于点，点是的中点，连接． (1)尺规作图：作的中点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，证明：． 【变式3】已知四边形是平行四边形． (1)如图（1），对角线，相交于点，过点的直线与边，分别相交于点．求证． (2)如图（2），过点A作对角线的垂线，垂足为，交边于点．仅用无刻度的直尺在图中作，垂足为．（保留作图痕迹，不要求写作法．） 平行四边形与一次函数的综合 【例1】如图，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线交于点． (1)点A坐标为（ ， ），B为（ ， ）； (2)在直线上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线于点 F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，点O、B、E、F 能构成平行四边形； 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形，，，直线与，分别交于，，且将的面积分成相等的两部分，则的值是___________． 【变式2】在平面直角坐标系中，点在直线上 (1)若点在直线上，则______；（用含的代数式表示） (2)若对于任意，总有，求的值； (3)已知点，是否存在定点，不论为何值，四边形都是平行四边形？若存在，求出使得平行四边形的周长最小时的值，若不存在，请说明理由． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，，． (1)①连接，画出线段关于轴对称的线段；②将线段绕点顺时针旋转一个角度，得到对应线段，使得轴，请画出线段． (2)若直线平分（1）中四边形的面积，则的值为______． (3)若直线与（1）中四边形有公共点，则的取值范围为______． 平行四边形背景下的动点问题 【例1】如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示 ； (2)当时，求t的值； (3)请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 【变式2】如图，中，，，点从点出发以秒速度向点运动，点从点出发以秒的速度向点A运动，连接，作线段的垂直平分线，交边和于、两点，设点的运动时间为（单位：秒，），当时，点的运动时间值是__秒． 【变式3】如图，在平行四边形中，，，动点P沿边以每秒0.5个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为秒． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当平分时，求t的值． (3)如图，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值． 平行四边形的折叠问题 【例1】如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面上的点处，与交于点． (1)求证：； (2)若平行四边形的对角线与的交点为点，连接，求证：． 【变式1】如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则______．（用含的式子表示） 【变式2】如图1，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点T，交线段于点H，交线段于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，求、的长． 【变式3】问题情境：为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图． 探究实践1： 老师引导同学操作：把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为，再将，分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，如图．老师让同学们探究： （1）的度数是 ． 探究实践2： 完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题．经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现： （2）小虎发现：“如图，将平行四边形沿着BF（F为的中点）所在直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交于点G，则与相等．” 请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由． 与平行四边形有关的作图问题 【例1】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图．要求： (1)在图①中作面积为4的四边形，所作四边形是轴对称图形，非中心对称图形，点C、D在格点上． (2)在图②中作面积为5的四边形，所作四边形是中心对称图形，非轴对称图形，点E、F在格点上． (3)在图③中作一个面积为3的，点G不在格点上． 【变式1】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，两点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)在图1中，为格点． ①先将线段绕点逆时针旋转得到线段； ②再画线段，使线段与线段关于点成中心对称（其中点对应点，点对应点）； (2)在图2中，以格点为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点坐标为． ①在图中所示的表格中先画出格点，使，且，则点的坐标：__________； ②已知线段绕平面内的点旋转一个特定的度数可与线段重合，请在图中画出旋转中心；并直接写出点的坐标为_____________． 【变式2】如图所示，的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图． (1)图1中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的； (2)图2中，在边上找一点，连接，使得． 【变式3】如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，点、在格点上，请按要求画格点多边形（顶点在格点上）．    (1)在图中画一个以点为对角线交点，且面积为的平行四边形； (2)在图中画一个以线段为边，且有一个内角为的平行四边形． 平行四边形性质与判定的综合 【例1】如图，在中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，连接AE，ED，过点C作交ED的延长线于点F，连接AF． (1)求证：四边形AFCE是平行四边形． (2)若，的面积为8，求的面积． 【变式1】如图，以的三边为边作等边三角形． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)设的中点为，延长交于点，延长交于点，连接，若，①试探究线段与的数量关系；②请直接写出的度数． 【变式2】在中，，P为所在平面内的一点，过点P作交于点E，作交于点D，交于点F．如图①，若点P在边上，此时P、D两点重合，易证、、与之间满足的数量关系是． (1)如图②，当点P在的内部时，猜想、、与之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； (2)如图③，当点P在的外部时，若，，求平行四边形的周长 【变式3】（1）如图，在中，，以点为中心，把逆时针旋转，得到；再以点为中心，把顺时针旋转，得到，连接，则与的位置关系为______； （2）如图，当是锐角三角形，时，将按照（1）中的方式旋转，连接，探究与的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明； （3）如图，在图的基础上，连接，若，的面积为，则的面积为______． 试卷第2页，共73页 份有限公2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平行四边形与三角形中位线 平行四边形的性质 (1)边：对边平行且相等 (2)角：对角相等 (3)对角线互相平分 (4)对称性：平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心 (5)平行四边形具有不稳定性 平行四边形的判定 (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形 (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (4)对角线互相平分的四边形是平行四边形 (5)两组对角分别相等的四边形是平行四边形(应用时需证明) 平行四边形的中心对称 (1)若直线经过平行四边形对角线交点，则： ①该直线被平行四边形的边所截的线段被对角线交点平分，如下图：OE=OF ②该直线分平行四边形为面积相等的两部分，如上左图：S四边形ABFE＝S四边形EFCD，如上右图：S四边形AEFD＝S四边形EBCF 中位线 连接三角形两个边中点的线段是三角形的中位线 DE是中位线 DE∥BC且DE＝BC 当三角形中遇到中点时，常构造三角形中位线，可简单地概括为“已知中点找中位线” 利用平行四边形的性质求解 【例1】如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形对角相等的性质，结合已知求出的度数，再利用邻角互补的性质计算的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∴． 【变式1】中，的平分线把边分成4和6两部分，则的周长是______． 【答案】32或28 【分析】根据题意，分类讨论：当时；当时，结合图形分析即可求解． 【详解】解：的平分线把边分成4和6两部分， 当时，如图所示，则， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 则， ∴， ∴平行四边形的周长为； 当时， 同理，，， ∴平行四边形的周长为； 综上所述，的周长为：32或28 ． 【变式2】如图，四边形是平行四边形，O是对角线与的交点，，若，则的长是________． 【答案】 【分析】先求出，，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵，， ∴在中，， ∴． 【变式3】如图，在中，平分，交边于点，是边上的高，垂足为，交于点．已知． (1)求的度数． (2)若，，求的长度． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用角平分线的定义，直角三角形的性质结合对顶角相等即可求解； （2）利用直角三角形的性质求得，再利用平行四边形的性质推出，求得，，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 利用平行四边形的性质证明 【例1】如图，在中，，的平分线分别交于点，，、相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，然后根据角平分线的性质推知，，可得即证； （2）由（1）得，根据线段的和差即可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，的平分线分别交于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【变式1】在中，是的中点，的延长线交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行四边形的对边平行的性质推出，再利用已知条件得到，得到，进而得到，由此得到结论平分； （2）根据平行四边形的对边平行的性质推出，，结合，证明，得到，由（1）知，得到，由此，即可得到 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴ 【变式2】如图，在中，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点． (1)求证：； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的性质证明，则可证明得到； （2）根据平行四边形的性质得到，，证明，求出，由全等三角形的性质得到，据此根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ，， 为中点， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得； 由（1）知， ， ， ∴． 【变式3】如图，平行四边形的对角线，交于点，平分，交于点，连接，且，设． (1)求证：； (2)若，请判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，当时，请求出平行四边形的面积； (4)设，请直接写出与满足的关系． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据中，，可得是等边三角形，进而可以证明结论； （2）根据 ，可得，结合是等边三角形，即，，易证，即可得出结论； （3）利用含30度角的直角三角形可得的长，进而可得，即可求出平行四边形的面积； （4）由平行四边形的性质可得：，进而得，再由平分，得出，然后表示出与的关系即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， 由（1）知是等边三角形，即，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：由（2）知是直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积； （4）解：由平行四边形的性质可得：， ， ， 平分，， ， ，即， ， ∴． 三角形中位线性质的应用 【例1】如图，在中，，于点，点在上，且，连接，为的中点，连接，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”得到，再根据三角形中位线定理计算得到答案． 【详解】解：，， ， ，， ， ∵为的中点， 是的中位线， ． 【变式1】如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据三角形中位线的性质得到，然后根据直角三角形的性质得到，进而根据求解即可． 【详解】解： E，F分别是，的中点，， ， ，， ， ． 【变式2】如图，在矩形中，点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，连接，，M，N分别是，的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】连接并延长交于点G，连接，根据中点定义，矩形的性质得到，，再证，得到，根据三角形的中位线定理和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，连接并延长交于点G，连接 ． ∵M，N分别是，的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ， ∴， ，即N是的中点． ∴是的中位线． ． ∵点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，，， ∴，，． 在中， ． ． 【变式3】如图，在四边形中，分别是边的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，则四边形的周长为_________． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】（1）根据题意可知分别为的中位线，再利用中位线的性质可得，，进而可得四边形是平行四边形； （2）利用中位线定理可知，，再代入计算周长即可． 【详解】（1）证明：分别是边的中点， 分别为的中位线， ，且， ，且， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）知， 又分别是边的中点， 分别为的中位线， ， 则四边形的周长为． 平行四边形性质的应用 【例1】嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作，请用一条直线平分与组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出，，，对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 【答案】B 【分析】根据平行四边形为中心对称图形，得到过对称中心的任意一条直线平分平行四边形的面积，进行判断即可． 【详解】解：∵平行四边形为中心对称图形， ∴过对称中心的任意一条直线平分四边形的面积， 甲方案：直线既平分的面积，也平分的面积，符合题意；正确； 乙方案：直线平分的面积，所以下面阴影部分的面积大于上面的阴影部分的面，不符合题意；错误； 丙方案：直线既平分的面积，也平分，所以直线上方和下方的阴影部分面积也相等，符合题意；正确． 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．熟练掌握过平行四边形的中心的直线平分四边形的面积，是解题的关键． 【变式1】点为平面直角坐标系中的任意一点，记（x，y分别为点P的横、纵坐标），把m称为点P的特征数．    (1)当点P的坐标为时，求m的值． (2)若点的特征数是5，点的特征数是6，求点M的坐标． (3)如图，在平面直角坐标系中的顶点A、B、C的坐标分别为． ①点D的坐标为 ． ②当且点在内部（不包含边界）时，直接写出x的取值范围． ③当点在内部（不包含边界）时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①  ②   ③ 【分析】（1）根据定义直接求解即可； （2）根据题意可得①,②，联立①②求出的值即可求点的坐标； （3）①根据平行四边形的性质，对角线互相平分，利用中点公式求解即可②由题意可知 再分别求出直线与直线的交点，两交点之间部分即为的取值范围；③由题意可求再分别求出直线经过点和经过点时的值，即可求的取值范围. 【详解】（1）∵点的坐标为, ； （2）∵点的特征数是, ， ∴①, ∵点的特征数是, ， ∴②, 联立①②可得, ∴； （3）①∵, ∴的中点为, 设, ∴, 解得, ∴, 故答案为: ； ②∵, ∴, ， 设直线的解析式为, ，解得 ， ∴, 联立方程组 ，解得 ， ∴直线与直线的交点为， 同理可求直线的解析式为， 联立方程组 ，解得 ， ∴直线与直线的交点为 ∴点在内部(不包含边界)时, ③∵, ， 当直线经过点时，   当直线 经过点时，， ∴当 时, 点在内部 (不包含边界)。 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，直线交点的求法是解题的关键. 【变式2】如图：的对角线交于点O．    (1)基础训练： 经过点O且与、分别相交于E、F．求证： (2)拓展变式 若将条件改为经过点O且与、的延长线分别相交于E、F，第（1）问的结论是否成立，请按题意画出图形，标注字母，并给予证明． (3)观察归纳 的对角线交于点O，直线是经过点O的任意一条直线，将的面积分为两部分，设四边形的面积为，四边形的面积为，则______．    (4)实践操作 你能否只画一条直线，将下图中两个平行四边形的面积同时平分，若能，请画出这条直线（用虚线画出辅助线）；若不能，请说明理由．    【答案】(1)见解析 (2)成立，图和证明见解析 (3) (4)见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质证明，可得； （2）画出图形，同（1）的方法证明即可； （3）根据全等三角形的性质得到，，等量代换可得，即可证明； （4）分别找出两个平行四边形对角线的交点，再连接即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）成立，理由是： 在中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；    （3）同（1）可证：，， ∴，， ∴， ， ∴； 故答案为：； （4）能，如图，直线即为所求．    【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用平行四边形的性质得到线段，面积之间的关系． 【变式3】如图，在中，，，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点． (1)求证； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得到，可证明，即可得到结论； （2）根据题意得到，，，求出，得到，，得到． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ，，， 为中点， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得； ， ， 由（1）知， ， ， ，， ∴． 平行四边形的判定问题 【例1】如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，一组对边平行另一组对边相等的四边形，可能是等腰梯形，不可以判定，不符合题意； B、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可判断，可以判定，符合题意； C、两组邻角相等的四边形可能是等腰梯形，不可以判定，不符合题意； D、一组邻边相等，一组对角相等的四边形可能是筝形，不可以判定，不符合题意． 【变式1】下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可． 【详解】解：A.，则，， ，， ，但， 与不平行，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； B.，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； C.，，两组对边分别相等，可以判定四边形为平行四边形，故本项符合题意； D.，，且，可得， ，只有一组对边平行，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意． 故选：C． 【变式2】依据图中所标数据，能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理分别判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴一组对边平行，另一组对边不平行， ∴图中的四边形不一定是平行四边形，故A不符合题意； B、∵，， ∴一组对边平行，另一组对边相等， ∴图中的四边形不一定是平行四边形，故B不符合题意； C、∵，， ∴一组对边平行且相等， ∴图中的四边形是平行四边形，故C符合题意； D、∵， ∴一组对边相等， ∴图中的四边形不一定是平行四边形，故D不符合题意． 【变式3】在四边形中，已知，若再从下列条件：①；②；③；④中任意选取一个来判定四边形是平行四边形，则能断定四边形是平行四边形的选法共有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定、平行线的判定与性质分别对各个条件进行判断即可． 【详解】解：如图所示， ①∵， ∴ ∵， ∴ ∴不能得到四边形是平行四边形； ②由，，不能得到四边形是平行四边形； ③∵ ∴， ∴不能得到四边形是平行四边形； ④∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形． 综上所述，能断定四边形是平行四边形的选法共有1种． 故选：A． 平行四边形的证明 【例1】学习了平行四边形和尺规作图后，小明进行了拓展性探究，他发现由一个三角形构造出平行四边形的一种作法，并与他的同伴进行了交流．现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空． 第一步：构造相等的角． 小明确定了的中线，并延长（如图）．请利用尺规作图，在右侧作，与的延长线相交于点，连接，四边形即为平行四边形（不写作法，保留作图痕迹） 第二步：利用三角形全等证明他的想法． 证明：， ， 是的中线， ． 在和中， ， ． ， 四边形是平行四边形． 【答案】第一步：作图见解析；第二步：，， 【分析】第一步：以点为圆心，任意长为半径画弧，与、相交于、两点；以点为圆心，相同长为半径画弧，与相交于一点，以该点为圆心，长为半径画弧，与前弧交于一点，过点与该点作射线，与的延长线相交于点，连接即可； 第二步：根据可得，根据中线的性质结合对顶角相等证明，得到，从而得证． 【详解】解：第一步：如图所示，四边形即为所求； 第二步：证明：， ， 是的中线， ． 在和中， ， ． ， 四边形是平行四边形． 【变式1】如图，中，，点D在上，交于E，将绕点A旋转得到，连结、． (1)求证：； (2)若，在旋转的某一时刻，点恰好在线段上，试判断此时四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形．理由见解析 【分析】（1）由证出，由旋转的性质得到，，再证明可得到结论． （2）四边形是平行四边形，理由：由旋转的性质得，，又，得到，证明，得到，又，，所以，两组对边分别相等，从而证出是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵绕点A旋转得到， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． （2）解：四边形是平行四边形． 理由如下：如图， 由（1）得，， ∴， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【变式2】如图，四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别在，上，已知，． (1)求证：； (2)添加，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】对于（1），根据“角边角”证明这两个三角形全等； 对于（2），先根据全等三角形的对应边相等得，进而得出，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得出答案． 【详解】（1）证明：在和中，， ； （2）证明：由（1）得：， ． 又， ． 又， 四边形是平行四边形． 【变式3】如图，点E、F分别为线段上的点，且，，连接，分别交于点G、H，连接，． (1)证明：； (2)证明：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，直线平行的判定与性质，平行四边形的判定，掌握相关定理与性质是解题的关键． （1）由，得到，接着证明即可得到； （2）根据题意可得，即，再证明，得到，进而根据对边平行且相等的四边形为平行四边形即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：，， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， 又， 所以四边形为平行四边形． 添加条件构成平行四边形的 【例1】如图，在四边形中，，要使为平行四边形，下列添加的条件不能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； C．当，时，四边形可能为等腰梯形， 所以不能证明四边形为平行四边形，故此选项符合题意； D．∵，， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意． 【变式1】如图，若增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形为平行四边形，则这条线段为（   ） A．a B．b C．c D．d 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理添加条件即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是： 即这条线段为a． 故选：A 【变式2】如图，的对角线，相交于点，点，在上，请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了添加一个条件判定四边形是平行四边形．熟练掌握平行四边形的定义和判定定理，是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理逐一判断即得． 【详解】A. ， 添加， 又， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证得是平行四边形； B. ， 添加， 无法判定， 则无法判定四边形是平行四边形； C. ， 添加， ∵， ∴， 又， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证得是平行四边形； D. ， 添加， 可得， ∵， ∴， ∴，且， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得是平行四边形． 故选：B． 【变式3】下面是嘉淇不完整的推理过程，小明为保证嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列正确的是（    ） ∵， ∴， ∵（    ）， ∴四边形是平行四边形    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查添加一个条件构造平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．根据推理过程及平行四边形的判定定理即可解答． 【详解】解：A、添加后可得，仅一组对边平行，无法证明四边形是平行四边形．故A选项不合题意； B、添加后，结合，满足一组对边平行且相等，可证四边形是平行四边形．故B选项符合题意； C、添加后，，四边形为等腰梯形，不是平行四边形．故C选项不合题意； D、添加后，满足一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形．故D选项不合题意； 故选：B． 已知三点构造平行四边形 【例1】在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．分三种情况：①和为对角线时，②和为对角线时，③和为对角线时，设点的坐标为，利用平行四边形两对角线互相平分结合中点公式即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 分三种情况：①和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ②和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ③和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点C的坐标可能是或或，不可能是． 故选：D． 【变式1】点、、是平面内不在同一条直线上的三个定点，点是平面内任意一点，若、、、四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点有___________个 【答案】 【分析】连接、、，分别以、、为对角线，作出以、、、为顶点的平行四边形，可知符合条件的点有个，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接、、， 若以为对角线，可作出； 若以为对角线，可作出； 若以为对角线，可作出， 符合条件的点有个． 【变式2】在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ________． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，平面直角坐标系点的特征，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 利用平行四边形的判定作出图象求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，已知，，，可作图如下： ∵四边形是平行四边形， 当，， ∴在点的基础上向左和向右平移两个单位即可得到和 ∴；； 当时，点向下平移1个单位向左平移1个单位可得到点， ∴在点的基础上向下平移1个单位并向左平移1个单位可得到点； 故答案为：或或． 【变式3】如图直角坐标系，网格中最小正方形的边长为，已知． (1)画出关于原点成中心对称的； (2)画出将绕坐标原点逆时针旋转，得到； (3)请直接写出以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，， 【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）画出平行四边形写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图所示， ，，． 平行四边形背景下的尺规作图问题 【例1】如图，四边形是平行四边形，，的平分线交于点． (1)实践与操作：利用尺规过点作的垂线，垂足为（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）； (2)猜想与证明：在（1）的条件下，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)相等，见解析 【分析】（1）利用尺规作图方法画垂线即可得出答案． （2）通过平行四边形性质可得，再通过角平分线以及等量代换可知，进而可知，再通过三线合一即可证明． 【详解】（1）解：如答图所示，即为所求 （2）解：，理由如下 四边形是平行四边形， ． 平分， ． ． ， ． 【变式1】如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点E，若，，则的长为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】由作图可得，则为等腰三角形，由等腰三角形的性质可得，，结合勾股定理可得，由平行四边形的性质可得，结合平行线的性质得出，从而可得，即可得出结果． 【详解】解：由作图可得：， ∴为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】如图，的对角线相交于点，点是的中点，连接． (1)尺规作图：作的中点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，证明：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）分别以点B，O为圆心，以为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线交于点F，则点F即为所求作； （2）先根据平行四边形的对角线互相平分得出，即可得出，再根据“边角边”证明，然后根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，点F即为所求作； （2）证明：如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点E是的中点，点F是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【变式3】已知四边形是平行四边形． (1)如图（1），对角线，相交于点，过点的直线与边，分别相交于点．求证． (2)如图（2），过点A作对角线的垂线，垂足为，交边于点．仅用无刻度的直尺在图中作，垂足为．（保留作图痕迹，不要求写作法．） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，是解题的关键． （1）根据平行四边形性质得，得，可得，即得； （2）根据平行四边形性质得，，可得，得，得,根据，得． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：连接交于点O，作射线交于点G，连接交于点H，点H即为所求作． 平行四边形与一次函数的综合 【例1】如图，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线交于点． (1)点A坐标为（ ， ），B为（ ， ）； (2)在直线上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线于点 F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，点O、B、E、F 能构成平行四边形； 【答案】(1)8；0；0；4 (2)或 【分析】本题考查了一次函数的几何综合，平行四边形的性质，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把代入，解得，再结合直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，进行列式计算，得，，即可作答． （2）先理解题意，把代入，解得，则，，再结合平行四边形的性质进行列式得，再解方程，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把代入， 得， 解得， ∴， 令时，则， 解得， ∴； 令时，则， ∴； （2）解：由（1）得， 把代入， 得， 解得， 得， ∵在直线上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线于点F，设点E的横坐标为m， ∴， ∵， ∴ ∵点O、B、E、F 能构成平行四边形； ∴ ∴ ∴ ∴ 故或 解得或 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形，，，直线与，分别交于，，且将的面积分成相等的两部分，则的值是___________． 【答案】 【分析】连接、交于点，平分平行四边形面积的直线必定经过平行四边形的对称中心，利用中点公式求出点的坐标，代入直线解析式求出的值． 【详解】解：如图，连接、交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴对角线与互相平分，即点是的中点， ∵，， ∴点的坐标为， ∵直线平分的面积， ∴直线过点， 将代入，得， ， 解得． 【变式2】在平面直角坐标系中，点在直线上 (1)若点在直线上，则______；（用含的代数式表示） (2)若对于任意，总有，求的值； (3)已知点，是否存在定点，不论为何值，四边形都是平行四边形？若存在，求出使得平行四边形的周长最小时的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，当时，平行四边形的周长最小． 【分析】本题考查了一次函数的性质、平行四边形的性质以及不等式的应用． （1）将点A，B的坐标代入关系式可表示出m，n，再将点C的坐标代入可得答案； （2）先整理不等式可得，即可得当，且时恒成立，进而得出答案； （3）根据与的中点重合可得点Q的坐标，再根据取最小值时，平行四边形的周长最小可得答案． 【详解】（1）解：∵点在直线上， 解得 ∴直线l的关系式为∶ ∵点在直线l上， ． 解得； 故答案为：； （2）解：对于任意x，总有， ∴恒成立， ∴，且， 解得，且， ∴， ∴， 解得． ∵， ∴， 解得， ∴， ∴n的值是； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴与的中点重合． 设， ∵点，， ∴， 解得， ∴点． ，． 平行四边形的周长为． 点在直线运动，，为定点． 该问题可转化为在直线：上找一点A，使其到P，Q两点的距离之和最小． 由轴对称知识，作点P关于直线：的对称点，当A为线段与直线的交点时周长最小．此时点坐标为， ，解得． 存在，当时，平行四边形的周长最小． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，，． (1)①连接，画出线段关于轴对称的线段；②将线段绕点顺时针旋转一个角度，得到对应线段，使得轴，请画出线段． (2)若直线平分（1）中四边形的面积，则的值为______． (3)若直线与（1）中四边形有公共点，则的取值范围为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）①先根据对称的性质求出的坐标，进而得到点的位置，再连接、即可；②由轴，可先画出平行于轴的一条直线，点在这条直线上，再根据旋转的性质找到点的位置，最后连接即可； （2）根据题意可得四边形是平行四边形，再根据平分平行四边形面积的直线经过平行四边形的中心，且平行四边形的对角线的中点即为平行四边形的中心，求出的中点坐标，然后代入直线解析式即可求解； （3）先求出点的坐标，然后分别求出直线过点、时的值，再结合题意即可求解． 【详解】（1）解：①线段关于轴对称的线段， 和关于轴对称， ， 连接，画出线段如图1所示； ②轴， 先画出平行于轴的一条直线，点在这条直线上， 线段由线段旋转得到， ，将线段绕点顺时针旋转与直线相交于点， 如图2，线段即为所求； （2）如图3，且， 四边形是平行四边形， 在平行四边形中，平分平行四边形面积的直线经过平行四边形的中心，且平行四边形的对角线的中点即为平行四边形的中心， 平行四边形的中心为：，即， 直线经过， ， 解得：， 故答案为：； （3），， ， 四边形是平行四边形， ， 又轴，， ， 当直线过点时，， 解得：， 当直线过点时，， 解得：， 直线与（1）中四边形有公共点时，的取值范围是或， 故答案为：或． 【点睛】本题是一次函数的综合，涉及对称、旋转的性质，平行四边形的判定与性质，一次函数的图像与性质，解题的关键是数形结合． 平行四边形背景下的动点问题 【例1】如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示 ； (2)当时，求t的值； (3)请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据路程=速度×时间，求解即可 ； （2）当时，过点A作于点F，则，，得到，根据题意，得，，构造等式求解即可； （3）当时，；当时，， 根据平行四边形的判定，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动， ∴； （2）解：当时，如图1，过点A作于点F，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动， ∴，， ∴， ∴， 解得． （3）解：存在， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动， ∴，， ∴当点P与点D重合时，， 故， 解得， ∴当点Q与点B重合时，， 故， 解得， ∴当时，； 当时，， ∵， ∴当时，A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形， 当时，如图2，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得； 当时，如图3，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或． 【变式1】如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】2或3 【分析】分两种情况讨论：①设t秒后四边形是平行四边形；根据题意得：厘米，厘米，由得出方程，解方程即可；②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米，由得出方程，解方程即可． 【详解】解：①设经过t秒四边形是平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 即经过2秒四边形为平行四边形； ②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴ 解得． 综上，经过2秒或3秒直线将四边形截出一个平行四边形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．注意要分情况讨论，不要漏解． 【变式2】如图，中，，，点从点出发以秒速度向点运动，点从点出发以秒的速度向点A运动，连接，作线段的垂直平分线，交边和于、两点，设点的运动时间为（单位：秒，），当时，点的运动时间值是__秒． 【答案】或 【分析】本题考查平行四边形性质、全等三角形判定及等边三角形判定与性质，解题关键是分类讨论与的位置关系，利用全等三角形建立含t的方程。 当时，可证，从而，解得；当不平行时，证明，可得是等边三角形，四边形是平行四边形，即有，解得． 【详解】解：当时，如图： 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ，，， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， 由得：， ； 当不平行时，如图： ， 四边形是等腰梯形， ，， 是的垂直平分线， ，， ， ，， 在中，， ， 是等边三角形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得， 综上所述，为或． 【变式3】如图，在平行四边形中，，，动点P沿边以每秒0.5个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为秒． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当平分时，求t的值． (3)如图，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值． 【答案】(1) (2)6 (3)或8或 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）由题意可得，即可求解； （2）由平行线的性质和角平分线的性质可得，可求解； （3）利用平行四边形的性质，分类讨论可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， ； （2）解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意可得： 当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时四边形是中心对称图形， ∵， ∴， 当点Q没有到达点B时， ∴（不合题意舍去）， 当点Q到达点B后，返回时， 当点Q到达点C后，返回时， ∴， 当点Q第二次到达点B后， 综上所述：t的值为或8或 平行四边形的折叠问题 【例1】如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面上的点处，与交于点． (1)求证：； (2)若平行四边形的对角线与的交点为点，连接，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由折叠得，，由四边形是平行四边形得，，即可得，，结合对顶角即可证明； （2）由得，由平行四边形的对角线与的交点为点得为中点，由等腰三角形三线合一可得为中边上的高，即可证明． 【详解】（1）证明：由折叠得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵平行四边形的对角线与的交点为点， ∴为中点， ∴为中边上的高， ∴． 【点睛】折叠的本质是轴对称变换，折叠前后的图形关于折痕成轴对称，因此对应边相等、对应角相等，这一性质是解决此类折叠问题的核心依据． 【变式1】如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则______．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，由四边形是平行四边形，得，，由折叠性质可知， ，，，故有，根据平行线的性质得，，最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠性质可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】如图1，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点T，交线段于点H，交线段于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，求、的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4； 【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明，得到．根据折叠性质，得到．等量代换即可得证． （2）根据平行四边形的性质，折叠的性质，证明，，继而证明，延长交的延长线于点K，延长交的延长线于点L，证明，得到，，根据等腰三角形的三线合一性质即可证明． （3）过点H作交的延长线于点Q，过点O作于点R，连接，过点C作于点K，得到，根据折叠的性质，勾股定理等证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：， ∴，， ∴．， 在和中， ∵， ∴， ∴． ∵四边形沿折叠得到四边形， ∴． ∴． （2）证明：∵四边形沿折叠得到四边形， ∴，，，， ， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 延长交的延长线于点K，延长交的延长线于点L， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：过点H作交的延长线于点Q，过点O作于点R，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， 过点C作于点K， ，， ， ， 根据折叠的性质，得， ； ，， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 根据（2）证明，得， ， ， ． 【变式3】问题情境：为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图． 探究实践1： 老师引导同学操作：把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为，再将，分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，如图．老师让同学们探究： （1）的度数是 ． 探究实践2： 完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题．经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现： （2）小虎发现：“如图，将平行四边形沿着BF（F为的中点）所在直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交于点G，则与相等．” 请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由． 【答案】（1）；（2）小虎的结论正确，见解析 【分析】本题主要考查折叠的性质，平行四边形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据折叠的性质得到，再由平角的定义即可求解； （2）根据折叠的性质得出，再由平行四边形的判定和性质得出四边形为平行四边形，，即可证明； 【详解】（1）解：由折叠得： ∴故答案为： （2）小虎的结论正确，理由如下： ∵将沿着所在直线折叠，点C的对应点为， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴． 与平行四边形有关的作图问题 【例1】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图．要求： (1)在图①中作面积为4的四边形，所作四边形是轴对称图形，非中心对称图形，点C、D在格点上． (2)在图②中作面积为5的四边形，所作四边形是中心对称图形，非轴对称图形，点E、F在格点上． (3)在图③中作一个面积为3的，点G不在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合轴对称图形和中心对称图形的定义作一个面积为4的等腰梯形即可； （2）结合轴对称图形和中心对称图形的定义作一个面积为5的平行四边形即可； （3）取格点H，使，过点H利用平移的性质作的平行线，在平行线上取不是格点的点G即可． 【详解】（1）解：如图①，四边形即为所求． （2）解：如图②，四边形即为所求． （3）解：如图③，取格点H，使，过点H作的平行线，在平行线上取不是格点的点G， 则点G即为所求（答案不唯一）． 【变式1】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，两点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)在图1中，为格点． ①先将线段绕点逆时针旋转得到线段； ②再画线段，使线段与线段关于点成中心对称（其中点对应点，点对应点）； (2)在图2中，以格点为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点坐标为． ①在图中所示的表格中先画出格点，使，且，则点的坐标：__________； ②已知线段绕平面内的点旋转一个特定的度数可与线段重合，请在图中画出旋转中心；并直接写出点的坐标为_____________． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2)①见解析，，②见解析， 【分析】本题考查旋转作图，作中心对称图形，作对称中心． （1）①根据网格特点即可作出线段；②作出点A，D关于点B的对称点E，F，连接即可； （2）①将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作平行四边形，即可得到所求的点G，由图直接得到点G的坐标；②作线段的垂直平分线，作线段的垂直平分线，与交于点P，则点P为所求的对称中心；由图直接得到点P的坐标． 【详解】（1）解：①如图所示，线段为所求； ②如图所示，线段为所求； （2）解：①如图，点G为所求， 将线段绕点B顺时针旋转得到线段，则，， 作平行四边形，则，， ∴，且， 即点G为所求，， 故答案为：； ②如图，点P为所求． 作线段的垂直平分线，作线段的垂直平分线，与交于点P，则，， ∴点P为所求的旋转中心． 由图可得，点P的坐标为． 故答案为：． 【变式2】如图所示，的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图． (1)图1中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的； (2)图2中，在边上找一点，连接，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，平行四边形的性质，全等三角形的性质． （1）根据网格的特点以为对角线，作平行四边形，对角线交于点，即可求解； （2）根据网格的特点作，找到的格点的对角线交于点，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求 【变式3】如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，点、在格点上，请按要求画格点多边形（顶点在格点上）．    (1)在图中画一个以点为对角线交点，且面积为的平行四边形； (2)在图中画一个以线段为边，且有一个内角为的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行四边形的定义，数形结合的思想画出图形即可； （2）构造等腰直角三角形，可得角，利用数形结合的思想画出图形即可． 【详解】（1）解：如图中，四边形即为所求；    （2）解：如图中，四边形即为所求．    【点睛】本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 平行四边形性质与判定的综合 【例1】如图，在中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，连接AE，ED，过点C作交ED的延长线于点F，连接AF． (1)求证：四边形AFCE是平行四边形． (2)若，的面积为8，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，正确理解上述知识点是解题的关键． （1）由两直线平行，内错角相等可得到，由中点的性质得到，接着通过判定，由全等三角形的性质得到，最后通过对角线互相平分的四边形为平行四边形可证四边形是平行四边形； （2）由平行四边形的性质可得，根据，结合等高的三角形的面积比等于底之比得到，由此可求出的面积． 【详解】（1）证明：， ． 是的中点， ． 在和中， ， ， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ． ，的边上的高与的边上的高相等， ， ， ． 【变式1】如图，以的三边为边作等边三角形． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)设的中点为，延长交于点，延长交于点，连接，若，①试探究线段与的数量关系；②请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）通过证明，，分别得出：，，从而由“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”得证结论； （2）①由已知等边三角形、得出， 从而由“等腰三角形‘三线合一’”得出，；连接，相交于点交于点交于点，则是的中位线，是的中位线，得到四边形是平行四边形、；由已知和（1）可证明，得到，，从而得出；②由①知：、，通过等量代换、三角形内角和定理可得：． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①线段与的数量关系是，理由如下： 设的中点为，延长交于点，延长交于点，连接、， ∵，为的中点， ∴， ，， ∵， ，， ， 如图，连接，相交于点交于点交于点， 则是的中位线，是的中位线， ， 四边形是平行四边形， ， 由（1）知：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； ②由①知：，， ， ， ， 的度数为． 【变式2】在中，，P为所在平面内的一点，过点P作交于点E，作交于点D，交于点F．如图①，若点P在边上，此时P、D两点重合，易证、、与之间满足的数量关系是． (1)如图②，当点P在的内部时，猜想、、与之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； (2)如图③，当点P在的外部时，若，，求平行四边形的周长 【答案】(1)．证明见解析 (2)14 【分析】（1）如图①，过点P作分别交，于点M，N，先证明四边形是平行四边形，得到，再证明，，即可得出结论； （2）如图②，过点P作交的延长线于点，交的延长线于点，先证明四边形是平行四边形，，再结合（1）的结论，即可求得答案． 【详解】（1）解：；证明如下： 如图①，过点P作分别交，于点M，N， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ； （2）解：如图②，过点P作交的延长线于点，交的延长线于点， 由（1）得， ，， 四边形是平行四边形， ， 又， ， 平行四边形的周长为． 【变式3】（1）如图，在中，，以点为中心，把逆时针旋转，得到；再以点为中心，把顺时针旋转，得到，连接，则与的位置关系为______； （2）如图，当是锐角三角形，时，将按照（1）中的方式旋转，连接，探究与的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明； （3）如图，在图的基础上，连接，若，的面积为，则的面积为______． 【答案】（1）平行（2），证明见解析（3）6 【分析】本题考查了几何变换，旋转的性质，平行四边形的判定和性质，过作是解题的关键． （1）根据旋转的性质得到，，根据平行线的判定得到，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论； （2）过作于，于是得到，由旋转的性质得到，，等量代换得到，根据等腰三角形的判定得到，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论； （3）设与之间的距离为，由已知条件得到，根据三角形的面积公式得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：以点为中心，把逆时针旋转，得到；再以点为中心，把顺时针旋转， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：平行； （2）证明：如图，过作，交于，则， 由旋转的性质知，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； （3） 解： 由（2）知， 设与之间的距离为， ， ， ，， ， 的面积为， 的面积为， 故答案为：． 试卷第2页，共73页 份有限公2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $