【北师大版】期中模拟卷（1）-2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》（原卷版+解析版）

编写说明：2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》以《数学 拓展模块一上册》（北师大版）教材内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括复习讲义和模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 本卷是2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》（北师大版）的期中模拟试卷（1）。 2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》 期中模拟卷（1） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学 拓展模块一上册》（北师大版）教材第5、6单元。 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1．已知抛物线上的点到焦点的距离为，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 2．在椭圆方程中，连接四个顶点形成的四边形面积是（    ） A． B． C． D．12 3．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的离心率（   ） A． B． C． D．2 4．已知椭圆的焦距是4，则m的值是（   ） A．12 B．32 C．20或32 D．12或20 5．已知点和，动点满足，则点轨迹为（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 6．已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4，到另一焦点距离为8，则（   ） A．36 B．16 C．64 D．20 7．设，分别是椭圆的左，右焦点，点P在椭圆上，线段的中点在y轴上，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．设是双曲线上的一点，是双曲线的左、右焦点，若，则（    ） A．1或17 B．17 C．19 D．18 9．已知抛物线上一点到轴的距离为4，则点到该抛物线焦点的距离是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．正三棱锥中，，为中点，异面直线与所成夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在正方体中，直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 12．已知是一条直线，，是两个不同的平面，有以下结论： ①若，，则；    ②若，，则； ③若，，则；    ④若，，则． 其中正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 13．已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 14．在直三棱柱中，已知，则异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 15．直线与平面所成角的范围是（    ） A． B． C． D．任意角度 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 16．经过圆的圆心的抛物线标准方程是______ 17．已知双曲线，过双曲线右焦点的直线与轴垂直，若直线与双曲线在第一象限相交于点，则该双曲线的渐近线方程是__________________. 18．若椭圆的一个焦点为，则_____. 19．若一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为__________ 20．在空间中，直线AB平行于直线EF，直线BC，EF为异面直线，若，则异面直线BC，EF所成角的大小为_________ 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 21．已知抛物线，到F的距离为4，直线交抛物线于A、B两点，且． (1)求抛物线的标准方程． (2)求直线l的方程．  22．已知椭圆的短轴长为8，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与该椭圆交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 23．在四棱锥中，底面为矩形，侧棱平面，，，.求： (1)直线与平面所成角； (2)直线与平面所成角的正切值. 24．如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，、分别是、的中点.求证：平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》以《数学 拓展模块一上册》（北师大版）教材内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括复习讲义和模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 本卷是2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》（北师大版）的期中模拟试卷（1）。 2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》 期中模拟卷（1） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学 拓展模块一 上册》（北师大版）教材第5、6单元。 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1．已知抛物线上的点到焦点的距离为，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的焦半径公式即可得解. 【详解】抛物线，焦点在轴正半轴，且焦点坐标为，则准线方程为， 设点的横坐标为，，解得， 故选：. 2．在椭圆方程中，连接四个顶点形成的四边形面积是（    ） A． B． C． D．12 【答案】D 【分析】根据椭圆方程求出的值，代入菱形面积公式即可得解. 【详解】椭圆方程，则， 连接四个顶点形成的是一个菱形，其对角线长分别为和， 则菱形面积， 故选：. 3．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的离心率（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据双曲线的标准方程及性质求解即可. 【详解】设双曲线的标准方程为：（或），其中， 所以双曲线的渐近线为（或）， 因为双曲线的两条渐近线互相垂直， 所以（或）， 整理得：（或）， 所以双曲线的离心率， 故选：C. 4．已知椭圆的焦距是4，则m的值是（   ） A．12 B．32 C．20或32 D．12或20 【答案】D 【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程及椭圆中之间的关系，即可求解. 【详解】因为椭圆的焦距是4，所以（为半焦距）， 当焦点在x轴上时，有，解得； 当焦点在轴上时，有，解得, 即m的值是或. 故选：D. 5．已知点和，动点满足，则点轨迹为（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】A 【分析】由椭圆的定义判断即可. 【详解】点和，则， 动点满足，且， 由椭圆的定义可知，点轨迹为以为焦点的椭圆. 故选：A. 6．已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4，到另一焦点距离为8，则（   ） A．36 B．16 C．64 D．20 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义，求出的值，再根据椭圆方程确定的值. 【详解】当焦点在轴上时，椭圆方程为（），此时，， 已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为，到另一焦点距离为， 由椭圆的定义可知，，则，所以， 当焦点在轴上时，椭圆方程为（），此时，， 已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为，到另一焦点距离为， 由椭圆的定义可知，，则，所以，与矛盾，不合题意， 综上，. 故选：A. 7．设，分别是椭圆的左，右焦点，点P在椭圆上，线段的中点在y轴上，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义、离心率公式以及中位线定理求解即可. 【详解】 椭圆焦点坐标为、，原点是的中点. 已知的中点在轴上，根据三角形中位线性质，可得轴，即轴，为直角三角形. 已知，焦距， 在中：，因此； 斜边. 根据椭圆的定义得，代入得：， 则椭圆的离心率. 故选：A. 8．设是双曲线上的一点，是双曲线的左、右焦点，若，则（    ） A．1或17 B．17 C．19 D．18 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义及性质求解. 【详解】由双曲线方程得，则， 根据双曲线的定义得， 因为，所以或17， 又因为，所以. 故选：B. 9．已知抛物线上一点到轴的距离为4，则点到该抛物线焦点的距离是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】先求出点到抛物线准线的距离，再由抛物线的定义求解即可. 【详解】抛物线，其准线方程为， 因为点到轴的距离为4， 所以点到准线的距离为， 由抛物线的定义可得，点到该抛物线焦点的距离也为. 故选：C. 10．正三棱锥中，，为中点，异面直线与所成夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过中位线平行性质找到异面直线所成角，根据正三棱锥性质求出三边长，再结合余弦定理求解即可. 【详解】设正三棱锥各棱长为，取中点，连接，. 因为为中点，所以是底面的中位线， 故，且， 所以异面直线与所成夹角即为， 在等边中，， 则， 同理可得：， 在中，由余弦定理得： . 故选：C.    11．如图，在正方体中，直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体的特征得出为直线与所成角，再由直角三角形中的余弦的定义求值即可. 【详解】连接，因为为正方体， 所以， 则为直线与所成角， 且平面，平面， 所以，设棱长为， 则， 所以， 即直线与所成角的余弦值为， 故选：C. 12．已知是一条直线，，是两个不同的平面，有以下结论： ①若，，则；    ②若，，则； ③若，，则；    ④若，，则． 其中正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系，依据相应的判定定理和性质定理逐一分析各个结论. 【详解】对于①，根据两个平行平面，如果一条直线垂直于其中一个平面，那么这条直线也垂直于另一个平面这一性质可知：若，，则，故①正确； 对于②，若，，则与的位置关系有多种可能：可能平行于，可能在内，也可能与相交（包括垂直），所以不能得出，故②错误； 对于③，若，，则与的位置关系可能是平行，也可能是相交，所以不能得出，故③错误； 对于④，根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行的性质可知：若，，则，故④正确， 综上，正确结论的序号是①④. 故选：D. 13．已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】根据题意，结合空间内的线线关系和线面关系的判定定理和性质定理，即可判断求解. 【详解】若，，则或或斜交，故选项A错误； 若，，则或，故选项B错误； 若，，，则或、相交或、异面，故选项C错误； 若，，则，又，故，故选项D正确； 故选：D. 14．在直三棱柱中，已知，则异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将异面直线与所成的角转化到三角形中，再求解即可. 【详解】   在直三棱柱中，平面，进而. 因为，平面，所以平面，进而. 因为，所以异面直线与所成的角为. 在中，，所以. 因为，解得. 故选：C. 15．直线与平面所成角的范围是（    ） A． B． C． D．任意角度 【答案】A 【分析】根据直线与平面所成角的定义求解即可. 【详解】直线与平面所成角的定义为“平面的斜线与其在平面内的射影所成的角”，范围是. 故选：A. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 16．经过圆的圆心的抛物线标准方程是______ 【答案】或. 【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，分类讨论抛物线焦点在轴正半轴和在轴正半轴时，设出抛物线方程将圆心代入方程中即可得解. 【详解】圆的圆心坐标为， 因为抛物线过点， 则当抛物线焦点在轴时，设抛物线方程为， 则，解得，此时抛物线方程为； 当抛物线焦点在轴时，设抛物线方程为， 则，解得，此时抛物线方程为， 故答案为：或. 17．已知双曲线，过双曲线右焦点的直线与轴垂直，若直线与双曲线在第一象限相交于点，则该双曲线的渐近线方程是__________________. 【答案】 【分析】根据双曲线的性质即可求解. 【详解】由双曲线得，， 因为直线与双曲线在第一象限相交于点，则， 解得，所以渐近线方程为. 故答案为：. 18．若椭圆的一个焦点为，则_____. 【答案】 【分析】根据题意结合椭圆的焦点坐标确定焦点位置，进而得到的值，代入即可得解. 【详解】椭圆的一个焦点为， 则椭圆焦点在轴上，， ，所以，解得. 故答案为：. 19．若一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为__________ 【答案】 【分析】根据线面所成角的概念易得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，    因为圆锥的侧面积是底面积的2倍， 所以，解得， 设该圆锥的母线与底面所成角，， 则，所以. 故答案为：. 20．在空间中，直线AB平行于直线EF，直线BC，EF为异面直线，若，则异面直线BC，EF所成角的大小为_________ 【答案】 【分析】根据题意结合异面直线所成的角即可得解. 【详解】由于，， 所以异面直线所成角为， 故答案为：. 3、 解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 21．已知抛物线，到F的距离为4，直线交抛物线于A、B两点，且． (1)求抛物线的标准方程． (2)求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线的定义求解的值即可； （2）联立直线与抛物线的方程，再结合抛物线的定义和已知条件求解的值. 【详解】（1）抛物线的准线方程为， 已知点到焦点的距离为， 由抛物线定义可知，点到准线的距离也为， 则，所以， 故抛物线的标准方程为. （2）联立直线：与抛物线的方程， 可得：，即， 设，，由韦达定理可知， 根据抛物线的定义，，， 则， 所以，可得，解得， 当时，方程变成， 此时，满足直线与抛物线有两个交点. 所以直线的方程为.    22．已知椭圆的短轴长为8，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与该椭圆交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据椭圆的性质及离心率公式求出的值即可得解. （）设出点坐标，代入椭圆方程中，结合中点坐标公式求出直线斜率，代入直线的点斜式方程即可得解. 【详解】（1）椭圆的短轴长为8，， 离心率为， ，解得， 所以椭圆方程为. （2）设， 则①，②， 则①②得， 因为线段的中点坐标为，则，， 则，所以， 所以直线方程为即. 23．在四棱锥中，底面为矩形，侧棱平面，，，.求： (1)直线与平面所成角； (2)直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合线面角的定义，及解直角三角形，即可求解； （2）根据题意，结合线面垂直的性质定理和判定定理，及解直角三角形，即可求解. 【详解】（1）因为侧棱平面， 所以是直线与平面所成角， 因为，， 所以，所以， 即直线与平面所成角为； （2）因为侧棱平面，平面， 所以, 又底面为矩形，所以， 因为平面，平面，， 所以平面， 所以是直线与平面所成角， 因为,,， 所以， 所以， 即直线与平面所成角的正切值是. 24．如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，、分别是、的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析. 【详解】证明：取中点，连， 因为是中点，所以， 因为在中，且， 因为是中点，所以，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $