广东省广州市黄埔区 广州实验中学2026年中考数学仿真模拟试题（一）

中考数学仿真模拟试题（一） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 6 的相反数是（ ） A. −6 B. C. D. 6 2. 如图，将直角三角形绕直角边所在直线旋转一周，得到的立体图形是（ ） 3. 二次根式中，字母的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） 5. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，添加下列条件不能判定平行四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 7. 某班主任为了解本班学生开学以来在周六、周日两天的运动锻炼情况，随机调查了 10 名学生在这两天的平均运动时间，收集的数据（单位：h）如下：5，7，3，6，8，6，4，7，5，6。则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 5，6 B. 5，7 C. 6，6 D. 6，7 8. 如图，在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若与相切，则的值是（ ） A. 2 B. 2.4 C. 2.5 D. 3 9. 如图为一次函数的图象，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，连接，，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11. 因式分解：_________。 12. 若反比例函数的图象经过点，则_________。 13. 如图，在中，，，，，则_________。 14. 如图，在中，，，。、上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，则点到的距离为_________。 15. 如图，数学实践课上小华将一块正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图。若正方形硬纸板的边长为 15 cm，则折成立方体的棱长为___________cm。 三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 16. 以下是小明同学解方程的过程。 解：方程两边同时乘，得，…………………… 第一步 解得，………………………………………………………… 第二步 检验：当时，………………………… 第三步 所以，原分式方程的解为………………………………… 第四步 (1) 小明的解法从第___________步开始出错； (2) 请写出正确的解答过程。 17. 盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀。重复进行这样的试验得到以下数据： 摸棋的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑棋的次数 24 51 76 124 201 250 摸到黑棋的频率 0.240 0.255 0.253 0.248 0.251 0.250 (1) 根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是_________（精确到 0.01）； (2) 若盒中黑棋与白棋共有 4 枚，某同学一次摸出两枚棋，请用画树状图或列表法求这两枚棋颜色相同的概率。 18. “垃圾入桶，保护环境，从我做起”。如图 1 是一种摇盖垃圾桶的实物图，图 2 是其侧面示意图，其盖子可整体绕点所在的轴旋转。现，，，，。 (1) 如图 3，将桶盖整体绕点逆时针旋转，时，求的度数； (2) 求桶口到桶底的距离（结果精确到 0.1 cm，参考数据：）。 四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 19. (1) 如图 1，将平行四边形纸片的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，请判断四边形的形状，并说明理由； (2) 如图 2，已知 能按照图 1 的方式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形，其中，点在上，点在上，点在上，点在上。请用直尺和圆规确定点的位置（不写作法，保留作图痕迹）。 20. 定义：若一个三位数的百位数字与个位数字的和恰好等于十位数字，则这个三位数叫做 “和十数”。例如：三位数 132，，是 “和十数”。 【理解定义】(1) 三位数字 253_________（填 “是” 或 “不是”）“和十数”； 【建模推理】(2) 设一个 “和十数” 的百位、十位、个位数字分别为，，（为 1−9 的整数，，为 0−9 的整数，且结果为个位数），则与，的关系式为_________\\； (3) 若一个 “和十数” 的百位数比个位数大 2，且这个数能被 3 整除，求这个 “和十数” 所有可能值。 21. 综合与实践。 【问题情境】山西的窑洞是中国黄土高原传统民居，它不仅是当地居民适应自然环境的智慧结晶，也承载着深厚的历史记忆和地域文化。如图 1 是小红家乡刚建好的窑洞及内部结构图，如图 2 是某装修公司承揽窑洞装修任务后设计出的窑洞内部墙面及顶部装修示意图。 【数学建模】如图 3 是窑洞的截面图，可近似看成是由抛物线的一部分和一个矩形构成，已知窑洞的宽为 4 m，窑洞顶部最高点离地面 3.75 m，点离地面 2.25 m。 (1) 在图 3 中画出以点为原点，平行于的直线为轴、竖直方向为轴的平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式； 【问题解决】(2) 如图 4，装修公司计划在窑洞两侧离地面 3 m 的，处安装吊顶，若窑洞的深度为 8 m，求吊顶所需材料的面积（结果精确到，参考数据：）。 五、解答题（三）（本大题共 2 小题，第 22 小题 13 分，第 23 小题 14 分，共 27 分） 22. 如图 1，是的直径，切相切于点，连接交于点，连接，则。 理由如下：是的直径，， 。 切相切于点，，， ， 。 (1) 小明根据以上结论，自主探究发现：如图 2，当是非直径的弦，而其他条件不变时，仍然成立，请说明理由； (2) 小明进一步探究发现：如图 3，线段与线段，存在如下关系：。请你替小明证一证； (3) 拓展应用：如图 4，是的内接三角形，，，的延长线与过点的切线相交于点，若的半径为 1，请你利用小明的探究结论求的长。 23. 如图 1，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象分别交于点，，且。 (1) 求一次函数和反比例函数的解析式； (2) 将直线向上平移个单位长度，使平移后的直线与的图象在第一象限交于点，若，求的值； (3) 中国象棋棋盘上双方的分界处称为 “楚河汉界”，以 “楚河汉界” 比喻双方对垒的分界线。在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对 “楚河汉界线” 给出如下定义：点是图形上的任意一点，是图形上的任意一点，若存在直线满足且，则直线就是图形与的 “楚河汉界线”。例如：如图 2，直线是函数的图象与正方形的一条 “楚河汉界线”。若正方形的一边在轴上，其他三边都在轴的右侧，点是此正方形的中心，若存在直线是图 1 中反比例函数的图象与正方形的 “楚河汉界线”，求的取值范围。 参考答案 1.A　2.B　3.D　4.C　5.A　6.D　7.C　8.B　9.B　10.D 11.2（x+2y）（x-2y）　12.-6　13.4　14.　15.3 16.解：（1）一 （2）方程两边同时乘（x-3），得1-x=-1-3（x-3）， 去括号，得1-x=-1-3x+9， 移项、系数化为1，得x=， 检验：当x=时，x-3=-3=≠0， 所以原分式方程的解为x=. 17.解：（1）0.25 （2）∵表格中摸到黑棋的频率逐渐稳定于0.25， ∴黑棋的个数为4×0.25=1，则白棋子的个数为3， 画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中这两枚棋颜色相同的有6种， 所以这两枚棋颜色相同的概率为=. 18.解：（1）∵AB=AE，∠BAE=120°， ∴∠ABE=∠AEB=（180°-120°）×=30°， ∵AQ∥BE，∴α=∠QAE=∠AEB=30°，故α=30°. （2）如图，过点A作AM⊥BE，垂足为点M，过点C作CN⊥BE，垂足为点N， ∵AM⊥BE，AB=AE，∴AM平分BE， 而∠AEM=30°，∴AM=AE=×46=23（cm）， 又∵CN⊥BE，∴∠BNC=90°， ∵∠ABC=110°，∠ABE=30°， ∴∠CBN=110°-30°=80°， 又sin∠CBN=，∴CN=sin 80°·BC≈78.4（cm）， ∴AM+CN=23+78.4=101.4（cm）， ∴点A到CD的距离约为101.4 cm. 19.解：（1）结论：四边形EFGH是矩形. 理由如下：通过折叠的性质可知∠AFE=∠EFK，∠BFG=∠KFG， ∵∠AFB=180°，∴2∠EFK+2∠KFG=180°， ∴∠EFK+∠KFG=90°，即∠EFG=90°， 同法可证∠FGH=∠EHG=90°，∴四边形EFGH是矩形. （2）如图，点M即为所求作. 【作法】分别以点D，C为圆心，大于DC为半径作弧，连接两个交点，即为DC的垂直平分线，与DC交于点Q，同理作出AB的垂直平分线交AB于点N，连接NQ，AC，交于点O，以点O为中心，OQ长为半径作弧交AD于点M，点M即为所作.连接MO交BC于点P，连接MNPQ即为所求. 20.解：（1）是　（2）n=m+p （3）设N=100m+10n+p，由题意得n=m+p，m=p+2， ∵N能被3整除， ∴m+n+p=3k（k为正整数）=m+m+p+p=2（m+p）， ∴m+p为3的倍数. 又∵m+p=p+2+p=2（p+1）， ∴p+1是3的倍数，即p=3t-1. ∵0≤p≤9，1≤m=p+2≤9，0≤n=m+p=2p+2≤9， ∴0≤p≤3.5， 又∵p为整数，∴0≤p≤3，且p=3t-1， 当t=1时，p=2，此时m=4，n=6，即这个数为462； 当t=2时，p=5，不符合题意，舍去. 综上，这个数为462. 21.解：（1）如图，建立平面直角坐标系， ∵窑洞顶部最高点O离地面3.75 m，点A离地面2.25 m， ∴3.75-2.25=1.5，∴点A，B的纵坐标为-1.5， ∵AB=4， ∴点A的坐标为（-2，-1.5），点B的坐标为（2，-1.5）， ∵点O为抛物线的顶点， ∴设抛物线的函数表达式为y=ax2， 把A（-2，-1.5）代入y=ax2，得-1.5=4a， 解得a=-，∴抛物线的函数表达式为y=-x2. （2）∵CD离地面3 m，∴3.75-3=0.75， ∴点C，D的纵坐标为-0.75. ∵点C，D在抛物线y=-x2上， ∴将y=0.75代入y=-x2，得-x2=-0.75， 解得x1=-，x2=. ∴C（-，-0.75），D（，-0.75），∴CD=2， ∴8×2=16≈23（m2）. 答：吊顶所需材料的面积约为23 m2. 22.（1）解：如图，连接OA，OC， ∵PA与☉O相切于点A，∴PA⊥OA，∴∠PAO=90°， ∴∠CAO+∠PAC=90°， ∴2∠CAO+2∠PAC=180°. ∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA， ∵∠AOC+∠OAC+∠OCA=180°， ∴∠AOC+2∠OAC=180°，∴∠AOC=2∠PAC， 又∵∠AOC=2∠B，∴∠PAC=∠B. （2）证明：由（1）可得∠PAC=∠B， 又∵∠P=∠P，∴△PAC∽△PBA， ∴=，∴PA2=PB·PC. （3）解：∵∠BAC=45°，∴∠BOC=2∠BAC=90°， ∵☉O的半径为1，∴OA=OB=OC=1， 在Rt△BOC中，由勾股定理得BC===. ∵∠AOB=150°，∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=60°. 又∵OA=OC，∴△OAC是等边三角形， ∴AC=OA=1，∠OAC=60°， ∵BC的延长线与过点A的切线相交于点P， ∴PA⊥OA，∴∠PAO=90°，∴∠OAC+∠PAC=90°， ∵∠OAC=60°，∴∠PAC=30°， ∴∠PAB=∠PAC+∠BAC=45°+30°=75°. ∵∠ABC=∠AOC=30°， ∴∠P=180°-∠ABP-∠BAP=75°， ∴∠ACP=180°-∠P-∠PAC=75°， ∴∠P=∠ACP，∴AP=AC=1. 设PC=x，则PB=PC+BC=x+， 由（2）可得PA2=PB·PC， ∴12=x（x+），∴x2+x-1=0， 解得x=或x=（不符合题意，舍去）， ∴PC的长为. 23.解：（1）如图1，过点C作CE⊥x轴于点D，过点A作AE∥x轴，交CD于点E， ∵点A（a，-3），C（6，b），∴CD=b，DE=3， ∵AE∥BD，∴=，即=， 解得b=2，∴C（6，2）， 把点C（6，2）代入y=，得=2，解得k=12， ∴反比例函数的解析式为y=， 把点A（a，-3）代入y=，得-3=， 解得a=-4，∴A（-4，-3）， 把点A，C的坐标分别代入y=mx+n， 得，解得， ∴一次函数的解析式为y=x-1. （2）如图2，过点M作MN∥y轴，交AC于点N，连接AM，MC， 根据平移可知MN=t， S△AMC=S△AMN+S△CMN=MN·（xM-xA）+MN·（xC-xM）=MN·（xC-xA）=·t·［6-（-4）］=5t， ∵S△AMC=，∴5t=，解得t=. （3）①当正方形A1B1C1D1在直线y=-3x+p下方时， 由，得-3x+p=，整理得3x2-px+12=0， ∵双曲线在直线y=-3x+p上方，任意一点（x1，y1）满足y1≥-3x1+p， ∴直线与双曲线有唯一公共点，∴判别式Δ=0， ∴（-p）2-4×3×12=0，解得p=±12， ∵反比例函数y=（x>0）， ∴直线与双曲线有唯一交点时p=12， ∴此时的“楚河汉界线”为y=-3x+12，如图3， ∵点Q（2，q）是此正方形的中心，∴顶点C1（4，q+2）， 把x=4代入y=-3x+12，得y=0， ∵顶点C1（4，q+2）不能在直线y=-3x+12上方， ∴q+2≤0，解得q≤-2； ②当正方形A1B1C1D1在直线y=-3x+p上方时， 把x=1代入y=，得y=12， 把x=4代入y=，得y=3， 把（1，12）代入y=-3x+p，得12=-3+p，解得p=15， 把x=4代入y=-3x+15，得y=3， ∴（4，3）在直线y=-3x+15上， ∴此时的“楚河汉界线”为y=-3x+15，如图4， 把x=0代入y=-3x+15，得y=15， ∵顶点A1（0，q-2）不能在直线y=-3x+15下方， ∴q-2≥15，解得q≥17. 综上所述，q≤-2或q≥17. 学科网（北京）股份有限公司 $