专题02 二元一次方程组（期中复习讲义+8重难题型+分层验收）七年级数学下学期新教材青岛版

专题02 二元一次方程组（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 判断是否是二元一次方程组 题型02 判断是否是二元一次方程组的解 题型03 解二元一次方程组 题型04 二元一次方程组的特殊解法 题型05 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型06 二元一次方程组的错解复原问题 题型07 方程组相同解问题 题型08 二元一次方程组的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二元一次方程（组）的定义 能准确识别二元一次方程、二元一次方程 组，掌握其“含两个未知数、未知数次数 为1、整式方程”的核心特征。 基础必考点，常出现在选择、填空题，多以 辨析题形式考查，易错点为忽略“整式方程” “未知数次数为1”的条件。 二元一次方程 （组）的解 理解解的定义，能检验一组数是否为方程 （组）的解，能根据解求方程中的参数。 基础高频考点，常与方程求解、参数计算结 合，是后续解题的基础，易出现代入检验不 完整的错误。 代入消元法 熟练掌握代入消元法的步骤，能灵活选择 合适的方程变形，用代入法解二元一次方 程组。 核心必考考点，是解方程组的基础方法，常 出现在解答题，易错点为变形时漏乘、代入 错误。 加减消元法 熟练掌握加减消元法的步骤，能根据系数 特征选择合适的消元方式，用加减法解二 元一次方程组。 核心必考考点，是解方程组的核心方法，常 出现在解答题，易错点为系数化同号/异号时 漏乘、符号错误。 二元一次方程组 的实际应用 能准确审题，找出等量关系，设未知数、 列方程组并求解，检验结果的实际意义。 核心必考考点，常出现在解答题，分值占比 高，贴近生活实际，易错点为等量关系找错、 单位不统一、忘记检验。 知识点01 二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 3. 二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 4. 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 知识点02 二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 知识点03 实际问题与二元一次方程组 知识点04 三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 题型一 判断是否是二元一次方程组 答｜题｜模｜板 1. 先明确结论：该方程组是/不是二元一次方程组。 2. 逐条说明理由：① 方程组共含有2个未知数；② 包含2个整式方程；③ 每个方程中未知数的次数均为1次；④ 分母、根号下不含未知数。 【典例1】下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、最高次项的次数是2，故A不符合题意； B、第二个方程不是整式方程，故B不符合题意； C、为整式方程；含有2个未知数；最高次项的次数是1，故C符合题意； D、整个方程组含有3个未知数，故D不符合题意． 故选：C． 【变式1】 如果方程与下面方程中的一个可以组成二元一次方程组．这个方程可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．方程与组成方程组，有三个未知数，不是二元一次方程组，选项A不符合题意； B．方程与组成方程组，未知数的项最高次数都应是两次，不是二元一次方程组，选项B不符合题意； C．方程与组成方程组，不是整式方程，不是二元一次方程组，选项C不符合题意； D．方程与组成方程组，是二元一次方程组，选项D符合题意； 故知：D． 【变式2】下列方程组中属于二元一次方程组的是（     ） ①，②，③，④． A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【答案】D 【详解】解：①符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； ②不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组， ③有三个未知数，该方程组不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组， ④符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组， 所以，属于二元一次方程组的是①④， 故选：D． 题型二 判断是否是二元一次方程组的解 答｜题｜模｜板 1. 代入验证：将给定的x、y值分别代入方程组的两个方程。 2. 分别计算：代入第一个方程，计算左右两边，说明是否相等、是否满足该方程；代入第二个方程，计算左右两边，说明是否相等、是否满足该方程。 【典例1】下列方程中，解为的二元一次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A：∵， ∴不是方程的解； B：∵， ∴是该方程的解； C：∵， ∴不是方程的解； D：∵， ∴不是方程的解； 故选：B． 【变式1】下列哪对x，y的值是二元一次方程的解（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将代入得，故不符合要求； 将代入得，故不符合要求； 将代入得，故符合要求； 将代入得，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解．解题的关键在于正确的运算． 【变式2】请写出一个二元一次方程组_______，使该方程组解为． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴这个方程组可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 题型三 解二元一次方程组 答｜题｜模｜板 （1）代入消元法 1. 变形：从一个方程中，用含一个未知数的式子表示另一个未知数。 2. 代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程。 3. 求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值。 4. 回代：将求出的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值。 5. 写解：用大括号联立两个未知数的值，作为方程组的解。 （2）加减消元法 1. 变形：给方程两边同乘一个数，使某一未知数的系数相等或互为相反数。 2. 加减：系数相等则两式相减，系数互为相反数则两式相加，消去一个未知数，得到一元一次方程。 3. 求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值。 4. 回代：将求出的值代入原方程组的任意一个方程，求出另一个未知数的值。 5. 写解：用大括号联立两个未知数的值，作为方程组的解。 【典例1】解下列方程组： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 由①，得， 将③代入②得， 解得， 将代入③，得， 所以原方程组的解是； （2）解： 由①，得③， 由②，得④， ③-④得， 所以， 将代入③，得， 所以， 所以原方程组的解是． 【变式1】（1）用代入消元法解方程组：； （2）解方程组    ． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）， 解：由方程②得③， 把③代入①，得， 解得， 把代入③，得， 所以这个方程组的解是； （2）， 解：由方程①得③， 把③代入②，得， 解得， 把代入③，得， 原方程组的解是． 【变式2】解方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：①得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 所以原方程组的解是： （2）解：把①代入②得，， 解得， 把代入①得，， ∴； （3）解：①②得．， ， 把代入②得，， ． 题型四 二元一次方程组的特殊解法 答｜题｜模｜板 （1）整体代入法 1. 识别：找到方程组中相同的代数式，将其看作一个整体。 2. 代入：将整体直接代入另一个方程，消元求解一个未知数。 3. 回代：将求出的未知数代入原方程，求出另一个未知数。 4. 写解：联立两个未知数的值，写出方程组的解。 （2）整体加减法 1. 相加：将两个方程左右两边分别相加，得到简化的方程。 2. 相减：将两个方程左右两边分别相减，得到另一个简化的方程。 3. 联立：将两个简化后的方程联立，用常规方法求解。 4. 写解：联立两个未知数的值，写出方程组的解。 （3）换元法 1. 设元：用新未知数替换方程组中复杂的相同结构。 2. 换元：将原方程组转化为关于新未知数的常规二元一次方程组。 3. 求解：解新方程组，得到新未知数的值。 4. 回代：将新未知数的值还原为原未知数，求解原方程组。 5. 写解：联立两个未知数的值，写出方程组的解。 【典例1】已知二元一次方程组，则___________． 【答案】2 【详解】解：两方程相加，得， ∴， 故答案为：2． 【变式1】已知关于的二元一次方程组的解为，若满足二元一次方程组，则_______． 【答案】2 【详解】解：∵关于的二元一次方程组的解为， 把关于满足二元一次方程组可化为可看作关于和的二元一次方程组， ， ， 故答案为：2． 【变式2】问题提出： 已知实数满足，求的值． 问题探究： 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 问题解决： 利用上面的知识解答下面问题： (1)已知方程组，则的值为__________． (2)请说明在关于的方程组中，无论取何值，的值始终不变． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解： 得，， 故答案为：2； （2）解：， 由，得， ， 无论a取何值，的值始终不变． 题型五 已知二元一次方程组的解的情况求参数 答｜题｜模｜板 1）已知具体解求参数 1. 代入：将已知的解代入原方程组，得到关于参数的方程/方程组。 2. 求解：解关于参数的方程/方程组，求出参数的值。 3. 作答：写出参数的最终结果。 （2）根据解的个数求参数 1. 明确判定：根据方程组解的情况（唯一解/无数解/无解），对应系数比例关系。 2. 列式：根据比例关系列不等式/等式。 3. 求解：解不等式/等式，得到参数的取值或取值范围。 4. 作答：写出参数的最终结果。 【典例1】已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．－1 B．7 C．1 D．2 【答案】C 【详解】解：令方程组， ①－②，得：， ∴， ∵， ∴，解得：， 故选：C． 【变式1】已知关于的二元一次方程组的解互为相反数，则的值为（　　） A．1 B． C．5 D．14 【答案】C 【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解x、y互为相反数， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 【变式2】已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的值为（ ） A． B．1 C．3 D． 【答案】AD 【详解】解：， ①②得， 解得， 为整数，为整数， ， 的值为或． 故选：AD． 题型六 二元一次方程组的错解复原问题 答｜题｜模｜板 1. 区分对错：明确错解满足没看错的方程，正确解满足所有方程。 2. 代入求参：将错解代入无错方程，求出部分参数；将正确解代入看错的方程，求出剩余参数。 3. 还原方程组：用求出的正确参数，还原完整的原方程组。 4. 验证：将正确解代入还原后的方程组，验证无误。 【典例1】甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)，； (2)． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得， ∴甲求得的方程组的解，满足方程，乙求得的方程组的解满足方程， ∴，， ∴，； （2）解：由（）得，，， ∴原方程组为， 由得，， 把代入得，解得， 把代入得，， ∴方程组的解为：． 【变式1】小明在解方程组时，得到的正确解是，小英解这个方程组时，由于把c抄错而得到的解是求方程组中a，b，c的值． 【答案】 【详解】解：将代入得， ， 由②得， 将代入得，， 联立①，③得 解得， ∴． 【变式2】已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值． 【答案】(1)，； (2)； 【详解】（1）解：∵甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为 ∴， 解得； ∵乙由于看错了b，得到方程组的解为 ∴， 解得； （2）由（1）得方程组为， 解得， ∵方程组的解与方程组的解相同， ∴， 解得， ∴． 题型七 方程组相同解问题 答｜题｜模｜板 1. 提取公共：从两个方程组中，取出所有不含参数的方程，联立成新方程组。 2. 求公共解：解新方程组，得到两个方程组的公共解。 3. 代入求参：将公共解代入含参数的方程，得到关于参数的方程组。 4. 求解参数：解关于参数的方程组，求出参数的值。 5. 作答：写出参数的最终结果。 【典例1】关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：解方程组得， 把代入得， 解得：， ∴， 故选：D． 【变式1】如果方程组的解与方程组的解相同，则，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由于两个方程组的解相同，所以这个相同的解是 ， 把 代入方程中其余两个方程得 解得 故选A． 【变式2】已知关于的方程组和的解相同． (1)求方程组的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 方程组和的解相同， ， ，得，解得， 将代入①，得，解得， 方程组的解为； （2）解：由（1）可得是方程和方程的解， ，解得. 题型八 二元一次方程组的应用 答｜题｜模｜板 1. 审：读懂题意，找出题目中的两个等量关系。 2. 设：设两个未知数（直接设所求量为未知数）。 3. 列：根据两个等量关系，列出两个二元一次方程，组成方程组。 4. 解：用消元法解方程组，求出未知数的值。 5. 验：检验解是否符合实际意义（如数量、长度不能为负）。 6. 答：写出完整的答案，注明单位。 【典例1】已知用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨，某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． 【答案】(1)辆型车装满货物一次可运吨，辆型车装满货物一次可运吨 (2)方案一：型车辆，型车辆；方案二：型车辆，型车辆；方案三：型车辆，型车辆 【详解】（1）解：设每辆型车、型车都装满货物一次可以分别运货吨、吨， 依题意列方程组得： ， 解得：． 答：辆型车装满货物一次可运吨，辆型车装满货物一次可运吨． （2）解：结合题意和（1）得：， ∴， ∵、都是正整数， ∴或或． 答：有种租车方案：方案一：型车辆，型车辆；方案二：型车辆，型车辆；方案三：型车辆，型车辆． 【变式1】某服装店用元购进，两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元（毛利润售价进价），这两种服装的进价，标价如表所示． 类型/价格 A型 B型 进价（元/件） 60 100 标价（元/件） 160 (1)请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数； (2)如果种服装按标价的折出售，种服装按标价的折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？ 【答案】(1)购进A型服装件，购进B型服装件 (2)服装店比按标价出售少收入元 【详解】（1）设购进A种服装x件，购进B种服装y件， 根据题意得：， 解得： 答：购进A型服装40件，购进B型服装20件； （2） （元）． 答：服装店比按标价出售少收入元． 【变式2】根据以下素材，完成任务． 解决学校打印机与耗材的购买问题 素材一 校总务处公示前两年学校购进的A型打印机与B型打印机的购买清单，如表所示： A型打印机数量（台） B型打印机数量（台） 购进所需总费用（元） 2022年 10 20 26000 2023年 15 10 19000 素材二 今年校总务处又向学校申请了3800元经费用于采购两种打印机．通过向店家进行咨询，得知今年A型打印机单价不变，B型打印机打八折优惠． 素材三 打印机的耗材包含A4纸以及黑色墨水．校总务处根据统计前两年购买的A4纸以及黑色墨水的总费用，预估今年耗材费用为w元．若购买75本A4纸和105盒黑色墨水，则耗材费用还缺75元；若购买110本A4纸和90盒黑色墨水，则耗材费用还剩50元． 问题解决 任务一 计算商品单价 若2022年与2023年购进的A型与B型打印机的单价不变，求购进A型打印机与B型打印机的单价分别是多少元？ 任务二 探究购买方案 总务处预计将3800元采购经费正好用完，请问有哪几种采购方案？ 任务三 确定耗材费用 在任务二的采购方案中，学校采用购入打印机总数最多的方案．在此基础上，为今年新购入的打印机配置耗材，每台打印机配置3本A4纸与1盒黑色墨水，求学校今年需为这几台新购入的打印机支出多少元的耗材费用？（结果用含w的代数式表示） 【答案】任务一：2023年购进A型打印机的单价为600元，B型打印机的单价是1000元；任务二：有两种购买方案，①购买A型打印机5台，B型打印机1台，②购买A型打印机1台，B型打印机4台 任务三：学校今年需为这几台新购入的打印机支出元的耗材费用 【详解】解：任务一：设2023年购进A型打印机的单价为x元，B型打印机的单价是y元， 则：， 解得：， 答：2023年购进A型打印机的单价为600元，B型打印机的单价是1000元； 任务二：设购买A型打印机a台，B型打印机b台， 则：， ∴方程组的正整数解为：或， ∴有两种购买方案，①购买A型打印机5台，B型打印机1台，②购买A型打印机1台，B型打印机4台； 任务三：方案①共6台打印机，方案②共5台打印机， ∴买6台打印机共需要配置18本A4纸与6盒黑色墨水， 设购买1本A4纸需要m元和1盒黑色墨水需要n元， 则， 方程组可化为：， ∴， ∴学校今年需为这几台新购入的打印机支出元的耗材费用． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、方程组含x，y，z三个未知数，不符合“二元”要求，此选项不符合题意； B、不是整式方程，不符合整式的要求，此选项不符合题意； C、中未知数次数为2，不符合“一次”要求，此选项不符合题意； D、方程组含x，y两个未知数，方程均为整式方程且未知数次数为1，符合二元一次方程组定义，此选项符合题意； 故选：D． 2．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中消元正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、得，，不符合题意，该选项错误； B、得，，不符合题意，该选项错误； C、得，，符合题意，该选项正确； D、得，，不符合题意，该选项错误． 3．已知关于x，y方程组给出下列结论：正确的序号是_______． ①方程组的解也是的解；②x，y值不可能是互为相反数； ③不论取什么实数，的值始终不变；④若，则． 【答案】①③④ 【详解】解：①将方程组中两个方程相加，得 ∴方程组的解也是 的解，故①正确； ②解方程组 得， 当x，y的值互为相反数时， ， 即 解得 ∴当时，x，y的值互为相反数，故②不正确； ③原方程组的解为， ， ∴不论a取什么实数， 的值始终不变，都为 ，故③正确； ④若 则 ， 解得：，故④正确； 综上分析可知， ①③④正确． 故答案为：①③④． 4．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求出a，b的正确值，并计算的值． 【答案】，，0 【详解】解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴当，时，． 5．新考向 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计采购方案． 素材1：为了迎接杭州亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元． 素材2：小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣，共花费130元． 素材3：已知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．临近期中考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在本店购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干（允许只购买一种商品），本次交易商家一共获得600元的销售额． 问题解决： 任务1：假设明信片的售价为x元/套，吉祥物钥匙扣的售价为y元/个，则______（用含x的代数式表示）； 任务2：基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信片的售价； 任务3：【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买方案．在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高． 【答案】任务1：；任务2：吉祥物钥匙扣的售价为30元/个，明信片的售价为10元/套； 任务3：可行的购买方案见解析，在这些购买方案中，购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60套商家获利最高 【详解】任务1：因为一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元，所以， 故答案为． 任务2：因为小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣，共花费130元， 所以， 解得， ． 答：吉祥物钥匙扣的售价为30元/个，明信片的售价为10元/套． 任务3：设购买吉祥物钥匙扣个，明信片套， 根据题意，得，所以． 因为是非负整数， 所以或或或或或 因为每个吉祥物钥匙扣利润为（元），每套明信片利润为（元）， 购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60套，商家获利300元； 购买吉祥物钥匙扣5个，明信片48套，商家获利270元； 购买吉祥物钥匙扣10个，明信片36套，商家获利240元； 购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套，商家获利210元； 购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12套，商家获利180元； 购买吉祥物钥匙扣25个，明信片0套，商家获利150元． 答：可行的购买方案有购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60套；购买吉祥物钥匙扣5个，明信片48套；购买吉祥物钥匙扣10个，明信片36套；购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套；购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12套；购买吉祥物钥匙扣25个，明信片0套．购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60套商家获利最高． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．已知是二元一次方程的两个解，是二元一次方程的两个解，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：是二元一次方程的两个解，是二元一次方程的两个解， 二元一次方程组的解是， 故答案为：A． 2．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：． 3．在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）解：由题意知，是方程组的解， ∴， 解得， ∵乙看错了方程组中的，求得的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴正确的，，的值为：，，； （2）解：当，，时，原方程组变为： ， ①＋②，得：， 解得：， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 4．阅读与思考 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题：已知实数，满足，求和的值． 小明：利用消元法解方程组，得出，的值后，再分别代入和求值． 小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，可通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由，可得，由，可得． 李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用请你参考小逸同学的做法，解决下面的问题． (1)已知二元一次方程组，则______________，_______________． (2)已知关于，的二元一次方程组，若方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)2，16 (2) 【详解】（1）解： 由，可得， 由，可得． 故答案为：2，16； （2）解： 由，可得， 方程组的解满足， ， 解得． 5．根据以下素材，完成任务． 解决挖掘机的租用和保养问题 素材1   为满足市民全龄化健身需求，某地拟新建一座全民健身中心．受施工场地限制，需确保土石方开挖效率达到/小时．经方案比选，决定采用甲、乙两种型号挖掘机协同作业，相关设备技术参数及租赁信息如下表所示： 型号 挖掘土石方量（单位：/台•时） 租金（单位：元/台・时） 甲型 180 240 乙型 270 300 素材2 为确保挖掘机自锁机构稳定运行，需定期开展系统维护保养工作，对失效弹簧及磨损钢球应及时更换．当前维保预算为元，若购买21根弹簧和17颗钢球，则维保预算还缺45元；若购买20根弹簧和15颗钢球，则维保预算还剩25元． 问题解决 任务1 制定租用计划 若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量．甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？ 任务2 探究租用方案 若租用甲、乙两种型号的挖掘机不限台数，且每种型号的挖掘机至少租用1台，恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案？ 任务3 确定维保费用 基于任务2中租金最少的方案，现为每台挖掘机分别配备2根弹簧和1颗钢球，并额外购买1根弹簧和1颗钢球作为备用，则实际维保费用为 元（用含的代数式表示）． 【答案】任务1：甲、乙两种型号的挖掘机各需租用2、6台；任务2：一共有3种方案，①租甲型挖掘机8台，乙型挖掘机2台；②租甲型挖掘机5台，乙型挖掘机4台；③租甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台；任务3： 【详解】解∶任务1 ∶设甲、乙两种型号的挖掘机各需租用x、y台， 根据题意，得， 解得， 答：甲、乙两种型号的挖掘机各需租用2、6台； 任务2：设甲、乙两种型号的挖掘机各需租用m、n台， 根据题意，得， ∴， 又m、n是正整数， ∴或或， ∴一共有3种方案，具体如下： ①租甲型挖掘机8台，乙型挖掘机2台； ②租甲型挖掘机5台，乙型挖掘机4台； ③租甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台； 任务3：任务2中方案的费用如下： ①元；②元；③元； ∵， ∴方案③的费用最少， 设一根弹簧的价格为a元，一颗钢球的价格为b元， 根据题意，得， ∴，， ∴方案③的实际维保费为 （元）， 故答案为：． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二元一次方程组（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 判断是否是二元一次方程组 题型02 判断是否是二元一次方程组的解 题型03 解二元一次方程组 题型04 二元一次方程组的特殊解法 题型05 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型06 二元一次方程组的错解复原问题 题型07 方程组相同解问题 题型08 二元一次方程组的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二元一次方程（组）的定义 能准确识别二元一次方程、二元一次方程 组，掌握其“含两个未知数、未知数次数 为1、整式方程”的核心特征。 基础必考点，常出现在选择、填空题，多以 辨析题形式考查，易错点为忽略“整式方程” “未知数次数为1”的条件。 二元一次方程 （组）的解 理解解的定义，能检验一组数是否为方程 （组）的解，能根据解求方程中的参数。 基础高频考点，常与方程求解、参数计算结 合，是后续解题的基础，易出现代入检验不 完整的错误。 代入消元法 熟练掌握代入消元法的步骤，能灵活选择 合适的方程变形，用代入法解二元一次方 程组。 核心必考考点，是解方程组的基础方法，常 出现在解答题，易错点为变形时漏乘、代入 错误。 加减消元法 熟练掌握加减消元法的步骤，能根据系数 特征选择合适的消元方式，用加减法解二 元一次方程组。 核心必考考点，是解方程组的核心方法，常 出现在解答题，易错点为系数化同号/异号时 漏乘、符号错误。 二元一次方程组 的实际应用 能准确审题，找出等量关系，设未知数、 列方程组并求解，检验结果的实际意义。 核心必考考点，常出现在解答题，分值占比 高，贴近生活实际，易错点为等量关系找错、 单位不统一、忘记检验。 知识点01 二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 3. 二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 4. 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 知识点02 二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 知识点03 实际问题与二元一次方程组 知识点04 三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 题型一 判断是否是二元一次方程组 答｜题｜模｜板 1. 先明确结论：该方程组是/不是二元一次方程组。 2. 逐条说明理由：① 方程组共含有2个未知数；② 包含2个整式方程；③ 每个方程中未知数的次数均为1次；④ 分母、根号下不含未知数。 【典例1】下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】 如果方程与下面方程中的一个可以组成二元一次方程组．这个方程可以是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列方程组中属于二元一次方程组的是（     ） ①，②，③，④． A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 题型二 判断是否是二元一次方程组的解 答｜题｜模｜板 1. 代入验证：将给定的x、y值分别代入方程组的两个方程。 2. 分别计算：代入第一个方程，计算左右两边，说明是否相等、是否满足该方程；代入第二个方程，计算左右两边，说明是否相等、是否满足该方程。 【典例1】下列方程中，解为的二元一次方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列哪对x，y的值是二元一次方程的解（    ） A． B． C． D． 【变式2】请写出一个二元一次方程组_______，使该方程组解为． 题型三 解二元一次方程组 答｜题｜模｜板 （1）代入消元法 1. 变形：从一个方程中，用含一个未知数的式子表示另一个未知数。 2. 代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程。 3. 求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值。 4. 回代：将求出的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值。 5. 写解：用大括号联立两个未知数的值，作为方程组的解。 （2）加减消元法 1. 变形：给方程两边同乘一个数，使某一未知数的系数相等或互为相反数。 2. 加减：系数相等则两式相减，系数互为相反数则两式相加，消去一个未知数，得到一元一次方程。 3. 求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值。 4. 回代：将求出的值代入原方程组的任意一个方程，求出另一个未知数的值。 5. 写解：用大括号联立两个未知数的值，作为方程组的解。 【典例1】解下列方程组： (1)． (2)． 【变式1】（1）用代入消元法解方程组：； （2）解方程组    ． 【变式2】解方程组： (1) (2) (3) 题型四 二元一次方程组的特殊解法 答｜题｜模｜板 （1）整体代入法 1. 识别：找到方程组中相同的代数式，将其看作一个整体。 2. 代入：将整体直接代入另一个方程，消元求解一个未知数。 3. 回代：将求出的未知数代入原方程，求出另一个未知数。 4. 写解：联立两个未知数的值，写出方程组的解。 （2）整体加减法 1. 相加：将两个方程左右两边分别相加，得到简化的方程。 2. 相减：将两个方程左右两边分别相减，得到另一个简化的方程。 3. 联立：将两个简化后的方程联立，用常规方法求解。 4. 写解：联立两个未知数的值，写出方程组的解。 （3）换元法 1. 设元：用新未知数替换方程组中复杂的相同结构。 2. 换元：将原方程组转化为关于新未知数的常规二元一次方程组。 3. 求解：解新方程组，得到新未知数的值。 4. 回代：将新未知数的值还原为原未知数，求解原方程组。 5. 写解：联立两个未知数的值，写出方程组的解。 【典例1】已知二元一次方程组，则___________． 【变式1】已知关于的二元一次方程组的解为，若满足二元一次方程组，则_______． 【变式2】问题提出： 已知实数满足，求的值． 问题探究： 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 问题解决： 利用上面的知识解答下面问题： (1)已知方程组，则的值为__________． (2)请说明在关于的方程组中，无论取何值，的值始终不变． 题型五 已知二元一次方程组的解的情况求参数 答｜题｜模｜板 1）已知具体解求参数 1. 代入：将已知的解代入原方程组，得到关于参数的方程/方程组。 2. 求解：解关于参数的方程/方程组，求出参数的值。 3. 作答：写出参数的最终结果。 （2）根据解的个数求参数 1. 明确判定：根据方程组解的情况（唯一解/无数解/无解），对应系数比例关系。 2. 列式：根据比例关系列不等式/等式。 3. 求解：解不等式/等式，得到参数的取值或取值范围。 4. 作答：写出参数的最终结果。 【典例1】已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．－1 B．7 C．1 D．2 【变式1】已知关于的二元一次方程组的解互为相反数，则的值为（　　） A．1 B． C．5 D．14 【变式2】已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的值为（ ） A． B．1 C．3 D． 题型六 二元一次方程组的错解复原问题 答｜题｜模｜板 1. 区分对错：明确错解满足没看错的方程，正确解满足所有方程。 2. 代入求参：将错解代入无错方程，求出部分参数；将正确解代入看错的方程，求出剩余参数。 3. 还原方程组：用求出的正确参数，还原完整的原方程组。 4. 验证：将正确解代入还原后的方程组，验证无误。 【典例1】甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【变式1】小明在解方程组时，得到的正确解是，小英解这个方程组时，由于把c抄错而得到的解是求方程组中a，b，c的值． 【变式2】已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值． 题型七 方程组相同解问题 答｜题｜模｜板 1. 提取公共：从两个方程组中，取出所有不含参数的方程，联立成新方程组。 2. 求公共解：解新方程组，得到两个方程组的公共解。 3. 代入求参：将公共解代入含参数的方程，得到关于参数的方程组。 4. 求解参数：解关于参数的方程组，求出参数的值。 5. 作答：写出参数的最终结果。 【典例1】关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如果方程组的解与方程组的解相同，则，的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知关于的方程组和的解相同． (1)求方程组的解； (2)求的值． 题型八 二元一次方程组的应用 答｜题｜模｜板 1. 审：读懂题意，找出题目中的两个等量关系。 2. 设：设两个未知数（直接设所求量为未知数）。 3. 列：根据两个等量关系，列出两个二元一次方程，组成方程组。 4. 解：用消元法解方程组，求出未知数的值。 5. 验：检验解是否符合实际意义（如数量、长度不能为负）。 6. 答：写出完整的答案，注明单位。 【典例1】已知用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨，某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． 【变式1】某服装店用元购进，两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元（毛利润售价进价），这两种服装的进价，标价如表所示． 类型/价格 A型 B型 进价（元/件） 60 100 标价（元/件） 160 (1)请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数； (2)如果种服装按标价的折出售，种服装按标价的折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？ 【变式2】根据以下素材，完成任务． 解决学校打印机与耗材的购买问题 素材一 校总务处公示前两年学校购进的A型打印机与B型打印机的购买清单，如表所示： A型打印机数量（台） B型打印机数量（台） 购进所需总费用（元） 2022年 10 20 26000 2023年 15 10 19000 素材二 今年校总务处又向学校申请了3800元经费用于采购两种打印机．通过向店家进行咨询，得知今年A型打印机单价不变，B型打印机打八折优惠． 素材三 打印机的耗材包含A4纸以及黑色墨水．校总务处根据统计前两年购买的A4纸以及黑色墨水的总费用，预估今年耗材费用为w元．若购买75本A4纸和105盒黑色墨水，则耗材费用还缺75元；若购买110本A4纸和90盒黑色墨水，则耗材费用还剩50元． 问题解决 任务一 计算商品单价 若2022年与2023年购进的A型与B型打印机的单价不变，求购进A型打印机与B型打印机的单价分别是多少元？ 任务二 探究购买方案 总务处预计将3800元采购经费正好用完，请问有哪几种采购方案？ 任务三 确定耗材费用 在任务二的采购方案中，学校采用购入打印机总数最多的方案．在此基础上，为今年新购入的打印机配置耗材，每台打印机配置3本A4纸与1盒黑色墨水，求学校今年需为这几台新购入的打印机支出多少元的耗材费用？（结果用含w的代数式表示） 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中消元正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知关于x，y方程组给出下列结论：正确的序号是_______． ①方程组的解也是的解；②x，y值不可能是互为相反数； ③不论取什么实数，的值始终不变；④若，则． 4．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求出a，b的正确值，并计算的值． 5．新考向 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计采购方案． 素材1：为了迎接杭州亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元． 素材2：小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣，共花费130元． 素材3：已知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．临近期中考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在本店购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干（允许只购买一种商品），本次交易商家一共获得600元的销售额． 问题解决： 任务1：假设明信片的售价为x元/套，吉祥物钥匙扣的售价为y元/个，则______（用含x的代数式表示）； 任务2：基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信片的售价； 任务3：【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买方案．在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．已知是二元一次方程的两个解，是二元一次方程的两个解，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 3．在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解． 4．阅读与思考 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题：已知实数，满足，求和的值． 小明：利用消元法解方程组，得出，的值后，再分别代入和求值． 小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，可通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由，可得，由，可得． 李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用请你参考小逸同学的做法，解决下面的问题． (1)已知二元一次方程组，则______________，_______________． (2)已知关于，的二元一次方程组，若方程组的解满足，求的值． 5．根据以下素材，完成任务． 解决挖掘机的租用和保养问题 素材1   为满足市民全龄化健身需求，某地拟新建一座全民健身中心．受施工场地限制，需确保土石方开挖效率达到/小时．经方案比选，决定采用甲、乙两种型号挖掘机协同作业，相关设备技术参数及租赁信息如下表所示： 型号 挖掘土石方量（单位：/台•时） 租金（单位：元/台・时） 甲型 180 240 乙型 270 300 素材2 为确保挖掘机自锁机构稳定运行，需定期开展系统维护保养工作，对失效弹簧及磨损钢球应及时更换．当前维保预算为元，若购买21根弹簧和17颗钢球，则维保预算还缺45元；若购买20根弹簧和15颗钢球，则维保预算还剩25元． 问题解决 任务1 制定租用计划 若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量．甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？ 任务2 探究租用方案 若租用甲、乙两种型号的挖掘机不限台数，且每种型号的挖掘机至少租用1台，恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案？ 任务3 确定维保费用 基于任务2中租金最少的方案，现为每台挖掘机分别配备2根弹簧和1颗钢球，并额外购买1根弹簧和1颗钢球作为备用，则实际维保费用为 元（用含的代数式表示）． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $