压轴02 牛顿运动定律与曲线运动（压轴题专练）（北京专用）2026年高考物理终极冲刺讲练测

压轴02 牛顿运动定律与曲线运动 典例·靶向·突破 题型01 曲线运动的动力学本质 1． 【答案】（1） （2）a．见解析；b．0＜h≤0.2R 【解析】 【小问1详解】 小物块从B处由静止释放到C点的过程中，根据机械能守恒定律得 在C点根据牛顿第二定律得 解得 【小问2详解】 a．小物块离开路面时的临界条件是支持力为0,是凹圆弧，支持力一定不为0； 若小物块能通过D点，则向E点运动时，速度减小，所需向心力变小，但重力的法向分量变大，则支持力变大，一定不会分离。因此，若能分离则必在D位置。 b．若满足小物块能到E点且小物块在D点刚好不离开轨道，则小物块一定能沿路面运动到F点，小物块能通过E点有h＞0； 若小物块从h0高度处静止释放， 在D点刚好不离开有 解得 所以h的取值范围为 题型02 抛体运动 2． 【答案】（1）a.；b. （2） ② 见解析 【详解】（1）a.、两点之间的竖直距离 则BC两点之间的距离。 b.运动员从点水平飞出时的速度大小 （2）若考虑运动员在空中飞行受到的空气阻力的影响，其受力分析如答图所示。 设运动员在水平方向的加速度为，竖直方向的加速度为，飞行时间为。 水平方向， 竖直方向， 根据几何关系，有 联立可得，， 因为，故距离更远，轨迹为②。 题型03 水平面内圆周运动 3． 【答案】（1）a.，b. （2）a.见解析，b.见解析 【详解】（1）a.当转速增大到某一值时，小物体被甩出，此时，最大静摩擦力提供向心力，则 解得 b.小物体被甩出前，加速过程中摩擦力对小物体做的功为 所以 （2）a.小物体所受摩擦力如图所示 b.物体被甩出瞬间，静摩擦力达到最大值 即 设与半径夹角为，在沿半径方向，由牛顿第二定律得 物体被甩落后做平抛运动，两种情况下平抛的飞行时间 相等，由几何关系可知 转速缓慢增大 转速迅速增大 由于        可得 题型04 竖直面内圆周运动 4． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【详解】（1）小球沿弧形轨道运动时，只有重力做功，故合外力做功等于重力做功， 根据动能定理可得 根据重力做功与重力势能变化关系知，重力做正功等于重力势能的减少量，即 联立得 即小球由A运动到B的过程中，机械能保持不变。 （2）小球从N到P，由动能定理可得 将代入解得 在N点，合外力提供向心力，由牛顿第二定律可得 解得 根据牛顿第三定律，小球通过圆轨道N时对轨道的压力 （3）要使小球不脱离轨道，有两种情况： ①小球恰好能通过最高点P点，只有重力提供向心力，即，解得 小球从高度h处静止释放到P点，由动能定理可得 将代入解得 因此当时，小球能通过最高点且不脱离轨道 ②小球上升高度不超过圆心等高处，在圆轨道下半部分运动， 由机械能守恒可得如下不等式，即 综上当或时，小球不脱离轨道。 题型05 变速圆周运动 5． 【答案】D 【详解】A．电子在运动时受到与任意时刻速度方向相同或相反的电场力和洛伦兹力两个力的合力提供向心力，而洛伦兹力和电场力在任意时刻都是垂直的关系，则根据矢量合成法则可知电子运动时的加速度不指向圆心，故A错误； B．由图甲结合安培定则可知电磁铁线圈产生的磁场方向由下向上，而图乙的内线圈中的电流在减小，产生的感应磁场在减弱，由楞次定律可知，真空室中的感生电场的方向从上往下看为逆时针方向，则可知电子在该时间段内不能按图甲中逆时针方向做圆周运动且被加速，故B错误； C．时间内，电磁铁线圈中的电流方向从上往下看为顺时针方向，产生的感应磁场的方向从上往下，而电流在减小，因此产生的磁场在减弱，故真空室中产生的感生电场的方向从上往下看为顺时针，但此时电子所受洛伦兹力的方向不再指向圆心而是反向，背离圆心，由此可知电子在该时间段内也不能按图甲中逆时针方向做圆周运动且被加速，故C错误； D．根据法拉第电磁感应定律有 由 可知 联立以上两式可得 再由 ，， 联立以上各式可得 而当洛伦兹力提供向心力时有 可得 则此时轨道处的感生电场的场强大小为 给等式两边同除以时间可得 而 代入可得 整理后可得 因为时，，因此有 故D正确。 故选D。 题型06 抛体＋圆周复合过程 6． 【答案】（1）1.4N；（2）；（3）31N，方向竖直向上 【详解】（1）由 解得 由 解得 由牛顿第三定律对细线拉力 （2）小球平抛运动 解得 可得 设小球与地面碰撞时的速度与水平夹角为，则有 （3）竖直方向，根据动量定理可得 解得 方向竖直向上。 题型07 约束曲线运动极值与数理结合 7． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）依据平抛运动学的公式 解得 （2）根据 解得 故 题型08 实际情境曲线运动建模 8． 【答案】（1） （2） （3） 【详解】（1）小石片第一次抛出做平抛运动， 联立解得， 小石片第一次接触水面前瞬间的速度 （2）小石片第一次弹起时竖直方向的速度 小石片从第一次弹起到第二次碰撞水面的时间 小石片从抛出后到第二次与水面接触所经历的时间 （3）小石片第一次弹起时水平方向的速度 小石片第二次接触水面处与抛出点的水平距离 1． 【答案】（1）a．，b．；（2）a．，b．见解析 【详解】（1）a．依题意，当物体的速度方向与水平方向夹角为60°时，此时物体速率为 b．由牛顿第二定律，依题意有 则此时的曲率半径为 （2）a．小球B在x方向上的“影子”和小球A在x轴上的位置时时重合，可知小球A的运动为小球B在水平方向上的分运动，小球A在O点的时瞬时速度即为小球B匀速圆周运动的速度大小；以小球A为研究对象，设它经过平衡位置O时的速度为v，当它从最大位移处运动到O，根据机械能守恒有 解得 则角速度与劲度系数k必须满足的关系为 b．小球A振动的周期与小球B做圆周运动的周期相等。根据圆周运动周期公式，小球B的运动周期 所以小球A的振动周期为 可知弹簧振子的运动周期与其振幅无关。 2． 【答案】（1）；（2）a.在Ox方向上做速度为v0cosα的匀速直线运动，在垂直Ox方向上做半径为，周期的匀速圆周运动；b.；（3） 【详解】（1）质点转动一圈所用的时间为 质点3轨迹的“螺距”为 解得 （2）将带电粒子的运动速度沿磁场方向和垂直于磁场方向分解 根据洛伦兹力的特点，垂直于磁场方向的分运动使粒子在垂直于磁场方向上做圆周运动，根据牛顿第二定律 解得 ， 所以带电粒子在Ox方向上做速度为的匀速直线运动，在垂直于Ox方向上做半径为、周期的匀速圆周运动。 求带电粒子轨迹的“螺距” （3）在地球上看来，嫦娥五号的轨迹为半径很大的圆形弹簧，其螺距等于月球绕地球运动的线速度与嫦娥五号绕月球的周期相乘。 地月间的引力提供月球绕地球转动的向心力 月球与嫦娥五号的引力提供嫦娥五号绕月球圆周运动的向心力 轨迹的“螺距” 联立解得 3． 【答案】（1） （2） （3）正确，见解析 【详解】（1）滑雪运动员从A点到B点做平抛运动，竖直方向有 根据几何关系可知，A点与B点的距离为 （2）根据几何关系可知，A点到B点的水平位移大小为 又 解得运动员离开A点时的速度大小为 （3）所有的运动员从A点水平飞出后，落到斜坡上时的速度方向与水平方向的夹角为，根据平抛运动规律有 又 联立可得 可知为定值，即所有的运动员从A点水平飞出后，落到斜坡上时的速度方向都相同。 4． 【答案】D 【详解】初速度最小时，水平位移最小即沿中线方向水平发射恰好过球网 竖直方向自由落体运动此时从发球点到球网，下降高度为 水平方向匀速直线运动 可得最小初速度 初速度最大时，水平位移最大即斜向对方台面的两个角发射 水平方向匀速运动 竖直方向 解得 符合条件的速度范围 所以平抛的初速度 故选D。 5． 【答案】C 【详解】AB．根据平抛运动规律，从抛出到绳子恰好绷直， 几何关系 联立三式可得 则， 可知绳绷直时与杆的夹角 且绷直前瞬间B球速度与水平方向的夹角也为 此时B球的速度大小 故AB错误； C．绳子绷直过程中，B球所受总冲量沿绳由B指向A，B球的动量减小，故B球的速度减小，但方向不变，设绷直后瞬间A、B球的速度分别为，根据水平方向动量守恒有 由A、B球沿绳方向速度相同 联立两式解得， 故C正确； D．对B球用动量定理分析，绳子对B球的冲量大小为，则 所以绳子对B冲量大于，故D错误。 故选C。 6． 【答案】C 【详解】A．当细绳拉直时，设细绳与水平方向的夹角为θ，如图所示，因细绳与两半径构成等边三角形，则θ＝90°－60°＝30°，球做圆周运动的半径为 在水平方向上，由牛顿第二定律有F支cosθ＋F拉cosθ＝mω2r 在竖直方向上，由平衡条件有F支sinθ＝mg＋F拉sinθ 当F拉＝0时，解得 当F拉＝2mg时，解得。 圆环角速度ω等于时，ω＜ω1，细绳处于松弛状态，小球仅受重力和圆环支持力的作用，A正确； B．圆环角速度ω等于时，ω1＜ω＜ω2，小球受到重力、圆环支持力和细绳拉力的作用，B正确； C．圆环角速度ω等于2时，ω＜ω2，细绳没有断裂，C错误； D．圆环角速度ω大于时，细绳断开，小球受到重力和圆环支持力的作用，D正确。 此题选择不正确的，故选C。 7． 【答案】（1） （2）5×104J （3）， 【详解】（1）对游客进行分析。根据牛顿第二定律有 解得 （2）根据能量守恒定律有 解得 （3）质点匀速圆周运动的加速度大小 令经历时间Δt，质点匀速圆周运动转过的圆心角为α，则有 根据矢量合成可知，加速度的变化量大小为 则急动度 解得 当时间Δt→0时有 解得 代入数据解得 合力随时间的变化率 解得 8． 【答案】（1） （2）a．；b． 【详解】（1）设机翼所受升力为，则将正交分解可得 联立方程可得 （2）a．以导弹和喷出的气体为研究对象，喷气过程中系统动量守恒，以地面为参考系 可得 b．方法一：以喷出的气体为研究对象，设喷气过程中气体受到的平均作用力为，由动量定理 得到 由牛顿第三定律，导弹获得的平均推力大小也为 方法二：以导弹为研究对象，由动量定理可得 解方程可得 9． 【答案】D 【详解】AB．由于地球自转的影响，轨道对列车的支持力为，则有 当列车以相对地面的速度为，沿水平轨道向东行驶，轨道对列车的支持力为，则 联立解得减小的压力为 故AB错误； C．在地球南半球，由南向北运动的高铁，在地球偏向力的作用下会向前进的方向的左偏转，则在前进方向上对轨道的左侧压力大于右侧压力，故C错误； D．在北半球，物体会在前进的方向的右侧偏转，故北京天文馆里的傅科摆在摆动过程中，摆动平面沿顺时针方向（俯视）不断偏转，故D正确。 故选D。 10． 【答案】D 【详解】AB．根据牛顿第二定律可知 解得 由图像可知 可得小球的质量 由 可得重力加速度，故选项AB错误； C．小球质量不变，用更长的绳做实验，由可知得到的图线斜率更小，故C错误； D．用更长的绳做实验，由可知得到的图线与纵轴交点的位置不变，故D正确。 故选D。 11． 【答案】B 【详解】A.在小球运动的过程中，图1小球受拉力与重力的作用，只有重力做功，图2小球受拉力、重力和电场力的作用，重力和电场力均做功，故图1小球机械能守恒，图2小球机械能不守恒，故A错误； B.分析图1小球和图3小球，在相同位置时沿运动方向的受力相同，则图1小球和图3小球运动情况相同，可知；对图2小球，电场力与重力的合力为等效重力，则其等效重力加速度变大，根据周期公式可知周期变小，因此三种情况下小球运动的周期关系为，，故B正确； C.图1小球与图3小球在最低点速度相同，对图1小球有； 对图3小球有； 则，故C错误； D. 小球第一次到达轨迹最低点的过程中，图1小球受拉力与重力的作用，只有重力做正功；图2小球受拉力、重力和电场力的作用，重力和电场力均做正功；图3小球受拉力、重力和洛伦兹力的作用，只有重力做正功。根据动能定理可知，小球第一次到达轨迹最低点时的速度大小关系为，故D错误。 故选B。 12． 【答案】（1）a．，b．（2）a. ，b. 【详解】（1）a．由动能定理，当第n次穿过MN两板间开始作第n圈绕行时 洛伦兹力提供向心力 第n圈的半径 b．同步加速器因其旋转半径始终保持不变，因此磁场必须周期性递增，洛伦兹力作向心力 所以第n圈绕行的磁感应强度为 （2）a．磁感应强度的变化率 根据法拉第电磁感应定律有 根据闭合电路欧姆定律有 0~t0时间内圆环中产生的焦耳热 b．根据法拉第电磁感应定律有 根据电动势定义有 由上可得 小球所受感生电场的作用力为 在感生电场力的作用下，小球速度不断增加，将其转化为沿直线运动，小球做匀加速直线运动，加速度大小 由运动学公式得小球运动的路程为 小球运动的圈数 13． 【答案】CD 【详解】AB．由题图可知，图像关于t1时刻左右对称，故t1时刻小球通过最高点，面积S1表示的是小球从最低点运动到水平直径最左端位置的过程中通过的水平位移大小，等于轨道半径；S2表示的是从水平直径最左端位置运动到最高点的过程中通过的水平位移大小，也等于轨道半径，故AB错误； C．由图可知，小球从t1时刻开始运动到第一次与圆心等高位置过程中，水平方向的速度先增大后减小，故在t1时刻轻杆对小球的弹力为支持力，而t2时刻小球水平方向的速度最大，故t2时刻杆对小球无弹力，故C正确； D．由C的分析可知，小球通过最高点时杆对小球的弹力为支持力，在接下来的四分之一圆周上，杆对小球的弹力先是支持力后来变为拉力，一定存在一个杆对小球的弹力为零的位置，该位置关于过圆心的竖直线对称的位置弹力也为零，故在小球做一次完整圆周动的过程中，杆中弹力一定两次为零，故D正确。 故选CD。 14． 【答案】（1）见解析 （2）a. ，；b. 见解析 【详解】（1）若物体由图中的A点运动到B点，AB圆弧所对圆心角为，如图所示 可知三角形与三角形相似，则三角形为等腰三角形，根据几何关系得 A点到B点的时间为 解得A点到B点的平均加速度为 当圆心角θ趋近于零（）时，则有 可得 （2）a. 物块在抛出点P时，重力刚好与速度方向垂直，则有 解得该轨迹在抛出点P的曲率半径为 物块从抛出点P和落地点Q过程做平抛运动，则有 ， 解得 则物块在落地点Q的速度大小为 物块在落地点Q的速度方向与水平方向的夹角满足 可得 则在落地点Q有 解得该轨迹在落地点Q的曲率半径为 b. 物块做平抛运动过程经过某点的速度大小为，与水平方向的夹角为，该点的曲率半径为，则有 现制作一个与小物块平抛轨迹完全相同的光滑轨道，并将该轨道固定在与PQ曲线重合的位置，让物块从顶端P沿该轨道无初速下滑，物块下滑到与平抛运动同一点时，重力做功相同，但平抛运动具有一定的初速度，所以物块无初速下滑时经过同一点的速度小于物块做平抛运动经过同一点的速度，则有 可知轨道对物块有支持力作用，所以小物块在落地前不会脱离轨道。 15． 【答案】（1）a．；b． （2）a．；b． 【详解】（1）a．若忽略万有引力大小的变化，不考虑地球自转，有 得 物体上升到最高点所用的时间 b．若考虑万有引力的变化，则高度越高重力加速度越小，故物体做加速度减小的减速运动，上升到最高点所用时间 定性画出物体上升阶段的图像，并标出物体上升到最高点的时间，如图所示 （2）a．若忽略万有引力大小的变化，则导弹做圆周运动的向心加速度 沿垂直地面方向做竖直上抛运动，导弹在空中运动的时间为 b．导弹上升到最大高度时，垂直地面方向的速度为零，只剩下平行地面的速度，故此时导弹的速度大小为，导弹上升到最高点过程中，根据机械能守恒定律有 解得 16． 【答案】（1）1.5R （2）a．3mg，方向竖直向上；b． 【详解】（1）如果管道与小球接触的内侧壁始终对小球没有弹力，则小球到达最高点时的最小速度满足 从开始下落到到达管的最高点，由机械能守恒 解得 则小球释放点距离A点的最小高度为1.5R。 （2）a．在B点，管壁对小球的弹力 F=9mg 小球做圆周运动，由牛顿第二定律可得 小球从B点到达管道最高点E的过程中，由动能定理可得 在E点由牛顿第二定律可得 联立解得 根据牛顿第三定律可知小球运动到管道最高点E时对管道的弹力为3mg，方向竖直向上。 b．小球从B点到达管道最高点过程中，由动能定理可得 小球离开管道后做平抛运动，在竖直方向上有 在水平方向上 解得 则落点C与A的水平距离为。 17． 【答案】（1） （2） （3） 【详解】（1）滑块2从A到B滑行过程，由动能定理： 代入 解得碰撞前滑块2的速度 碰撞过程时间极短，动量守恒，滑块1初始静止： 解得碰后共同速度： （2）损失的机械能等于碰撞前后总动能之差： 代入数值计算得： （3）碰后从B到C，轨道光滑，机械能守恒，上升高度为： 代入 解得C点速度满足 C点向心力由重力和轨道压力共同提供（圆心向下，合力向下），由向心力公式： 代入数值解得： 18． 【答案】D 【详解】A．从B点到D点，由竖直方向h1＝gt22 水平方向x＝vt2 从B点到C点，在竖直方向h1－h2＝g 水平方向x＝vt1 联立解得h1＝1.8h2 故A错误； B．若初速度太小，则不能过网，故B错误； CD．球刚好过网又压线（刚好不出界）时，有h1′－h2＝gt32，x＝vt3，h1′＝g，2x＝vt4 联立解得h1′＝h2 所以h1必须大于或等于h2，球才能过网且不出界（h1小于h2时，球要么不过网，要么出界），故C错误，D正确。 故选D。 19． 【答案】B 【详解】A．对小球受力分析，如图 由牛顿第二定律，可得 ， 根据几何关系，有 联立，解得 故A正确，不满足题意要求； B．根据线速度与角速度关系，可得 故B错误，满足题意要求； CD．对容器受力分析，如图 水平方向由平衡条件可得 又 联立解得 竖直方向由平衡条件可得 根据牛顿第三定律，可得底座对地面的压力为 故CD正确，不满足题意要求。 故选B。 20． 【答案】（1）方向竖直向上，；（2）；（3） 【详解】（1）b点速度的方向竖直向上，速度大小为 （2）c点绕做圆周运动，因此具有分速度 方向垂直于c点和悬臂构成的平面向里；假设旋盘与悬臂之间是完全固定连在一起的，则旋盘与悬臂一起绕轴转动，其上各点绕轴转动的角速度都相同，又由于摆动到最低点时，c点与悬臂在同一竖直面内，因此c点绕做圆周运动的半径 与悬臂一起转动而具有的分速度 方向在c点和悬臂构成的平面内，垂直和c的连线斜向下。这两个分速度之间互相垂直，因此悬臂在位置②时c点的速度大小 （3）对游客从a点到c点的过程应用动能定理，有 代入可得 21． 【答案】（1）；（2）；（3）当时作用力最大， （0，，0） 【详解】（1）由动能定理知电机对弹丸所做的功为 （2）由弹性碰撞，在垂直于靶标平面方向速度变化量大小为 对弹丸，由动量定理 由牛顿第三定律知，弹丸对靶标作用力为 （3）当时，即枪口水平对准正前方射击，作用力最大；弹丸做平抛运动，沿y方向有 沿z方向有 得 则击中的靶标位置坐标为（0，，0）。 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴02 牛顿运动定律与曲线运动 命题预测 牛顿运动定律与曲线运动是北京高考物理必考压轴模块，以计算题压轴、选择题压轴、实验综合形式出现，命题聚焦数理结合、模型建构、临界极值、实际情境四大方向。近几年北京卷显著强化航天科技、体育竞技、新型装备、圆周＋抛体复合过程等高阶情境，强调用动力学观点分析曲线运动的向心力、切向力、合外力，突出矢量性、瞬时性、相对性。 预计2026年北京三模与高考仍以复杂圆周运动、抛体关联运动、复合曲线过程、临界约束条件为核心，侧重多对象、多过程、多约束下的动力学综合分析，区分度高、逻辑链长，是高分必破专题。 高频考法 1. 曲线运动的动力学本质 2. 抛体运动的分解思想、关联速度、临界射程/射高分析 3. 水平面内圆周运动向心力来源、临界滑动、临界脱离、静摩擦极值 4. 竖直面内圆周运动轻绳/轻杆/圆弧轨道三类模型与临界速度 5. 圆周运动的动态受力与功能关联 6. 抛体＋圆周复合过程的衔接速度、受力突变、能量传递 7. 约束条件下曲线运动的多变量极值、数理方程求解 8. 实际科技情境曲线运动建模 知识·技法·思维 考向01 曲线运动的动力学本质 1. 核心判定与矢量分解： · 物体做曲线运动的条件：合外力与速度不共线，合外力指向轨迹凹侧。 · 力的分解：法向分力提供向心力（改变速度方向），切向分力产生切向加速度（改变速度大小）。 · 匀变速曲线运动：合外力恒定（大小、方向均不变），加速度恒定；变加速曲线运动：合外力变化（大小/方向至少一个变化）。 2. 轨迹与受力的关系： · 轨迹弯曲程度由法向合外力大小决定，力越大弯曲越显著。 · 速度方向始终为轨迹切线方向，合外力与速度夹角决定速率增减。 3. 解题思路： · 曲线运动必沿法向、切向分解力与加速度，法向列向心力方程，切向列牛顿第二定律方程。 考向02 抛体运动（分解＋临界＋关联） 1. 一般抛体统一模型： · 任意抛体均可沿初速度方向与垂直初速度方向分解，垂直方向为匀变速，平行方向为匀速。 · 等效重力场：将恒力（重力 + 电场力等）合成为等效重力，转化为类抛体运动。 2. 斜抛运动： · 速度矢量对称，最高点竖直速度为0，水平速度恒定。 · 逆向思维：斜抛可逆向视为平抛运动，简化临界计算。 3. 临界与极值模型： · 恰好越过障碍物：轨迹与障碍物相切，切点为最高点。 · 最小抛出速度：轨迹与约束边界相切时速度最小。 · 相遇问题：同一时刻水平、竖直位移均相等。 4. 解题思路： · 约束抛体优先用逆向法、矢量三角形、等效重力场，避免复杂方程。 考向03 水平面内圆周运动（临界＋极值） 1. 向心力： · 水平面圆周运动：竖直方向合力为0，向心力由水平方向合外力提供。 · 常见向心力来源：静摩擦力、支持力分量、拉力、洛伦兹力。 2. 三大临界模型： · 静摩擦临界：，对应最大/最小角速度。 · 绳拉物体临界：绳拉力，物体即将滑动。 · 转台/圆盘临界：物体即将滑动，静摩擦达最大值。 3. 圆锥摆通式与结论： · → · 角速度越大，摆角越大；周期与质量无关。 4. 注意： · 严格区分竖直平衡、水平向心力，不将重力计入向心力。 考向04 竖直面内圆周运动（三类模型＋临界） 1. 轻绳模型（无支撑）： · 最高点临界：→ · 最高点：；最低点： · 能完成完整圆周的条件：在最高点 2. 轻杆模型（有支撑）： · 最高点临界速度： · 时杆弹力为0；时为支持力，时为拉力。 3. 圆弧轨道模型： · 等效轻绳模型，脱离临界条件：轨道支持力。 4. 超失重判断： · 向心加速度竖直向下→失重。 · 向心加速度竖直向上→超重。 考向05 变速圆周运动（双加速度＋动态受力） 1. 核心特征： · 合外力不指向圆心，同时存在：法向加速度（改变v的方向），切向加速度（改变v的大小） 2. 方程列写：法向：，切向：。 3. 功率与做功： · 向心力与速度垂直，功率为0，不做功；切向力做功，改变动能。 4. 动态临界： · 转速缓慢变化时视为准静态过程，逐位置列向心力方程。 考向06 抛体＋圆周复合过程 1. 衔接关键： · 前一过程末速度＝后一过程初速度（大小、方向完全一致）。 · 衔接点满足：速度相切、受力突变、轨道连续。 2. 分析流程： · 分段建模→确定衔接速度→判断受力突变→法向/切向分列方程→联立求解。 3. 高频模型： · 平抛→圆弧、斜抛→圆周、圆周→抛体、多圆弧衔接。 4. 解题思路： · 画速度矢量图确定法向，优先使用动能定理处理多过程能量变化。 考向07 约束曲线运动极值与数理结合 1. 常见约束条件： · 最大静摩擦、最小速度、最大拉力、支持力为0、轨迹相切、空间障碍。 2. 数理方法： · 三角函数极值、二次函数最值、不等式、几何相切条件、导数极值。 3. 极值物理本质： · 极值点对应临界状态（、、速度极值）。 4. 解题思路： · 找临界条件→建物理方程→用数学工具→验证物理合理性。 考向08 实际情境曲线运动建模 1. 航天与航空建模： · 卫星变轨、返回舱再入（万有引力＋切向推力，视为变加速曲线运动）。 2. 体育与装备建模： · 链球、赛车转弯、无人机盘旋（简化为水平面/竖直面圆周，忽略次要阻力）。 3. 机械与工程建模：离心装置、旋转部件：用向心力＋临界滑动分析。 4. 建模原则： · 抓法向/切向分解、抓临界约束、抓等效重力，抽象为标准曲线模型。 典例·靶向·突破 题型01 曲线运动的动力学本质 1．（25-26高三上·北京东城·期末）为激发学生参与体育活动的兴趣，某学校计划修建滑板训练的场地，设计了如图所示的路面，其中AB是倾角为53°的斜面，凹圆弧BCD和凸圆弧DEF的半径均为R，D、F等高，B、E等高，整个路面不计摩擦且各段之间平滑连接。已知重力加速度为g，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。 （1）从B处由静止释放一个质量为m的小物块，求小物块经过最低点C时受到的支持力大小FN。 （2）在斜面上距离B点高度为h（未知）处，由静止释放小物块。 a．改变h，可以使小物块在滑动过程中离开路面。请判断小物块在图中哪个位置离开路面，并说明理由。 b．若小物块能沿路面运动到F点，求h的取值范围。 【答案】（1） （2）a．见解析；b．0＜h≤0.2R 【解析】 【小问1详解】 小物块从B处由静止释放到C点的过程中，根据机械能守恒定律得 在C点根据牛顿第二定律得 解得 【小问2详解】 a．小物块离开路面时的临界条件是支持力为0,是凹圆弧，支持力一定不为0； 若小物块能通过D点，则向E点运动时，速度减小，所需向心力变小，但重力的法向分量变大，则支持力变大，一定不会分离。因此，若能分离则必在D位置。 b．若满足小物块能到E点且小物块在D点刚好不离开轨道，则小物块一定能沿路面运动到F点，小物块能通过E点有h＞0； 若小物块从h0高度处静止释放， 在D点刚好不离开有 解得 所以h的取值范围为 题型解码 此类问题以滑板场地路面模型为载体，考查曲线运动的动力学本质，解题时需抓住支持力为零的脱离临界条件，结合机械能守恒与牛顿第二定律分段分析，明确凹、凸圆弧轨道的受力差异，体现 “由受力定运动、由临界定范围” 的核心分析思路。 题型02 抛体运动 2．（25-26高三上·北京海淀·期中）如图所示为跳台滑雪赛道的简化示意图，助滑道与起跳平台平滑连接，长直着陆坡与水平面的夹角。质量为的运动员（含装备）沿助滑道从点下滑，到达起跳平台末端点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后落在着陆坡上的点。从起跳平台末端到着陆点之间的距离是评判运动员比赛成绩的重要依据。取重力加速度，，。 （1）不考虑空气对运动员的作用。运动员从点运动到点的过程中，在空中飞行时间。求： a.、两点之间的距离。 b.运动员从点水平飞出时的速度大小。 （2）考虑空气对运动员的作用。运动员在空中飞行的过程中，假设空气对运动员的作用力的方向与竖直方向夹角恒为11°，如图所示，力的大小恒为运动员所受重力的，取，。 运动员仍以（1）b的速度从点水平飞出，若不考虑空气对运动员的作用，运动员的运动轨迹如图中①所示；若考虑空气对运动员的作用，判断运动员的运动轨迹可能是图中的______（选填“①”“②”或“③”）。并通过计算说明判断依据______。 【答案】（1）a.；b. （2） ② 见解析 【详解】（1）a.、两点之间的竖直距离 则BC两点之间的距离。 b.运动员从点水平飞出时的速度大小 （2）若考虑运动员在空中飞行受到的空气阻力的影响，其受力分析如答图所示。 设运动员在水平方向的加速度为，竖直方向的加速度为，飞行时间为。 水平方向， 竖直方向， 根据几何关系，有 联立可得，， 因为，故距离更远，轨迹为②。 题型解码 此类问题以跳台滑雪情境为载体，考查抛体运动的分解与临界计算，解题时需将运动分解为水平匀速、竖直匀变速两个分运动，结合着陆坡的几何约束联立求解，考虑空气阻力时需重新进行受力分析，体现 “分解法、临界法、等效法” 的统一应用。 题型03 水平面内圆周运动 3．（24-25高三上·北京海淀·期中）转动被淋湿的雨伞，雨水会被甩落到地面。某同学观察到，在雨伞加速转动过程中水滴被甩落，他猜想雨伞转速增加的快慢不同，水滴落点的远近也会不同。为了验证猜想，他设计了一个实验。 如图所示，半径为R的水平圆盘在电机带动下可绕中心轴转动，且通过控制电机调整圆盘转速，转速可以缓慢增大，也可以迅速增大。圆盘静止时，在其边缘处放一质量为m的小物体。已知小物体与圆盘间动摩擦因数为μ，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 （1）圆盘初始静止，控制电机，让圆盘的转速缓慢增大。当转速增大到某一值时，小物体被甩出。求： a．小物体被甩出时圆盘角速度的大小ω0； b．小物体被甩出前，加速过程中摩擦力对小物体做的功W。 （2）通过研究小物体被甩出后落到水平地面的情况，可以模拟水滴从雨伞边缘甩落的情况。设在圆盘转速缓慢增大的情况下，小物体被甩出后的落点到中心轴的距离为L1；在圆盘转速迅速增大的情况下，小物体被甩出后的落点到中心轴的距离为L2。 a．在图中，画出在圆盘转速迅速增大的情况下，小物体所受摩擦力f的示意图； b．写出在圆盘转速迅速增大的情况下，小物体被甩出瞬间所受摩擦力f与瞬时速度v的关系式，并由此比较L1和L2的大小关系。（注意：解答中需要用到、但题目中没有给出的物理量，要在解题过程中做必要的说明） 【答案】（1）a.，b. （2）a.见解析，b.见解析 【详解】（1）a.当转速增大到某一值时，小物体被甩出，此时，最大静摩擦力提供向心力，则 解得 b.小物体被甩出前，加速过程中摩擦力对小物体做的功为 所以 （2）a.小物体所受摩擦力如图所示 b.物体被甩出瞬间，静摩擦力达到最大值 即 设与半径夹角为，在沿半径方向，由牛顿第二定律得 物体被甩落后做平抛运动，两种情况下平抛的飞行时间 相等，由几何关系可知 转速缓慢增大 转速迅速增大 由于        可得 题型解码 此类问题以水平圆盘转动模型为载体，考查水平面内圆周运动的临界条件与功能关系，解题时需明确最大静摩擦力提供临界向心力，区分转速缓慢增大与迅速增大的受力差异，结合平抛运动规律比较落点远近，强化 “临界角速度、受力分解、平抛关联” 的考查。 题型04 竖直面内圆周运动 4．（25-26高三上·北京海淀·月考）游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来，如图甲所示。我们把这种情形抽象为如图乙所示的模型：弧形轨道的最低点N与竖直圆轨道平滑相接，P为圆轨道的最高点。使小球（可视为质点）从弧形轨道上端滚下，小球进入圆轨道下端后沿圆轨道运动。不考虑小球运动所受的摩擦等阻力。 （1）小球沿弧形轨道运动的过程中，经过某一位置A时动能为Ek1，重力势能为Ep1，经过另一位置B时动能为Ek2，重力势能为Ep2。请根据动能定理和重力做功的特点，证明：小球由A运动到B的过程中，总的机械能保持不变，即； （2）已知圆形轨道的半径为R，将质量为m的小球从弧形轨道某一高度处由静止释放，小球通过最高点P时的速度为。求：小球通过圆轨道最低点N时对轨道的压力F大小； （3）已知圆形轨道的半径为R，将另一质量为M的小球，从弧形轨道距地面高h处由静止释放。请通过分析、计算，说明小球不脱离轨道h所要满足的条件。 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【详解】（1）小球沿弧形轨道运动时，只有重力做功，故合外力做功等于重力做功， 根据动能定理可得 根据重力做功与重力势能变化关系知，重力做正功等于重力势能的减少量，即 联立得 即小球由A运动到B的过程中，机械能保持不变。 （2）小球从N到P，由动能定理可得 将代入解得 在N点，合外力提供向心力，由牛顿第二定律可得 解得 根据牛顿第三定律，小球通过圆轨道N时对轨道的压力 （3）要使小球不脱离轨道，有两种情况： ①小球恰好能通过最高点P点，只有重力提供向心力，即，解得 小球从高度h处静止释放到P点，由动能定理可得 将代入解得 因此当时，小球能通过最高点且不脱离轨道 ②小球上升高度不超过圆心等高处，在圆轨道下半部分运动， 由机械能守恒可得如下不等式，即 综上当或时，小球不脱离轨道。 题型解码 此类问题以过山车模型为载体，考查竖直面内圆周运动三类模型与临界条件，解题时需掌握轻绳、轻杆、圆弧轨道的临界速度差异，结合机械能守恒定律分析最低点与最高点的速度关系，明确不脱离轨道的两种临界情况，体现 “模型化、临界化、能量化” 的解题思路。 题型05 变速圆周运动 5．（20-21高三下·北京海淀·月考）电子感应加速器是利用感生电场使电子加速的设备。它的基本原理如图甲所示，图的上部分为侧视图，上、下为电磁铁的两个磁极，磁极之间有一个环形真空室，电子在真空室中做圆周运动。甲图的下部分为真空室的俯视图，电子从电子枪右端逸出，当电磁铁线圈电流的大小与方向变化满足相应的要求时，电子在真空室中沿虚线圆轨迹运动，不断地被加速。若某次加速过程中，电子圆周运动轨迹的半径为R，圆形轨迹上的磁场为，圆形轨迹区域内磁场的平均值记为（由于圆形轨迹区域内各处磁场分布可能不均匀，即为穿过圆形轨道区域内的磁通量与圆的面积比值）。电磁铁中通有如图乙所示的电流，设图甲装置中标出的电流方向为正方向。下列说法正确的是（　　） A．电子在运动时的加速度始终指向圆心 B．电子在图乙的内能按图甲中逆时针方向做圆周运动且被加速 C．电子在图乙的内能按图甲中逆时针方向做圆周运动且被加速 D．为使电子被控制在圆形轨道上不断被加速，与之间应满足 【答案】D 【详解】A．电子在运动时受到与任意时刻速度方向相同或相反的电场力和洛伦兹力两个力的合力提供向心力，而洛伦兹力和电场力在任意时刻都是垂直的关系，则根据矢量合成法则可知电子运动时的加速度不指向圆心，故A错误； B．由图甲结合安培定则可知电磁铁线圈产生的磁场方向由下向上，而图乙的内线圈中的电流在减小，产生的感应磁场在减弱，由楞次定律可知，真空室中的感生电场的方向从上往下看为逆时针方向，则可知电子在该时间段内不能按图甲中逆时针方向做圆周运动且被加速，故B错误； C．时间内，电磁铁线圈中的电流方向从上往下看为顺时针方向，产生的感应磁场的方向从上往下，而电流在减小，因此产生的磁场在减弱，故真空室中产生的感生电场的方向从上往下看为顺时针，但此时电子所受洛伦兹力的方向不再指向圆心而是反向，背离圆心，由此可知电子在该时间段内也不能按图甲中逆时针方向做圆周运动且被加速，故C错误； D．根据法拉第电磁感应定律有 由 可知 联立以上两式可得 再由 ，， 联立以上各式可得 而当洛伦兹力提供向心力时有 可得 则此时轨道处的感生电场的场强大小为 给等式两边同除以时间可得 而 代入可得 整理后可得 因为时，，因此有 故D正确。 故选D。 题型解码 此类问题以电子感应加速器模型为载体，考查变速圆周运动的双加速度特征与动态受力，解题时需明确法向提供向心力、切向改变速度大小，结合楞次定律与法拉第电磁感应定律分析感生电场与洛伦兹力的作用，体现 “双加速度、场力结合、动态约束” 的高阶考查。 题型06 抛体＋圆周复合过程 6．（2024·北京·模拟预测）如图所示，把一个质量的小钢球用细线悬挂起来，就构成一个摆。悬点O距地面的高度，摆长。将摆球拉至摆线与竖直方向成37°角的位置，由静止释放，忽略空气阻力，取重力加速度，。 （1）求小球运动到最低点时对细线拉力的大小F； （2）若小球运动到最低点时细线断了，小球沿水平方向抛出，求它与地面碰撞时的速度方向； （3）若小球与地面发生弹性碰撞（即水平分速度不变，竖直分速度大小不变，方向反向），碰撞时间求碰撞过程中小球受到地面的平均作用力N。 【答案】（1）1.4N；（2）；（3）31N，方向竖直向上 【详解】（1）由 解得 由 解得 由牛顿第三定律对细线拉力 （2）小球平抛运动 解得 可得 设小球与地面碰撞时的速度与水平夹角为，则有 （3）竖直方向，根据动量定理可得 解得 方向竖直向上。 题型解码 此类问题以单摆＋平抛复合模型为载体，考查抛体与圆周复合过程的衔接与能量传递，解题时需抓住圆周最低点的速度衔接，细线断裂后按平抛运动处理，弹性碰撞时利用动量定理分析作用力，体现 “多过程、分阶段、抓衔接” 的解题逻辑。 题型07 约束曲线运动极值与数理结合 7．（18-19高三上·北京东城·期中）某校排球训练馆内，在标准的排球训练场地上（底线到球网的水平距离为），某女同学正在“底线上”练习跳发球，该同学每次抛球的高度基本相同，约为，其起跳击球时恰好是排球上升到最高点的时刻且每次排球均被水平击出，已知，由于排球网有些松弛，中间部分网高实际测量结果为，未达到标准网高，若不计空气阻力，设当地重力加速度为 （1）为使发出去的排球不触网，她击球速度不得低于多少? （2）为使排球能落入另一侧场内，试求她击球的速度的取值范围。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）依据平抛运动学的公式 解得 （2）根据 解得 故 题型解码 此类问题以排球发球训练为载体，考查约束条件下曲线运动的极值与数理结合，解题时需抓住 “恰好不触网、恰好不出界” 双重临界，利用平抛运动规律求解速度范围，体现 “临界条件、数理方程、实际情境” 的统一。 题型08 实际情境曲线运动建模 8．（25-26高三上·北京·月考）如图甲是一幅名为“打水漂儿”的画，画中是很多人儿时玩过的一种游戏：在河岸边将小石片水平抛出，石片碰到水面时并不会直接沉入水中，而是擦着水面再次弹起飞行，跳跃数次后沉入水中。如图乙所示，现有一人在池塘边距水面高度为处，将一小石片以初速度水平抛出，若小石片每次与水面接触后，竖直方向的分速度反向，大小变为接触前的，水平方向的分速度方向不变，大小变为接触前的，空气阻力及小石片与水面接触的时间可忽略不计，重力加速度。求： （1）小石片第一次接触水面前瞬间的速度v； （2）小石片从抛出到第二次与水面接触所经历的时间t； （3）小石片从抛出到第二次与水面接触时与抛出点间的水平距离x。 【答案】（1） （2） （3） 【详解】（1）小石片第一次抛出做平抛运动， 联立解得， 小石片第一次接触水面前瞬间的速度 （2）小石片第一次弹起时竖直方向的速度 小石片从第一次弹起到第二次碰撞水面的时间 小石片从抛出后到第二次与水面接触所经历的时间 （3）小石片第一次弹起时水平方向的速度 小石片第二次接触水面处与抛出点的水平距离 题型解码 此类问题以“打水漂儿”游戏为载体，考查实际科技情境的曲线运动建模，解题时需将真实过程抽象为分段平抛 + 弹性碰撞模型，抓住竖直、水平分速度的变化规律，分步列式求解时间与位移，体现 “建模、分解、递推” 的核心方法。 1．（2022·北京·三模）从分解的角度研究某一运动是物理学分析问题的基本方法，其中即可以沿着固定的方向进行分解（固定不动的直角坐标系），也可以始终沿着平行速度与垂直速度方向进行分解（自然坐标系）。 （1）将一物体以速度水平抛出，若重力加速度为g，且不计空气阻力。那么当物体的速度方向与水平方向夹角为60°时，求： a．此时物体速率的大小； b．此时物体运动对应的曲率半径的大小（提示：研究曲线运动时，尽管曲线各个位置的弯曲程度不一样，但在研究时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，如图1所示）。 （2）如图2所示，把一个有孔的小球A装在轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在沿水平x轴的光滑杆上，能够在杆上自由振动。另一小球B在竖直平面内以为圆心，在电动机的带动下，沿顺时针方向做半为径R的匀速圆周运动。用竖直向下的平行光照射小球B，然后调节B球转动的角速度，可以实现小球B在x方向上的“影子”和小球A在x轴上的位置时时重合。已知弹簧劲度系数为k，小球A的质量为m，小球B的角速度为。 a．要实现这一现象，请推导角速度与劲度系数k必须满足的关系； b．结合a的结论，请论证弹簧振子的运动周期与其振幅无关。 【答案】（1）a．，b．；（2）a．，b．见解析 【详解】（1）a．依题意，当物体的速度方向与水平方向夹角为60°时，此时物体速率为 b．由牛顿第二定律，依题意有 则此时的曲率半径为 （2）a．小球B在x方向上的“影子”和小球A在x轴上的位置时时重合，可知小球A的运动为小球B在水平方向上的分运动，小球A在O点的时瞬时速度即为小球B匀速圆周运动的速度大小；以小球A为研究对象，设它经过平衡位置O时的速度为v，当它从最大位移处运动到O，根据机械能守恒有 解得 则角速度与劲度系数k必须满足的关系为 b．小球A振动的周期与小球B做圆周运动的周期相等。根据圆周运动周期公式，小球B的运动周期 所以小球A的振动周期为 可知弹簧振子的运动周期与其振幅无关。 2．（2022·北京东城·一模）人们通常利用运动的合成与分解，把比较复杂的机械运动等效分解为两个或多个简单的机械运动进行研究。下列情境中物体的运动轨迹都形似弹簧，其运动可分解为沿轴线的匀速直线运动和垂直轴线的匀速圆周运动。 （1）情境1：在图1甲所示的三维坐标系中，质点1沿方向以速度v做匀速直线运动，质点2在平面内以角速度做匀速圆周运动。质点3同时参与质点1和质点2的运动，其运动轨迹形似弹簧，如乙图所示。质点3在完成一个圆周运动的时间内，沿方向运动的距离称为一个螺距，求质点3轨迹的“螺距”； （2）情境2：如图2所示为某磁聚焦原理的示意图，沿方向存在匀强磁场B，一质量为m、电荷量为q、初速度为的带正电的粒子，沿与夹角为的方向入射，不计带电粒子的重力。 a．请描述带电粒子在方向和垂直方向的平面内分别做什么运动； b．求带电粒子轨迹的“螺距”。 （3）情境3：2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月壤回到地球。登月前，嫦娥五号在距离月球表面高为h处绕月球做匀速圆周运动，嫦娥五号绕月的圆平面与月球绕地球做匀速圆周运动的平面可看作垂直，如图3所示。已知月球的轨道半径为r，月球半径为R，且，地球质量为，月球质量为，嫦娥五号质量为，引力常量为G。求嫦娥五号轨迹的“螺距”。 【答案】（1）；（2）a.在Ox方向上做速度为v0cosα的匀速直线运动，在垂直Ox方向上做半径为，周期的匀速圆周运动；b.；（3） 【详解】（1）质点转动一圈所用的时间为 质点3轨迹的“螺距”为 解得 （2）将带电粒子的运动速度沿磁场方向和垂直于磁场方向分解 根据洛伦兹力的特点，垂直于磁场方向的分运动使粒子在垂直于磁场方向上做圆周运动，根据牛顿第二定律 解得 ， 所以带电粒子在Ox方向上做速度为的匀速直线运动，在垂直于Ox方向上做半径为、周期的匀速圆周运动。 求带电粒子轨迹的“螺距” （3）在地球上看来，嫦娥五号的轨迹为半径很大的圆形弹簧，其螺距等于月球绕地球运动的线速度与嫦娥五号绕月球的周期相乘。 地月间的引力提供月球绕地球转动的向心力 月球与嫦娥五号的引力提供嫦娥五号绕月球圆周运动的向心力 轨迹的“螺距” 联立解得 3．（25-26高三上·北京朝阳·月考）滑雪是冬奥会的比赛项目之一。如图所示，跳台的斜坡与水平面的夹角，滑雪运动员从A点沿水平方向飞出，经过落到斜坡上的B点。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。求： （1）A点与B点的距离； （2）运动员离开A点时的速度大小； （3）小张同学说所有的运动员从A点水平飞出后，落到斜坡上时的速度方向都相同，请你论证他的说法是否正确。 【答案】（1） （2） （3）正确，见解析 【详解】（1）滑雪运动员从A点到B点做平抛运动，竖直方向有 根据几何关系可知，A点与B点的距离为 （2）根据几何关系可知，A点到B点的水平位移大小为 又 解得运动员离开A点时的速度大小为 （3）所有的运动员从A点水平飞出后，落到斜坡上时的速度方向与水平方向的夹角为，根据平抛运动规律有 又 联立可得 可知为定值，即所有的运动员从A点水平飞出后，落到斜坡上时的速度方向都相同。 4．（2026高三·北京·专题练习）一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为。若乒乓球的发射速率为v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】初速度最小时，水平位移最小即沿中线方向水平发射恰好过球网 竖直方向自由落体运动此时从发球点到球网，下降高度为 水平方向匀速直线运动 可得最小初速度 初速度最大时，水平位移最大即斜向对方台面的两个角发射 水平方向匀速运动 竖直方向 解得 符合条件的速度范围 所以平抛的初速度 故选D。 5．（2025高三·北京·专题练习）如图所示，水平放置、足够长的光滑杆上套有一小球，小球通过一长度为的不可伸长的轻绳与小球相连，小球的质量均为。将小球放置于小球的正下方处，并以初速度水平抛出，为重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．绳子恰好绷直时，其与的夹角为 B．绳子绷直前瞬间，小球的速度大小为 C．绳子绷直后瞬间，小球的速度大小为 D．绳子绷直前后，绳子对B球的冲量大小为 【答案】C 【详解】AB．根据平抛运动规律，从抛出到绳子恰好绷直， 几何关系 联立三式可得 则， 可知绳绷直时与杆的夹角 且绷直前瞬间B球速度与水平方向的夹角也为 此时B球的速度大小 故AB错误； C．绳子绷直过程中，B球所受总冲量沿绳由B指向A，B球的动量减小，故B球的速度减小，但方向不变，设绷直后瞬间A、B球的速度分别为，根据水平方向动量守恒有 由A、B球沿绳方向速度相同 联立两式解得， 故C正确； D．对B球用动量定理分析，绳子对B球的冲量大小为，则 所以绳子对B冲量大于，故D错误。 故选C。 6．（2026高三·北京·专题练习）如图所示，放于竖直面内的光滑金属细圆环半径为R，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为R的细绳一端系于球上，另一端系于圆环最低点，绳能承受的最大拉力为2mg，重力加速度的大小为g，当圆环以角速度ω绕竖直直径转动时，下列说法不正确的是（　　） A．圆环角速度ω等于时，小球受到2个力的作用 B．圆环角速度ω等于时，小球受到3个力的作用 C．圆环角速度ω等于2时，细绳将断裂 D．圆环角速度ω大于时，小球受到2个力的作用 【答案】C 【详解】A．当细绳拉直时，设细绳与水平方向的夹角为θ，如图所示，因细绳与两半径构成等边三角形，则θ＝90°－60°＝30°，球做圆周运动的半径为 在水平方向上，由牛顿第二定律有F支cosθ＋F拉cosθ＝mω2r 在竖直方向上，由平衡条件有F支sinθ＝mg＋F拉sinθ 当F拉＝0时，解得 当F拉＝2mg时，解得。 圆环角速度ω等于时，ω＜ω1，细绳处于松弛状态，小球仅受重力和圆环支持力的作用，A正确； B．圆环角速度ω等于时，ω1＜ω＜ω2，小球受到重力、圆环支持力和细绳拉力的作用，B正确； C．圆环角速度ω等于2时，ω＜ω2，细绳没有断裂，C错误； D．圆环角速度ω大于时，细绳断开，小球受到重力和圆环支持力的作用，D正确。 此题选择不正确的，故选C。 7．（2025·北京·三模）图甲为游乐园中“空中飞椅”的娱乐设施，中央是一个由电动机驱动的水平转盘，转盘的边缘固定许多绳子，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上，随着转盘的加速，人的高度也逐渐上升。可将上述装置做如图乙所示的简化：人和座椅视为质量为m=100kg的质点；绕竖直轴OO′无摩擦转动的转盘视为质量为M=4000kg、半径为R=3m的匀质圆盘；长为l=5m的轻绳不可伸长。圆盘从静止开始缓慢加速转动，经过一段时间后，圆盘匀速转动，此时绳与竖直方向的夹角为θ=37°。空中飞椅和游客数均为N=10，不计空气阻力和其他摩擦，取重力加速度大小g=10m/s2，sin37°=0.6。 （1）求圆盘匀速转动的角速度ω。 （2）对于定轴转动的物体，其动能可表示为，对于匀质转盘，电动机的效率为η=0.9。求圆盘从静止到匀速转动的过程电动机消耗的电能。（结果保留1位有效数字） （3）加速度对时间的变化率叫做“急动度”，汽车工程师常常用急动度来评判乘客不舒适程度的指标，急动度越大，乘客将会觉得越不舒适。求匀速转动时，质点急动度的大小j以及合力随时间的变化率。 【答案】（1） （2）5×104J （3）， 【详解】（1）对游客进行分析。根据牛顿第二定律有 解得 （2）根据能量守恒定律有 解得 （3）质点匀速圆周运动的加速度大小 令经历时间Δt，质点匀速圆周运动转过的圆心角为α，则有 根据矢量合成可知，加速度的变化量大小为 则急动度 解得 当时间Δt→0时有 解得 代入数据解得 合力随时间的变化率 解得 8．（24-25高三上·北京丰台·期末）在2024年11月12日开幕的第十五届中国国际航空航天博览会上，歼-35A隐形战斗机惊艳亮相。 （1）战斗机飞行时，机翼受到空气的升力，升力垂直于机翼所在平面向上。当战斗机以速率在水平面内做匀速圆周运动时，机翼与水平面夹角为（如图所示）。求战斗机做圆周运动的半径。 （2）战斗机在某次导弹发射训练中，以水平速度挂弹飞行，接到命令后将总质量为的导弹释放，释放后，导弹在极短时间内向飞行的反方向喷出质量为的气体，气体相对于地面的速率为，且方向与导弹的运动方向相反。求： a．喷气后导弹相对地面的速率； b．喷气过程中，导弹获得的平均反冲作用力的大小。 【答案】（1） （2）a．；b． 【详解】（1）设机翼所受升力为，则将正交分解可得 联立方程可得 （2）a．以导弹和喷出的气体为研究对象，喷气过程中系统动量守恒，以地面为参考系 可得 b．方法一：以喷出的气体为研究对象，设喷气过程中气体受到的平均作用力为，由动量定理 得到 由牛顿第三定律，导弹获得的平均推力大小也为 方法二：以导弹为研究对象，由动量定理可得 解方程可得 9．（24-25高三下·北京海淀·开学考试）阅读下面两则材料，回答问题。 材料I：理论和实验证明：由于地球自转的原因，向东高速行驶的列车对水平轨道的压力与其处于静止状态时对水平轨道的压力相比较，显著减少。这种现象称为“厄缶效应”。如图所示，设想在地球赤道线上，有一个总质量为的高速列车正在以相对地面的速度为，沿水平轨道向东行驶。已知地球半径为，地球自转周期为，地球视为质量均匀的完美球体。这列车运动过程中与静止状态比较，分析对水平轨道显著减小的压力。 材料II：当物体相对于地球表面运动时，会受到“地转偏向力”的影响。“地转偏向力”不是物体真实受到的力，是由于地球自转而产生的惯性效应。其原因是：除南北两极外，地球上各纬度的自转角速度相同，但自转线速度不同。在北半球，物体由北向南运动的过程中，由于惯性，物体随地球自转的线速度相对地表显得慢了，因此表现出向前进方向的右侧偏转的现象。“地转偏向力”对地球上所有移动的物体，例如运行的高铁、火箭发射等都会产生影响，“地转偏向力”在极地最显著，向赤道方向逐渐减弱直到消失在赤道处。1851年，法国物理学家傅科在巴黎的教堂用摆长、直径约、质量为的铁球制成的单摆（傅科摆），通过观察“地转偏向力”对单摆运动产生的影响可以证实地球在自转。 根据以上两则材料信息，结合所学知识，下面分别与材料对应的选项，说法正确的是（　　） A．材料I中，若列车在赤道自东向西以相对地面为行驶，增大的压力为 B．材料I中，减小的压力为 C．材料II中，在地球南半球，由南向北运动的高铁，在前进方向上对轨道的左侧压力小于右侧压力 D．材料II中，北京天文馆里的傅科摆在摆动过程中，摆动平面沿顺时针方向（俯视）不断偏转 【答案】D 【详解】AB．由于地球自转的影响，轨道对列车的支持力为，则有 当列车以相对地面的速度为，沿水平轨道向东行驶，轨道对列车的支持力为，则 联立解得减小的压力为 故AB错误； C．在地球南半球，由南向北运动的高铁，在地球偏向力的作用下会向前进的方向的左偏转，则在前进方向上对轨道的左侧压力大于右侧压力，故C错误； D．在北半球，物体会在前进的方向的右侧偏转，故北京天文馆里的傅科摆在摆动过程中，摆动平面沿顺时针方向（俯视）不断偏转，故D正确。 故选D。 10．（25-26高三下·北京西城·开学考试）如图所示，长为且不可伸长的轻绳一端固定在点，另一端系一小球，使小球在竖直面内做圆周运动。由于阻力的影响，小球每次通过最高点时速度大小不同。测量小球经过最高点时速度的大小、绳子拉力的大小，作出与的关系图线如图所示。下列说法中正确的是（　　） A．根据图线可得重力加速度 B．根据图线可得小球的质量 C．小球质量不变，用更长的绳做实验，得到的图线斜率更大 D．用更长的绳做实验，得到的图线与纵轴交点的位置不变 【答案】D 【详解】AB．根据牛顿第二定律可知 解得 由图像可知 可得小球的质量 由 可得重力加速度，故选项AB错误； C．小球质量不变，用更长的绳做实验，由可知得到的图线斜率更小，故C错误； D．用更长的绳做实验，由可知得到的图线与纵轴交点的位置不变，故D正确。 故选D。 11．（24-25高三下·北京·阶段练习）用轻质绝缘细绳悬挂带正电的小球，小球可视为质点，如图1所示。将装置分别放入图2所示的匀强电场，图3所示的匀强磁场中。将小球从偏离竖直方向左侧的一个小角度位置由静止释放，在图中三种情况下，小球均在竖直平面内周期性往复运动，周期分别为、、，小球第1次到达轨迹最低点时的速度大小分别为、、，拉力大小分别为、、，不计空气阻力。图中三种情况，下列说法正确的是（　　） A．图1和图2的小球在运动过程中机械能都守恒 B．三个小球运动的周期大小关系 C．三个小球第1次到达最低点时拉力大小关系 D．三个小球第1次到达最低点时的速度大小关系 【答案】B 【详解】A.在小球运动的过程中，图1小球受拉力与重力的作用，只有重力做功，图2小球受拉力、重力和电场力的作用，重力和电场力均做功，故图1小球机械能守恒，图2小球机械能不守恒，故A错误； B.分析图1小球和图3小球，在相同位置时沿运动方向的受力相同，则图1小球和图3小球运动情况相同，可知；对图2小球，电场力与重力的合力为等效重力，则其等效重力加速度变大，根据周期公式可知周期变小，因此三种情况下小球运动的周期关系为，，故B正确； C.图1小球与图3小球在最低点速度相同，对图1小球有； 对图3小球有； 则，故C错误； D. 小球第一次到达轨迹最低点的过程中，图1小球受拉力与重力的作用，只有重力做正功；图2小球受拉力、重力和电场力的作用，重力和电场力均做正功；图3小球受拉力、重力和洛伦兹力的作用，只有重力做正功。根据动能定理可知，小球第一次到达轨迹最低点时的速度大小关系为，故D错误。 故选B。 12．（20-21高二上·北京海淀·期末）各种加速器在装置上的类似性，源于它们在原理上的类似性。 （1）我们熟知经典回旋加速器如图（甲）所示，带电粒子从M处经狭缝中的高频交流电压加速，进入与盒面垂直的匀强磁场的两个D形盒中做圆周运动，循环往复不断被加速，最终离开加速器。另一种同步加速器，基本原理可以简化为如图（乙）所示模型，带电粒子从M板进入高压缝隙被加速，离开N板时；两板的电荷量均立即变为零；离开N板后，在匀强磁场的导引控制下回旋反复通过加速电场区不断加速，但带电粒子的旋转半径始终保持不变。已知带电粒子A的电荷量为+q，质量为m，带电粒子第一次进入磁场区时，两种加速器的磁场均为B0，加速时狭缝间电压大小都恒为U，设带电粒子最初进入狭缝时的初速度为零，不计粒子受到的重力，不计粒子加速时间及其做圆周运动产生的电磁辐射，不考虑磁场变化对粒子速度的影响及相对论效应。 a．经典回旋加速器，带电粒子在不断被加速后，其在磁场中的旋转半径也会不断增加，求加速n次后，rn的大小； b．同步加速器因其旋转半径R始终保持不变，因此磁场必须周期性递增，请推导Bn的表达式； （2）空间存在有一圆柱形的半径为r的匀强磁场区域，其横截面如图2所示，磁感应强度随时间按照图3所示的规律均匀变化。图中B0和t0为已知量。 a. 用电阻为R的细导线做成半径为r的圆环（图中未画出），圆环平面垂直于该磁场，圆环的中心与磁场中心重合。圆环半径小于该磁场的横截面半径。求 0~ t0时间内圆环中产生的焦耳热Q。 b. 现将导体圆环替换成一个用绝缘细管做成的半径为r的封闭圆形管道，且圆形管道的中心与磁场区域的中心重合（图中未画出）。管道内有一小球，小球质量为m，带电量为+q。忽略小球的重力和一切阻力。t=0时小球静止,求t= t0时小球运动的圈数。 【答案】（1）a．，b．（2）a. ，b. 【详解】（1）a．由动能定理，当第n次穿过MN两板间开始作第n圈绕行时 洛伦兹力提供向心力 第n圈的半径 b．同步加速器因其旋转半径始终保持不变，因此磁场必须周期性递增，洛伦兹力作向心力 所以第n圈绕行的磁感应强度为 （2）a．磁感应强度的变化率 根据法拉第电磁感应定律有 根据闭合电路欧姆定律有 0~t0时间内圆环中产生的焦耳热 b．根据法拉第电磁感应定律有 根据电动势定义有 由上可得 小球所受感生电场的作用力为 在感生电场力的作用下，小球速度不断增加，将其转化为沿直线运动，小球做匀加速直线运动，加速度大小 由运动学公式得小球运动的路程为 小球运动的圈数 13．（24-25高三上·北京海淀·月考）（多选题）如图甲所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动。现使小球在竖直平面内做圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度 vx随时间t的变化关系如图乙所示。不计空气阻力。下列说法中正确的是（　　） A．t1时刻小球通过最高点，图乙中S1和 S2的面积不相等 B．t2时刻小球通过最高点，图乙中 S1和 S2的面积相等 C．t1时刻的杆中弹力一定大于t2时刻的杆中弹力 D．在小球做一次完整圆周运动的过程中，杆中弹力一定两次为零 【答案】CD 【详解】AB．由题图可知，图像关于t1时刻左右对称，故t1时刻小球通过最高点，面积S1表示的是小球从最低点运动到水平直径最左端位置的过程中通过的水平位移大小，等于轨道半径；S2表示的是从水平直径最左端位置运动到最高点的过程中通过的水平位移大小，也等于轨道半径，故AB错误； C．由图可知，小球从t1时刻开始运动到第一次与圆心等高位置过程中，水平方向的速度先增大后减小，故在t1时刻轻杆对小球的弹力为支持力，而t2时刻小球水平方向的速度最大，故t2时刻杆对小球无弹力，故C正确； D．由C的分析可知，小球通过最高点时杆对小球的弹力为支持力，在接下来的四分之一圆周上，杆对小球的弹力先是支持力后来变为拉力，一定存在一个杆对小球的弹力为零的位置，该位置关于过圆心的竖直线对称的位置弹力也为零，故在小球做一次完整圆周动的过程中，杆中弹力一定两次为零，故D正确。 故选CD。 14．（24-25高三上·北京海淀·月考）匀速圆周运动和平抛是两种最典型的曲线运动。 （1）当物体做匀速圆周运动时，可以通过速度变化的情况来确定加速度的大小和方向。请用运动学的方法证明：一个物体做匀速圆周运动，其线速度大小为v，圆的半径为R（如图所示）时，则其加速度大小为。（已知角度θ很小时, 有） （2）研究一般曲线运动（如平抛）时，可以把这条曲线分割为很多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。质点所受合力可以沿运动方向和垂直运动方向分解，沿切向的部分使质点速度大小改变，垂直切向部分提供质点运动方向改变所需要的向心力满足：，其中v为质点在该点的瞬时速度，r为该点等效圆周运动半径（即曲率半径）。一个可以看作质点的物块以初速度离开桌面做平抛运动，桌面离地高度为，当地重力加速度为。 a. 物块运动的轨迹为抛物线，求该轨迹在抛出点P和落地点Q的曲率半径。 b. 现制作一个与小物块平抛轨迹完全相同的光滑轨道，并将该轨道固定在与PQ曲线重合的位置，让物块从顶端P沿该轨道无初速下滑，试通过计算，分析说明小物块在落地前是否会脱离轨道。 【答案】（1）见解析 （2）a. ，；b. 见解析 【详解】（1）若物体由图中的A点运动到B点，AB圆弧所对圆心角为，如图所示 可知三角形与三角形相似，则三角形为等腰三角形，根据几何关系得 A点到B点的时间为 解得A点到B点的平均加速度为 当圆心角θ趋近于零（）时，则有 可得 （2）a. 物块在抛出点P时，重力刚好与速度方向垂直，则有 解得该轨迹在抛出点P的曲率半径为 物块从抛出点P和落地点Q过程做平抛运动，则有 ， 解得 则物块在落地点Q的速度大小为 物块在落地点Q的速度方向与水平方向的夹角满足 可得 则在落地点Q有 解得该轨迹在落地点Q的曲率半径为 b. 物块做平抛运动过程经过某点的速度大小为，与水平方向的夹角为，该点的曲率半径为，则有 现制作一个与小物块平抛轨迹完全相同的光滑轨道，并将该轨道固定在与PQ曲线重合的位置，让物块从顶端P沿该轨道无初速下滑，物块下滑到与平抛运动同一点时，重力做功相同，但平抛运动具有一定的初速度，所以物块无初速下滑时经过同一点的速度小于物块做平抛运动经过同一点的速度，则有 可知轨道对物块有支持力作用，所以小物块在落地前不会脱离轨道。 15．（25-26高三上·北京通州·开学考试）物理模型对于研究有重要意义，研究中要根据解决问题的需要对模型进行改进和优化，以提高其可靠性和实用性。已知地球质量为，可视为质量均匀分布的半径为的球体，引力常量为，不考虑地球自转。 （1）在地球表面将物体以初速度竖直上抛 a．若忽略万有引力的变化，物体上升过程的图像如图1所示。求重力加速度的大小及物体上升到最高点所用的时间； b．若考虑万有引力的变化，在图1中定性画出物体上升阶段的图像，标出物体上升到最高点的时间。 （2）在地球赤道表面发射洲际导弹，导弹发射速度的大小为，方向与地面的夹角为，如图2所示。 a．若忽略万有引力大小的变化，某同学提出将导弹的运动分解为绕地心的匀速圆周运动与垂直地球表面的匀变速直线运动。求导弹在空中运动的时间； b．若考虑万有引力大小的变化，受同学启发，另一同学将导弹的运动分解为绕地心的匀速圆周运动与垂直地球表面的变加速直线运动。已知取无穷远处的引力势能为0，质量为的物体在距地心为处的引力势能。求导弹距离地面的最大高度。 【答案】（1）a．；b． （2）a．；b． 【详解】（1）a．若忽略万有引力大小的变化，不考虑地球自转，有 得 物体上升到最高点所用的时间 b．若考虑万有引力的变化，则高度越高重力加速度越小，故物体做加速度减小的减速运动，上升到最高点所用时间 定性画出物体上升阶段的图像，并标出物体上升到最高点的时间，如图所示 （2）a．若忽略万有引力大小的变化，则导弹做圆周运动的向心加速度 沿垂直地面方向做竖直上抛运动，导弹在空中运动的时间为 b．导弹上升到最大高度时，垂直地面方向的速度为零，只剩下平行地面的速度，故此时导弹的速度大小为，导弹上升到最高点过程中，根据机械能守恒定律有 解得 16．（24-25高三上·北京海淀·月考）如图所示，竖直平面内的圆弧形光滑管道半径略大于小球半径，管道中心到圆心距离为R，A端与圆心O等高，AD 为水平面，B端在O 的正下方，小球自 A 点正上方由静止释放，自由下落至 A 点时进入管道 （1）如果管道与小球接触的内侧壁（图中较小的圆周）始终对小球没有弹力，小球释放点距离A点的最小高度为多大? （2）如果小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小为小球重力大小的9倍。求： a. 小球运动到管道最高点E时对管道的弹力； b. 落点C与A的水平距离。 【答案】（1）1.5R （2）a．3mg，方向竖直向上；b． 【详解】（1）如果管道与小球接触的内侧壁始终对小球没有弹力，则小球到达最高点时的最小速度满足 从开始下落到到达管的最高点，由机械能守恒 解得 则小球释放点距离A点的最小高度为1.5R。 （2）a．在B点，管壁对小球的弹力 F=9mg 小球做圆周运动，由牛顿第二定律可得 小球从B点到达管道最高点E的过程中，由动能定理可得 在E点由牛顿第二定律可得 联立解得 根据牛顿第三定律可知小球运动到管道最高点E时对管道的弹力为3mg，方向竖直向上。 b．小球从B点到达管道最高点过程中，由动能定理可得 小球离开管道后做平抛运动，在竖直方向上有 在水平方向上 解得 则落点C与A的水平距离为。 17．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）如图所示，半径的竖直半圆形光滑轨道BC与水平面AB相切，AB距离，质量的小滑块1放在半圆形轨道末端的B点，另一质量也为的小滑块2，从A点以的初速度在水平面上滑行，两滑块相碰，碰撞时间极短，碰后两滑块粘在一起滑上半圆形轨道，已知滑块2与水平面之间的动摩擦因数，取重力加速度，两滑块均可视为质点，求： （1）碰后瞬间两滑块共同的速度大小v； （2）两滑块在碰撞过程中损失的机械能； （3）在C点轨道对两滑块的作用力大小F。 【答案】（1） （2） （3） 【详解】（1）滑块2从A到B滑行过程，由动能定理： 代入 解得碰撞前滑块2的速度 碰撞过程时间极短，动量守恒，滑块1初始静止： 解得碰后共同速度： （2）损失的机械能等于碰撞前后总动能之差： 代入数值计算得： （3）碰后从B到C，轨道光滑，机械能守恒，上升高度为： 代入 解得C点速度满足 C点向心力由重力和轨道压力共同提供（圆心向下，合力向下），由向心力公式： 代入数值解得： 18．（2025高三·北京·专题练习）运动员李娜是中国网球的骄傲，有着辉煌的网球生涯。李娜将球在边界A的正上方B点水平向右垂直于球网击出，球恰好过网C落在D处，示意图如图所示，不计空气阻力，已知AB＝h1，AC＝x，CD＝，网高为h2，下列说法中正确的是（重力加速度为g）（　　） A．击球点高度h1与球网的高度h2之间的关系为h1＝1.5h2 B．若保持击球高度不变，球的初速度v0只要不大于，就一定落在对方界内 C．任意降低击球高度（仍高于h2），只要球的初速度合适（球仍水平击出），球一定能落在对方界内 D．在h1大于h2情况下，只要球的初速度合适（球仍水平击出），就一定能落在对方界内 【答案】D 【详解】A．从B点到D点，由竖直方向h1＝gt22 水平方向x＝vt2 从B点到C点，在竖直方向h1－h2＝g 水平方向x＝vt1 联立解得h1＝1.8h2 故A错误； B．若初速度太小，则不能过网，故B错误； CD．球刚好过网又压线（刚好不出界）时，有h1′－h2＝gt32，x＝vt3，h1′＝g，2x＝vt4 联立解得h1′＝h2 所以h1必须大于或等于h2，球才能过网且不出界（h1小于h2时，球要么不过网，要么出界），故C错误，D正确。 故选D。 19．（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）摩托车特技表演中的飞檐走壁让人震撼，其运动可简化为如图所示的小球在光滑的半球形容器内做圆周运动。小球的质量为m，容器的球心为O、半径为R，小球在水平面内做圆周运动，运动到a点时，Oa与竖直方向夹角为θ，运动过程中容器静止在水平地面上。半球形容器及底座的质量为M，重力加速度为g，则下列说法不正确的是（　　） A．小球运动的角速度大小为 B．小球运动的线速度大小为 C．底座受到地面的摩擦力大小为 D．底座对地面的压力等于 【答案】B 【详解】A．对小球受力分析，如图 由牛顿第二定律，可得 ， 根据几何关系，有 联立，解得 故A正确，不满足题意要求； B．根据线速度与角速度关系，可得 故B错误，满足题意要求； CD．对容器受力分析，如图 水平方向由平衡条件可得 又 联立解得 竖直方向由平衡条件可得 根据牛顿第三定律，可得底座对地面的压力为 故CD正确，不满足题意要求。 故选B。 20．（23-24高三上·北京东城·期末）图1所示的是北京欢乐谷的“太阳神车”游乐项目，图2是对其进行简化后的结构图，已知悬臂长为L，可绕水平方向的固定轴在竖直面内摆动，旋盘半径为r，盘面与悬臂垂直，在电动机带动下可以悬臂为轴转动，旋盘中心用表示，在旋盘边缘的圆周上排列着座椅。假设游戏开始后的某段时间内旋盘始终绕悬臂沿逆时针方向匀速转动，角速度为；悬臂摆到最高点（图2中①位置）时悬臂刚好和竖直方向垂直，从此位置，悬臂向下摆动到竖直方向（图2中②位置）时，悬臂对固定转轴的瞬时角速度是。悬臂在①位置时，旋盘边缘的b点与悬臂等高，旋盘边缘的a点在最高点，若坐在a处座椅上的游客随悬臂一起运动到②位置时刚好到达图中c点，c点与悬臂在同一竖直面内。游客的质量为m，游客及座椅可视为质点，重力加速度用g表示，不计轴间的摩擦阻力和空气阻力。 （1）求b点速度的方向和速度的大小； （2）由于旋盘绕悬臂转动，c点同时参与了两个运动，除了绕做圆周运动之外，还和悬臂一起绕固定转轴转动，求游客在c点时的速度大小； （3）求悬臂从位置①到位置②的过程中，座椅及安全带对坐在a处座椅上的游客所做的功W。 【答案】（1）方向竖直向上，；（2）；（3） 【详解】（1）b点速度的方向竖直向上，速度大小为 （2）c点绕做圆周运动，因此具有分速度 方向垂直于c点和悬臂构成的平面向里；假设旋盘与悬臂之间是完全固定连在一起的，则旋盘与悬臂一起绕轴转动，其上各点绕轴转动的角速度都相同，又由于摆动到最低点时，c点与悬臂在同一竖直面内，因此c点绕做圆周运动的半径 与悬臂一起转动而具有的分速度 方向在c点和悬臂构成的平面内，垂直和c的连线斜向下。这两个分速度之间互相垂直，因此悬臂在位置②时c点的速度大小 （3）对游客从a点到c点的过程应用动能定理，有 代入可得 21．（2022·北京海淀·三模）在各地游乐场中都有一款军迷爱好者的射击体验游戏，游戏装备中的射击枪能绕中轴自由转动，电动击发塑胶弹丸，能击中远处的竖直靶平面内的所有靶标，靶标均为竖立的圆板，如图甲。设枪口距正前方向的靶标O点距离为d，弹丸质量为m，弹丸离开枪口的水平初速度大小为，取竖直靶平面上靶标O点为原点，水平向右为x轴，竖直向下为y轴，垂直靶平面沿枪口与O点连线向里为z轴，建立直角坐标系，如图乙，忽略枪口方向变化时枪口位置的变化，忽略空气阻力和弹丸大小，重力加速度为g。 （1）求每次击发弹丸过程中电机对弹丸所做的功W； （2）在一次水平射击中，水平瞄准方向偏离正前方的夹角为，若弹丸与竖直光滑靶标发生弹性碰撞，作用时间为，碰撞过程中靶标未动，则弹丸施加给靶标的弹力多大？ （3）请指出采用何种角度射击弹丸对靶标的弹力最大，并求此情况下所击中的靶标位置。 【答案】（1）；（2）；（3）当时作用力最大， （0，，0） 【详解】（1）由动能定理知电机对弹丸所做的功为 （2）由弹性碰撞，在垂直于靶标平面方向速度变化量大小为 对弹丸，由动量定理 由牛顿第三定律知，弹丸对靶标作用力为 （3）当时，即枪口水平对准正前方射击，作用力最大；弹丸做平抛运动，沿y方向有 沿z方向有 得 则击中的靶标位置坐标为（0，，0）。 26 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴02 牛顿运动定律与曲线运动 命题预测 牛顿运动定律与曲线运动是北京高考物理必考压轴模块，以计算题压轴、选择题压轴、实验综合形式出现，命题聚焦数理结合、模型建构、临界极值、实际情境四大方向。近几年北京卷显著强化航天科技、体育竞技、新型装备、圆周＋抛体复合过程等高阶情境，强调用动力学观点分析曲线运动的向心力、切向力、合外力，突出矢量性、瞬时性、相对性。 预计2026年北京三模与高考仍以复杂圆周运动、抛体关联运动、复合曲线过程、临界约束条件为核心，侧重多对象、多过程、多约束下的动力学综合分析，区分度高、逻辑链长，是高分必破专题。 高频考法 1. 曲线运动的动力学本质 2. 抛体运动的分解思想、关联速度、临界射程/射高分析 3. 水平面内圆周运动向心力来源、临界滑动、临界脱离、静摩擦极值 4. 竖直面内圆周运动轻绳/轻杆/圆弧轨道三类模型与临界速度 5. 圆周运动的动态受力与功能关联 6. 抛体＋圆周复合过程的衔接速度、受力突变、能量传递 7. 约束条件下曲线运动的多变量极值、数理方程求解 8. 实际科技情境曲线运动建模 知识·技法·思维 考向01 曲线运动的动力学本质 1. 核心判定与矢量分解： · 物体做曲线运动的条件：合外力与速度不共线，合外力指向轨迹凹侧。 · 力的分解：法向分力提供向心力（改变速度方向），切向分力产生切向加速度（改变速度大小）。 · 匀变速曲线运动：合外力恒定（大小、方向均不变），加速度恒定；变加速曲线运动：合外力变化（大小/方向至少一个变化）。 2. 轨迹与受力的关系： · 轨迹弯曲程度由法向合外力大小决定，力越大弯曲越显著。 · 速度方向始终为轨迹切线方向，合外力与速度夹角决定速率增减。 3. 解题思路： · 曲线运动必沿法向、切向分解力与加速度，法向列向心力方程，切向列牛顿第二定律方程。 考向02 抛体运动（分解＋临界＋关联） 1. 一般抛体统一模型： · 任意抛体均可沿初速度方向与垂直初速度方向分解，垂直方向为匀变速，平行方向为匀速。 · 等效重力场：将恒力（重力 + 电场力等）合成为等效重力，转化为类抛体运动。 2. 斜抛运动： · 速度矢量对称，最高点竖直速度为0，水平速度恒定。 · 逆向思维：斜抛可逆向视为平抛运动，简化临界计算。 3. 临界与极值模型： · 恰好越过障碍物：轨迹与障碍物相切，切点为最高点。 · 最小抛出速度：轨迹与约束边界相切时速度最小。 · 相遇问题：同一时刻水平、竖直位移均相等。 4. 解题思路： · 约束抛体优先用逆向法、矢量三角形、等效重力场，避免复杂方程。 考向03 水平面内圆周运动（临界＋极值） 1. 向心力： · 水平面圆周运动：竖直方向合力为0，向心力由水平方向合外力提供。 · 常见向心力来源：静摩擦力、支持力分量、拉力、洛伦兹力。 2. 三大临界模型： · 静摩擦临界：，对应最大/最小角速度。 · 绳拉物体临界：绳拉力，物体即将滑动。 · 转台/圆盘临界：物体即将滑动，静摩擦达最大值。 3. 圆锥摆通式与结论： · → · 角速度越大，摆角越大；周期与质量无关。 4. 注意： · 严格区分竖直平衡、水平向心力，不将重力计入向心力。 考向04 竖直面内圆周运动（三类模型＋临界） 1. 轻绳模型（无支撑）： · 最高点临界：→ · 最高点：；最低点： · 能完成完整圆周的条件：在最高点 2. 轻杆模型（有支撑）： · 最高点临界速度： · 时杆弹力为0；时为支持力，时为拉力。 3. 圆弧轨道模型： · 等效轻绳模型，脱离临界条件：轨道支持力。 4. 超失重判断： · 向心加速度竖直向下→失重。 · 向心加速度竖直向上→超重。 考向05 变速圆周运动（双加速度＋动态受力） 1. 核心特征： · 合外力不指向圆心，同时存在：法向加速度（改变v的方向），切向加速度（改变v的大小） 2. 方程列写：法向：，切向：。 3. 功率与做功： · 向心力与速度垂直，功率为0，不做功；切向力做功，改变动能。 4. 动态临界： · 转速缓慢变化时视为准静态过程，逐位置列向心力方程。 考向06 抛体＋圆周复合过程 1. 衔接关键： · 前一过程末速度＝后一过程初速度（大小、方向完全一致）。 · 衔接点满足：速度相切、受力突变、轨道连续。 2. 分析流程： · 分段建模→确定衔接速度→判断受力突变→法向/切向分列方程→联立求解。 3. 高频模型： · 平抛→圆弧、斜抛→圆周、圆周→抛体、多圆弧衔接。 4. 解题思路： · 画速度矢量图确定法向，优先使用动能定理处理多过程能量变化。 考向07 约束曲线运动极值与数理结合 1. 常见约束条件： · 最大静摩擦、最小速度、最大拉力、支持力为0、轨迹相切、空间障碍。 2. 数理方法： · 三角函数极值、二次函数最值、不等式、几何相切条件、导数极值。 3. 极值物理本质： · 极值点对应临界状态（、、速度极值）。 4. 解题思路： · 找临界条件→建物理方程→用数学工具→验证物理合理性。 考向08 实际情境曲线运动建模 1. 航天与航空建模： · 卫星变轨、返回舱再入（万有引力＋切向推力，视为变加速曲线运动）。 2. 体育与装备建模： · 链球、赛车转弯、无人机盘旋（简化为水平面/竖直面圆周，忽略次要阻力）。 3. 机械与工程建模：离心装置、旋转部件：用向心力＋临界滑动分析。 4. 建模原则： · 抓法向/切向分解、抓临界约束、抓等效重力，抽象为标准曲线模型。 典例·靶向·突破 题型01 曲线运动的动力学本质 1．（25-26高三上·北京东城·期末）为激发学生参与体育活动的兴趣，某学校计划修建滑板训练的场地，设计了如图所示的路面，其中AB是倾角为53°的斜面，凹圆弧BCD和凸圆弧DEF的半径均为R，D、F等高，B、E等高，整个路面不计摩擦且各段之间平滑连接。已知重力加速度为g，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。 （1）从B处由静止释放一个质量为m的小物块，求小物块经过最低点C时受到的支持力大小FN。 （2）在斜面上距离B点高度为h（未知）处，由静止释放小物块。 a．改变h，可以使小物块在滑动过程中离开路面。请判断小物块在图中哪个位置离开路面，并说明理由。 b．若小物块能沿路面运动到F点，求h的取值范围。 题型解码 此类问题以滑板场地路面模型为载体，考查曲线运动的动力学本质，解题时需抓住支持力为零的脱离临界条件，结合机械能守恒与牛顿第二定律分段分析，明确凹、凸圆弧轨道的受力差异，体现 “由受力定运动、由临界定范围” 的核心分析思路。 题型02 抛体运动 2．（25-26高三上·北京海淀·期中）如图所示为跳台滑雪赛道的简化示意图，助滑道与起跳平台平滑连接，长直着陆坡与水平面的夹角。质量为的运动员（含装备）沿助滑道从点下滑，到达起跳平台末端点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后落在着陆坡上的点。从起跳平台末端到着陆点之间的距离是评判运动员比赛成绩的重要依据。取重力加速度，，。 （1）不考虑空气对运动员的作用。运动员从点运动到点的过程中，在空中飞行时间。求： a.、两点之间的距离。 b.运动员从点水平飞出时的速度大小。 （2）考虑空气对运动员的作用。运动员在空中飞行的过程中，假设空气对运动员的作用力的方向与竖直方向夹角恒为11°，如图所示，力的大小恒为运动员所受重力的，取，。 运动员仍以（1）b的速度从点水平飞出，若不考虑空气对运动员的作用，运动员的运动轨迹如图中①所示；若考虑空气对运动员的作用，判断运动员的运动轨迹可能是图中的______（选填“①”“②”或“③”）。并通过计算说明判断依据______。 题型解码 此类问题以跳台滑雪情境为载体，考查抛体运动的分解与临界计算，解题时需将运动分解为水平匀速、竖直匀变速两个分运动，结合着陆坡的几何约束联立求解，考虑空气阻力时需重新进行受力分析，体现 “分解法、临界法、等效法” 的统一应用。 题型03 水平面内圆周运动 3．（24-25高三上·北京海淀·期中）转动被淋湿的雨伞，雨水会被甩落到地面。某同学观察到，在雨伞加速转动过程中水滴被甩落，他猜想雨伞转速增加的快慢不同，水滴落点的远近也会不同。为了验证猜想，他设计了一个实验。如图所示，半径为R的水平圆盘在电机带动下可绕中心轴转动，且通过控制电机调整圆盘转速，转速可以缓慢增大，也可以迅速增大。圆盘静止时，在其边缘处放一质量为m的小物体。已知小物体与圆盘间动摩擦因数为μ，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 （1）圆盘初始静止，控制电机，让圆盘的转速缓慢增大。当转速增大到某一值时，小物体被甩出。求： a．小物体被甩出时圆盘角速度的大小ω0； b．小物体被甩出前，加速过程中摩擦力对小物体做的功W。 （2）通过研究小物体被甩出后落到水平地面的情况，可以模拟水滴从雨伞边缘甩落的情况。设在圆盘转速缓慢增大的情况下，小物体被甩出后的落点到中心轴的距离为L1；在圆盘转速迅速增大的情况下，小物体被甩出后的落点到中心轴的距离为L2。 a．在图中，画出在圆盘转速迅速增大的情况下，小物体所受摩擦力f的示意图； b．写出在圆盘转速迅速增大的情况下，小物体被甩出瞬间所受摩擦力f与瞬时速度v的关系式，并由此比较L1和L2的大小关系。（注意：解答中需要用到、但题目中没有给出的物理量，要在解题过程中做必要的说明） 题型解码 此类问题以水平圆盘转动模型为载体，考查水平面内圆周运动的临界条件与功能关系，解题时需明确最大静摩擦力提供临界向心力，区分转速缓慢增大与迅速增大的受力差异，结合平抛运动规律比较落点远近，强化 “临界角速度、受力分解、平抛关联” 的考查。 题型04 竖直面内圆周运动 4．（25-26高三上·北京海淀·月考）游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来，如图甲所示。我们把这种情形抽象为如图乙所示的模型：弧形轨道的最低点N与竖直圆轨道平滑相接，P为圆轨道的最高点。使小球（可视为质点）从弧形轨道上端滚下，小球进入圆轨道下端后沿圆轨道运动。不考虑小球运动所受的摩擦等阻力。 （1）小球沿弧形轨道运动的过程中，经过某一位置A时动能为Ek1，重力势能为Ep1，经过另一位置B时动能为Ek2，重力势能为Ep2。请根据动能定理和重力做功的特点，证明：小球由A运动到B的过程中，总的机械能保持不变，即； （2）已知圆形轨道的半径为R，将质量为m的小球从弧形轨道某一高度处由静止释放，小球通过最高点P时的速度为。求：小球通过圆轨道最低点N时对轨道的压力F大小； （3）已知圆形轨道的半径为R，将另一质量为M的小球，从弧形轨道距地面高h处由静止释放。请通过分析、计算，说明小球不脱离轨道h所要满足的条件。 题型解码 此类问题以过山车模型为载体，考查竖直面内圆周运动三类模型与临界条件，解题时需掌握轻绳、轻杆、圆弧轨道的临界速度差异，结合机械能守恒定律分析最低点与最高点的速度关系，明确不脱离轨道的两种临界情况，体现 “模型化、临界化、能量化” 的解题思路。 题型05 变速圆周运动 5．（20-21高三下·北京海淀·月考）电子感应加速器是利用感生电场使电子加速的设备。它的基本原理如图甲所示，图的上部分为侧视图，上、下为电磁铁的两个磁极，磁极之间有一个环形真空室，电子在真空室中做圆周运动。甲图的下部分为真空室的俯视图，电子从电子枪右端逸出，当电磁铁线圈电流的大小与方向变化满足相应的要求时，电子在真空室中沿虚线圆轨迹运动，不断地被加速。若某次加速过程中，电子圆周运动轨迹的半径为R，圆形轨迹上的磁场为，圆形轨迹区域内磁场的平均值记为（由于圆形轨迹区域内各处磁场分布可能不均匀，即为穿过圆形轨道区域内的磁通量与圆的面积比值）。电磁铁中通有如图乙所示的电流，设图甲装置中标出的电流方向为正方向。下列说法正确的是（　　） A．电子在运动时的加速度始终指向圆心 B．电子在图乙的内能按图甲中逆时针方向做圆周运动且被加速 C．电子在图乙的内能按图甲中逆时针方向做圆周运动且被加速 D．为使电子被控制在圆形轨道上不断被加速，与之间应满足 题型解码 此类问题以电子感应加速器模型为载体，考查变速圆周运动的双加速度特征与动态受力，解题时需明确法向提供向心力、切向改变速度大小，结合楞次定律与法拉第电磁感应定律分析感生电场与洛伦兹力的作用，体现 “双加速度、场力结合、动态约束” 的高阶考查。 题型06 抛体＋圆周复合过程 6．（2024·北京·模拟预测）如图所示，把一个质量的小钢球用细线悬挂起来，就构成一个摆。悬点O距地面的高度，摆长。将摆球拉至摆线与竖直方向成37°角的位置，由静止释放，忽略空气阻力，取重力加速度，。 （1）求小球运动到最低点时对细线拉力的大小F； （2）若小球运动到最低点时细线断了，小球沿水平方向抛出，求它与地面碰撞时的速度方向； （3）若小球与地面发生弹性碰撞（即水平分速度不变，竖直分速度大小不变，方向反向），碰撞时间求碰撞过程中小球受到地面的平均作用力N。 题型解码 此类问题以单摆＋平抛复合模型为载体，考查抛体与圆周复合过程的衔接与能量传递，解题时需抓住圆周最低点的速度衔接，细线断裂后按平抛运动处理，弹性碰撞时利用动量定理分析作用力，体现 “多过程、分阶段、抓衔接” 的解题逻辑。 题型07 约束曲线运动极值与数理结合 7．（18-19高三上·北京东城·期中）某校排球训练馆内，在标准的排球训练场地上（底线到球网的水平距离为），某女同学正在“底线上”练习跳发球，该同学每次抛球的高度基本相同，约为，其起跳击球时恰好是排球上升到最高点的时刻且每次排球均被水平击出，已知，由于排球网有些松弛，中间部分网高实际测量结果为，未达到标准网高，若不计空气阻力，设当地重力加速度为 （1）为使发出去的排球不触网，她击球速度不得低于多少? （2）为使排球能落入另一侧场内，试求她击球的速度的取值范围。 题型解码 此类问题以排球发球训练为载体，考查约束条件下曲线运动的极值与数理结合，解题时需抓住 “恰好不触网、恰好不出界” 双重临界，利用平抛运动规律求解速度范围，体现 “临界条件、数理方程、实际情境” 的统一。 题型08 实际情境曲线运动建模 8．（25-26高三上·北京·月考）如图甲是一幅名为“打水漂儿”的画，画中是很多人儿时玩过的一种游戏：在河岸边将小石片水平抛出，石片碰到水面时并不会直接沉入水中，而是擦着水面再次弹起飞行，跳跃数次后沉入水中。如图乙所示，现有一人在池塘边距水面高度为处，将一小石片以初速度水平抛出，若小石片每次与水面接触后，竖直方向的分速度反向，大小变为接触前的，水平方向的分速度方向不变，大小变为接触前的，空气阻力及小石片与水面接触的时间可忽略不计，重力加速度。求： （1）小石片第一次接触水面前瞬间的速度v； （2）小石片从抛出到第二次与水面接触所经历的时间t； （3）小石片从抛出到第二次与水面接触时与抛出点间的水平距离x。 题型解码 此类问题以“打水漂儿”游戏为载体，考查实际科技情境的曲线运动建模，解题时需将真实过程抽象为分段平抛 + 弹性碰撞模型，抓住竖直、水平分速度的变化规律，分步列式求解时间与位移，体现 “建模、分解、递推” 的核心方法。 1．（2022·北京·三模）从分解的角度研究某一运动是物理学分析问题的基本方法，其中即可以沿着固定的方向进行分解（固定不动的直角坐标系），也可以始终沿着平行速度与垂直速度方向进行分解（自然坐标系）。 （1）将一物体以速度水平抛出，若重力加速度为g，且不计空气阻力。那么当物体的速度方向与水平方向夹角为60°时，求： a．此时物体速率的大小； b．此时物体运动对应的曲率半径的大小（提示：研究曲线运动时，尽管曲线各个位置的弯曲程度不一样，但在研究时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，如图1所示）。 （2）如图2所示，把一个有孔的小球A装在轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在沿水平x轴的光滑杆上，能够在杆上自由振动。另一小球B在竖直平面内以为圆心，在电动机的带动下，沿顺时针方向做半为径R的匀速圆周运动。用竖直向下的平行光照射小球B，然后调节B球转动的角速度，可以实现小球B在x方向上的“影子”和小球A在x轴上的位置时时重合。已知弹簧劲度系数为k，小球A的质量为m，小球B的角速度为。 a．要实现这一现象，请推导角速度与劲度系数k必须满足的关系； b．结合a的结论，请论证弹簧振子的运动周期与其振幅无关。 2．（2022·北京东城·一模）人们通常利用运动的合成与分解，把比较复杂的机械运动等效分解为两个或多个简单的机械运动进行研究。下列情境中物体的运动轨迹都形似弹簧，其运动可分解为沿轴线的匀速直线运动和垂直轴线的匀速圆周运动。 （1）情境1：在图1甲所示的三维坐标系中，质点1沿方向以速度v做匀速直线运动，质点2在平面内以角速度做匀速圆周运动。质点3同时参与质点1和质点2的运动，其运动轨迹形似弹簧，如乙图所示。质点3在完成一个圆周运动的时间内，沿方向运动的距离称为一个螺距，求质点3轨迹的“螺距”； （2）情境2：如图2所示为某磁聚焦原理的示意图，沿方向存在匀强磁场B，一质量为m、电荷量为q、初速度为的带正电的粒子，沿与夹角为的方向入射，不计带电粒子的重力。 a．请描述带电粒子在方向和垂直方向的平面内分别做什么运动； b．求带电粒子轨迹的“螺距”。 （3）情境3：2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月壤回到地球。登月前，嫦娥五号在距离月球表面高为h处绕月球做匀速圆周运动，嫦娥五号绕月的圆平面与月球绕地球做匀速圆周运动的平面可看作垂直，如图3所示。已知月球的轨道半径为r，月球半径为R，且，地球质量为，月球质量为，嫦娥五号质量为，引力常量为G。求嫦娥五号轨迹的“螺距”。 3．（25-26高三上·北京朝阳·月考）滑雪是冬奥会的比赛项目之一。如图所示，跳台的斜坡与水平面的夹角，滑雪运动员从A点沿水平方向飞出，经过落到斜坡上的B点。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。求： （1）A点与B点的距离； （2）运动员离开A点时的速度大小； （3）小张同学说所有的运动员从A点水平飞出后，落到斜坡上时的速度方向都相同，请你论证他的说法是否正确。 4．（2026高三·北京·专题练习）一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为。若乒乓球的发射速率为v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（2025高三·北京·专题练习）如图所示，水平放置、足够长的光滑杆上套有一小球，小球通过一长度为的不可伸长的轻绳与小球相连，小球的质量均为。将小球放置于小球的正下方处，并以初速度水平抛出，为重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．绳子恰好绷直时，其与的夹角为 B．绳子绷直前瞬间，小球的速度大小为 C．绳子绷直后瞬间，小球的速度大小为 D．绳子绷直前后，绳子对B球的冲量大小为 6．（2026高三·北京·专题练习）如图所示，放于竖直面内的光滑金属细圆环半径为R，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为R的细绳一端系于球上，另一端系于圆环最低点，绳能承受的最大拉力为2mg，重力加速度的大小为g，当圆环以角速度ω绕竖直直径转动时，下列说法不正确的是（　　） A．圆环角速度ω等于时，小球受到2个力的作用 B．圆环角速度ω等于时，小球受到3个力的作用 C．圆环角速度ω等于2时，细绳将断裂 D．圆环角速度ω大于时，小球受到2个力的作用 7．（2025·北京·三模）图甲为游乐园中“空中飞椅”的娱乐设施，中央是一个由电动机驱动的水平转盘，转盘的边缘固定许多绳子，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上，随着转盘的加速，人的高度也逐渐上升。可将上述装置做如图乙所示的简化：人和座椅视为质量为m=100kg的质点；绕竖直轴OO′无摩擦转动的转盘视为质量为M=4000kg、半径为R=3m的匀质圆盘；长为l=5m的轻绳不可伸长。圆盘从静止开始缓慢加速转动，经过一段时间后，圆盘匀速转动，此时绳与竖直方向的夹角为θ=37°。空中飞椅和游客数均为N=10，不计空气阻力和其他摩擦，取重力加速度大小g=10m/s2，sin37°=0.6。 （1）求圆盘匀速转动的角速度ω。 （2）对于定轴转动的物体，其动能可表示为，对于匀质转盘，电动机的效率为η=0.9。求圆盘从静止到匀速转动的过程电动机消耗的电能。（结果保留1位有效数字） （3）加速度对时间的变化率叫做“急动度”，汽车工程师常常用急动度来评判乘客不舒适程度的指标，急动度越大，乘客将会觉得越不舒适。求匀速转动时，质点急动度的大小j以及合力随时间的变化率。 8．（24-25高三上·北京丰台·期末）在2024年11月12日开幕的第十五届中国国际航空航天博览会上，歼-35A隐形战斗机惊艳亮相。 （1）战斗机飞行时，机翼受到空气的升力，升力垂直于机翼所在平面向上。当战斗机以速率在水平面内做匀速圆周运动时，机翼与水平面夹角为（如图所示）。求战斗机做圆周运动的半径。 （2）战斗机在某次导弹发射训练中，以水平速度挂弹飞行，接到命令后将总质量为的导弹释放，释放后，导弹在极短时间内向飞行的反方向喷出质量为的气体，气体相对于地面的速率为，且方向与导弹的运动方向相反。求： a．喷气后导弹相对地面的速率； b．喷气过程中，导弹获得的平均反冲作用力的大小。 9．（24-25高三下·北京海淀·开学考试）阅读下面两则材料，回答问题。 材料I：理论和实验证明：由于地球自转的原因，向东高速行驶的列车对水平轨道的压力与其处于静止状态时对水平轨道的压力相比较，显著减少。这种现象称为“厄缶效应”。如图所示，设想在地球赤道线上，有一个总质量为的高速列车正在以相对地面的速度为，沿水平轨道向东行驶。已知地球半径为，地球自转周期为，地球视为质量均匀的完美球体。这列车运动过程中与静止状态比较，分析对水平轨道显著减小的压力。 材料II：当物体相对于地球表面运动时，会受到“地转偏向力”的影响。“地转偏向力”不是物体真实受到的力，是由于地球自转而产生的惯性效应。其原因是：除南北两极外，地球上各纬度的自转角速度相同，但自转线速度不同。在北半球，物体由北向南运动的过程中，由于惯性，物体随地球自转的线速度相对地表显得慢了，因此表现出向前进方向的右侧偏转的现象。“地转偏向力”对地球上所有移动的物体，例如运行的高铁、火箭发射等都会产生影响，“地转偏向力”在极地最显著，向赤道方向逐渐减弱直到消失在赤道处。1851年，法国物理学家傅科在巴黎的教堂用摆长、直径约、质量为的铁球制成的单摆（傅科摆），通过观察“地转偏向力”对单摆运动产生的影响可以证实地球在自转。 根据以上两则材料信息，结合所学知识，下面分别与材料对应的选项，说法正确的是（　　） A．材料I中，若列车在赤道自东向西以相对地面为行驶，增大的压力为 B．材料I中，减小的压力为 C．材料II中，在地球南半球，由南向北运动的高铁，在前进方向上对轨道的左侧压力小于右侧压力 D．材料II中，北京天文馆里的傅科摆在摆动过程中，摆动平面沿顺时针方向（俯视）不断偏转 10．（25-26高三下·北京西城·开学考试）如图所示，长为且不可伸长的轻绳一端固定在点，另一端系一小球，使小球在竖直面内做圆周运动。由于阻力的影响，小球每次通过最高点时速度大小不同。测量小球经过最高点时速度的大小、绳子拉力的大小，作出与的关系图线如图所示。下列说法中正确的是（　　） A．根据图线可得重力加速度 B．根据图线可得小球的质量 C．小球质量不变，用更长的绳做实验，得到的图线斜率更大 D．用更长的绳做实验，得到的图线与纵轴交点的位置不变 11．（24-25高三下·北京·阶段练习）用轻质绝缘细绳悬挂带正电的小球，小球可视为质点，如图1所示。将装置分别放入图2所示的匀强电场，图3所示的匀强磁场中。将小球从偏离竖直方向左侧的一个小角度位置由静止释放，在图中三种情况下，小球均在竖直平面内周期性往复运动，周期分别为、、，小球第1次到达轨迹最低点时的速度大小分别为、、，拉力大小分别为、、，不计空气阻力。图中三种情况，下列说法正确的是（　　） A．图1和图2的小球在运动过程中机械能都守恒 B．三个小球运动的周期大小关系 C．三个小球第1次到达最低点时拉力大小关系 D．三个小球第1次到达最低点时的速度大小关系 12．（20-21高二上·北京海淀·期末）各种加速器在装置上的类似性，源于它们在原理上的类似性。 （1）我们熟知经典回旋加速器如图（甲）所示，带电粒子从M处经狭缝中的高频交流电压加速，进入与盒面垂直的匀强磁场的两个D形盒中做圆周运动，循环往复不断被加速，最终离开加速器。另一种同步加速器，基本原理可以简化为如图（乙）所示模型，带电粒子从M板进入高压缝隙被加速，离开N板时；两板的电荷量均立即变为零；离开N板后，在匀强磁场的导引控制下回旋反复通过加速电场区不断加速，但带电粒子的旋转半径始终保持不变。已知带电粒子A的电荷量为+q，质量为m，带电粒子第一次进入磁场区时，两种加速器的磁场均为B0，加速时狭缝间电压大小都恒为U，设带电粒子最初进入狭缝时的初速度为零，不计粒子受到的重力，不计粒子加速时间及其做圆周运动产生的电磁辐射，不考虑磁场变化对粒子速度的影响及相对论效应。 a．经典回旋加速器，带电粒子在不断被加速后，其在磁场中的旋转半径也会不断增加，求加速n次后，rn的大小； b．同步加速器因其旋转半径R始终保持不变，因此磁场必须周期性递增，请推导Bn的表达式； （2）空间存在有一圆柱形的半径为r的匀强磁场区域，其横截面如图2所示，磁感应强度随时间按照图3所示的规律均匀变化。图中B0和t0为已知量。 a. 用电阻为R的细导线做成半径为r的圆环（图中未画出），圆环平面垂直于该磁场，圆环的中心与磁场中心重合。圆环半径小于该磁场的横截面半径。求 0~ t0时间内圆环中产生的焦耳热Q。 b. 现将导体圆环替换成一个用绝缘细管做成的半径为r的封闭圆形管道，且圆形管道的中心与磁场区域的中心重合（图中未画出）。管道内有一小球，小球质量为m，带电量为+q。忽略小球的重力和一切阻力。t=0时小球静止,求t= t0时小球运动的圈数。 13．（24-25高三上·北京海淀·月考）（多选题）如图甲所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动。现使小球在竖直平面内做圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度 vx随时间t的变化关系如图乙所示。不计空气阻力。下列说法中正确的是（　　） A．t1时刻小球通过最高点，图乙中S1和 S2的面积不相等 B．t2时刻小球通过最高点，图乙中 S1和 S2的面积相等 C．t1时刻的杆中弹力一定大于t2时刻的杆中弹力 D．在小球做一次完整圆周运动的过程中，杆中弹力一定两次为零 14．（24-25高三上·北京海淀·月考）匀速圆周运动和平抛是两种最典型的曲线运动。 （1）当物体做匀速圆周运动时，可以通过速度变化的情况来确定加速度的大小和方向。请用运动学的方法证明：一个物体做匀速圆周运动，其线速度大小为v，圆的半径为R（如图所示）时，则其加速度大小为。（已知角度θ很小时, 有） （2）研究一般曲线运动（如平抛）时，可以把这条曲线分割为很多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。质点所受合力可以沿运动方向和垂直运动方向分解，沿切向的部分使质点速度大小改变，垂直切向部分提供质点运动方向改变所需要的向心力满足：，其中v为质点在该点的瞬时速度，r为该点等效圆周运动半径（即曲率半径）。一个可以看作质点的物块以初速度离开桌面做平抛运动，桌面离地高度为，当地重力加速度为。 a. 物块运动的轨迹为抛物线，求该轨迹在抛出点P和落地点Q的曲率半径。 b. 现制作一个与小物块平抛轨迹完全相同的光滑轨道，并将该轨道固定在与PQ曲线重合的位置，让物块从顶端P沿该轨道无初速下滑，试通过计算，分析说明小物块在落地前是否会脱离轨道。 15．（25-26高三上·北京通州·开学考试）物理模型对于研究有重要意义，研究中要根据解决问题的需要对模型进行改进和优化，以提高其可靠性和实用性。已知地球质量为，可视为质量均匀分布的半径为的球体，引力常量为，不考虑地球自转。 （1）在地球表面将物体以初速度竖直上抛 a．若忽略万有引力的变化，物体上升过程的图像如图1所示。求重力加速度的大小及物体上升到最高点所用的时间； b．若考虑万有引力的变化，在图1中定性画出物体上升阶段的图像，标出物体上升到最高点的时间。 （2）在地球赤道表面发射洲际导弹，导弹发射速度的大小为，方向与地面的夹角为，如图2所示。 a．若忽略万有引力大小的变化，某同学提出将导弹的运动分解为绕地心的匀速圆周运动与垂直地球表面的匀变速直线运动。求导弹在空中运动的时间； b．若考虑万有引力大小的变化，受同学启发，另一同学将导弹的运动分解为绕地心的匀速圆周运动与垂直地球表面的变加速直线运动。已知取无穷远处的引力势能为0，质量为的物体在距地心为处的引力势能。求导弹距离地面的最大高度。 16．（24-25高三上·北京海淀·月考）如图所示，竖直平面内的圆弧形光滑管道半径略大于小球半径，管道中心到圆心距离为R，A端与圆心O等高，AD 为水平面，B端在O 的正下方，小球自 A 点正上方由静止释放，自由下落至 A 点时进入管道 （1）如果管道与小球接触的内侧壁（图中较小的圆周）始终对小球没有弹力，小球释放点距离A点的最小高度为多大? （2）如果小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小为小球重力大小的9倍。求： a. 小球运动到管道最高点E时对管道的弹力； b. 落点C与A的水平距离。 17．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）如图所示，半径的竖直半圆形光滑轨道BC与水平面AB相切，AB距离，质量的小滑块1放在半圆形轨道末端的B点，另一质量也为的小滑块2，从A点以的初速度在水平面上滑行，两滑块相碰，碰撞时间极短，碰后两滑块粘在一起滑上半圆形轨道，已知滑块2与水平面之间的动摩擦因数，取重力加速度，两滑块均可视为质点，求： （1）碰后瞬间两滑块共同的速度大小v； （2）两滑块在碰撞过程中损失的机械能； （3）在C点轨道对两滑块的作用力大小F。 18．（2025高三·北京·专题练习）运动员李娜是中国网球的骄傲，有着辉煌的网球生涯。李娜将球在边界A的正上方B点水平向右垂直于球网击出，球恰好过网C落在D处，示意图如图所示，不计空气阻力，已知AB＝h1，AC＝x，CD＝，网高为h2，下列说法中正确的是（重力加速度为g）（　　） A．击球点高度h1与球网的高度h2之间的关系为h1＝1.5h2 B．若保持击球高度不变，球的初速度v0只要不大于，就一定落在对方界内 C．任意降低击球高度（仍高于h2），只要球的初速度合适（球仍水平击出），球一定能落在对方界内 D．在h1大于h2情况下，只要球的初速度合适（球仍水平击出），就一定能落在对方界内 19．（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）摩托车特技表演中的飞檐走壁让人震撼，其运动可简化为如图所示的小球在光滑的半球形容器内做圆周运动。小球的质量为m，容器的球心为O、半径为R，小球在水平面内做圆周运动，运动到a点时，Oa与竖直方向夹角为θ，运动过程中容器静止在水平地面上。半球形容器及底座的质量为M，重力加速度为g，则下列说法不正确的是（　　） A．小球运动的角速度大小为 B．小球运动的线速度大小为 C．底座受到地面的摩擦力大小为 D．底座对地面的压力等于 20．（23-24高三上·北京东城·期末）图1所示的是北京欢乐谷的“太阳神车”游乐项目，图2是对其进行简化后的结构图，已知悬臂长为L，可绕水平方向的固定轴在竖直面内摆动，旋盘半径为r，盘面与悬臂垂直，在电动机带动下可以悬臂为轴转动，旋盘中心用表示，在旋盘边缘的圆周上排列着座椅。假设游戏开始后的某段时间内旋盘始终绕悬臂沿逆时针方向匀速转动，角速度为；悬臂摆到最高点（图2中①位置）时悬臂刚好和竖直方向垂直，从此位置，悬臂向下摆动到竖直方向（图2中②位置）时，悬臂对固定转轴的瞬时角速度是。悬臂在①位置时，旋盘边缘的b点与悬臂等高，旋盘边缘的a点在最高点，若坐在a处座椅上的游客随悬臂一起运动到②位置时刚好到达图中c点，c点与悬臂在同一竖直面内。游客的质量为m，游客及座椅可视为质点，重力加速度用g表示，不计轴间的摩擦阻力和空气阻力。 （1）求b点速度的方向和速度的大小； （2）由于旋盘绕悬臂转动，c点同时参与了两个运动，除了绕做圆周运动之外，还和悬臂一起绕固定转轴转动，求游客在c点时的速度大小； （3）求悬臂从位置①到位置②的过程中，座椅及安全带对坐在a处座椅上的游客所做的功W。 21．（2022·北京海淀·三模）在各地游乐场中都有一款军迷爱好者的射击体验游戏，游戏装备中的射击枪能绕中轴自由转动，电动击发塑胶弹丸，能击中远处的竖直靶平面内的所有靶标，靶标均为竖立的圆板，如图甲。设枪口距正前方向的靶标O点距离为d，弹丸质量为m，弹丸离开枪口的水平初速度大小为，取竖直靶平面上靶标O点为原点，水平向右为x轴，竖直向下为y轴，垂直靶平面沿枪口与O点连线向里为z轴，建立直角坐标系，如图乙，忽略枪口方向变化时枪口位置的变化，忽略空气阻力和弹丸大小，重力加速度为g。 （1）求每次击发弹丸过程中电机对弹丸所做的功W； （2）在一次水平射击中，水平瞄准方向偏离正前方的夹角为，若弹丸与竖直光滑靶标发生弹性碰撞，作用时间为，碰撞过程中靶标未动，则弹丸施加给靶标的弹力多大？ （3）请指出采用何种角度射击弹丸对靶标的弹力最大，并求此情况下所击中的靶标位置。 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $