2.1 第2课时 垂线（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦“垂线”核心内容，涵盖概念、画法、性质及点到直线的距离。通过复习导入（旋转直线形成90°角分析角的度数与位置关系）和情境导入（观察图片找相交直线特殊位置），衔接相交线旧知，搭建从具体现象到抽象概念的学习支架。 其亮点在于融合动手探究与逻辑推理，通过转动木条、折纸、方格纸画图等活动培养空间观念，结合小颖推理过程发展推理能力。含画垂线视频演示及跳远成绩测量等实例，强化应用意识。学生能提升作图与推理能力，教师可借助分层练习和活动设计优化教学效果。

2.1 两条直线的位置关系 第 2 课时 垂 线 第二章 相交线与平行线 北师版 七年级(下) 1. 理解垂线、垂线段的概念，在作图中掌握点到直线的距离的概念，培养抽象能力和空间观念.(重点) 2. 会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线，并会度量点到直线的距离，发展应用能力和作图能力. 3. 掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理，培养数学思维自主思考的习惯，发展推理能力和数学表达能力.(难点) 素养目标 如图 ①，当直线 AB 绕点 O 逆时针旋转 ∠AOC = 90° 时(如图②)，你能求出其他角的度数吗? 此图形有什么特点? 此时两直线的位置有什么关系? A B O C D 图① A B O C D 图② 复习导入 观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？ 情境导入 探究点一：垂直的概念 转动木条的同时观察其夹角的变化. ） α a b b b b ） α ） α ） α ） α ） α ） α ） α 【操作·交流】 取两根木条 a、b，将它们钉在一起，固定木条 a ，转动木条 b，a、b 所成的夹角为 α . 新知探究 (2) 当 ∠α 为 90° 的位置关系有几个？此时，木条 a 和木条 b 所在的直线有什么样的位置关系？ α b ） a α b ） a (1) 当 ∠α 分别为 35°、90° 时，其余的角分别是多少？ 解：145°，35°，145°；90°，90°，90°. 当∠a 为 90° 的位置关系只有一个； 此时两根木条的位置关系—— a 与 b 垂直，记作a⊥b. 探究点一：垂直的概念 新知探究 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直. 垂直的定义 记作：AB⊥CD（或 CD⊥AB ） A B C D O l m 垂足 或可记作：l⊥m（或 m⊥l ）. 通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直. 探究点一：垂直的概念 新知探究 (1) 如图，O 为直线 AB 上一点，∠AOC = ∠BOC， 那么 O C 与 AB 垂直吗? 为什么? (2) 以下是小颖的思考过程，她的想法正确吗? 你知道她每一步的依据吗? 与同伴进行交流。 A B C O 我的思考过程如下： 由∠AOC = ∠BOC，且∠AOC +∠BOC = 180°， 可得∠AOC = ∠BOC = 90°，所以 OC⊥AB. → 平角的性质 → 等角替换 → 垂直的定义 【思考·交流】 探究点一：垂直的概念 新知探究 (3) 如果 OC⊥AB，那么∠AOC = ∠BOC 吗? 为什么? 与同伴进行交流. 如果 OC⊥AB， 那么∠AOC = ∠BOC. 理由如下： 因为 OC⊥AB ，根据垂直的定义可知∠AOC 和 ∠BOC 都是直角， 即 ∠AOC = 90°，∠BOC = 90°， 所以 ∠AOC = ∠BOC. A B C O 探究点一：垂直的概念 新知探究 折一折 你能用纸折出两条互相垂直的直线吗? 探究点一：垂直的概念 新知探究 【做一做】如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？ 探究点一：垂直的概念 新知探究 例1 如图，已知点 O 在直线 AB 上，CO⊥DO 于点 O，若∠1 = 145°，则∠3 的度数为( ) C A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 探究点一：垂直的概念 新知探究 【练一练】 1. 如图，直线 BC 与 MN 交于点 O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM 和∠NOC 的度数. 解：∵∠BOE＝∠NOE， ∴∠BON＝2∠EON＝40°. ∴∠NOC＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°， ∠MOC＝∠BON＝40°. ∵ AO⊥BC，∴∠AOC＝90°. ∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°. ∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°. 探究点一：垂直的概念 新知探究 (1) 画已知直线 l 的垂线能画几条? (2) 点 A 在直线 l 上，过点 A 画直线 l 的垂线，你能画出多少条? (3) 如果点 A 在直线 l 外呢? 合作探究 探究点二：垂线的画法及基本事实 新知探究 问题1 这样画 l 的垂线可以画几条？ 1.放 l O 如图，已知直线 l，画 l 的垂线. A 无数条 2.靠 3.画 … 探究点二：垂线的画法及基本事实 新知探究 问题2 如图，点 A 在直线 l 上，过点 A 画直线 l 的垂线，你能画出多少条? A l . A l . 如果点 A 在直线 l 外呢? 1.放 2.靠 3.画 O 同理： 都只能画一条垂线 探究点二：垂线的画法及基本事实 新知探究 点击视频观看→ 探究点二：垂线的画法及基本事实 新知探究 问题3 如图，点 P 是直线 l 外一点，PO⊥ l ，点 O 是垂足. 点 A，B，C 在直线 l 上，比较线段 PO，PA，PB，PC 的长短，你发现了什么? B O C A l P 垂线段最短. 线段 PO 的长度叫作点 P 到直线 l 的距离. 探究点二：垂线的画法及基本事实 新知探究 O l P 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线的性质 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 探究点二：垂线的画法及基本事实 新知探究 例2 如图，AC⊥BC，AC = 3，BC = 4，AB = 5. (1) 试说出点 A 到直线 BC 的距离； 点 B 到直线 AC 的距离； 解析：点 A 到直线 BC 的距离就是线段 AC 的长；点 B 到直线 AC 的距离就是线段 BC 的长； A B C 点 A 到直线 BC 的距离是 3； 点 B 到直线 AC 的距离是 4. 探究点二：垂线的画法及基本事实 新知探究 例2 如图，AC⊥BC，AC = 3，BC = 4，AB = 5. (2) 点 C 到直线 AB 的距离是多少? 解析：过点 C 作 CD⊥ AB，垂足为 D. 点 C 到直线 AB 的距离就是线段 CD 的长，可利用面积求得. A B C D 解：过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D. 所以点 C 到直线 AB 的距离为 . 因为 S△ABC = BC·AC = AB·CD， 所以 5CD = 3×4，解得 CD = . 探究点二：垂线的画法及基本事实 新知探究 观看视频，想一想运动员的跳远成绩是怎样测量的? 你能说说其中的道理吗? 点击视频观看→ 探究点二：垂线的画法及基本事实 新知探究 垂线 垂线的定义 垂线的性质 在同一平面内，过一点 ______________直线与已知直线垂直 垂线段____ 垂线的画法 一放二靠三画 最短 点到直线的距离 有且只有一条 课堂小结 1. 过点A画线段BC所在直线的垂线段，其中正确的是（　D　） D 2. 如图，EO⊥AB于点O，∠EOC＝40°， 则∠AOD的度数为（　C　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° C 当堂反馈 3. 如图，量得直线l外一点P到l的距离PB的长为 4 cm，点A是直线l上的一点，那么线段PA的长不 可能是(　A　) A. 3.5cm B. 4cm C. 4.5cm D. 5cm 第3题图 A 当堂反馈 4. 如图，村庄A与村庄B在河流l的两侧，小明观 察发现，A村庄的居民往往去C点处取水，而B村 庄的居民则更喜欢去D点处取水，村民这样选择的 理由是： ⁠. 第4题图 垂线段最短　 当堂反馈 5. 如图，已知直线AD，BE，CF相交于O， OG⊥AD，且∠BOC＝35°，∠FOG＝30°，则 ∠DOE＝ ⁠°. 25　 当堂反馈 6. 如图，A，O，B在同一条直线∠AOD∶∠DOB ＝3∶1，OD平分∠COB. （1）求∠DOC的度数； （2）判断AB与OC的位置关系. 解：(1)∵∠AOD∶∠DOB＝3∶1， ∴∠DOB＝ ×180°＝45°. ∵OD平分∠COB， ∴∠DOC＝∠DOB＝45°. （2）∵∠DOC＝∠DOB＝45°， ∴∠BOC＝45°＋45°＝90°. ∴OC⊥AB，即AB与OC的位置关系是垂直. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $