专题06矩形专项训练 (13大题型+题型突破+复习讲义)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题06矩形专项训练 题型01.矩形的性质及应用 题型02.求矩形在坐标系中的坐标 题型03.矩形与折叠问题 题型04.证明四边形是矩形 题型05.添条件使四边形是矩形 题型06.由矩形的性质与判定求角度 题型07.由矩形的性质与判定求线段长 题型08.由矩形的性质与判定求面积 题型09.矩形与最值问题 题型10.矩形的存在性问题 题型11.矩形与动点问题 题型12.矩形与规律探究 题型13.矩形与多结论问题的判断 解答题6题 题型01.矩形的性质及应用 1．点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则______． 2．如图，在矩形中，点、分别在边，上，且，，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．如图，长方形的面积为，那么三角形的面积是（    ）． A． B． C． D． 4．如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则______． 5．如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交，于点E、F，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为_________．    6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是________． 7．如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是___________． 题型02.求矩形在坐标系中的坐标 8．平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A(10，0)，点C(0，4)，点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当OP=OD时，点P的坐标为______． 9．如图在平面直角坐标系中，多边形的顶点坐标分别是．若直线将多边形分割成面积相等的两部分，如直线，则还有满足条件的直线的函数表达式是_________． 10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴上，，轴，点的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点的对称点为，且交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型03.矩形与折叠问题 11．如图，长方形中，，，，点E为射线上的一个动点，若与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为（        ）      A．2 B．18 C．2或18 D．以上都不正确 12．如图，矩形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为， 若，， 的长是______． 13．小雅同学手中有一张矩形纸片，他进行了如下操作：第一步，如图将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平；第二步，如图，再一次折叠纸片，把沿折叠得到交折痕于点，则到的距离为__________． 14．如图，在矩形中，，，在和上分别有点、，连、、．点关于的对称点，点关于的对称点，若、刚好邻落在对角线上，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型04.证明四边形是矩形 15．四边形的对角线，交于点，下列各组条件不能判定四边形是矩形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 16．下列条件：①；②；③；④．其中能够判定为矩形的有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 17．数学综合实践课上，张老师布置了一道作图题，已知线段和，且满足．求作：矩形．以下是贝贝、佳佳两位同学的作业． 贝贝：1．以点为圆心，长为半径画弧； 2．以点A为圆心，长为半径画弧； 3．两弧在上方交于点，连接，，四边形即为所求（如图1）． 佳佳：1．连接，作线段的垂直平分线，交于点； 2．连接并延长，在延长线上取一点，使，连接，，四边形即为所求（如图2）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．贝贝、佳佳两人的作法都不对 B．贝贝、佳佳两人的作法都对 C．贝贝的对，佳佳的不对 D．贝贝的不对，佳佳的对 题型05.添条件使四边形是矩形 18．如图，平行四边形对角线交于点O，请添加一个条件：_____使得是矩形（   ） A． B． C． D． 19．如图，在中、相交于点，，当____时，是矩形． 20．如图，下列条件中，能够判定平行四边形为矩形的是（ ） . A． B． C． D． 题型06.由矩形的性质与判定求角度 21．如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（    ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 22．如图所示，把一张矩形纸片按如图所示方法进行两次折叠，得到等腰Rt△ABC，若S△ABC＝2，则S△ACD＝__． 23．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型07.由矩形的性质与判定求线段长 24．如图，，，若，，，连接，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 25．如图，，内的某一点P到这个角两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为________． 26．如图，矩形中，，点是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接交于点．若是的中点，则的长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型08.由矩形的性质与判定求面积 27．如图在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，对角线AC，BD交于点O，过点O作BD的垂线交AD于点M，过点M作AC的垂线，垂足为点N，则MO+MN的值是______________． 28．小丽在一次拼图游戏时，先用图形①②③④拼出矩形，又用图形①②③⑤拼出矩形，图形④⑤都是矩形，且 ，记图形④的面积为 ，图形⑤的面积为. 若 ，则 的值是______． 29．如图，矩形在矩形的内部，且，点，在对角线的异侧．连结，，，，若矩形矩形，且两个矩形的周长已知．只需要知道下列哪个值就一定可以求得四边形的面积（　　） A．矩形的面积 B．的度数 C．四边形的周长 D．的长度 题型09.矩形与最值问题 30．如图，在矩形中，为矩形内一点，连接，，，，，，则的最小值为_____． 31．如图，在矩形中，，，点P从点A向点C运动，点Q同时从点C以相同的速度向点D运动，当点Q到达点D时，两个点同时停止运动．在运动过程中，的最小值为______． 32．如图，在矩形中，，，，分别在，边上．连接，且，则的最小值为______． 题型10.矩形的存在性问题 33．如图，在中，，是上的两点，，连接，，，．为使得四边形是矩形，可以添加的一个条件是____________________（写出一种情况即可）． 34．如图，在中，E，F为对角线上的两点（点E在点F的上方），． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，下列条件能判定四边形为矩形的是__________（多选）． A． B． C． D． (3)当时，且，，求B，D两点之间的距离． 35．如图，在中，在的同侧作正、正和正． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当 ______时，四边形是矩形． 题型11.矩形与动点问题 36．如图，在矩形中，，点E、F分别为线段上动点，且，点G是线段上一点，且满足，四边形关于直线对称后得到四边形，连接，当 _______时，点与点D重合，在运动过程中，线段长度的最大值是____________． 37．如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接、．若，则线段的长为____________． 38．如图，在矩形中，，，是边上一动点，是边上一动点，且，是边上一动点，连接，，．当以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形时，的长为____________． 题型12.矩形与规律探究 39．如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2022次相遇地点的坐标是（   ） A． B． C． D． 40．在平面直角坐标系中，点A、点B在坐标轴上，且，以、为边作一个矩形，其一条对角线所在直线的解析式为，将此矩形作为基本图形不断复制和平移，如图所示，若各矩形的对称中心分别为，则的坐标为（    ）    A． B． C． D． 41．如图，四边形是矩形，点F是边的三等分点，，点是边的中点，连接，得到；点是的中点，连接得到；点是的中点，连接，得到；…按照此规律继续进行下去，若矩形的面积等于6，则的面积是______． 题型13.矩形与多结论问题的判断 42．如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接，，，，下列结论：①；②；③；④若，则．其中所有正确的结论是______．    43．如图，在矩形中，，，分别平分，交于点E，F，且，相交于点O，连接并延长交于点G．则下面结论正确的是________．（写出所有正确结论的序号） ①； ②四边形是轴对称图形； ③； ④． 44．如图，矩形中，，对角线相交于O，过C点作交于E点，H为中点，连接交于G点，交的延长线于F点，下列4个结论：①；②；③；④．正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 解答题 45．在中，平分交对角线于点，交射线于点E，将线段绕点E顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当时，连接，求证：； (2)如图2，当时，过点作于点，连接，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 46．如图，嘉淇同学用一张矩形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，为．当嘉淇折叠时，顶点D落在边上的点F处（折痕为）． (1) ， ； (2)求的长． 47．阅读下面材料，并完成相应的任务． 三等分角是古希腊三大几何问题之一．如图，任意可被看作是矩形的对角线与边的夹角，以点为端点的射线交于点，交的延长线于点．若，则是的一个三等分角． 证明：如图，取的中点，连接． ∵四边形是矩形，∴，．∴． 在中，∵点是的中点，∴，，． …… 任务一：上而证明过程中得出“”的依据是______； 任务二：完成材料证明中的剩余部分． 48．如图所示，在四边形中，对角线，相交于点O，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，于点E，求的度数． 49．如图，在中，，是边上的中线，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两直线交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点O，若，，求四边形的面积． 50．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，且，，经过点的直线与轴、轴分别交于点、． (1)直接写出矩形的顶点、、的坐标．（   ），（   ），（   ）． (2)求证：． (3)把直线沿轴平移，当直线经过点时，求此时直线解析式． (4)为直线上的点，若，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06矩形专项训练 题型01.矩形的性质及应用 题型02.求矩形在坐标系中的坐标 题型03.矩形与折叠问题 题型04.证明四边形是矩形 题型05.添条件使四边形是矩形 题型06.由矩形的性质与判定求角度 题型07.由矩形的性质与判定求线段长 题型08.由矩形的性质与判定求面积 题型09.矩形与最值问题 题型10.矩形的存在性问题 题型11.矩形与动点问题 题型12.矩形与规律探究 题型13.矩形与多结论问题的判断 解答题6题 题型01.矩形的性质及应用 1．点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由矩形的性质得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，进一步证明，即可得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．如图，在矩形中，点、分别在边，上，且，，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是设出未知数使用勾股定理建立方程． 连接，设，则有，先由勾股定理求解出，再表示出，，再由勾股定理求解x的值，即可求解的长． 【详解】解：连接，如图， 设，则有， 在中，， 在中，， 在中，， ∵，即， 在中，， 即，解得， ∴． 故选：C． 3．如图，长方形的面积为，那么三角形的面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质及三角形面积，熟练掌握矩形的性质是解题关键．连接，根据矩形的性质得出，由图可知，利用三角形面积公式即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵长方形的面积为， ∴， 由图可知， ∴，即， 解得：． 故选：A． 4．如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角与内角的关系，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 连接，与交于点，利用矩形的性质里对角线相等且互相平分得和是等边三角形，通过等边对等角得，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和推得的度数，根据三角形的内角和等于即可求解． 【详解】解：如图，连接，与交于点， 四边形是矩形，且， ，，，， ，， ， ， 是等边三角形， ， 是的一个外角， ， ． 故答案为：． 5．如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交，于点E、F，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为_________．    【答案】21 【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，由矩形的性质可证明，即可求解． 【详解】解：作于M，交于N，如图，    则四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴， ∴，，，，， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：21． 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，坐标与图形，轴对称图形．根据矩形性质：点A和点C关于原点对称，得点C的坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴点A和点C关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 7．如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是___________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得到，则由等边对等角和三角形外角的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：∵在矩形中，对角线，相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型02.求矩形在坐标系中的坐标 8．平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A(10，0)，点C(0，4)，点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当OP=OD时，点P的坐标为______． 【答案】（3，4） 【分析】根据点A（10，0），点C（0，4），点D是OA的中点，得OD=OP=OA=5，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由已知得OD=OP=OA=5，OC=4， 由勾股定理得CP==3， 则点P的坐标为（3，4）， 故答案为：（3，4）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理等知识，正确的识别图形是解题的关键． 9．如图在平面直角坐标系中，多边形的顶点坐标分别是．若直线将多边形分割成面积相等的两部分，如直线，则还有满足条件的直线的函数表达式是_________． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数则需要两组的值．也考查了矩形的性质、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征．延长交轴于点，连接、，它们相交于点，连接、，它们相交于点，如图，则四边形和四边形都为矩形，根据矩形为中心对称图形可判断直线平分多边形的面积；延长交于点，连接、，它们相交于点，连接、，它们相交于点，如图，则四边形和四边形都为矩形，根据矩形为中心对称图形可判断直线平分多边形的面积，然后利用待定系数法分别求出直线和直线的解析式即可． 【详解】解：延长交轴于点，连接、，它们相交于点，连接、，它们相交于点，如图1， ， 四边形和四边形都为矩形， ，， 设直线的解析式为 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为； 延长交于点，连接、，它们相交于点，连接、，它们相交于点，如图， ， 四边形和四边形都为矩形， ，， 设直线的解析式为 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为， 综上所述，满足条件的直线的函数表达式是或． 故答案为：或． 10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴上，，轴，点的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点的对称点为，且交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，轴对称，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识点，先证出四边形是矩形，由点C的坐标和轴对称变换可证出，再由勾股定理即可得出的长，进而即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解决此题的关键． 【详解】∵，轴，， ∴四边形是矩形， ∵点的坐标为， ∴，， ∴由轴对称变换可知，，， 又∵， ∴， ∴， ∴在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型03.矩形与折叠问题 11．如图，长方形中，，，，点E为射线上的一个动点，若与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为（        ）      A．2 B．18 C．2或18 D．以上都不正确 【答案】C 【分析】分点在线段上，点在线段的延长线上两种情况讨论，由题意可得 根据勾股定理和全等三角形的性质，可求的长. 【详解】若点在线段上，      ∵若与 关于直线BE对称， 为直角三角形， ， ， ， ， ∴点, 点, 点共线， 在中, , ， ∴, 若点在线段的延长线上，且点在 上,       , 在中, ， ，, ， 在 和中, ， ， ， ∴, 综上, 的长度为或, 故选:. 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键. 12．如图，矩形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为， 若，， 的长是______． 【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据折叠的性质得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得到，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13．小雅同学手中有一张矩形纸片，他进行了如下操作：第一步，如图将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平；第二步，如图，再一次折叠纸片，把沿折叠得到交折痕于点，则到的距离为__________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质推出，进而得出，设，则，根据勾股定理可得：，列出方程求解得出，再得出，利用等面积法求出点到的距离，进而即可得出到的距离． 【详解】解：四边形是矩形，，， ， 由折叠可得：，，，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 则， 则点到的距离为：， 则点到的距离为：． 14．如图，在矩形中，，，在和上分别有点、，连、、．点关于的对称点，点关于的对称点，若、刚好邻落在对角线上，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用矩形性质和轴对称性质，先求出对角线的长度，再根据对称得到对应线段相等，结合勾股定理列方程求出、的长度，最后在中用勾股定理计算的长度． 【详解】解：连接、， 四边形是矩形，，， ，，， ， 点关于的对称点为，点关于的对称点为， ，，，，， ，，， 设，则， 在中，， ， ， 解得， ， 设，则， 在中，， ， ， 解得， ， 在中， ． 题型04.证明四边形是矩形 15．四边形的对角线，交于点，下列各组条件不能判定四边形是矩形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定，解题的关键是熟练掌握矩形的判定定理． 根据矩形的判定定理，逐一分析各选项条件是否满足矩形的定义或判定条件． 【详解】解：A、，，说明四边形是平行四边形，，说明对角线相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定为矩形，选项A不符合题意， B、，，说明四边形是平行四边形，，说明对角线垂直，此时平行四边形为菱形，但菱形的对角线不一定相等，无法保证四个角为直角，故不能判定为矩形，选项B符合题意， C、，，说明四边形是平行四边形，，说明有一个直角，根据“有一个直角的平行四边形是矩形”，可判定为矩形，选项C不符合题意， D、，，可推出且，说明是平行四边形；，说明，结合平行四边形性质得，对角线相等，故可判定为矩形，选项D不符合题意， 故选：B． 16．下列条件：①；②；③；④．其中能够判定为矩形的有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质与矩形的判定定理，结合矩形的判定条件逐一分析每个条件是否能判定平行四边形为矩形即可． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ∴，无法判定其为矩形； ②∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴为矩形； ③∵，四边形是平行四边形， ∴为矩形； ④∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴为矩形； 综上，能够判定为矩形的有个． 故选：C． 17．数学综合实践课上，张老师布置了一道作图题，已知线段和，且满足．求作：矩形．以下是贝贝、佳佳两位同学的作业． 贝贝：1．以点为圆心，长为半径画弧； 2．以点A为圆心，长为半径画弧； 3．两弧在上方交于点，连接，，四边形即为所求（如图1）． 佳佳：1．连接，作线段的垂直平分线，交于点； 2．连接并延长，在延长线上取一点，使，连接，，四边形即为所求（如图2）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．贝贝、佳佳两人的作法都不对 B．贝贝、佳佳两人的作法都对 C．贝贝的对，佳佳的不对 D．贝贝的不对，佳佳的对 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定,熟练掌握矩形的判定定理成为解题的关键. 根据两种画法的过程结合矩形的判定性质判断即可. 【详解】解：由甲的作法可知， ∴四边形是平行四边形， 又∵, ∴平行四边形是矩形． ∴甲的作法正确． 由乙的作法可知． ∴四边形是平行四边形， 又∵, ∴平行四边形是矩形． ∴乙的作法正确． 故选B． 题型05.添条件使四边形是矩形 18．如图，平行四边形对角线交于点O，请添加一个条件：_____使得是矩形（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，熟悉矩形的判定定理是解题的关键；根据有一个角是直角或对角线相等的平行四边形是矩形即可作出判断． 【详解】解：根据对角线相等的平行四边形是矩形，添加，使得是矩形；其它选项的条件都不能使得是矩形； 故选：D． 19．如图，在中、相交于点，，当____时，是矩形． 【答案】6 【分析】利用平行四边形的性质得出对角线相等时即可判定出四边形是矩形． 【详解】解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴时，四边形是矩形， ∴， ∴当时，四边形是矩形． 20．如图，下列条件中，能够判定平行四边形为矩形的是（ ） . A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，由矩形的判定定理分别对各个选项进行判断即可，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，原选项不符合题意； 、添加不能够判定平行四边形为矩形，原选项不符合题意； 、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，原选项不符合题意； 、四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，原选项符合题意； 故选：． 题型06.由矩形的性质与判定求角度 21．如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（    ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】D 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判定书架是矩形，由矩形的性质可得结论． 【详解】解：用绳子分别测量两条对角线，如果相等，则是矩形，依据是对角线相等的平行四边形为矩形，然后由矩形的四个角都是直角可得侧边和上、下底都垂直， 故选D． 【点睛】本题主要考查对矩形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用矩形的判定定理解决实际问题是解此题的关键． 22．如图所示，把一张矩形纸片按如图所示方法进行两次折叠，得到等腰Rt△ABC，若S△ABC＝2，则S△ACD＝__． 【答案】4+4 【分析】根据折叠的性质可得，分别求出，，求出，即可得出． 【详解】解：如图：过点作于点， 是等腰直角三角形，， ，即， ， 折叠， ，， 纸片为矩形， 折叠后，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠问题，矩形的性质，等腰直角三角形，三角形的面积，勾股定理，通过折叠得出是解题的关键. 23．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】判断出△ABE是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACB＝30°，再判断出△ABO，△DOC是等边三角形，可判断①；根据等边三角形的性质求出OB＝AB，再求出OB＝BE，可判断②，由直角三角形的性质可得BC＝AB，可判断③，由等腰三角形性质求出∠BOE＝75°，再根据∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝135°，可判断④；由面积公式可得可判断⑤；即可求解． 【详解】解：∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴∠AEB＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AB＝BE， ∵∠CAE＝15°， ∴∠ACE＝∠AEB−∠CAE＝45°−15°＝30°， ∴∠BAO＝90°−30°＝60°， ∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD， ∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确； ∴OB＝AB， 又∵ AB＝BE， ∴OB＝BE， ∴△BOE是等腰三角形，故②正确； 在Rt△ABC中 ∵∠ACB=30° ∴BC＝AB，故③错误； ∵∠OBE＝∠ABC−∠ABO＝90°−60°＝30°＝∠ACB， ∴∠BOE＝（180°−30°）＝75°， ∴∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝60°＋75°＝135°，故④错误； ∵AO＝CO， ∴，故⑤正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键． 题型07.由矩形的性质与判定求线段长 24．如图，，，若，，，连接，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点D作交延长线于点E，证明出四边形是矩形，得到，，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作交延长线于点E ∵，， ∴四边形是矩形 ∴，， ∴ ∴． 故选：A． 25．如图，，内的某一点P到这个角两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为________． 【答案】12 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解题关键是通过直角条件判定四边形为矩形，再利用矩形对边相等的性质，将周长转化为已知距离和的倍． 先判断四边形的形状，再结合矩形性质与已知条件求解周长。观察图形中各角均为直角，可确定四边形为矩形；利用矩形对边相等的性质，结合点到角两边距离之和的条件，进而计算周长． 【详解】解：∵，，， ∴． ∴四边形是矩形． ∴，． ， ． ∴四边形周长 ． 故答案为：． 26．如图，矩形中，，点是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接交于点．若是的中点，则的长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】过点作于点，证四边形和四边形为矩形，得出，，根据证，得出，又垂直平分，得出，令，则，进而，，，在中，，进行求解即可． 【详解】解：过点作于点， 在矩形中，， 四边形和四边形为矩形， 又，， ，， 是的中点， ， 又， ， 又， ， ， 垂直平分， ， 令，则， 又， ， ，， 在中，， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，利用勾股定理解直角三角形以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造直角三角形利用勾股定理求边长是解决本题的关键． 题型08.由矩形的性质与判定求面积 27．如图在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，对角线AC，BD交于点O，过点O作BD的垂线交AD于点M，过点M作AC的垂线，垂足为点N，则MO+MN的值是______________． 【答案】 【分析】根据，勾股定理求得，根据矩形的性质可得，根据等面积法即可求解． 【详解】解：∵在矩形ABCD中，AB=3，AD=4， ，， ， ， ， ， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键． 28．小丽在一次拼图游戏时，先用图形①②③④拼出矩形，又用图形①②③⑤拼出矩形，图形④⑤都是矩形，且 ，记图形④的面积为 ，图形⑤的面积为. 若 ，则 的值是______． 【答案】35 【分析】本题考查面积代换，矩形的性质和应用，熟练掌握面积之间的关系是解题的关键；根据图形分析面积的关系，结合矩形的性质即可得解． 【详解】解：如下图： 在矩形中，， ， 在矩形中，， ， 由图形①②③，可知， ，，， ， ， ， 则④和⑤的宽相等， 设， ， ， 即， 设，则， 可知， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 29．如图，矩形在矩形的内部，且，点，在对角线的异侧．连结，，，，若矩形矩形，且两个矩形的周长已知．只需要知道下列哪个值就一定可以求得四边形的面积（　　） A．矩形的面积 B．的度数 C．四边形的周长 D．的长度 【答案】A 【分析】连接，，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设小矩形的长和宽分别为和，大矩形的长和宽分别为和，，，然后用分割法求得四边形的面积，进而可以根据条件得到结果． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ， 四边形、四边形是矩形， 设小矩形的长和宽分别为和，大矩形的长和宽分别为和，，，则，，，， ，，，， ， 矩形和矩形的周长已知， 和为定值， 为定值， 为定值， ， 当已知时，四边形的面积即为定值， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，解题的关键是学会设矩形的长和宽并用含有未知数的式子表示矩形、矩形和四边形的面积． 题型09.矩形与最值问题 30．如图，在矩形中，为矩形内一点，连接，，，，，，则的最小值为_____． 【答案】4 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后找到取得最小值时P所在的位置，然后根据勾股定理和圆的半径都相等，即可求得的最小值． 【详解】解：以的中点O为圆心，长为半径作圆，连接交于点，如图， ∵， ∴点P在圆上， ∴当点P在的位置时，取得最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、与圆有关的性质、最值问题，解答本题的关键是明确题意，找出取得最小值时P所在的位置． 31．如图，在矩形中，，，点P从点A向点C运动，点Q同时从点C以相同的速度向点D运动，当点Q到达点D时，两个点同时停止运动．在运动过程中，的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，对称的性质，解直角三角形等知识．作关于对称的对称点，连接，在上截取，过点G作交延长线于点H，连接，证明，得到，当点B，点Q，点G三点共线时，有最小值为的长，解直角三角形求出，，进而求出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作关于对称的对称点，连接，在上截取，过点G作交延长线于点H，连接， ∵点P、Q分别从点A、C同时出发以相同的速度运动， ∴， 由对称的性质得， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点B，点Q，点G三点共线时，有最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理可得：， 故答案为：． 32．如图，在矩形中，，，，分别在，边上．连接，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】通过构造全等三角形，将线段转化为，利用两点之间线段最短确定的最小值为线段的长度，再通过构造全等三角形与矩形，结合勾股定理计算的长度． 【详解】解：连接， 四边形是矩形，，， ，，， 由勾股定理得： 以为一边作，在上取点，使，连接、，过作于点，交于点 ，，， ， ， ． 两点之间线段最短， 当、、三点共线时，取得最小值，最小值为的长． ∵，， ∴， ∴， ∵，, ， ， ，，， 四边形是矩形， ，，， ． 在中，由勾股定理得： ， 的最小值为 题型10.矩形的存在性问题 33．如图，在中，，是上的两点，，连接，，，．为使得四边形是矩形，可以添加的一个条件是____________________（写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 由平行四边形的性质可知，，，再证，则四边形是平行四边形，添加，由矩形的判定可得出结论． 【详解】解：添加的一个条件是：． 理由如下：∵四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形，添加的条件符合要求． 故答案为：（答案不唯一）． 34．如图，在中，E，F为对角线上的两点（点E在点F的上方），． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，下列条件能判定四边形为矩形的是__________（多选）． A． B． C． D． (3)当时，且，，求B，D两点之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)AC (3) 【分析】（1）连接，交于点O，根据平行四边形的性质得到，，结合得到，即可根据对角线互相平分得证四边形是平行四边形； （2）根据矩形的判定方法逐项判断即可； （3）根据勾股定理求出，再由平行四边形的性质得到，，进而求出，从而，即可解答． 【详解】（1）证明：连接，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：A、∵， ∴， ∴为矩形， 故选项A能判定四边形为矩形． B、∵， ∴为菱形， 故选项B不能判定四边形为矩形． C、∵， ∴为矩形， 故选项C能判定四边形为矩形． D、∵， ∴为菱形， 故选项D不能判定四边形为矩形． （3）解：∵，，， ∴在中，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴B，D两点之间的距离为． 35．如图，在中，在的同侧作正、正和正． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当 ______时，四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得，同理，得，则，，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）求出，再由矩形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：、、都是正三角形， ，，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 同理：， ， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：当时， ， ， 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． 题型11.矩形与动点问题 36．如图，在矩形中，，点E、F分别为线段上动点，且，点G是线段上一点，且满足，四边形关于直线对称后得到四边形，连接，当 _______时，点与点D重合，在运动过程中，线段长度的最大值是____________． 【答案】 / 【分析】当与点重合时，设，则，，在中，由勾股定理得： 即可求出；连接交于点，设交于点，先得到点重合，连接，，取的中点，连接，则，，在中，，而，故只有当三点共线时长度最大，此时，在中，，在中，，则． 【详解】解：∵矩形， ∴，， 当与点重合时，如图： 由于轴对称性质可知：， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 则； 如图：连接交于点，设交于点 ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，同理， ∴点重合， 连接，，取的中点，连接，则， ∴，， ∴， 在中，， ∵四边形关于对称得到四边形， ∴， 故只有当三点共线时长度最大， 此时， ∴在中，， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴线段长度的最大值是． 37．如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接、．若，则线段的长为____________． 【答案】 【分析】先确定是等腰直角三角形，再作点关于直线的对称点，利用对称性得到，进而推出在的中点处，再结合等腰直角三角形的性质计算． 【详解】， 是等腰直角三角形， 如图，作点关于直线的对称点，则点在直线上，连接， ， ， ， 此时、、三点共线且， ， ， 在的中点处， ， ． 38．如图，在矩形中，，，是边上一动点，是边上一动点，且，是边上一动点，连接，，．当以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形时，的长为____________． 【答案】4或6或8 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的分类讨论等知识点，掌握通过构造全等三角形转化线段关系、列方程求解，以及对等腰直角三角形直角顶点的分类讨论方法是解题的关键． 设，则，根据等腰直角三角形直角顶点的不同，分三种情况讨论，通过构造全等三角形，利用矩形性质和全等三角形对应边相等列方程求解的值． 【详解】解：设，则． ①如图①，当，且时，可证得， ． ， 解得． ②如图②，当，且时，过点作于点， 在 和 中， ∴， ， ， 解得． ③如图③，当，且时，过点作于点， 在和中， ， ，，四边形是矩形， ，即， 解得． 综上，的长为或或． 故答案为：或或． 题型12.矩形与规律探究 39．如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2022次相遇地点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出矩形的周长，求出两物体每次相遇所需的时间，进而得到相应的规律，进行求解即可． 【详解】解：由图可知，矩形长为，宽为，矩形的周长为， ∴每次相遇需要的时间为：秒， ∵物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动， ∴每次相遇，甲走的路程为个单位长度， ∴第3次相遇时，两个物体回到起点，即每经过3次相遇，两个物体回到起点， ∵， ∴两个物体运动后的第2022次相遇回到起点． 40．在平面直角坐标系中，点A、点B在坐标轴上，且，以、为边作一个矩形，其一条对角线所在直线的解析式为，将此矩形作为基本图形不断复制和平移，如图所示，若各矩形的对称中心分别为，则的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数解析式求出的坐标，再分别求出，的坐标，探究规律后解决问题． 【详解】解：在矩形中，，即， ∴，，代入中， 得，解得：， ∴，， ，， ，， ， ，，即，． 故选C． 【点睛】本题考查规律型点的坐标，矩形的性质平移，正比例函数的性质． 41．如图，四边形是矩形，点F是边的三等分点，，点是边的中点，连接，得到；点是的中点，连接得到；点是的中点，连接，得到；…按照此规律继续进行下去，若矩形的面积等于6，则的面积是______． 【答案】 【分析】根据题意，并结合矩形的性质可得：，，而，整理可得：，再表示出的面积，观察规律可得：，从而可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， 点是边的中点， ， ∵是的中点， ∴， ∴， 整理得：， 同理可得：， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的面积，规律型：图形的变化类．解答的关键是明确，通过整理归纳出其规律． 题型13.矩形与多结论问题的判断 42．如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接，，，，下列结论：①；②；③；④若，则．其中所有正确的结论是______．    【答案】①③/③① 【分析】先求出，判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，，从而得到，故①正确；再求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再求出，然后利用“边角边”证明，得到，由，得到.，，故②错误；由于，得到，故③正确；由是等腰直角三角形得到，求得，过作于，求得，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，故①正确； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点为的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴设，， ∵， ∵，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 过作于，如图：    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上分析可知，①③正确． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键． 43．如图，在矩形中，，，分别平分，交于点E，F，且，相交于点O，连接并延长交于点G．则下面结论正确的是________．（写出所有正确结论的序号） ①； ②四边形是轴对称图形； ③； ④． 【答案】①②③ 【分析】①根据矩形的性质和角平分线的性质即可得出答案；②连接，根据①中的结论可知是等腰直角三角形，再结合的长可求出，从而得出结论；③延长、相交于点H，根据题中条件证明，可得，即可证出结论；④取的中点M，连接，可知，即可求出答案． 【详解】解：①∵四边形是矩形，，分别平分，， ∴， ∴， ∴； ②连接，如图所示， 由①知，是等腰直角三角形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是以为对称轴的轴对称图形； ③延长、相交于点H，如图所示， ∵四边形是矩形，，分别平分，， ∴，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由①得，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，   ∴， 由②知，是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ④取的中点M，连接，如图所示， ∵四边形是矩形，， ∴， 由③知，， ∴， ∴点O为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， 由③得，，， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了矩形的综合问题，涉及全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确做出辅助线是解题关键． 44．如图，矩形中，，对角线相交于O，过C点作交于E点，H为中点，连接交于G点，交的延长线于F点，下列4个结论：①；②；③；④．正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用直角三角形的斜边中线可判断①结论；根据等边对等角和等角的余角相等可判断②结论；利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定可判断③结论；根据等边对等角的性质，得出，结合三角形外角的性质，得出，再结合等角对等边，可判断④结论． 【详解】解：在中，H为中点， ， ， ，①结论正确； ， ， ，， ，②结论正确； 如图，连接， ，， ， 同理可得，， ，即， ， 不能得出，③结论错误； ， ， 矩形， ，，， ，， 由②可知，， ， ， ， ， ， ， ，④结论正确． 解答题 45．在中，平分交对角线于点，交射线于点E，将线段绕点E顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当时，连接，求证：； (2)如图2，当时，过点作于点，连接，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，得出，，证明，得出，证明是等边三角形，得出； （2）连接，证明四边形为矩形，得出，，证明，得出， 根据勾股定理得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图1，连接， 根据旋转可得：，， ∴是等边三角形， ，， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴， ， ， ， 平分， ， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ， 是等边三角形． ． （2）解：， 理由：如图2，连接， 在中，， ∴四边形为矩形， ，， 平分， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 46．如图，嘉淇同学用一张矩形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，为．当嘉淇折叠时，顶点D落在边上的点F处（折痕为）． (1) ， ； (2)求的长． 【答案】(1)6，4 (2) 【分析】（1）由矩形的性质及勾股定理可得出答案； （2）设，由勾股定理可得，则可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，，，是 折叠得到， ∴．， ∴在中，， ∴． （2）解：设， ∴，． 在中，， ∴， 解得：， ∴． 47．阅读下面材料，并完成相应的任务． 三等分角是古希腊三大几何问题之一．如图，任意可被看作是矩形的对角线与边的夹角，以点为端点的射线交于点，交的延长线于点．若，则是的一个三等分角． 证明：如图，取的中点，连接． ∵四边形是矩形，∴，．∴． 在中，∵点是的中点，∴，，． …… 任务一：上而证明过程中得出“”的依据是______； 任务二：完成材料证明中的剩余部分． 【答案】任务一：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；任务二：见详解 【分析】任务一：根据证明过程可知的依据是：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 任务二：取的中点G，连接，先证得，得出，进一步得出，再根据平行线的性质证得，进而证得结论. 【详解】解：任务一：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 任务二：如图，取的中点，连接． ∵四边形是矩形， ∴，． ∴． 在中，∵点是的中点， ∴，，． ∵， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴射线是的一条三等分线； 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形斜边中线，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半解决问题． 48．如图所示，在四边形中，对角线，相交于点O，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，于点E，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，利用勾股定理逆定理，得到，即可得证； （2）求出的度数，根据三角形的内角和，求出，然后根据，得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵在四边形中，对角线，相交于点O，，， ∴四边形是平行四边形，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）∵四边形是矩形 ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键．注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 49．如图，在中，，是边上的中线，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两直线交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点O，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只要证明四边形是平行四边形，且即可； （2）利用等腰三角形的性质与矩形的性质求出，，进而即可求出面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是边上的中线， ∴，即， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，是边上的中线， ∴． 由（1）知，四边形是矩形，， ∴， 在中，． ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质、等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法． 50．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，且，，经过点的直线与轴、轴分别交于点、． (1)直接写出矩形的顶点、、的坐标．（   ），（   ），（   ）． (2)求证：． (3)把直线沿轴平移，当直线经过点时，求此时直线解析式． (4)为直线上的点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4)点的坐标为或． 【分析】本题考查一次函数和矩形的性质，注意掌握并能将线段长度和点的坐标进行互相转化，在第三问的求解中，要先设出点的坐标，根据面积关系进行求解． （1）根据题意可得点的纵坐标为，代入函数解析式可得出点的坐标，结合矩形的性质可得出、、的坐标； （2）由题意先求出、的长度，从而利用证明即可； （3）设平移后的直线解析式为，代入的坐标，即可求解； （4）根据题意设点的坐标为，则可表示出，解出的值讨论即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 故可设点的坐标为， 又点在直线上， ， 解得：，即点的坐标为， 四边形是矩形， ， 故可得点、、的坐标分别为、、． 故答案为： ． （2）直线与轴、轴坐标分别为 、 ， ， 在和中， ∴． （3）平移后的直线解析式为，代入，得 解得： ∴ （4）设点的坐标为，则， 解得：， ①当时，；②当时，， 故点的坐标为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $