17.3 一元二次方程根的判别式-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（沪科版·新教材）

.'.n2-ac≥0. :由公式法，可知方程的根为x -b士√Bc=一2士√c 2a 2a -2,±2Wn2-ac=-n±√nac 2a ∴.一元二次方程a.x2十2x十c=0 (n2-ac≥0，n为整数)的求根公式为 x=-1±√n-ac 15.将3看成“未知数”，x看成“已知 数”，则原方程可整理成x·3 x2+13+(+)=0, 1 a=x,b=-(z2+1,c=4x3+ 22, .b2-4ac=[-(x2+1)]2-4x· (仔r+)=1>0 :易知x≠0， 3=出，解得3=号或 2.x 3=22+2 2x 当3=号时，解得x=6: 当3=十2时，解得x,=3-7, x3=3十√7.经检验，x2=3一√7 x3=3十√7都是所列分式方程的根. 综上所述，原方程的根为x1=6,x2= 3-√7，x3=3+√7. 第3课时因式分解法 1.C 易错警示 在方程两边同时除以含有 未知数的式子导致失根 本题易出现方程的两边同时 除以(x+4),得x=5的错误. 等式两边不能同时除以0，方 程的两边不能同时除以含未知数 的式子. 2.C3.x1=0,x2=2 42x-D(e+2） 5.(1)原方程化为x(x一1)十2(x 1)=0. 把方程左边分解因式，得(x一1)(x十 2)=0. .x一1=0或x+2=0,解得x1=1, x2=-2. (2)把方程左边分解因式，得(x 5)(x+1)=0. .x一5=0或x+1=0,解得x1=5, x2=-1. (3)将原方程化为一般形式，得x2 6x+8=0. 把方程左边分解因式，得(x一2)(x一 4)=0. .x一2=0或x一4=0，解得x1=2, x2=4. 6.D7.C 8.C解析：解方程x2一3x+2=0, 得x1=1,x2=2.当三边长为1,1,1 时，1+1>1，符合题意，∴.周长为1十 1+1=3:当三边长为2,2,2时，2十 2>2,符合题意，∴.周长为2十2十2= 6当三边长为1,2,2时，1十2>2，符 合题意，∴.周长为1十2+2=5：当三 边长为1,1,2时，此时1+1=2，不能 构成三角形，不符合题意.综上所述， △ABC的周长是3或5或6. 9.C解析：解方程x2-3.x十2=0， 得x1=2,x2=1,.p=1.解方程 3y2-2y-1=0,得y1=1,y2= 、1 -39=1.p+q=2. 10.1或-7 11.1解析：设a=x2十y2,则 a(a+3)=4,即(a+4)(a-1)=0,解 得a1=-4,a2=1.x2+y2≥0， .x2+y2=1. 12.(1)将原方程化为7x2一21x=0. 把方程左边分解因式，得7x(x 3)=0. 7 ∴.7x=0或x-3=0,解得x1=0, x2=3. (2)将原方程化为x2十4x一12=0. 把方程左边分解因式，得(x一2)(x十 6)=0. .x-2=0或x十6=0，解得x1=2, x2=一6. (3)开平方，得3(x一2)=士2(x+1). ∴.3(x-2)=2(x+1)或3(x- 2)=一2(x十1)，解得x1=8, 4 x25 13.(1)(-2)￥3=(-2)3+(-2)× 3-2=-16. (2).(一x)￥2=（一x)2-2x-2= x2-2x-2, .x2-2x-2=1,即x2-2x-3=0, 解得x1=一1，x2=3. 14.(1)设x2一x=a,则原方程可化 为a2-4a十4=0，解得a1=a2=2. 当a=2时，x2-x=2,即x2-x 2=0. 把方程左边分解因式，得(x一2)(x十 1)=0,解得x1=2,x2=一1. .原方程的根为x1=2,x2=一1. (2)设x2=y,则原方程化为y2十 y-12=0. 把方程左边分解因式，得(y一3)(y十 4)=0,解得y1=3,y2=-4. 当y=3时，x2=3,解得x=士5. 当y=-4时，x2=-4,方程没有实 数根. .原方程的根为x1=5,x2=一√. 17.3一元二次方程根的 判别式 1.A2.C3.m>-44.3 5.(1)关于x的方程x2-(m+1) x十4m2=0没有实数根， 1 ∴.△=[-(m+1)]-4×1× 子m㎡2<0，解得m<- 1 ②)“m<-2 .△=12-4×2X(m-3)=25- 8m>0. ∴.关于x的方程2x2十x十m-3=0 有实数根」 6.A解析：根据题意，得x=一1是 方程x2+4x+c'=0的一个根， .1一4+c′=0，解得c′=3.∴.c= c'+2=5.∴.原方程为x2+4x+5= 0.△=42-4×5=-4<0，.原方 程没有实数根. 7.B解析：由题意，可得△=b2十 4a.若a-b-1=0,即a=b+1,则 △=b2+4(b+1)=(b+2)2≥0，.方 程总有实数根.故甲的建议满足方程 总有实数根.若a,b同号，则当a= 一1，b=-1时，△=1一4=一3<0，方 程没有实数根.故乙的建议不满足方 程总有实数根.若a+b一1=0，即 a=一b+1,则△=b2+4(一b+1)= (b-2)2≥0，∴.方程总有实数根.故 丙的建议满足方程总有实数根..只 有乙的建议不正确 8.A解析：点P(a,c)在第四象 限，.a>0,c<0..ac<0..△= b2-4ac>0.∴.关于x的方程a.x2十 bx十=0有两个不相等的实数根. 9.k5解析：当k一1=0，即k=1 时，方程为4x十1=0，此时方程有一 个实数根.当k一1≠0，即k≠1时，原 方程是一元二次方程.方程有实数 根，∴.△=42-4×(k-1)×1≥0，解 得k5.∴.k≤5且k≠1.综上所述， k的取值范围是k≤5. 易错警示 运用根的判别式求字母的取值 范围时忽略一元二次方程的 限制条件 运用根的判别式时，若二次项 系数中含有字母，要加上二次项系 数不为0这个限制条件：若未指明 方程类型，则需分情况讨论. 10.二11.1 12.16或12解析：当等腰三角形的 底边长为6时，关于x的一元二次方 程x2一8x+m=0有两个相等的实数 根.∴.△=（-8)2一4m=0,解得m= 16..方程为x2-8x十16=0，解得 x1=x2=4.4+4>6,.∴.m=16符 合题意.当等腰三角形的腰长为6时， x=6是关于x的一元二次方程x2 8x十m=0的一个根.把x=6代入方 程，得36-48十m=0,解得m=12. .方程为x2-8x十12=0，解得x1= 2,x2=6.:6+2>6,.m=12符合 题意.综上所述，m的值为16或12. 13.(1)△=(-2k)2-4(k2-1)= 4>0, '.无论k为何值，方程总有两个不相 等的实数根 (2),方程的一个根为x=1, .1-2k+k2-1=0,即k2-2k=0, 解得k=2或k=0. 14.（1):x1x2是关于x的一元二 次方程(m+2)x2+2(m-2)x+m十 10=0的两个实数根， .m+2≠0，且△=[2(m-2)]2 4(m+2)(m+10)≥0，解得m≤-1 且m≠一2. (2),'等腰三角形ABC的底边 BC=4,且x1,x2恰好是△ABC另外 两边的边长， .x1=x2 .'.△=[2(m-2)]2-4(m+2)(m+ 10)=0,解得m=一1. '.原方程为x2一6x+9=0,解得 x1=x2=3. ,3,3,4可以组成三角形， ∴.这个三角形的周长为3十3+ 4=10. 15.①②④解析：①若a一b+c= 0,则b=a十c.∴.b2一4ac=(a+ c)2-4ac=(a-c)≥0.故①正确： ②由条件可知，△=0-4ac>0, 8 .-4ac>0.又方程ax2+bx+ c=0根的判别式为△=b2-4ac, ∴.b2-4ac>0.∴.方程a.x2十bx十 c一0有两个不相等的实数根.故②正 确：③：c是方程a.x2十br十c=0的 一个根，.ac2十bc十c=0..c(ac十 b+1)=0.∴.c=0或ac+b+1=0, 即有两种可能性.故③错误；④若x 是一元二次方程ax2十bx十c=0的 根，则x0= -b+√64ac或xn= 2a -b-W62-4a 2a .∴.2a.xm+b= √b2-4ac或2a.x0+b= -√02-4ac.∴.b2-4ac= (2a.xn十b)2.故④正确. 16.(1)△ABC为等腰三角形. 理由：由条件可知，c+a一2b十c a=0, ∴.c=b. ∴.△ABC为等腰三角形 (2)由条件可知，a=b=c, .方程化为x2-x=0,解得x1=0, x2=1. 17.4一元二次方程的根 与系数的关系 1.C2.D3.B4.-35.1 6.(1)把x1=-1代人方程(x-1)· (x-2)=m2,得m2=6, ,'.m=士√6 .(x-1)(x-2)=6,即x2-3x- 4=0,解得x1=-1,x2=4. ∴.x2=4,m=士6. (2)方程(x-1)(.x-2)=m2可化为 x2-3.x+2-m2=0. 方程(x-1)(x-2)=m2,即x2- 3.x十2-m2=0的两根为x1x2, .x1十x2=3,x1·x2=2-m2. .(x1-1)(x2-1)=x1·x2- (x1+x2)+1=2-m2-3+1= -m2.拔尖特训·数学（沪科版）八年级下 17.3一元二次 自基础进阶 1.(2025·河南)一元二次方程x2一2x=0的根 的情况是 ( A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 2.(2025·德阳)若关于x的一元二次方程 一2x2十4x十k=0有两个相等的实数根，则 k的值是 ( A.2 B.0 C.-2 D.-4 3.若关于x的一元二次方程x2+4x一m=0有 两个不相等的实数根，则实数的取值范围 是 4.若k为整数，且关于x的一元二次方程(k 1)x2一2(k+1)x+k+5=0有实数根，则整 数k的最大值为 5已知关于x的方程x2-(m+1Dx+m2=0 没有实数根， (1)求实数m的取值范围. (2)判断关于x的方程2x2+x十m一3=0 是否有实数根， 24 方程根的判别式 幻素能攀升 6.小刚在解关于x的方程a.x2+bx十c=0(a卡 0)时，只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根 是x=一1.他核对时发现所抄的c(记为c') 比原方程的c小2，则原方程的根的情况是 () A没有实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有一个根是x=一1 D.有两个相等的实数根 7.探讨关于x的一元二次方程ax2十bx一1=0 总有实数根的条件，以下是三名同学给出的 建议.甲：a-b-1=0;乙：a,b同号；丙：a十 b一1=0.下列判断正确的是 () A.甲、乙、丙的建议都正确 B.只有乙的建议不正确 C.甲、乙、丙的建议都不正确 D.只有甲的建议正确 8.(2023·广安)已知a,b,c为常数，点P(a,c) 在第四象限，则关于x的方程ax2十bx十c= 0的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 9.易错题若关于x的方程(k一1)x2十4x十 1=0有实数根，则实数k的取值范围是 10.(2025·宣城宁国期中)已知关于x 的一元二次方程mx2一2x一1= 无实数根，则一次函数y=一m.x+ m的图象不经过第 象限. 11.（2025·宣城宁国一模)若关于x的一元二 次方程x2+bx十c=0有两个相等的实数 根，则2b2一8c+1的值为 12.若一个等腰三角形的一边长为6，另两边的 长是关于x的一元二次方程x2一8x十m 0的两个根，则实数m的值为 13.(2025·阜阳阜南期末)已知关于 的一元二次方程x2一2kx十k2一 1=0. (1)求证：无论k为何值，方程总有两个不 相等的实数根， (2)若方程的一个根为x=1,求k的值. 14.(2025·阜阳界首期末)已知x1,x2是关于 x的一元二次方程(m+2)x+2(m 2)x+m+10=0的两个实数根， (1)求m的取值范围. (2)已知等腰三角形ABC的底边BC=4, 若x1,x2恰好是△ABC另外两边的边长， 求这个三角形的周长 第17章一元二次方程及其应用 舒思维拓展 15.(2025·淮北濉溪期中)对于一元二次方程 ax2十bx十c=0(a≠0)，有下列说法：①若 a-b十c=0,则b2-4ac≥0；②若方程 ax2十c=0有两个不相等的实数根，则方程 ax2十bx十c=0必有两个不相等的实数根； ③若c是方程ax2十bx十c=0的一个根， 则一定有ac十b+1=0成立；④如果x。是 一元二次方程a.x2十bx+c=0的根，那么 b-4ac=(2ax。十b)2.其中，正确的是 .(填序号) 16.已知关于x的一元二次方程(c十a)x2 2bx十(c一a)=0,其中a,b,c分别为 △ABC三边的长. (1)如果x=1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由. (2)如果△ABC是等边三角形，试求这个 一元二次方程的根， 25