第7章 相交线与平行线 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（人教版）

拔尖特训·数学（人教版）七年级下 拍照批改 第七章整合拔尖 >“答案与解析”见P12 知识体系构建 两条直线相交 一般情况 相交线 邻补角互补 对项角相等 相交成直角 垂线及其性质 两条直线被第三条直线所截 同位角 内错角 同旁内角 平行线 概念。在同一平面内，不相交的两条直线互相平行 基本事实。 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 推论如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 相交线与平行线 判定 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 性质 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 定义、命题、定理 命题 定义。 可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句 分类。真命题与假命题 定理 经过推理证实的真命题 证明推理一个命题正确性的过程 定义 平移 要素 平移的方向 平移的距离 把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与 性质 原图形的形状和大小完全相同 新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点 是对应点.连接各组对应点得到的线段平行（或在同一条直线上）且相等 平移的应用 9幻高频考点突破 考点一运用对顶角和邻补角解决问题 A.67° B.92 E 典例1(2024·南充期末)如图，直线AB,CD 相交于点O,OE平分∠BOD,OF⊥OE.若 C.113 ∠AOC=46°，则∠COF的度数为 D.134° (典例1图) 24 第七章相交线与平行线 [变式]★如图，直线AB,CD相交于点O,OE平[变式](2024·怀化期末)如图，AB∥CD, 分∠AOD,射线OF在∠BOD内部. ∠FEN=2∠BEN,∠FGH=2∠CGH,则 (1)若∠AOC=56°，求∠BOE的度数. ∠EFG与∠EHG之间的数量关系是 (2)若∠DOE：∠FOD:∠FOB=7:3:1,求 ∠COE的度数. 考点三角度之间的比值问题 典例3如图，AM∥BN,∠A=60°，P是射线 AM上一动点（不与点A重合），BC,BD分别平 分∠ABP和∠PBN,交射线AM于点C,D. (1)∠CBD= (2)当点P运动到某处时，∠ACB=∠ABD,则 此时∠ABC (3)在点P运动的过程中，∠APB与∠ADB 的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比 值；若变化，请找出变化规律 (典例3图) 考点二平行线中的折线问题 典例2(2024·海口期末)有下列结论：①如图 ①，ABCD,则∠A+∠E+∠C=180°；②如 图②，AB∥CD,则∠P=∠A一∠C;③如图③， AB∥CD,则∠E=∠A+∠1；④如图④，直线 AB∥CD∥EF,点O在直线EF上，则∠a ∠3十∠y=180°.其中，正确的个数为 () C D C D ① ③ ④ (典例2图) A.1 B.2 C.3 D.4 25 拔尖特训·数学（人教版）七年级下 [变式]已知AG平分∠BAD,∠BAG=∠BGA, 的度数为 点E,F分别在射线AD,BC上运动，满足 ∠AEF=∠B,连接EG. (1)如图①，当点F在点G左侧时，求证： ② AB∥EF. (2)如图②，当点F在点G右侧时，设∠BAG a,∠GEF=B,请直接用含a,B的式子表示 ∠AGE的度数： (3)在射线BC下方有一点H,连接AH,EH, 满足∠BAH=2∠HAG,EH平分∠FEG.若 ∠FEG=20°，∠BAG=60°，则∠AGE+∠H 综合素能提升 1.如图，直线AB和CD相交于点O,OB平分 间存在2倍关系，则∠ACA'的度数不可能为 ∠DOE,∠EOF=90°.若∠AOF=a, ∠COF=3,则下列等式中，一定成立的是 A.18°B.36° C.72°D.108 ( A.2a+B=90° B.a+23=90° C.a+B=45 D.2a+B=1809 (第3题) (第4题) 4.如图，AB∥CD,∠DBC=2∠ABC,∠BCD 的平分线CE交BD于点E,连接AE.若 ∠BDC=6∠BAE,则∠AEC的度数为 (第1题) (第2题) 2.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而 5.如图，直线ABCD,F为直线AB上一点，G 过，如果第一个拐角处的∠A的度数为72°， 第二个拐角处的角为∠B,第三个拐角处的 为射线BD上一点.若∠CDH=3∠HDG, ∠C的度数为153°，这时道路恰好和第一次 拐弯之前的道路平行，那么∠B的度数为 ∠EBF=号∠GBE,HD交BE于点E,则 3 ( ∠E的度数为 A.81°B.99°C.108°D.1209 D 3.(2024·南阳西峡期末)如图，在锐 B 角三角形ABC中，∠BAC=54°，将 A B F C 三角形ABC沿着射线BC方向平答案讲解 (第5题) (第6题) 移得到三角形A'BC(平移后点A,B,C的 6.如图，直线ab,点A在直线a上，点C,D 对应点分别是A',B',C),连接CA'.若在整 在直线b上，且AB⊥BC,BD平分∠ABC. 个平移过程中，∠ACA'和∠CA'B'的度数之 若∠1=32°，则∠2的度数是 26 第七章相交线与平行线 7.已知直线AB与CD相交于点O,∠AOC=a.8.为了安全起见，某段铁路两旁安置了两座可 (1)如图①，OE平分∠AOD,∠EOF=90°， 旋转探照灯.如图，灯A射出的光束从AM a=30°，求∠BOF的度数， 开始按顺时针方向旋转至AN便立即回转， (2)如图②，∠DOE=专∠AD,∠OF= 灯B射出的光束从BP开始按顺时针方向旋 转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡 60°，a=30°，求∠BOF的度数 视.已知灯A转动的速度是每秒2°，灯B转 (3)如图③，∠D0E-∠A0D,∠0F- 动的速度是每秒1°.假定主道路是平行的，即 PQ//MN. 45°，求<BOE ∠A0元的值 (1)当灯A射出的光束与灯B射出的光束 重合，且∠BAM:∠BAN=2:1时， ∠BAN= (2)若灯B先转动30秒，灯A才开始转动， ① ② 在灯B射出的光束到达BQ之前，灯A转动 多少秒时，两灯射出的光束互相平行？ (3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束 0 交于点E,且∠AEB=120°，则在灯B射出 ③ 的光束到达BQ之前，两灯转动的时间为 (第7题) 秒 (第8题) 27第七章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1C [变式](1)，直线AB,CD相交于 点O, ∴.∠BOD=∠AOC=56°. ∴.∠AOD=180°-∠BOD=124°. .OE平分∠AOD, ·∠DOE=∠A0E=2∠AOD= 62° ∴.∠BOE=∠BOD+∠DOE= 56°+62°=118. (2)·OE平分∠AOD, ∴.∠AOE=∠DOE. ∠DOE:∠FOD:∠FOB=7: 3：1, ,.∠AOE:∠DOE：∠FOD: ∠FOB=7:7:3:1. 7 ·∠A0E=7+7+3中X180°= 3+1 70°，∠B0D=7+7+3+×180= 40°. ∴.∠AOC=∠BOD=40° ∴.∠COE=∠AOC+∠AOE=40°+ 70°=110°. 方法制归纳 运用对顶角及邻补角的 性质进行计算 1.“一个角与它的邻补角的和 等于180”“对顶角相等”等性质在 解题中起着桥梁的作用，它们可以 将未知角和已知角直接联系起来， 使复杂的问题简单化。 2.若两条直线相交，则有对顶 角、邻补角出现，我们要善于挖掘 这些隐含条件，使其与已知条件相 联系，从而使所求问题得到解决. 典例2B [变式]∠EFG=3∠EHG-180 解析：如图，分别过点H,F作HQ∥ CD,FP∥CD.设∠BEN=a, ∠CGH=B,则∠FEN=2∠BEN= 2a,∠FGH=2∠CGH=23.AB∥ CD,HQ∥CD,.AB∥CD∥HQ. '.∠AEH=∠QHE=∠BEN, ∠CGH=∠QHG.∴.∠EHG= ∠QHE+∠QHG=∠BEN+ ∠CGH=a+R.:AB∥CD,FP∥ CD,∴.AB∥CD∥FP..∠PFG= ∠CGF,∠PFE=∠AEF.∴.∠EFG ∠PFG-∠PFE=(23+B) (180°-2a-a)=3(a+3)-180. ∴.∠EFG=3∠EHG-180. H G D 典例3(1)60.解析：，AM∥ BN,∴.∠A+∠ABN=180. ∠A=60°，∴.∠ABN=180°- ∠A=120°.又BC,BD分别平分 ∠ABP和∠PBN,∴.∠CBP= 2∠ABP,∠DBP= 1 ∠PBN. ∴.∠CBD=∠CBP+∠DBP= Z(∠ABP+∠PBN)-2∠ABN自 60° (2)30.解析：：AM∥BN, ∴.∠ACB=∠CBN.又，∠ACB= ∠ABD,.∠CBN=∠ABD. .∠ABC=∠ABD-∠CBD= ∠CBN-∠CBD=∠DBN.BC, BD分别平分∠ABP和∠PBN, ∴.∠ABC=∠CBP=∠DBP= ∠DBN.∴.∠ABC= ∠ABN= 30」 (3)不变. AM//BN, ∴.∠APB=∠PBN,∠ADB= ∠DBN. 又.BD平分∠PBN, ·∠ADB=∠DBN=号∠PBN= ∠ANPB .∠APB·∠ADB=2：1,即在点 P运动的过程中，∠APB与∠ADB 的比值为2，是不变的. 12 [变式](1)：AG平分∠BAD, ∴.∠BAG=∠DAG. .∠BAG=∠BGA, '.∠BGA=∠DAG. .AD∥BC. ∴.∠B+∠BAD=180. ∠AEF=∠B, ∴.∠AEF+∠BAD=180. ∴.AB∥EF. (2)a+3.解析：由(1)，易知AD∥ BC,AB∥EF.:∠BAG=∠BGA, ∠BAG=a,.易得∠EAG= ∠BGA=∠BAG=a.∴.∠B= 180°-2a.∠AEF=∠B=180° 2a,∠GEF=B,∴.∠GEA=180°- 2a-B.AD∥BC,.∠EGF= ∠GEA=180°-2a-B.∴.∠AGE= 180°-∠AGB-∠EGF=180°-a (180°-2a-3B)=a+3. (3)70或130°.解析：AG平分 ∠BAD,∠BAG=∠BGA,∠BAG= 60°，∴.易得∠BAG=∠BGA= ∠DAG=∠B=60°.：∠AEF= ∠B,∠BAH=2∠HAG,∴.∠AEF= ∠B=60°，∠HAG=20°，∠BAH= 40°.，EH平分∠FEG,∠FEG= 20°，∴.∠FEH=∠GEH=10°.当 点F在点G左侧时，如图①，在三角 形HAE中，∠H=180°-∠HAE- ∠AEH=180°-∠HAG-∠GAE ∠AEF-∠FEH=180°-20°-60° 60°-10°=30°.在三角形GAE中， ∠AGE=180°-∠GAE-∠AEG= 180°-∠GAE-∠AEF-∠FEG= 180°-60°.-60°-20°=40°， .∠AGE+∠H=70°.当点F在 点G右侧时，如图②，在三角形HAE 中，∠H=180°-∠HAE ∠AEH=180°-∠HAG-∠GAE (∠AEF-∠FEH)=180°-20° 60°-(60°-10°)=50°.在三角形 GAE中，∠AGE=180°-∠GAE- (∠AEF-∠GEF)=180°-60°- (60°-20)=80°.∴.∠AGE+∠H= 130°.综上所述，∠AGE+∠H的度 数为70或130. H ① H ② [综合素能提升] 1.A2.B 3.C解析：第一种情况：当点B在 线段BC上时，过点C向上作CG∥ AB.'三角形A'B'C由三角形ABC 平移得到，.AB∥A'B'..CG∥ AB,∴.CG∥AB∥AB'..∠ACG= ∠BAC=54°，∠A'CG=∠CA'B'.设 ∠CA'B=x,则∠A'CG=x.①当 ∠ACA'=2∠CA'B时，∠ACA' 2x.∠ACG=∠ACA'+∠A'CG, .2x十x=54°，解得x=18. ∴.∠ACA′=2x=36.②当 ∠CA'B'=2∠ACA'时，∠ACA'= 2x.'∠ACG=∠ACA'+∠A'CG, 1 ·2x+x=54,解得x=369, ·∠ACA'=1=18:第二种情况： 当点B在线段BC的延长线上时，过 点C向上作CG∥AB.,三角形 A'B'C'由三角形ABC平移得到， ∴.AB∥A'B'.CG∥AB,.CG∥ AB∥A'B.∴.∠ACG=∠BAC= 54°，∠A'CG=∠CA'B.设 ∠CA'B'=y,则∠A'CG=y.①当 ∠ACA'=2∠CA'B'时，∠ACA'= 2y.∠ACA'=∠A'CG+∠ACG, .2y=y+54°，解得y=54°. .∠ACA'=2y=108.②当 ∠CA'B′=2∠ACA′时，易知 ∠CA'B'<∠ACA',故不存在这种情 况.综上所述，∠ACA'=18或36或 108°. 4.30°解析：如图，过，点E作EF∥ AB..AB∥CD,.∴.AB∥CD∥EF」 ∴.∠BAE=∠AEF,∠DE=∠CEF, ∠ABC=∠BCD.∴、∠AEC= ∠AEF+∠CEF=∠BAE+∠DCE. :∠BCD的平分线CE交BD于 点E,'.可设∠DCE=∠BCE=a,则 ∠ABC=∠BCD=2a..∠DBC= 2∠ABC=4a.设∠BAE=B,则 ∠BDC=6∠BAE=63.,在三角形 BCD中，∠BCD+∠BDC+ ∠DBC=180°，.2a+63+4a= 180°.∴a+B=30.∴.∠BAE+ ∠DCE=30°，即∠AEC=30°. B A C (第4题) 5.45解析：设∠CDH=x, ∠EBF=.:∠CDH=3∠HDG, ∠EBF=3∠GBE,·∠HDG 3.x,∠GBE=3y.AB∥CD, ∴.∠ABD=∠CDG=4x.,∠ABD+ ∠DBE+∠EBF=180°，∴.4x十 3y+y=180°..x+y=45°. :∠BDE=∠HDG=3.x,∴.∠E= 180°-3.x-3y=180°-3(x+y)= 45°. 6.13 7.(1)∠AOC=a=30°， ∴.∠AOD=180°-∠AOC=150°. 又，OE平分∠AOD, 六∠A0E=日∠A0D=7 又：∠EOF=90, ∴.∠BOF=180°-∠AOE- ∠E0F=180°-75°-90°=15， (2)∠AOC=a=30°， .'.∠AOD=180°-∠AO℃=150. 又：∠DOE=3∠AOD, 2 .∠AOE=3 ∠AOD=100°. 又：∠EOF=60, ∴.∠BOF=180°-∠AOE ∠E0F=180°-100°-60°=20°. 13 (3):∠AOC=a, ∴.∠AOD=180°-∠AOC= 180°-a. 又∠DOE= 1 4 ∠AOD, &.∠AOE=∠AOD= 4(180° 。)=135- 又.∠EOF=45°， ∴.∠BOF=180°-∠AOE-∠EOF= 180-(135°-)-45=a 3 3 ∠BOF4a3 ∠AOCa41 8.(1)60. (2)记灯A射出的光束交PQ于点 C,灯B射出的光束交MN于点D. 设灯A转动t秒时，两灯射出的光束 互相平行. 180°-1×30=150°， ∴.0t<150. ①当0t<90或t=90时，如图①， 可得∠PBD=1°·(30+t)=(30+ t)°，∠CAM=2t°. PQ//MN, .∠PBD=∠BDA. AC//BD, .∠CAM=∠BDA. ∴.∠CAM=∠PBD. .2t=30+t,解得t=30. ②当90<t<150时，如图②，可得 ∠PBD=(30+t)°，∠CAN=(21- 180)°. PQ//MN, .∠PBD+∠BDA=180°. .AC//BD, ∴.∠CAN=∠BDA. ∴.∠PBD+∠CAN=180°. .30+t+(2t-180)=180,解得 t=110. 综上所述，灯A转动30秒或110秒 时，两灯射出的光束互相平行. (3)100或140.解析：设两灯转动 的时间为x秒.如图③，当∠EBP= x°，∠EAN=180°-2x°时， .∠AEB=120°，.易得∠AEB= ∠EAN+∠EBP=180°-2x°+x° 120°，解得x=60.易得此时两束光线 重合，不符合题意，舍去.当∠EBP x°，∠EAN=2x°-180°时，易得 ∠AEB=∠EAN+∠EBP=2.x° 180+x°=120°，解得x=100.如图 ④，当∠MAE=360°-2x°，∠QBE= 180°-x°时，，易得∠AEB= ∠MAE+∠QBE,'.120°=360°- 2.x°+180°-x°，解得x=140.综上所 述，两灯转动的时间为100秒或 140秒. 0 ① ④ (第8题) 第八章实数 8.1平方根 第1课时平方根 1.A2.C3.D4.255.3 6.士2 7.(1)x的一个平方根是3， .x=1一a=9,解得a=一8. (2)x,y都是同一个数的平方根， ∴.1-a=2a-5或1-a+(2a 5)=0,解得a=2或a=4. ∴.(1-a)2=(1-2)2=1或(1 a)2=(1-4)2=9. .这个数是1或9. 8.D9.C10.A 11.一2解析：x是最大的负整 数，'.x=一1.，y是最小的正整 数，∴.y=1.:之是平方根等于本身 的数，.之=0..x一y一之=一1一 1-0=-2 12.±5 13.4解析：由题意，得x2一x十x一 1=0,解得x=士1.当x=1时，x2 x=0,x一1=0，则这个数为0，不合题 意，舍去：当x=-1时，x8一x=2, x一1=一2，则这个数为4.综上所述， 这个数为4. 14.4 15.±12,16,9 81256 解析：由题意，可 知①a2=9×16,解得a=士12： ②16a=92,解得a= 6:⑧9a= 8 162,解得a= ·所有符合条件 256 的数a的值为士12,6,9 81256 16.±16.1 17.(1).4(x-1)2=36, .(x-1)2=9. .x-1=士3. .x=4或x=一2. (2):22x-2y2-8=0, 1号2r-29=8 .(2x-2)2=16. ∴.2x-2=士4. ∴.x=3或x=一1. 18.(1)·一个正数b的两个平方根 分别是a-2与1-2a, ∴.a-2十1-2a=0,解得a=-1. 当a=-1时，a-2=一3， .b=9. ..ab=-9. (2)当a=一1时，原方程可变为 -2x2+5=一3，即x2=4, '.x=士√4=士2 ..关于x的方程2ax2+5=一3的解 为x=士2. 19.(1)设建成的长方形场地的长为 14 6xm,宽为5xm. 由题意，得6.x·5.x=480, 即x2=16, ∴.x=4(负值舍去). ∴.6x=24,5x=20. ∴.建成的长方形场地的长为24m,宽 为20m. (2),正方形空地的面积为900m, .正方形空地的边长为√900= 30(m). ·.正方形空地的周长为4×30= 120(m). 由(1)可知长方形场地的长为24m, 宽为20m, .长方形场地的周长为2×(24+ 20)=88(m). .120-88=32(m). ∴.还剩余32m铁栅栏. 20.(1)·正数x的两个平方根分别 为a和a十b, .a+a+b=0. b=6, ∴.2a+6=0. ∴.a=-3. ∴.x=9. (2),正数x的两个平方根分别为a 和a十b, ∴.(a十b)2=x,a2=x. a2x+(a+b)2x=8, .x2+x2=8. .x2=4. x>0, .x=2. 第2课时算术平方根 1.C2.D3.C4.8cm5.3 6.(1):-4=-√16<-√15， .-4<-√15 (2)√7<√9，w9=3, .√7+1<4. 7+12 631 (3)√4<5<， '.2√53.