第4章 3 第1课时 利用“边边边”判定三角形全等-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版）

拔尖特训·数学（北师版）七年级下 3探索三角形全等的条件 照批改 第1课时利用“边边边”判定三角形全等“答案与解析”见P24 ☑基础进阶 淘素能攀升 1.新情境·现实生活如图，双人漫步机是一种有 5.如图所示为一个风筝模型，其中，AB=AC, 氧运动器材，可以增强人体的心肺功能，降低 DB=DC,BE=CE,点A,E,D在同一条直 血压、改善血糖.这种器材的三角形支架设计 线上，则图中的全等三角形有 () 应用的几何原理是 A.0对B.1对C.2对D.3对 A.三角形的稳定性 B.两点之间线段最短 三角形 支架 C.两点确定一条直线 D.垂线段最短 (第1题) 2.如图，在△ABC中，AB=AC,BD=DC,则 下列结论中，不一定正确的是 () (第5题)》 (第6题) A.△ABD≌△ACDB.∠ADB=90° 6.如图，在△ACD和△BCE中，AC=BC, AD=BE,CD=CE,∠ACE=55°， C∠BAD=2∠B D.AD平分∠BAC ∠BCD=155°，AD与BE相交于点P,则 ∠BPD的度数为 7.新情境·现实生活如图所示为 B D C 一把雨伞的结构示意图，支撑 (第2题) (第3题) 杆DE=DF,支撑点E,F到 3.如图，AC=DB,如果要用“SSS”说明 伞顶A的距离AE=AF.若雨 (第7题) △ABC≌△DCB,那么应增加的条件是 伞在开合的过程中∠BAD=a,则∠BAC的度 数为 ·雨伞撑开后在风中不易变形 4.如图，C是BD的中点，AB=ED,AC=EC. 的原因是 试说明：△ABC≌△EDC. 8.新考法·操作实践题如图，已知四条线段α， b,c,d的长度比为a:b:c:d=1:2:3: C 4,选择其中的三条线段为边作一个三角形 (第4题) (尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出 作法). (第8题) 68 第四章三角形 9.新考法·过程性学习完成下面的说理过程： 思维拓展 如图，在四边形ABCD中，AB=CD,BC= 11.如图，在五边形ABCDE中，AB= AD,试说明：ABCD且BC∥AD. AE,BC=ED,AC=AD D (1)∠B与∠E相等吗？为什么？答案讲解 (2)若F为CD的中点，则AF与CD有怎 样的位置关系？请说明理由， (第9题) 解：如图，连接AC. 因为AB=CD,BC=DA,AC=CA, 所以 ≌ (SSS). CF D 所以 (第11题)》 所以ADBC,ABCD. 10.如图，点B,F,C,E在直线l上（点F,C之 间不能直接测量)，点A,D在直线1的两 侧，测得AB=DE,AC=DF,BF=CE. (1)试说明：△ABC≌△DEF, (2)指出图中所有平行的线段，并说明 理由. D (第10题) 69以∠1+∠2=45°. (第9题) 10.(1)由题意，易知BE⊥AC,CF⊥ AB, 所以∠AEB=∠AFC=90° 所以∠BAE+∠ABE=90°， ∠ACF+∠CAF=90°. 所以∠ABE=∠ACF. (2)AD⊥AG. 理由：因为△ABD≌△GCA, 所以∠ADB=∠GAC. 因为∠ADB+∠ADE=180°， ∠ADE+∠DAE+∠AEB=180°， 所以∠ADB=∠DAE+∠AEB. 因为∠GAC=∠GAD+∠DAE, 所以∠GAD=∠AEB=90°. 所以AD⊥AG. 11.(1)因为△ABC≌△DEB,DE 8,BC=5, 所以AB=DE=8,BC=EB=5. 所以AE=AB-EB=8-5=3. (2)因为△ABC≌△DEB,∠D 35°，∠C=60°， 所以∠A=∠D=35°，∠C= ∠DBE=6O. 所以∠ABC=180°-∠A-∠C= 85°. 所以∠DBC=∠ABC-∠DBE= 85°-60°=25°. 12.(1)因为△ABD≌△CAE,BD= 6,CE=4, 所以BD=AE=6,AD=CE=4. 所以DE=AE-AD=2. (2)因为BDCE, 所以∠BDE=∠CEA. 因为△ABD≌△CAE, 所以∠ADB=∠CEA,∠ABD= ∠CAE. 所以∠ADB=∠BDE. 因为∠ADB+∠BDE=180°， 所以∠ADB=90°. 所以∠ABD+∠BAD=90°. 所以∠BAC=∠BAD+∠CAE= ∠BAD+∠ABD=90°. 13.(1)由题意，得BP=3tcm. 因为BC=8cm, 所以CP=BC-BP=(8-3t)cm. (2)因为AB=10cm,D为AB的 中点， 所以BDAB=-5m ①当△BDP≌△CPQ时，BD=CP, 即5=8-3t,解得1=1. 所以BP=CQ,即3×1=a×1,解得 a=3. ②当△BDP2△CQP时，BP=CP, 即3=8-31，解得1=3 4 所以BD=CQ,即5=u×专，解得 15 a一4 综上所述u的值为3或早 3探索三角形全等的条件 第1课时利用“边边边” 判定三角形全等 1.A 2.C 3.AB=DC 4.因为C是BD的中点， 所以BC=DC. 在△ABC和△EDC中， AB=ED, RAC=EC, BC=DC, 所以△ABC≌△EDC. 5.D 6.130°解析：在△ACD和△BCE AC=BC, 中，AD=BE,所以△ACD≌ CD=CE, △BCE.所以∠ACD=∠BCE, ∠A=∠B.所以∠ECD+∠ACE= ∠ACB+∠ACE.所以∠ECD= 24 ∠ACB=2(ZBCD-∠ACE) ×(155-55)=50.因为∠B ∠ACB=∠A+∠APB,所以 ∠APB=∠ACB=50°.所以 ∠BPD=180°-∠APB=180°- 50°=130°. 7.2a三角形的稳定性 8.根据三角形的三边关系，只能选b, c,d三条线段画三角形. 如图，△ABC即为所求. a h (第8题) 9.△ABC △CDA ∠BAC ∠DCA∠DAC∠BCA 10.(1)因为BF=CE, 所以BF+FC=CE+FC,即 BC=EF. AB=DE, 在△ABC和△DEF中 AC-DF, BC=EF, 所以△ABC≌△DEF. (2)AB∥DE,AC∥DF. 理由：因为△ABC≌△DEF, 所以∠ABC=∠DEF,∠ACB= ∠DFE. 所以ABDE,ACDF. 11.(1)∠B=∠E. (AB=AE, 在△ABC和△AED中，BC=ED, AC-AD, 所以△ABC≌△AED 所以∠B=∠E (2)AF⊥CD 理由：因为F为CD的中点， 所以CF=DF! (AC=AD, 在△ACF和△ADF中，AF=AF, CF=DF, 所以△ACF≌△ADF 所以∠AFC=∠AFD 又因为∠AFC+∠AFD=180°， 所以∠AFC=∠AFD=90° 所以AF⊥CD. 第2课时利用“角边角” “角角边”判定三角形全等 1.B2.C3.答案不唯一，如 ∠ABC=∠BAD 4.△ADC与△BCE全等. 理由：因为ADEB, 所以∠A=∠B. 在△ADC和△BCE中， ∠ACD=∠BEC, AC=BE, ∠A=∠B, 所以△ADC≌△BCE, 5.B解析：因为BE平分∠ABC, ∠BEC=90°，所以∠ABE=∠CBE, ∠BEC=∠BEA=90°.因为BE= BE,所以△ABE≌△CBE(ASA).所 以∠A=∠BCA.因为∠BCF=115°， 所以∠BCA=180°-∠BCF=180° 115°=65.所以∠ABC=180°-2× 65°=50°.因为DE∥BC,所以 ∠ADE=∠ABC=50°. 6.C解析：在△AEB和△AFC中， ∠B=∠C, ∠E=∠F,所以△AEB≌△AFC. LAE-AF, 所以∠EAB=∠FAC,EB=FC, AB=AC.所以∠EAB-∠BAC= ∠FAC-∠BAC,即∠EAM=∠FAN. 故③正确.在△AEM和△AFN中， ∠E=∠F, KAE=AF, 所以△AEM≌ ∠EAM=∠FAN, △AFN.所以EM=FN,AM=AN. 故①正确.因为AC=AB,AM=AN, 所以AC-AM=AB-AN,即CM= BN.在△CMD和△BND中， ∠CDM=∠BDN, ∠C=∠B, 所以△CMD≌ CM=BN, △BND.所以CD=BD,无法说明 CD=DN.故②不一定正确.在△ACN ∠C=∠B, 和△ABM中，∠CAN=∠BAM,所 AN-AM, 以△ACN≌△ABM.故④正确.综上 所述，一定正确的个数为3. 7.1解析：因为AD⊥BC,CE山 AB,所以∠ADB=∠AEH= ∠BEC=90°.因为∠AHE= ∠CHD,所以∠BAD=∠BCE.在 △HEA 和△BEC 中 ∠HAE=∠BCE, ∠AEH=∠CEB,所以△HEA≌ EH=EB, △BEC(AAS).所以AE=EC=4,则 CH=EC-EH=4-3=1. 8.因为ADCE, 所以∠A=∠C. 因为∠DBC+∠ABD=180°， ∠DBC+∠CEB=180°， 所以∠ABD=∠CEB. 在△ADB和△CBE中， ∠A=∠C, ∠ABD=∠CEB, BD=EB, 所以△ADB≌△CBE 所以AD=CB. 9.(1)因为DE⊥AB 所以∠EFB=90°」 所以∠BEF+∠ABC=90° 因为∠A十∠ABC=90°， 所以∠A=∠BEF. 在△BCA和△DBE中， 「∠A=∠DEB, ∠ACB=∠EBD=90°， AB-=ED, 所以△BCA≌△DBE(AAS) (2)因为△BCA≌△DBE, 所以BC=DB,AC=BE. 因为E是BC的中点， 所以BC=2BE. 因为AC=3cm, 所以BC=6cm. 25 所以BD=BC=6cm,即BD的长为 6 cm 10.如图，△ABC即为所求作」 B (第10题) 方法归纳 用尺规作三角形的依据及方法 用尺规作三角形的依据是全 等三角形的性质，作三角形的思路 可通过画草图分析寻找，关键是如 何确定三个顶，点.作三角形的步骤 分为三步：已知，求作，作法.“已 知”为所给的条件：“求作”为借助 草图找出使三角形满足题意的三 个边或角的相等条件 11.4解析：延长BA,CE相交于点 F.因为BD平分∠ABC,所以 ∠ABD=∠CBD.因为CE⊥BD,所 以∠BEF=∠BEC=9O.在△BFE ∠FBE=∠CBE, 和△BCE中，BE=BE, 所 ∠BEF=∠BEC, 以△BFE≌△BCE.所以FE=CE. 因为∠BAC=90°，所以∠CAF ∠BEF=90°.所以∠ACF+∠F= 90°，∠ABD+∠F=90°.所以 ∠ABD=∠ACF.在△ABD和 ∠ABD=∠ACF, △ACF中，AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°， 所以△ABD≌△ACF.所以BD= CF.因为CF=CE+EF=2CE,所以 BD=2CE=8.所以CE=4. 12.如图，过点B作BF⊥OC,垂足 为F. 由题意，知AE⊥OC,OA=OB,且易