第1章 整式的乘除 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版）

第一章整式的乘除 拍照批改 第一章整合拔尖 》“答案与解析”见P8 壁知识体系构建 a.a=a"(m,n都是正整数) 幂的乘除 同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 (a)”=a(m,n都是正整数) 幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘 (ab)”=ab(n是正整数) 积的乘方 积的乘方等于积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 am÷a”=a"(a≠0，m,n都是正整数，且m>n) 同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减 a°=1(a≠0) 零指数幂 任何不等于零的数的零次幂都等于1 a7=是(a≠0，p是正整数) 负整数指数幂 任何不等于零的数的一p(p是正整数)次幂，等于这个数的p 次幂的倒数 整式的乘除 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分 整式的乘法 单项式乘单项式， 别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘 单项式乘多项式 多项式的每一项，再把所得的积相加 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘 多项式乘多项式 另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 (a+b)(a-b)=a2-b 乘法公式 平方差公式 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差 (a±b)2=a±2ab+b 完全平方公式 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和 加上（或减去）它们积的2倍 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为 商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连 单项式除以单项式，同它的指数一起作为商的一个因式 整式的除法 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别 多项式除以单项式除以单项式，再把所得的商相加 23 拔尖特训· 数学（北师版）七年级下 9高频考点突破 考点一幂的运算 (2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形 典例1已知4”=5,8”=3,3m=4,求： 的周长的和，设该正方形的面积为S3,试说明： (1)22m+3m的值. 代数式S3一2(S1+S2)的值是一个常数. (2)2m-6m的值. (3)122m的值. 考点三乘法公式的应用 典例3如图，用四个长为a、宽为b(a>b)的小 [变式]根据已知条件求值： 长方形拼成一个正方形. (1)已知a=12,a'=-3,求ax-y的值 (1)用不同代数式表示图中涂色部分的面积，可 (2)已知2x+5y-3=0,求42·32的值. 以得到的等式为 (2)已知m十n=5,mm= ,求m一n的值. (典例3图) 考点二整式的乘除运算 典例2先化简，再求值：2(2x十y)(4x一2y) x-2)+(-2xy2+)÷y其中x, [变式](2024·成都锦江段考改编) (1)若x+y=6,x2+y2=20,则xy的值为 y满足x-1+(y+2)2=0. (2)若(4-x)2+x2=8,求x(4-x)的值 [变式]甲、乙两个长方形的边长如图所示，其面 积分别记为S1,S2. m+4 m+6 m+2 甲 m 之 (1)请通过计算比较S1与S,的大小. 24 第一章整式的乘除 综合素能提升 1.如果m=3+1,n=2+9“,那么用含m的代 (2)(x+2y-3)(x-2y+3). 数式表示n为 () A.n=2+3m B.n=m2 C.n=(m-1)2+2D.n=m2+2 2.(2024·西安新城期中)若(2x十b)2=4x2+ (3)[2(x+1)-(x+2)(1-2x)]÷ 20x十a,则a+b的值为 A.30B.-25C.25 D.10 ( 3.新考向·跨学科在电子显微镜下测得一个圆 球体细胞的直径是5×10-8cm,则2×103个 这样的细胞排成一排的长度是 cm (结果用科学记数法表示). 4.要使(x2-mx+3x)(1一2x)的展开式中不 8.先化简，再求值： 含x的一次项，则m的值为 (1)(2x+1)(2x-1)-(2x-3)2,其中 5.已知一个多项式除以多项式a2十4a一3，所 x=-1. 得的商为2a+1,余式为2a十8，则这个多项 式为 6.如图①所示为一张边长为a的大正 方形卡片和三张边长为b的小正方 (2)[(a-2b)2-(2b-a)(a+2b) 形卡片(2a<b<a),取出两张小卡答案讲解 2a(2a-b)]÷2a,其中a+b=-2. 片放入大卡片内拼成如图②所示的图案，再 重新用三张小卡片放入大卡片内拼成如图 ③所示的图案.若图③中的涂色部分的面积 比图②中的涂色部分的面积大2ab一15，则 9.(1)填空： 小卡片的面积是 (a-b)(a+b)= (a-b)(a2+ab+b2)= 答案讲解 (a-b)(a3+ab+ab2+b3)= ② ③ (2)(a-b)(a"-1+a"-2b+…+ab"-2十 (第6题)》 7.计算： b”-1)= (其中n为正整数，且 (1)(-2x2y)3·(3xy2)2-12x3y3· n≥2). (-5x5y4). (3)计算：2°-2+2-…+23-2+2. 253+2x(-2=-1-4=-5 (3)原式=4a2-4a+1+6a2+6a 9a2+4=a2+2a+5. 因为a2+2a-2025=0, 所以a2+2a=2025. 所以原式=2025+5=2030. (4)原式=[4x2-4xy+y2-(4x2- 9y2)-xy]÷5y=(10y2-5.xy)÷ 5y=2y-x. 因为x=一2=一 2’y=π”+ 1=2, 所以原式=2×2-(（）号 第一章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1由题意，得4”=2咖=5,8”= 23m=3,3m=4. (1)22m+3m=22m·2=5X3=15. (2)2m-6m=2m÷26m=(22m)2÷ (2*)2=5÷32=25÷9=25 91 (3)122m=(3×4)2m=3m×42m= (3m)2X(4m)2=42×52=16×25= 400. [变式](1)ax=a2÷a'=12÷ (-3)=-4. (2)因为2x+5y-3=0, 所以2.x+5y=3. 所以4·32=22r·2y=22r+5y= 23=8. 典例2原式=(4x+2y)(4x 2y)-(x2-4xy+4y2)-4.xy+1= 16.x2-4y2-x2+4xy-4y2-4xy+ 1=15.x2-8y2+1. 因为x-1|+(y+2)2=0, 所以x-1=0,y十2=0，解得x=1, y=-2. 所以原式=15×12-8×(-2)2+1= 15-32+1=-16. [变式](1)S1=(m+2)(m+4)= m2+6m+8,S2=m(m+6)= m2+6m. 因为S1-S2=(m2+6m+8)一 (m2+6m)=8>0, 所以S1>S2. (2)由题意，得正方形的边长是 }[2(m+4+m+2)+2(m+m十 6)]=2m+6. 所以S3=(2m+6)2=4m2+ 24m+36. 因为S3-2(S1+S2)=4m2+24m+ 36-2(m2+6m+8+m2+6m)= 4m2+24m+36-2m2-12m-16 2m2-12m=20, 所以代数式S?-2(S1+S2)的值是 一个常数 典例3(1)4ab=(a+b)2-(a-b)2. (2)由(1)，得4m=(m十n)2-(0m-n)2. 9 因为m十=5，m= 4 所以4X是-=子-(m- 所以(m-n)2=16. 所以m一1=士4. [变式](1)8. (2)因为(4一x)十x=4, 所以[(4-x)+x]2=42,即(4 x)2+2x(4-x)+x2=16. 又因为(4-x)2+x2=8, 所以8+2x(4-x)=16. 所以x(4一x)=4. [综合素能提升] 1.C 2.A解析：因为(2x十b)2=4x2+ 4bx+b2=4x2+20x+a,所以4b 20,a=b2.所以a=25,b=5.所以 a+b=30. 3.1×10-4 4.3解析：原式=x2-2x3-m.x+ 2m.x2+3x-6x2=-2x3+（2m 5)x2+(3-m)x.因为(x2-m.x+ 3.x)(1一2x)的展开式中不含x的一 次项，所以3一m=0,解得m=3. 5.2a3+9a2十5解析：由题意，得这 个多项式为(a2+4a-3)(2a+1)+ 2a+8=2a3+a2+8a2+4a-6a- 3+2a+8=2a3+9a2+5. 6.5解析：在题图②中，涂色部分的 8 面积=(2b一a)2:在题图③中，涂色部 分的面积=a(a一b)一b(a一b)= (a-b)2.根据题意，得(a-b)2- (2b-a)2=2ab-15.整理，得b2=5. 7.(1)原式=-8xy3·9x2y4+ 60x8y2=-72.x8y2+60x8y7= -12x8y2. (2)原式=[x+(2y一3)][x一(2y一 3)]=x2-(2y-3)2=x2-(4y2 12y+9)=x2-4y2+12y-9. (3)原式=[2(x2+2x+1)-(x- 2x2+2-4]÷(是x）=(4r2+ )÷()=-4 8.(1)原式=4x2-1-(4x2-12.x十 9)=4.x2-1-4.x2+12x-9= 12x-10. 当x=一1时，原式=12×（一1） 10=-22. (2)原式=[a2-4ab+462-(4b2- a2)-4a2+2ab]÷2a=(-2a2 2ab)÷2a=-a-b. 因为a+b=-2, 所以原式=-(a十b)=2. 9.(1）a2-b2:a3-b3:a4-b4. (2)a”-b”. (3)因为[2-(-1)]×(2-28十 22-.+23-22+2-1)=210-10, 所以2°-28+2-…+23-22+2 1=(210-110)÷3=341. 所以29-28+22-…+23-22+2= 341+1=342. 第二章相交线与平行线 1两条直线的位置关系 第1课时对顶角、补角和余角 1.C2.C3.A4.135 5.(1)∠EOF,∠DOB(2)∠BOF 6.C 7.D解析：由题图，可知∠2与 ∠ACD互补，∠1与∠ACD互余.所 以∠2=180°-∠ACD,∠1=90°- ∠ACD.所以∠2-∠1=90°. 8.D解析：因为OD平分∠BOC,