7.1.2 复数的几何意义（第一课时）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第七章 复数 7.1.2 复数的几何意义 第一课时 学习目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系； 2.掌握实轴、虚轴、模等概念； 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法. 4.1 指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 预学导读 阅读课本70-72页，思考并完成以下问题 1.复平面是如何定义的，复数的模如何求出？ 2.复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？ 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 3 复习导入 复数有关概念： 复数的代数形式: 复数的实部、虚部 复数相等 复数的分类 问题导入 在几何上，我们用什么来表示实数? 实数 数轴上的点 (形) (数) 一一对应 想一想？ x 0 1 实数的几何模型: 实数可以用数轴上的点来表示. 思考：类比实数的表示，复数又有什么几何意义呢？ 4.1 指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 新知探究——复数的几何意义（一） 复数z＝a＋bi(a,b∈R) 有序实数对(a,b) 平面直角坐标系中的点 有序实数对(a,b) 一一对应 一一对应 复数z＝a＋bi(a,b∈R) 平面直角坐标系中的点 一一对应 所以，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系， 因此可以用点表示复数. 根据复数相等的定义，任何一个复数都可以由一个有序实数对唯一确定；反之也对．由此你能想到复数的几何表示方法吗？ 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 6 新知探究——复数的几何意义（一） x y O Z(a,b) 建立了平面直角坐标系来表示复数的 平面——复平面 x轴——实轴 y轴——虚轴 a b z=a+bi 复数 z=a+bi （数） （形） 一一对应 直角坐标系中的 Z(a,b) 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 7 小试牛刀——课本练习 解：点A表示的复数是4+3i； 点B表示的复数是3-3i； 点C表示的复数是-3+2i； 点D表示的复数是-3-3i； 点E表示的复数是5； 点F表示的复数是-2； 点G表示的复数是5i； 点H表示的复数是-5i. 1. 说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小方格的边长为1). 小试牛刀——课本练习 1. 说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小方格的边长为1). 思考：实轴上的点是什么数？ 虚轴上的点是什么数？ 有没有例外？ 实轴上的点都是实数 除原点外,虚轴上的点都是纯虚数 小试牛刀——课本练习 2. 已知在复平面内，描出表示下列复数的点. (1) 2＋5i；(2) －3＋2i ；(3) 2－4i；(4) －3－i；(5) 5 ；(6) －3i. A(2,5) B(-3,2) C(2,-4) D(-3,-1) E(5,0) F(0,-3) • • • • • • 典例分析 实数x分别取什么值时，复数z=(x-3)+(2-x)i对应的点z在： （1）第三象限（2）虚轴上（3）第四象限（4）实轴上 解： 新知探究——复数的几何意义（二） 思考：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复平面是一一对应的.你能用平面向量来表示复数吗？ Z:a+bi a b 复数z＝a＋bi 平面向量 一一对应 为了方便起见，我们常常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量 ，并且规定，相等的向量表示同一个复数. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 12 新知探究——复数的几何意义（二） 向量 的模叫做复数 的模，记作 或 . 即 ，其中 . 如果 ，那么 是一个实数 ，它的模就等于 【解】设点 . ∵ 且∠°， 已知向量 与复平面实轴正方向的夹角为45°，向量 对应的复数 的模为1，求 . ∴ ∴ 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 13 新知探究——复数的几何意义（二） 复数的模是一个非负实数，任意两个复数的模可以比较大小 复数的模的几何意义：复数 的模 表示复数在平面内对应的点 到原点的距离，类比向量的模可以作推广： 表示点 和点 之间的距离 复数的模，复数在复平面内对应的点到原点的距离，复数所对应向量的模，这三者是相等的. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 14 典例分析 例2： 新知探究——共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 共轭复数 复数 的共轭复数用 表示，即如果 ，那么. ，特别地，实数 的共轭复数仍是 本身. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 16 典例分析 (多选)设复数 满足 ， 为虚数单位，则下列结论正确的是哪些？ A. B. 复数 在复平面内对应的点在第四象限 C. 的共轭复数为 D. 复数 在复平面内对应的点在直线 上 【解】 ，A正确； 复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，在第三象限，B不正确； 的共轭复数为 ，C正确； 复数在复平面内对应的点为 ，不在直线 上，D不正确. 课本练习 解：(1) 这些复数对应的向量如图示. 3. 已知复数2＋i, －2＋4i , －2i, 4, (1) 在复平面内画出这些复数对应的向量； (2) 求这些复数的模. A(2,1) B(－2,4) C(0,－2) D(4,0) (2) 典例分析 例3： 解：(1) 以原点为圆心，半径为1的圆. (2) 以原点为圆心，1为半径和2为半径的两个圆所夹的圆环，不包括圆环的边界. 当堂检测 当堂检测 2、在复平面内，A，B，三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i. （1）求向量 对应的复数； （2）若ABCD为平行四边形，求D对应的复数． 当堂检测 课堂小结 1．什么是复平面？ 2．请你说说复数的几何意义？ 3．什么是复数的模？又怎样求复数的模？ 4．两个什么样的复数叫做互为共轭复数？ 表示复数z=a+bi的向量 的模叫做的复数的模，记作|Z|或|a+bi|. 即 实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数. 1、实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z： (1)位于第三象限； (2)位于直线x－y－3＝0上． 解析　因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数． (1)当实数x满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋x－6<0，,x2－2x－15<0，))即－3<x<2时，点Z位于第三象限． (2)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即3x＋6＝0，x＝－2时，点Z位于直线x－y－3＝0上． 解析（1）设O为坐标原点，由复数的几何意义知： eq \o(OA,\s\up17(―→))＝(1,0)，eq \o(OB,\s\up17(―→))＝(2,1)，eq \o(OC,\s\up17(―→))＝(－1,2)， 所以eq \o(AB,\s\up7(―→))＝eq \o(OB,\s\up17(―→))－eq \o(OA,\s\up17(―→))＝(1,1)， eq \o(AC,\s\up7(―→))＝eq \o(OC,\s\up17(―→))－eq \o(OA,\s\up17(―→))＝(－2,2)，eq \o(BC,\s\up17(―→))＝eq \o(OC,\s\up17(―→))－eq \o(OB,\s\up17(―→))＝(－3,1)， 所以eq \o(AB,\s\up17(―→))，eq \o(AC,\s\up17(―→))，eq \o(BC,\s\up17(―→))对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i. （2）因为ABCD为平行四边形，所以eq \o(AD,\s\up17(―→))＝eq \o(BC,\s\up17(―→))＝(－3,1)， eq \o(OD,\s\up17(―→))＝eq \o(OA,\s\up17(―→))＋eq \o(AD,\s\up7(―→))＝(1,0)＋(－3,1)＝(－2,1)．所以D对应的复数为－2＋i. 答案 A 3、已知复数z＝a＋eq \r(3)i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于 (　　) A．－1＋eq \r(3)i B．1＋eq \r(3)i C．－1＋eq \r(3)i或1＋eq \r(3)i D．－2＋eq \r(3)i 解析 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＋3＝4，,a<0，))解得a＝－1. 故z＝－1＋eq \r(3)i. $