2026年上海市初中学业水平考试考前模拟练习

2026学年上海市初中学业水平考试考前模拟练习 数 学 试 卷 （考试时间100分钟，满分150分） 考生注意： 1.本试卷含三个大题，共25小题. 2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答 题一律无效. 3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解 答的主要步骤. 4.考试不可以使用科学计算器. 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列各数中是无理数的是 A. 3.1415926 B. 1.33333333… C. D. 参考答案：D. 解析：本题考查无理数的定义. A选项：可化为分数形式或有限小数形式，为有理数，不符合题意. B选项：可化为分数形式或无限循环小数形式，为有理数，不符合题意. C选项：值为11，可化为分数形式或有限小数形式，为有理数，不符合题意. D选项：无法化为分数形式或有限小数形式或无限循环小数形式，为无理数，符合题意. 故本题答案为D. 2. 下列运算正确的是 A. a2+a=a3 B. (a2)3= a5 C. a0.5= D. a-0.5=- 参考答案：C. 解析：本题考查实数的运算. A选项：a2+a=a(a+1)，a2+a=a3错误. B选项：(a2)3= a6，(a2)3= a5错误. C选项：a0.5=，正确. D选项：a-0.5=，a-0.5=-错误. 故本题答案为C. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是哪几个 ①圆 ②平行四边形 ③菱形 ④矩形 ⑤等腰三角形 ⑥等腰直角三角形 ⑦等腰梯形 A. ①②③ B. ①③④ C. ③④⑤⑥ D. ③④⑥⑦ 参考答案：B. 解析：本题考查图形的性质. 是轴对称图形的是：①③④⑤⑥⑦； 是中心对称图形的是：①②③④； 因此，既是轴对称图形又是中心对称图形的是①③④. 故本题答案为B. 4. 某班 5 名同学身高（单位：cm）：170，178，172，170，169，则这组数据的中位数是 A. 169 B. 170 C. 172 D. 178 参考答案：B. 解析： 将170，178，172，170，169按从小到大的顺序排列：169，170，170，172，178. 可知中位数为170. 故本题答案为B. 5. 在△ABC中，点D是内心，点E是重心，联结BD、DE. 若，，，则用含有、、的式子表示为 A. B. C. D. 参考答案：A. 解析：本题考查向量的基本运算（平行四边形法则）. 如图，联结AD，联结并延长AE交BC于点F. 可得：，. 依据三角形重心的性质，可得. ∵ ，∴ . 故本题答案为A. 6. 在△ABC中，点D、E、F在AB、AC、BC边上且DE//BC，EF//AB，DF//AC，则以下说法正确的是： ①这个图形中一共有3个平行四边形 ②D、E、F分别为AB、AC、BC中点 ③若AB=AC，则DF=DE ④S△ABC：S△DEF的值为4 A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 参考答案：B. 解析：本题考查平行四边形的判定、平行四边形的性质、中位线的判定、中位线的定义. ①：∵ DE//BF，EF//DB，∴ 四边形BDEF是平行四边形. 同理，四边形DFCE、DFEA是平行四边形. 因此，这个图形中一共有3个平行四边形，说法①正确. ②：∵ 四边形BDEF、DFCE是平行四边形，∴ DE=BF=CF=BC. ∵ DE=BC，DE//BC，∴ DE为△ABC的中位线. 同理，DF、EF为△ABC的中位线. ∴ D、E、F分别为AB、AC、BC中点，说法②正确. ③：∵ DF、EF为△ABC的中位线，∴ DF=AC， EF=AB. 又∵ AB=AC，∴ DF=EF，说法③错误. ④：∵ 四边形BDEF是平行四边形，∴ S△BDF=S△DEF. 同理，S△ADE=S△DEF，S△CEF=S△DEF. ∴ S△ADE=S△BDF=S△CEF=S△DEF. 又∵ S△ABC=S△ADE+S△BDF+S△CEF+S△DEF，∴ S△ABC=4S△DEF. ∴ S△ABC：S△DEF的值为4，说法④正确. 故本题答案为B. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 当a=，b=，c=时，的值为 ▲ . 参考答案：. 解析：本题考查实数的运算. 当a=，b=，c=时，. 故本题答案为. 8. 不等式组的解集为 ▲ . 参考答案：x<. 解析：本题考查一元一次不等式（组）的解集、实数的运算. 解一元一次不等式得：x<===. 解一元一次不等式得：x≤=. ∴ 不等式组的解集为x<. 故本题答案为x<. 9. 若关于x，y的方程ax2+3x+2y+7=0的每一组实数解(x,y)都满足y≠0，则满足条件的最小整数a的值为 ▲ . 参考答案：1. 解析：本题考查一元二次方程判别式的应用、分类讨论的思想. y=. 当a=0时，y=. 显然当x=时，y=0，故不符合题意，舍去. 当a≠0时，y=. 若y≠0，则方程无实根. ∴ 方程无实根. ∴ 32-4×a×7<0，a>. 因此，满足条件的最小整数a的值为1. 故本题答案为1. 10. 如果点A在反比例函数y=上，AB⊥x轴于点B，联结OA、OB，S△AOB=3，则k的值为 ▲ . 参考答案：6或-6（±6）. 解析：本题考查反比例函数的性质. 令点A(m,)，可得点B(m,0). OB=|m|，AB=||. S△AOB=OB·AB=|m·|=|k|=3. ∴ k=±6. 故本题答案为6或-6（±6）. 11. 化简的结果为 ▲ . 参考答案：2a. 解析：本题考查代数式的运算. . 故本题答案为2a. 12. 将抛物线y=4x2+4x+13向右平移5个单位，再向下平移10个单位，则原抛物线顶点、新抛物线顶点与原点围成的三角形面积是 ▲ . 参考答案：27.5（）. 解析：本题考查二次函数y=(x+h)2+k的图像、一次函数的性质与图像、分割法求面积. 对y=4x2+4x+13配方得：y=4x2+4x+13=4(x+0.5)2+12. ∴ 新抛物线y1=4(x-4.5)2+2. 由此得，原抛物线顶点为M(-0.5,12)，新抛物线顶点为N(4.5,2). 过点M作MA⊥y轴于点A，过点N作NB⊥y轴于点B. 令MN交y轴于点C. MA=0.5，NB=4.5. S△MON=S△MOC+S△NOC=OC·MA+OC·NB=(MA+NB)·OC. 由M(-0.5,12)、N(4.5,2)得：MN：y=-2x+11. ∴ 点C(0,11). ∴ OC=11. ∴ S△MON=×(0.5+4.5)×11=. 故本题答案为27.5（）. 13. 已知实数x、y满足x2+y2=4，则代数式x2-y2+2x的最小值与最大值的差为 ▲ . 参考答案：-12.5（-）. 解析：本题考查二次函数y=ax2+bx+c的图像、二次函数y=ax2+bx+c的对称轴 由x2+y2=4可知x的取值范围为：-2≤x≤2，y2=4-x2，所以x2-y2+2x=2x2+2x-4. 函数f(x)=2x2+2x-4（-2≤x≤2）的对称轴为x=-0.5，开口向上，因此最大值在图像端点上，最小值在顶点处. f(-2)=0，f(2)=8，因此原式最大值为8；f(-0.5)=-4.5，因此原式最小值与最大值得差为-4.5-8=-12.5. 故本题答案为-12.5（-）. 14. 阅读以下材料，回答问题： 在Rt△ABC中，∠C=90，∠B=22.5，AB=10，求AC的长度. 面对这类问题，我们一般想到用三角比进行解答，很容易得出AC=10sin22.5. 可是sin22.5是多少呢？ 我们可以通过画图的方式解决问题. 在Rt△ABC中，∠C=90，∠B=22.5，AC=x. 在AB上截取一点D，使∠DAB=22.5. 则∠ADC=45，AD=BD=x. 由“勾股定理”可得，AB=x. 由此可得，sin22.5==. 回到最初的问题，可得AC=5. 除了这个方法可以用来计算一些特殊的三角比值以外，还有如下公式供参考： sin2α+cos2α=1，sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ，sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ，cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ，cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ. 依据上述材料，回答问题： 的值为 ▲ . 参考答案：3-. 解析：本题考查常见的三角比得值、阅读理解能力. 依据cosα·cosβ+sinα·sinβ得：， sin15=sin(45-30)=sin45·cos30-cos45·sin30=， cos15=cos(45-30)=cos30·cos45+sin30·sin45=， tan15==2-. ∴ . ∴ 原式=2×+2-=3-. 故本题答案为3-. 15. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4. 将矩形ABCD绕点C顺时针旋转60得到矩形A’B’CD’，其中B’C交AD于点E. 联结DD’. S四边形ECD’D：S五边形B’EDD’A’的值为 ▲ . 参考答案：. 解析：本题考查等边三角形的面积、含30角的直角三角形的三边关系. ∵ ∠DCD’=60，DC=D’C， ∴ △DCD’是等边三角形. ∴ S△DCD’=DC2=. ∠DCE=∠ECD’-∠DCD’=30. ∵ 矩形ABCD，∴ ∠EDC=90. 在Rt△DCE中，DE=tan∠DCE·CD=. ∴ S△DCE=DC·DE=. S矩形A’B’CD’=3×4=12，S四边形ECD’D=S△DCD’+S△DCE=+=， S五边形B’EDD’A’= S矩形A’B’CD’-S四边形ECD’D=. ∴ S四边形ECD’D：S五边形B’EDD’A’=：=15：21=. 故本题答案为. 16. 我们定义：若“如果α，那么β”是一个真命题，则α是β的“充分条件”，β是α的“必要条件”. 若“如果α，那么β”和其逆命题“如果β，那么α”都是真命题，则α是β的“充要条件”，β是α的“充要条件”. 现有以下语句：①“两个角相等”是“这两个角是对顶角”的“必要条件”. ②“一组对角和是180的四边形”是“这个四边形是圆内接四边形”的“充分条件”. ③“一个内接于圆的平行四边形”是“这个四边形是正方形”的“必要条件”. ④“一个四边形内接于圆”是“这个四边形的对角线互相垂直平分”的“充要条件”. ⑤“一条直线垂直于圆的某一条半径”是“这条直线是该圆的切线”的“必要条件”. 以上语句错误的是 ▲ （填序号）. 参考答案：②④. 解析：本题考查真假命题的判定、对顶角的性质、圆内接四边形的判定与性质、圆的切线. “如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”是假命题，“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”是真命题，所以“两个角相等”是“这两个角是对顶角”的“必要条件”，故序号①正确. “如果一个四边形一组对角和是180，那么这个四边形是圆内接四边形”是真命题，“如果一个四边形是圆内接四边形，那么这个四边形一组对角和是180”是真命题，所以“一组对角和是180的四边形”是“这个四边形是圆内接四边形”的“充要条件”，故序号②错误. “如果一个四边形是一个内接于圆的平行四边形，那么这个四边形是正方形”是假命题，“如果一个四边形是正方形，那么这个四边形是一个内接于圆的平行四边形”是真命题，所以“一个内接于圆的平行四边形”是“这个四边形是正方形”的“必要条件”，故序号③正确. “如果一个四边形内接于圆，那么这个四边形的对角线互相垂直平分”是假命题，“如果一个四边形的对角线互相垂直平分，那么这个四边形内接于圆”是假命题，所以“一个四边形内接于圆”既不是“这个四边形的对角线互相垂直平分”的“必要条件”也不是它的必要条件，故序号④错误. “如果一条直线垂直于圆的某一条半径，那么这条直线是该圆的切线”是假命题，“如果一条直线是该圆的切线，那么这条直线垂直于圆的某一条半径”是真命题，所以“一条直线垂直于圆的某一条半径”是“这条直线是该圆的切线”的“必要条件”，故序号⑤正确. 综上，错误的语句是②④. 故本题答案为②④. 17. 如图，在△ABC中，AC，BC=6，∠ACD=45，点E在AB边上且AE=2BE，点D是边BC上的动点（点D不与点B、点C重合），以D为直角顶点，DE为腰在其右侧作等腰直角三角形DEF. 延长EF交AC于点G，联结DG. 当∠CDG=45时，cot∠BCF的值为 ▲ . 参考答案：. 解析：本题考查三角比的定义、等腰直角三角形的性质、四点共圆的定义与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质 作EH⊥BC于点H，FI⊥BC于点I，AJ⊥BC于点J. 在等腰Rt△DEF中，DE=DF，∠EDF=90，∠DEF=∠DFE=45. ∵ ∠CDG=45，∠ACD=45， ∴ ∠DGC=180-∠CDG-∠C=90. ∵ ∠EFD+∠DFG=180，∠DFE=45， ∴ ∠DFG=135. ∴ ∠DFG+∠DCG=180. ∴ D、F、G、C四点共圆. ∴ ∠DFC=∠DGC=90. ∴ ∠DFI+∠IFC=90. 又∵ ∠FCI+∠IFC=90， ∴ ∠DFI=∠FCI. 在△DFI与△FCI中， ∵ ∠DFI=∠FCI，∠FID=∠CID， ∴ △DFI∽△FCI. ∴ . ∵ EH⊥BC，AJ⊥BC， ∴ EH//AD. 又∵ ∠ABD=∠EBH， ∴ △ABD∽△EBH. ∴ ，. AD=AC×sin∠ACD==4. CD=AC×cos∠ACD==4，BJ=BC-CJ=6-4=2. ∴ EH=，BH=. ∵ ∠EDF=90， ∴ ∠EDH+∠FDI=90. 又∵ ∠DFI+∠FDI=90， ∴ ∠EDH=∠DFI. 在△DFI与△EDH中， ∵ ∠DFI=∠EDH，∠DIF=∠EHD，DF=ED， ∴ △DFI≌△EDH.（AAS） ∴ DI=EH，FI=DH. 设FI=DH=x，则BC=BH+DH+DI+CI=+x++CI=6， ∴ CI=4-x. ∴ . 解得，（舍去）. ∴ CI=. ∴ cot∠BCF=. 故本题答案为. 18. 如图，在△ABC中，BA=BC，sin∠CAB=，AC中点为点D，将△ABC绕点D逆时针旋转α（0≤α≤360），得到△EFG（点A、B、C分别与点E、F、G对应），点H为△EFG的重心，联结BH、CH. 定义：kmax表示参数k的最大值，kmin表示参数k的最小值；a=，b=，则的值为 ▲ . 参考答案：. 解析：本题考查轨迹圆的判定、重心的性质、三角比的定义. 联结DF. 易证点D为EG中点，点H在DF上. ∵ EF=GF，点D为EG中点， ∴ ∠FDE=90. 在Rt△FDE中，DF=sin∠CAB·AB=AB，AD2=AB2-BC2，AD=AB，CD=AB. ∵ 点H为△EFG的重心，∴ DH=DF=AB. ∴ 点H在以点D为圆心，AB为半径的⊙D上运动. ∴ CHmax=CD+DH=AB+AB=AB，CHmin=CD-DH=AB-AB=AB； BHmax=BD+DH=AB+AB=AB，CHmin=BD-DH=AB-AB=AB. ∴ amax=1，amin=；bmax=，bmin=. ∴ . 故本题答案为. 三、解答题：（本大题共7题，第19-23题每题10分，第24题12分，第25题16分，满分78分） 【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】 19. 阅读理解：数形结合一直是一个很有用的数学思想. 比如这道题： 已知实数x、y，求的最小值. 如果使用代数计算的方法，发现无从下手. 我们先对原表达式中开平方的部分进行配方. 原式=. 不难发现，这个形式与平面直角坐标系中两点之间的距离公式有着深深的联系. 因此我们构造平面直角坐标系xOy，使得点A(0,3)，点B(0,3)，点C(x,y). 不难发现，点C到点O、A、B的距离和即为. 我们将△ABC绕点A逆时针旋转60，得到△AED. 易证AC=CD，BC=ED. 因此OC+AC+BC=OC+CD+DE. 不难发现，OC+CD+DE的最小值即为OE的距离. 过点E作EF⊥y轴于点F. 易证∠FAE=75. 所以AF=AE·cos75，EF=AE·sin75. 所以OE2=(OA+AF)2+EF2=(OA+ AE·cos75)2+(AE·sin75)2=AE2·(cos275+ sin275)+ OA2+2OA·AE·cos75= AE2+ OA2+OA·AE=18+9+=18+. ∴ OE=. ∴ 的最小值为. 请仿照示例，当x、y均为实数时，求的最小值，要求画出平面直角坐标系. 参考答案：2. 解析：本题考查平面直角坐标系的作图、完全平方公式的运用、含60角的直角三角形的三边关系、用勾股定理解直角三角形、阅读理解能力. 原式=. 如图构造平面直角坐标系xOy，使得点A(0,2)，点B(0,2)，点C(x,y). 点C到点O、A、B的距离和即为. 将△ABC绕点A逆时针旋转60，得到△AED. 易证AC=CD，BC=ED. 因此OC+AC+BC=OC+CD+DE. OC+CD+DE的最小值即为OE的距离. 联结OE. 过点E作EF⊥y轴于点F. ∵ OA=2，OB=2，由含60角的直角三角形的三边关系可得，∠OAB=60；AB=4. 由旋转得，∠BAE=60；AB=AE=4. ∴ ∠FAE=60. Rt△FAE中，AE=4，AF=2，EF=2. ∴ OF=4，EF=2. Rt△FOE中，OE2=OF2+EF2=28. ∴ OE=2. ∴ 的最小值为2. 20. 如图，OA=OB=OC，D、E为OA、AC中点且B、D、E三点共线. （1）∠ABC、∠AOC之间存在什么数量关系？猜想并证明你的结论. （2）若点D为BE中点，∠OAC=28，请用两种不同的方法求∠AOB的大小. 第20题图 参考答案：（1）∠ABC+∠AOC=180；（2）∠AOB=56. 解析：本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质. （1）∠ABC+∠AOC=180. 理由如下： ∵ OA=OB=OC， ∴ A、B、C均在以点O为圆心，OA的长为半径的⊙O上. 如图，构造弦AC所对的圆周角∠AFC. ∴ ∠AFC=∠AOC. ∵ 四边形ABCF是圆内接四边形， ∴ ∠ABC+∠AFC=180. ∴ ∠ABC+∠AOC=180. （2） ∵ D为AC、BE中点，∴ 四边形AECB是平行四边形. ∴ AE//BC. ∴ ∠OAC=∠ACB=28. 方法一：联结CE. ∵ ∠AOB为弦AB所对圆心角，∠ACB为弦AB所对圆周角， ∴ ∠AOB=2∠ACB=56. 方法二：联结CE. ∵ OA=OC=OB，∴ ∠OAC=∠OCA=28，∠OBC=∠OCB=∠OCA+∠ACB=56. ∴ ∠AOC=180-2×28=124，∠BOC=180-2×56=68. ∴ ∠AOB=∠AOC-∠BOC=56. 21. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=(2+)x+1与y轴相交于点A，与反比例函数y=在第一象限相交于点B. 点C在第一象限内且在反比例函数y=上. 联结AB、AC、BC. （1）求点A、B的坐标. （2）当∠ABC=45时，求点C的坐标. 参考答案：（1）点A(0,1)，点B(, )；（2）点C(, ) 解析：本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质、全等三角形的判定与性质、求根公式法解一元二次方程. （1）当x=0时，y=(2+)x+1=1，∴ 点A(0,1). 联立y=(2+)x+1与y=，得到方程(2+)x+1=， 即(2+)x2+x-1=0，Δ=9+4=(2+)2. ∴ x=. ∵ 点B在第一象限，∴ 取正根. ∴ x===. ∴ y===. ∴ 点B(, ). ∴ 点A(0,1)，点B(, ). （2）作AD⊥AB于点A交BC于点D. 过点D作DE⊥OA于点E，过点B作BF⊥OA于点F. ∵ AD⊥AB，∴ ∠FAB+∠DAE=90. 又∵ ∠ABC=45，∴ ∠ADB=45. ∴ AB=DA. Rt△ADE中，∠EDA+∠DAE=90. ∴ ∠FAB=∠EDA. 在△BAF与△ADE中， ∵ ∠FAB=∠EDA，∠AFB=∠DEA，AB=DA， ∴ △BAF≌△ADE.（AAS） ∴ BF=AE，AF=DE. BF=，AF=-1=. ∴ 点D(,1-). 即点D(,). 由=1得，点D在反比例函数y=. 又∵ 点D在直线BC上，直线与反比例函数（双曲线）在一个象限内至多只有一个交点， ∴ C、D重合. ∴ 点C(, ). 22. 如图（1），这是某学校举办校园艺术节活动时现场采用的某摄影装置，该装置使用一个机械臂将摄像机挂在半空，可以起到拍摄大范围景物的作用. 如图（2），这是该装置的抽象模型（已简化，假设所有要素均在同一个平面内），其中AB为悬挂摄像机的长杆，BC为摄像机，摄像机与长杆的夹角为“机杆角”，长杆与水平地面的夹角为“高度角”，其中“机杆角”与“高度角”的和始终小于180. 据相关技术部门提供的数据，该摄影机镜头位置C与其最近入镜点M的连线与水平地面成60的夹角；其最远入镜点为摄像机所在直线与水平地面的交点（图中点N），最近入镜点与最远入镜点之间的距离称为“摄影长度”（即为其拍摄照片的现场的纵长度），其拍摄照片的现场的横长度即为“摄影宽度”，“摄影现场面积=摄影长度×摄影宽度”. 已知“摄影宽度”（y轴，单位：m）与摄像机镜头距离地面高度（x轴，单位：m）之间的函数关系如图（3）所示. 已知摄像机长度BC=0.2 m，长杆长度AB=3.0m，在某一次拍摄中“高度角”为42，“机杆角”为135.6. （1）试求本次拍摄的“摄影宽度”.（结果精确到整数位） （2）试求本次拍摄的“摄影现场面积”.（每一步结果均精确到整数位） （参考数据：sin87.6≈0.58，cos87.6≈0.04，tan87.6≈23.86，sin2.4≈0.04，cos2.4≈0.99，tan2.4≈0.04，sin42≈0.67，cos42≈0.74，tan42≈0.90，≈1.73，≈0.58） 第22题图（1） 第22题图（2） 第22题图（3） 参考答案：（1）7m；（2）343m2. 解析：本题考查一次函数的应用、用锐角的三角比解直角三角形. （1）依据图（3），设函数表达式为y=kx+b，可列方程组：，解得. ∴ y=2x+3. 过点B作BD⊥AN于点D，过点C作CE⊥AN于点E，过点C作CF⊥BD于点F. ∵ CF⊥DF，CE⊥DE，FD⊥DE，∴ 四边形CFDE为矩形. ∴ CF//DN，DF=CE，DF//CE. 在△BAN中，∵ ∠BAN=42，∠ABN=135.6，∴ ∠ANB=2.4. ∵ CF//DN，∴ ∠BCF=∠ANB=2.4 在Rt△BFC中，BF=sin∠BCF·BC=sin2.4·0.2m≈0.008m. 在Rt△BDA中，BD=sin∠BAD·AB=sin42·3.0m≈2.01m. ∴ DF=BD-BF=2.002m. ∴ CE=2.002m. 将x=2.002代入y=2x+3得：y=7.004≈7. ∴ 本次拍摄的“摄影宽度”约为7m. （2）在Rt△CEM中，EM=≈1m. 在Rt△CEN中，EN=≈50m. ∴ MN=EN-EM=50m-1m=49m. ∴ S=49m×7m=343m2. ∴ 本次拍摄的“摄影现场面积”约为343m2. 23. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，点G在射线AB上，以点G为圆心，GD长为半径作弧，且该弧过点C. 过点C作弧CD的切线CF. 点E为BC中点. （1）当AB=2AD且CD平分∠GCF时，求证：四边形ABCD是矩形. （2）当AB=(1+)AD，点G在AB延长线上且AD=BG时，求证：DE//CF. 第23题图 参考答案：（1）见解析；（2）见解析. 解析：本题考查圆的切线的性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质与判定、平行线之间的比例线段（相似三角形）. （1）∵ CF切弧CD于点C，∴ ∠GCF=90. ∵ CD平分∠GCF，∴ ∠GCD=∠FCD=45. ∵ BC=GD，∴ ∠GCD=∠GDC=45. ∴ ∠DGC=90，DG=GC. ∴ ∠AGD+∠BGC=90. ∵ AD//BC，AB⊥BC， ∴ ∠DAG=∠GBC=90. 在Rt△BGC中，∠BCG+∠BGC=90. ∵ ∠AGD+∠BGC=∠BCG+∠BGC， ∴ ∠AGD=∠BCG. 在△DAG与△GBC中， ∵ ∠DAG=∠GBC，∠AGD=∠BCG，DG=GC， ∴ △DAG≌△GBC.（AAS） ∴ AD=BG. 又∵ AB=2AD，∴ AB=2BG. 又∵ AB=AG+BG，∴ 2BG=AG+BG. ∴ BG=AG. ∴ AB=2AG. ∴ AD=AG. 又∵ ∠DAG =90， ∴ ∠ADG=∠AGD=45. ∴ ∠ADC=∠ADG+∠GDC=90. ∴ ∠A+∠ADC=180. ∴ AB//CD. ∵ AD//BC，AB//CD，AB⊥BC， ∴ 四边形ABCD是矩形. （2）过点D作DH⊥BC于点H. 设DG交BC于点I. ∴ 四边形ABHD是矩形. 由（1）知∠CBG=∠GAD=90. 在Rt△CBG与Rt△GAD中， ∵ BG=AD，CG=GD， ∴ Rt△CBG≌Rt△GAD.（HL） ∴ BC=AG. ∵ BG=AD，AB=(1+)AD， ∴ BC=(2+)AD. ∵ 点E为BC中点， ∴ BE=(1+)AD. ∵ 四边形ABHD是矩形， ∴ AB=DH=(1+)AD，AD=BH. ∴ CH=(1+)AD=DH. ∴ HE=BE-BH=AD. ∵ CH=DH，DH⊥BC， ∴ ∠DCH=45. 设∠BCG=α. ∵ Rt△CBG≌Rt△GAD. ∴ ∠AGD=α. 在Rt△GAD中，∠AGD+∠ADG=90， ∴ ∠ADG=90-α. ∵ AD//BC， ∴ GB：AG=BI：AD，∠ADG=∠DIE=90-α. ∴ BI=(1-)AD. ∴ HI=BH-BI=AD. ∴ HI=HE. 在△DHI与△DHE中， ∵ DH=DH，∠DHI=∠DHE，HI=HE， ∴ △DHI≌△DHE.（AAS） ∴ ∠DIH=∠DEH=90-α. ∴ ∠CDE=∠DEH-∠DCH=45-α. 又∵ ∠DCF=∠GCF-∠BCG-∠BCD =45-α. ∴ ∠CDE=∠DCF. ∴ DE//CF. 24. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,a+1)，B(-3,a+1). 设抛物线顶点为点C，与y轴相交于点G，以点D(0,1)为圆心，CD长为半径作一圆，在y轴右侧交x轴于点E，过点E作EF⊥x轴于点E，交⊙D于点F（不与点E重合），过点F作⊙D切线，交CE延长线于点H. （1）求抛物线顶点C的坐标. （2）猜想EH、CH与FH之间的数量关系，并证明你的结论. （3）当以点D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形时，求a的值. （4）当a=-2时，抛物线上有一动点J，联结GJ. 当GJ与y轴的夹角等于∠EFH时，求点J的坐标. 参考答案：（1）(-2,1)；（2）EH·CH=FH2，理由见解析；（3）或-；（4）(-4-, --4)或(-4+, -+4). 解析：本题考查待定系数法求抛物线表达式、二次函数y=(x+h)2+k的图像、圆的切线的性质、圆周角定理、圆幂定理（切割线定理）、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、一次函数与二次函数图像的交点问题. （1）依题意，可列方程组： ，解得. ∴ 抛物线表达式：y=ax2+4ax+4a+1=a(x+2)2+1. ∴ 抛物线顶点C的坐标为(-2,1). （2）联结CF，联结并延长FD交⊙D于点K，联结CK. 在⊙D中，∵ KF为直径，∴ ∠KCF=90. ∵ FH切⊙D于点F，∴ ∠KFH=90. ∴ ∠KFH=∠KCF. ∵ ∠KFE、∠KCE所对弧均为弧KE， ∴ ∠KFE=∠KCE. ∴ ∠KFH-∠KFE=∠KCF-∠KCE. ∴ ∠EFH=∠FCH. 在△EFH与△FCH中， ∵ ∠EFH=∠FCH，∠EHF=∠FHC， ∴ △EFH∽△FCH. ∴ . ∴ EH·CH=FH2. （3）联结DE，由题意得，CD=2. ∴ ⊙D半径为2. 又∵ OD=1，∠DOE=90， ∴ sin∠OED=. ∴ ∠OED=30，∠DEF=60. ∵ DE=DF，∠DEF=60， ∴ △DEF是等边三角形. ∴ EF=2. ∵ 点G(0,4a+1)， ∴ DG：x=0. ∵ 直线x=0⊥x轴，EF⊥x轴， ∴ DG// EF. ∴ 无论当四边形DGEF为平行四边形还是四边形GDEF为平行四边形时，总有EF=DG. 又∵ DG=|yD-yG|=|1-(4a+1)|=|-4a|=4|a|. ∴ 4|a|=2，解得a1=，a2=-. ∴ a的值是或-. （4）在等边△DEF中，∠FDE=60. 在⊙D中， ∵ ∠FDE为弧FE所对圆心角，∠FCE为弧FE所对圆周角， ∴ ∠FCE=30. ∴ ∠FCH=30. ∴ ∠EFH=30. ∴ JG与y轴夹角为30. ∴ JG与x轴夹角为60. ∴ kJG=或-. 当a=-2时，点G(0,-7). ∴ JG：y=x-7或y=-x-7. 联立y=x-7与y=-2(x+2)2+1：x-7=-2(x+2)2+1，x2+(4+)x=0， 解得x1=0（舍），x2=-4-. ∴ 点J(-4-, --4). 联立y=-x-7与y=-2(x+2)2+1：-x-7=-2(x+2)2+1，x2+(4-)x=0， 解得x1=0（舍），x2=-4+. ∴ 点J(-4+, -+4). 综上，点J(-4-, --4)或(-4+, -+4). 25. 教材上一些数学原理的解释，往往引人入胜，启发我们思考. [教材引入]这是角平分线定理. 定理 角平分线上的点到这个角的两边所在直线的距离相等. 这是书本上的证明. 这是角平分线定理的逆定理. 定理 在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上. 这是书本上的证明： 那么，对于角平分线，还有其它的性质吗？ 第25题图（1） 第25题图（2） 第25题图（3） （1）[模型学习]如图1，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D. CE平分∠ACB的外角，交AB延长线于点E. 试猜想并完成下列填空，使命题1、2均为真命题： 命题1：在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D. 则 ▲ （AD、BD、AC、BC之间的数量关系） 命题2：在△ABC中，CE平分∠ACB的外角，交AB延长线于点E. 则 ▲ （AE、BE、AC、BC之间的数量关系） 你认为这两个命题的逆命题 ▲ （选择：A.都是假命题 B.都是真命题 C.命题1的逆命题是真命题，命题2的逆命题是假命题 D.命题1的逆命题是假命题，命题2的逆命题是真命题）命题，请选择其中一个命题，写出它的逆命题，如果是真命题，请给出证明，如果是假命题，请举一个反例. （2）[模型运用]如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD平分∠ACB，交AB于点D. 点E在CD延长线上. 联结并延长EA至点F，使AF=AD. 联结FB、FD. 在AB上取一点G，联结FG，使∠AFG=∠ABF. （i）求证：∠DFG=∠BFG. （ii）若AB=3AF，求tan∠ABC的值. （3）[综合拓展]如图3，在△ABC中，AB=3AC. 将AB绕点B逆时针旋转90，点A落在点D处. 将DC绕点D顺时针旋转30，点C落在点E处. DC上有一点F，联结EF. 已知BC=8. 求EF+DF的最小值. 参考答案：（1），，A，见解析；（2）（i）见解析；（ii）；（3）. 解析：本题考察了胡不归加权线段最值、特殊角解直角三角形、内外角平分线定理、直角对直径隐圆、瓜豆原理从动点轨迹、点圆最短距离、全等三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、面积法求几何量、命题（真命题、假命题）. （1）过点D作DF⊥AC于点F、DG⊥BC于点G；过点E作EH⊥BC于点H、EI⊥AC于点I；过点C作CJ⊥AB于点J. 由“角平分线定理”可知，DF=DG，EH=EI. ∵ ， ∴ . ∵ ， ∴ . ∵ ， ∴ . 命题1的逆命题：在△ABC中，点D为AB上一点，联结CD，若点D满足，则CD平分∠ACB. 命题2的逆命题：在△ABC中，点E为AB延长线上一点，联结CE，若点E满足，则CE平分∠ACB的外角. 证明：过点D作DF⊥AC于点F、DG⊥BC于点G；过点E作EH⊥BC于点H、EI⊥AC于点I；过点C作CJ⊥AB于点J. ∵ ，， ∴ . 又∵ ， ∴ . ∴ DF=DG. 依据“角平分线定理的逆定理”，CD平分∠ACB. ∴ 命题1的逆命题为真命题. ∵ ，， ∴ . 又∵ ， ∴ . 依据“角平分线定理的逆定理”，CE平分∠ACB的外角. ∴ 命题2的逆命题为真命题. 综上，∴ 命题1、命题2的逆命题均为真命题. （2）（i）在△AFG与△ABF中， ∵ ∠AFG=∠ABF，∠GAF=∠FAB， ∴ △AFG∽△ABF. ∴ . 设=k. ∴ AF=kAB，AG=kAF. ∴ AG=k2AB. ∵ AF=AD， ∴ AD=kAB. ∴ DG=AD-AG=k(1-k)AB. ∴ BD=AB-AD=(1-k)AB. ∴ =k. ∴ . ∴ FD平分∠BFG. ∴ ∠DFG=∠BFG. （ii）∵ AF=AD，AB=3AF， ∴ AB=3AD. ∴ BD=AB-AD=2AD. ∴ =. ∵ CD平分∠ACB， ∴ . ∴ =. 又∵ 在Rt△ABC中，tan∠ABC=， ∴ tan∠ABC=. （3）在CD右侧作∠CDK=45. 作FG⊥DK于点G. 在Rt△DGF中，GF=sin∠CDK·DF=DF. 作EG’⊥DK于点G’. 可知EF+DF最小值即为EG’. 在EG’上取点H，使DH=EH. ∴ ∠HDE=∠HED. ∠EDG=∠CDK+∠CDE=75. ∴ ∠HDE=∠HED=15. ∴ ∠DHG’=30. 令DG’=x，则有：HG’=x，DH=EH=2x. ∴ EG’=(2+) x. 在Rt△DG’E中，DE=. ∴ . ∴ EG’=DE=CD. 作AM平分∠BAC，交BC于点M. 作AN平分∠BAC外角，交BC延长线于点N. 依据第（1）问结论，可得： ∵ AB=3AC， ∴ =3. 因此、均为定值，可知点M、N均为定点. 由AM平分∠BAC、AN平分∠BAC外角可知，∠MAN=90. 作MN中点O. 可知A在以点O为圆心、OM为半径的圆上运动. 联结OA. 设⊙O半径为r. ∵ ， ∴ ，，. 又∵ =3， ∴ OB=3OA，OC=OA. ∴ 3OA=OA+BC. ∴ OA=3，OB=9，OC=1. 在OB上方作以OB为腰的等腰Rt△PBO. 依据“瓜豆原理”，可得，点D在以点O为圆心、OM的长为半径的圆上运动. 如图，当点D在D’处时CD取最小值. 在Rt△PBC中，PC=. ∴ CD’= PC-PD’=PC-OA=. ∴ CD最小值为. 此时EG’=CD==. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年上海市初中学业水平考试考前模拟练习 数 学 试 卷 （考试时间100分钟，满分150分） 考生注意： 1.本试卷含三个大题，共25小题. 2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答 题一律无效. 3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解 答的主要步骤. 4.考试不可以使用科学计算器. 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列各数中是无理数的是 A. 3.1415926 B. 1.33333333… C. D. 2. 下列运算正确的是 A. a2+a=a3 B. (a2)3= a5 C. a0.5= D. a-0.5=- 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是哪几个 ①圆 ②平行四边形 ③菱形 ④矩形 ⑤等腰三角形 ⑥等腰直角三角形 ⑦等腰梯形 A. ①②③ B. ①③④ C. ③④⑤⑥ D. ③④⑥⑦ 4. 某班 5 名同学身高（单位：cm）：170，178，172，170，169，则这组数据的中位数是 A. 169 B. 170 C. 172 D. 178 5. 在△ABC中，点D是内心，点E是重心，联结BD、DE. 若，，，则用含有、、的式子表示为 A. B. C. D. 6. 在△ABC中，点D、E、F在AB、AC、BC边上且DE//BC，EF//AB，DF//AC，则以下说法正确的是： ①这个图形中一共有3个平行四边形 ②D、E、F分别为AB、AC、BC中点 ③若AB=AC，则DF=DE ④S△ABC：S△DEF的值为4 A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 当a=，b=，c=时，的值为 ▲ . 8. 不等式组的解集为 ▲ . 9. 若关于x，y的方程ax2+3x+2y+7=0的每一组实数解(x,y)都满足y≠0，则满足条件的最小整数a的值为 ▲ . 10. 如果点A在反比例函数y=上，AB⊥x轴于点B，联结OA、OB，S△AOB=3，则k的值为 ▲ . 11. 化简的结果为 ▲ . 12. 将抛物线y=4x2+4x+13向右平移5个单位，再向下平移10个单位，则原抛物线顶点、新抛物线顶点与原点围成的三角形面积是 ▲ . 13. 已知实数x、y满足x2+y2=4，则代数式x2-y2+2x的最小值与最大值的差为 ▲ . 14. 阅读以下材料，回答问题： 在Rt△ABC中，∠C=90，∠B=22.5，AB=10，求AC的长度. 面对这类问题，我们一般想到用三角比进行解答，很容易得出AC=10sin22.5. 可是sin22.5是多少呢？ 我们可以通过画图的方式解决问题. 在Rt△ABC中，∠C=90，∠B=22.5，AC=x. 在AB上截取一点D，使∠DAB=22.5. 则∠ADC=45，AD=BD=x. 由“勾股定理”可得，AB=x. 由此可得，sin22.5==. 回到最初的问题，可得AC=5. 除了这个方法可以用来计算一些特殊的三角比值以外，还有如下公式供参考： sin2α+cos2α=1，sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ，sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ，cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ，cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ. 依据上述材料，回答问题： 的值为 ▲ . 第15题图 第17题图 第18题图 15. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4. 将矩形ABCD绕点C顺时针旋转60得到矩形A’B’CD’，其中B’C交AD于点E. 联结DD’. S四边形ECD’D：S五边形B’EDD’A’的值为 ▲ . 16. 我们定义：若“如果α，那么β”是一个真命题，则α是β的“充分条件”，β是α的“必要条件”. 若“如果α，那么β”和其逆命题“如果β，那么α”都是真命题，则α是β的“充要条件”，β是α的“充要条件”. 现有以下语句：①“两个角相等”是“这两个角是对顶角”的“必要条件”. ②“一组对角和是180的四边形”是“这个四边形是圆内接四边形”的“充分条件”. ③“一个内接于圆的平行四边形”是“这个四边形是正方形”的“必要条件”. ④“一个四边形内接于圆”是“这个四边形的对角线互相垂直平分”的“充要条件”. ⑤“一条直线垂直于圆的某一条半径”是“这条直线是该圆的切线”的“必要条件”. 以上语句错误的是 ▲ （填序号）. 17. 如图，在△ABC中，AC，BC=6，∠ACD=45，点E在AB边上且AE=2BE，点D是边BC上的动点（点D不与点B、点C重合），以D为直角顶点，DE为腰在其右侧作等腰直角三角形DEF. 延长EF交AC于点G，联结DG. 当∠CDG=45时，cot∠BCF的值为 ▲ . 18. 如图，在△ABC中，BA=BC，sin∠CAB=，AC中点为点D，将△ABC绕点D逆时针旋转α（0≤α≤360），得到△EFG（点A、B、C分别与点E、F、G对应），点H为△EFG的重心，联结BH、CH. 定义：kmax表示参数k的最大值，kmin表示参数k的最小值；a=，b=，则的值为 ▲ . 三、解答题：（本大题共7题，第19-23题每题10分，第24题12分，第25题16分，满分78分） 【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】 19. 阅读理解：数形结合一直是一个很有用的数学思想. 比如这道题： 已知实数x、y，求的最小值. 如果使用代数计算的方法，发现无从下手. 我们先对原表达式中开平方的部分进行配方. 原式=. 不难发现，这个形式与平面直角坐标系中两点之间的距离公式有着深深的联系. 因此我们构造平面直角坐标系xOy，使得点A(0,3)，点B(0,3)，点C(x,y). 不难发现，点C到点O、A、B的距离和即为. 我们将△ABC绕点A逆时针旋转60，得到△AED. 易证AC=CD，BC=ED. 因此OC+AC+BC=OC+CD+DE. 不难发现，OC+CD+DE的最小值即为OE的距离. 过点E作EF⊥y轴于点F. 易证∠FAE=75. 所以AF=AE·cos75，EF=AE·sin75. 所以OE2=(OA+AF)2+EF2=(OA+ AE·cos75)2+(AE·sin75)2=AE2·(cos275+ sin275)+ OA2+2OA·AE·cos75= AE2+ OA2+OA·AE=18+9+=18+. ∴ OE=. ∴ 的最小值为. 请仿照示例，当x、y均为实数时，求的最小值，要求画出平面直角坐标系. 20. 如图，OA=OB=OC，D、E为OA、AC中点且B、D、E三点共线. （1）∠ABC、∠AOC之间存在什么数量关系？猜想并证明你的结论. （2）若点D为BE中点，∠OAC=28，请用两种不同的方法求∠AOB的大小. 第20题图 21. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=(2+)x+1与y轴相交于点A，与反比例函数y=在第一象限相交于点B. 点C在第一象限内且在反比例函数y=上. 联结AB、AC、BC. （1）求点A、B的坐标. （2）当∠ABC=45时，求点C的坐标. 22. 如图（1），这是某学校举办校园艺术节活动时现场采用的某摄影装置，该装置使用一个机械臂将摄像机挂在半空，可以起到拍摄大范围景物的作用. 如图（2），这是该装置的抽象模型（已简化，假设所有要素均在同一个平面内），其中AB为悬挂摄像机的长杆，BC为摄像机，摄像机与长杆的夹角为“机杆角”，长杆与水平地面的夹角为“高度角”，其中“机杆角”与“高度角”的和始终小于180. 据相关技术部门提供的数据，该摄影机镜头位置C与其最近入镜点M的连线与水平地面成60的夹角；其最远入镜点为摄像机所在直线与水平地面的交点（图中点N），最近入镜点与最远入镜点之间的距离称为“摄影长度”（即为其拍摄照片的现场的纵长度），其拍摄照片的现场的横长度即为“摄影宽度”，“摄影现场面积=摄影长度×摄影宽度”. 已知“摄影宽度”（y轴，单位：m）与摄像机镜头距离地面高度（x轴，单位：m）之间的函数关系如图（3）所示. 已知摄像机长度BC=0.2 m，长杆长度AB=3.0m，在某一次拍摄中“高度角”为42，“机杆角”为135.6. （1）试求本次拍摄的“摄影宽度”.（结果精确到整数位） （2）试求本次拍摄的“摄影现场面积”.（每一步结果均精确到整数位） （参考数据：sin87.6≈0.58，cos87.6≈0.04，tan87.6≈23.86，sin2.4≈0.04，cos2.4≈0.99，tan2.4≈0.04，sin42≈0.67，cos42≈0.74，tan42≈0.90，≈1.73，≈0.58） 第22题图（1） 第22题图（2） 第22题图（3） 23. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，点G在射线AB上，以点G为圆心，GD长为半径作弧，且该弧过点C. 过点C作弧CD的切线CF. 点E为BC中点. （1）当AB=2AD且CD平分∠GCF时，求证：四边形ABCD是矩形. （2）当AB=(1+)AD，点G在AB延长线上且AD=BG时，求证：DE//CF. 第23题图 24. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,a+1)，B(-3,a+1). 设抛物线顶点为点C，与y轴相交于点G，以点D(0,1)为圆心，CD长为半径作一圆，在y轴右侧交x轴于点E，过点E作EF⊥x轴于点E，交⊙D于点F（不与点E重合），过点F作⊙D切线，交CE延长线于点H. （1）求抛物线顶点C的坐标. （2）猜想EH、CH与FH之间的数量关系，并证明你的结论. （3）当以点D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形时，求a的值. （4）当a=-2时，抛物线上有一动点J，联结GJ. 当GJ与y轴的夹角等于∠EFH时，求点J的坐标. 25. 教材上一些数学原理的解释，往往引人入胜，启发我们思考. [教材引入]这是角平分线定理. 定理 角平分线上的点到这个角的两边所在直线的距离相等. 这是书本上的证明. 这是角平分线定理的逆定理. 定理 在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上. 这是书本上的证明： 那么，对于角平分线，还有其它的性质吗？ 第25题图（1） 第25题图（2） 第25题图（3） （1）[模型学习]如图1，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D. CE平分∠ACB的外角，交AB延长线于点E. 试猜想并完成下列填空，使命题1、2均为真命题： 命题1：在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D. 则 ▲ （AD、BD、AC、BC之间的数量关系） 命题2：在△ABC中，CE平分∠ACB的外角，交AB延长线于点E. 则 ▲ （AE、BE、AC、BC之间的数量关系） 你认为这两个命题的逆命题 ▲ （选择：A.都是假命题 B.都是真命题 C.命题1的逆命题是真命题，命题2的逆命题是假命题 D.命题1的逆命题是假命题，命题2的逆命题是真命题）命题，请选择其中一个命题，写出它的逆命题，如果是真命题，请给出证明，如果是假命题，请举一个反例. （2）[模型运用]如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD平分∠ACB，交AB于点D. 点E在CD延长线上. 联结并延长EA至点F，使AF=AD. 联结FB、FD. 在AB上取一点G，联结FG，使∠AFG=∠ABF. （i）求证：∠DFG=∠BFG. （ii）若AB=3AF，求tan∠ABC的值. （3）[综合拓展]如图3，在△ABC中，AB=3AC. 将AB绕点B逆时针旋转90，点A落在点D处. 将DC绕点D顺时针旋转30，点C落在点E处. DC上有一点F，联结EF. 已知BC=8. 求EF+DF的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题型 题号 分值 考查知识点 能力层级 难度预估 核心素养 选择题 1 4 无理数的定义 了解 易 数感 选择题 2 4 实数运算、幂的运算 理解 易 运算能力 选择题 3 4 轴对称与中心对称图形 理解 易 空间观念 选择题 4 4 中位数的计算 掌握 易 数据分析观念 选择题 5 4 三角形内心、重心、向量运算 掌握 中 几何直观、运算能力 选择题 6 4 平行四边形、中位线、面积比 掌握 中 推理能力、几何直观 填空题 7 4 二次根式化简、实数运算 掌握 易 运算能力 填空题 8 4 一元一次不等式组求解 掌握 易 运算能力 填空题 9 4 一元二次方程判别式、参数范围 运用 中 运算能力、推理能力 填空题 10 4 反比例函数k的几何意义 掌握 易 几何直观 填空题 11 4 代数式化简、二次根式运算 运用 中 运算能力 填空题 12 4 抛物线平移、顶点坐标、面积计算 运用 中 几何直观、运算能力 填空题 13 4 圆方程、二次函数最值 运用 中 运算能力、推理能力 填空题 14 4 三角恒等变换、特殊角计算 运用 中 运算能力、推理能力 填空题 15 4 矩形旋转、等边三角形、面积比 运用 中 几何直观、推理能力 填空题 16 4 充分必要条件、命题判断 理解 中 推理能力 填空题 17 4 等腰直角三角形、相似、三角比 运用 难 几何直观、推理能力 填空题 18 4 旋转、重心、轨迹圆、最值 运用 难 几何直观、推理能力 解答题 19 10 数形结合、距离和最小值 运用 中 几何直观、创新意识 解答题 20 10 圆周角定理、等腰三角形、平行四边形 掌握 中 推理能力、几何直观 解答题 21 10 一次函数、反比例函数、全等三角形 运用 中 运算能力、几何直观 解答题 22 10 解直角三角形、一次函数应用 运用 中 模型观念、运算能力 解答题 23 10 圆的切线、矩形、全等、平行证明 运用 中 推理能力、几何直观 解答题 24 12 抛物线、圆、切线、相似、平行四边形 运用 难 综合能力、创新意识 解答题 25 16 角平分线定理、相似、胡不归最值 运用 难 综合能力、模型观念 $