第一章 4 线段的垂直平分线-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

拔尖特训·数学（北师版）八年级下 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 ☑基础进阶 幻素能攀升 1.如图，某地拟在河岸m上建一个水厂以向村 5.已知△ABC(AB<AC<BC),用尺规作图的 庄P,Q供水.若水厂到村庄P,Q的距离相 方法在BC上取一点P,使PA+PC=BC, 等，则水厂应建在 ( 下列作法正确的是 ( A.A地B.B地C.C地D.D地 A (第1题) (第2题) 2.(2025·淄博高青期末)如图，在△ABC中， D 以点A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于 6.如图，在△ABC中，AB的垂直平分 点D,再分别以点B,D为圆心，大于2BD 线交BC于点D,AC的垂直平分线 交BC于点E,垂足分别为M,N.若 的长为半径作弧，两弧分别交于点M,N,连 接MN交AB于点E,连接AD,DE.若 BD2DE=2,C-则AC的长为() AB=9,AC=7,则△ADE的周长为( A3② B33 A.22B.20 C.18D.16 2 3.如图，在△ABC中，AC的 D30 垂直平分线交AB于点D, c 2 交AC于点E,CD平分 A D 105 (第3题) ∠ACB.若∠B=30°，则 MX E ∠A的度数为 (第6题) (第7题) 4.(2025·咸阳礼泉期末)如图，在△ABC中， 7.(2025·通化辉南模拟)如图，在△ABC中， AB=AC,D为△ABC右侧一点，连接AD, ∠A=105°，AC的垂直平分线l交BC于点 CD,BD,AD=CD,∠BAC=60°.求证：BD M,AB+BM=BC,则∠B= 是AC的垂直平分线， 8.新考法·操作实践题(2025·成都) 如图，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°，AB=1,BC=2. 以点A为圆心，AB长为半径 (第8题) (第4题) 作弧，以点C为圆心，以BC 长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D,连 接BD,则BD= 22 第一章三角形的证明及其应用 9.*如图，AB=CD,AC,BD的垂直平分线罚思维拓展 EM,EN相交于点E,连接BC,BE,DE.求 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 证：∠ABE=∠CDE. 90°，∠A=22.5°，斜边AB的垂直 平分线交AC于点D,点F在AC M B 上，点E在BC的延长线上，CE=CF,连接 BF,DE.线段DE和BF有什么数量和位 置关系？请说明理由 (第9题) (第11题) 10.已知△ABC是等边三角形，过点C作CD∥ AB,且CD=AB,连接BD交AC于点O. (1)如图①，求证：AC垂直平分BD (2)如图②，点M在BC的延长线上，点N 在线段CO上，且ND=NM,连接BN.求 证：NB=NM. ① (第10题) 23 拔尖特训·数学（北师版）入年级下 第2课时线段垂直平分线性质的应用 自基础进阶 幻素能攀升 1.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示， 4.如图，在△ABC中，边AB,AC的垂直平分 且顶点在格点上，在△ABC的内部有E,F, 线交于点P,连接BP,CP.若∠BPC=100°， G,H四个格点，其中，到△ABC三个顶点的 则∠A的度数为 () 距离相等的点是 A.40°B.50° C.60°D.80° M (第1题) (第4题) (第5题) A.E B.F C.G D.H 5.如图，五边形ABCDE是正五边形，直线 2.已知直线（和l外一点P,用直尺和圆规作直 MN∥AB,点P在直线MN上运动.当点P 线PQ,使PQ⊥l于点Q.有如图所示的作 至少与正五边形的两个顶点距离相等时，警 法，其中，正确的是 (填序号)】 报器就会发出警报.在直线MN上，会发出 警报的点有 个： 6.如图，在△ABC中，DF,EF分别垂 直平分AC,BC,分别交AB于M N两，点，连接MC,NC. (1)若∠ACB=120°，求∠MCN的度数， ① ② ③ (第2题) (2)若△CMN的周长为15cm,求AB的长. 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是 (3)若∠MFN=70°，求∠MCN的度数. △ABC的角平分线， (1)尺规作图：作△ABD的高线DE, (2)在(1)的条件下，连接CE,求证：AD垂 直平分CE. (第6题) (第3题) 24.Rt△ABC≌Rt△ADE .AB=AD,BC=DE. 又：∠ABF=∠ADF=90°， AF-AF, ,.Rt△ABF≌Rt△ADF. .BE=DE ∴.BC一BF=DE一DF,即CF= EF】 10.①当AP=BC时， AQ⊥AC, ∴.∠C=∠QAP=90°. 在Rt△ABC和Rt△QPA中， (AB=QP, BC=PA, .'.Rt△ABC2Rt△QPA. .BC=AP. .'AP=5 cm. .此时点P在AC的中点处， ②当AP=AC时， 在Rt△ABC和Rt△PQA中， AB-PQ, AC=PA, ∴.Rt△ABC≌Rt△PQA. ∴.此时点P,C重合 综上所述，当点P位于AC的中点处 或当点P与点C重合时，△ABC才 能和△APQ全等 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的 性质定理及其逆定理 1.B2.D3.50 4..AB=AC,∠BAC=60°， .△ABC是等边三角形. .AB=BC. AD=DC, ∴.点B,D都在AC的垂直平分 线上. .BD是AC的垂直平分线. 5.B 6.D解析：如图，连接AD,AE. ,AB的垂直平分线交BC于点D, AC的垂直平分线交BC于点E, AD=BD=AE=EC=号 DE=2,.AD2+DE2=AE2. ∴.△ADE是直角三角形，且 ∠ADE=90..AC= √/AD2+DC2= √)++-3 2 MX B DE (第6题) 7.50°解析：连接AM.AC的垂 直平分线I交BC于点M,.CM= AM.AB+BM=BC=CM+BM, ∴.AB=CM=AM.∴.∠C= ∠MAC,∠AMB=∠B.设∠C= ∠MAC=x,则∠AMB=∠B=2x. ∴.∠BAC=180°-3.x=105..x= 25°..∠B=2.x=50 解析：如图，设AC与BD交 于点O,连接AD,CD.由作图可知， AD=AB,CD=CB..'.AC垂直平分 BD,即AC⊥BD,OB=OD. ∠ABC=90°，AB=1,BC=2, .AC=√AB+BC=√5. ,S△Ae= 2AC·OB= AB· BC,OB=AB·BC25 AC D 20B=45 5· C (第8题) 9.连接AE,CE. AC,BD的垂直平分线EM,EN 相交于点E, ∴.EA=EC,EB=ED. 在△ABE和△CDE中， (AB-=CD, EA=EC, EB=ED, 11 .'.△ABE≌△CDE. ∴.∠ABE=∠CDE. 方法归纳 利用线段的垂直平分线 解证明题的方法 利用线段的垂直平分线解证 明题时，有时需利用线段垂直平分 线的性质构造相等的线段，运用等 量代换来证明线段相等，或借助构 造的相等线段得到金等三角形，利 用全等三角形的性质来证明线段 或角相等！ 10.(1):△ABC是等边三角形， ∴.AB=BC,∠ABC=∠ACB= ∠CAB=60」 CD=AB, .CD=BC. .CD∥AB ∴.∠ACD=∠BAC=60°. ∴.∠ACD=∠ACB=60. .BO=DO,CO⊥BD,即AC垂直平 分BD. (2)由(1)，知AC垂直平分BD, .NB=ND. ND=NM, ∴.NB=NM. 11.DE=BF,DE⊥BF 理由：如图，连接BD,延长BF交DE 于点G :点D在线段AB的垂直平分线上， ∴.AD=BD .∠ABD=∠A=22.5. ∴.∠CDB=∠ABD+∠A=45, ∴.△BCD为等腰直角三角形. ∴.BC=DC 在△ECD和△FCB中， CE=CF, ∠DCE=∠BCF, CD=CB, .△ECD≌△FCB. '.DE=BF,∠CED=∠CFB :∠CFB+∠CBF=90°， ∴.∠CED+∠CBF=9O. .∠EGB=90°，即DE⊥BF G/EC D R (第11题) 第2课时线段垂直平分线 性质的应用 1.B2.②③ 3.(1)如图所示. (2)如图. 由(1)，得DE是△ABD的高线. .DE⊥AB ∴.∠AED=90. 在△ABC中，.·∠ACB=90°，AD是 △ABC的角平分线， ∴.∠AED=∠ACD,∠CAD= ∠BAD. 在△ACD和△AED中， ∠ACD=∠AED. ∠CAD=∠EAD, AD-AD, ∴.△ACD≌△AED. .AC=AE,DC=DE ∴.点A,D在CE的垂直平分线上 ,.AD垂直平分CE. (第3题) 4.B解析：如图，连接AP并延长到 点D.边AB,AC的垂直平分线交 于点P,∴.PA=PB=PC. ∴.∠ABP=∠BAP,∠CAP= ∠ACP.∴.∠BPD=2∠BAP ∠CPD=2∠CAP.:∠BPC=100°， .∠BPD+∠CPD=100° ∴.2∠BAP+2∠CAP=100°，即 ∠BAP+∠CAP=50°. .'.∠BAC=50 D (第4题) 5.5 6.(1),DF,EF分别垂直平分 AC,BC, .'AM=CM,CN=BN. ∴.∠A=∠ACM,∠B=∠BCN. .'.∠CMN=∠A+∠ACM=2∠A, ∠CNM=∠B+∠BCN=2∠B. :∠ACB=120°， ∴.∠A+∠B=180°-∠ACB=60° ∴.∠MCN=180°-（∠CMN+ ∠CNM)=180°-2（∠A+∠B)= 60 (2)由(1)，得AM=CM,BN=CN, ∴.△CMN的周长为CM+MN+ CN=AM+MN+BN=AB. :△CMN的周长为15cm, .'AB=15 cm. (3).∠MFN=70°， .∠NMF+∠MNF=180°- ∠MFN=110. :∠AMD=∠NMF,∠BNE= ∠MNF, ∴.∠AMD+∠BNE=∠NMF+ ∠MNF=110. ,DF,EF分别垂直平分AC,BC, '.∠ADM=∠BEN=90° ∴.∠A+∠B=90°-∠AMD+90° ∠BNE=180°-（∠AMD+ ∠BNE)=70° 由(1)，得∠MCN=180°-2（∠A+ ∠B)=40°. 5角平分线 第1课时角平分线的性质 定理及其逆定理 1.C2.B3.8 4.∠CAB=∠CBA, ..CA=CB. 12 .CA⊥OM,CB⊥ON, ∴.点C在∠MON的平分线上. .OC平分∠MON. 5.D 6.A解析：AD平分∠BAC, DC⊥AC,DF⊥AB,.∠CAD= ∠BAD,DC=DF=3.:DE∥AB, .∠EDA=∠BAD.'.∠EDA= ∠CAD.∴.DE=AE=5.在 Rt△CDE中，CE=√DE2-CD= 4,Same=号X4X3=6 7.66°解析：，∠B=42°，AD⊥1 BC,.∠BAD=48°.ED=EF, AD⊥BC,EF⊥AB,.AE平分 ∠BAD.'.∠BAE=∠DAE=24. ∴.∠AEC=∠B+∠BAE=66. 8.12解析：如图，过点D作DG⊥ AC于点G,DH⊥CB于点H. ·DE=2CD,△BDE的面积为2， .S△D=2S△mE=4,:CD是 ∠ACB的平分线，DH⊥CB,DG⊥ AC...DG=DH.AC =2BC, 1 S△An=2AC·GD,S△n BC·DH,.SA4D=2S△N .S△AcD=8..S△ix=S△AD十 S△xD=8+4=12. G2 B E (第8题) 9.(1)如图，点P即为所求。 (2).·OD平分∠AOB,∠AOB= 60°，点P到OA的距离是4cm,PE⊥ OC, ∴.PE=4cm,∠POE= 3∠A0B 30 ∴.在Rt△POE中，PO=2PE= 8 cm.