第十讲 立体几何与空间向量小题 讲义-2026届高三数学二轮复习

第10讲 立体几何与空间向量小题 知识讲解 【一】体积和表面积 圆锥的展开图是扇形，此时母线是半径。 ； 斜二测法：横不变，纵一半。 ； ； ； ； ； 【二】线面平行、垂直的判定及性质 1、线面平行的判定及性质 判定：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行；则线面平行。 ⇒l∥α 线线平行⇒线面平行 性质：线面平行，过该直线的平面与此平面相交；则该直线与交线平行。 ⇒l∥m 线面平行⇒线线平行 2、面面平行的判定及性质 判定：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么面面平行。 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P， a∥α，b∥α⇒β∥α. 性质：面面平行，另一个平面与这两个平面相交，则两条交线平行。 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 面面平行⇒线线平行 3、直线与平面垂直的判定及性质 判定：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么线面垂直。 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 ⇒a∥b 4、平面与平面垂直的判定及性质 判定：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么面面垂直。 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 性质：面面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于交线，那么线面垂直。 ⇒l⊥α 【三】外接球模型 一、墙角模型，适用范围：3条棱两两垂直；可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合 直接用公式 二、麻花模型，适用范围：四面体的三组对棱相等的三棱锥 推导过程：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，（，，） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为， ，，，列方程组， 。 三、垂面模型，适用范围：有一条棱垂直于底面的棱锥。 推导过程：第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则 必过球心. 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径。（正弦定理. 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： ；公式：。 四、切瓜模型，适用范围：有两个平面互相垂直的棱锥 推导过程：分别在两个互相垂直的平面上取外心、过两个外心做两个垂面的垂线， 两条垂线的交点即为球心0，取B C的中点为，连接、、、为矩形 公式： 五、斗笠模型，适用于：顶点的投影在底面的外心上的棱锥。 推导过程：取底面的外心，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高，在上取一点作为球心0，根据勾股定理；公式： 六、矩形模型，适用范围：两个直角三角形的斜边为同一边，则该边为球的直径 推导过程：图中两个直角三角形和，其中，求外接圆半径；取斜边的中点，连接，则所以点即为球心：（为斜边长度） 【四】三角形四心 当且仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。 外心：三角形三边的垂直平分线的交点（或三角形外接圆的圆心） 内心：三角形三条内角平分线的交点（或内切圆的圆心）；r=2S/（a+b+c）；在Rt△ABC中，∠C=90°，r=（a+b-c）/2. 垂心：三角形三边上的高的交点； 重心：三角形三条中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离为2:1 空间向量：真题 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为 ． 3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ． 4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ． 5．【多选】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（    ）． A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为 C． D．的面积为 6．（2023·全国乙卷·高考真题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 ． 8．（2024·全国甲卷·高考真题）设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或          ②若，则或 ③若且，则       ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 9．【多选】（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱中，D为BC中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 空间向量：2年模拟 1. （2026皖南八校）如图，在几何体中，侧棱，，均垂直于底面，已知，，，则该几何体的体积是_____. 2. （2026山东枣庄一模-多选）在正方体中，若点为底面的中心，则（ ） A. 平面 B. C. 与所成的角为 D. 与平面所成的角的正切值为 3. （2026山东潍坊一模-多选）已知为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，则下列选项是“”的充分条件的是（ ） A. B. C. D. 3. （2026江西九江一模-多选）如图，正方体中，点分别为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 4. （2026湖南岳阳一模）如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为（ ） A B. C. D. 5. （2026湖南常德一模）若为两条直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 6. （2026湖北孝感一模-多选）若三棱锥的所有棱长均为1，M，N分别为棱，的中点，则（ ） A. B. 该三棱锥表面积为 C. 该三棱锥外接球体积为 D. 异面直线，所成角的余弦值为 7. （2026广东湛江一模）如图，正方体的棱长为4，其中，点F为的中点，则点C到平面的距离为（ ） A B. C. D. 8. （2026福建泉州一模）已知正三棱台的高为，则该棱台的侧面积为（ ） A. B. C. 18 D. 9.（2026安徽宿州一模） 一个底面直径为16cm，高为60cm的圆柱形水槽中装有高度为40cm的水，现向其中放入一个直径为8cm的铁球和一个底面直径和高均为8cm的圆锥形铁块，当铁球和圆锥形铁块都完全浸没入水中时，水槽中的水面高度达到（ ） A. 42cm B. 44cm C. 48cm D. 50cm 10. （2026安徽黄山一模-多选）如图，在直棱柱中，，是中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 四点共面 C. 直棱柱不存在外接球 D. 棱的中点在平面内 11. （2026安徽淮北一模-多选）已知正四棱锥，为棱上的动点．则（ ） A. 平面平面 B. 存在使得为直角三角形 C. 当为中点时，平面 D. 若，球与四棱锥的所有棱都相切，则球的表面积为 12. （2026安徽淮北一模）已知直线和平面，下列表述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 13. （2026安徽合肥一模）已知空间中三条直线与平面分别交于不同的三点，则“三点共线”是“直线共面”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. （2026安徽滁州一模-多选）在棱长为的正方体中，为棱上一点，且满足.下列说法正确的是（ ） A. 点到平面距离为 B. 直线与直线所成角的余弦值为 C. 若过点的平面垂直于直线，则平面截正方体所得截面的周长为 D. 若动点在侧面及其边界上运动，且，则直线与平面所成角的正切值的取值范围是 15. （2026安徽滁州一模）有一圆心角为，半径为2的扇形，将其围成一个圆锥，则此圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 16.（2025湖北武汉五调） 已知圆台上底面直径为2，下底面直径为4，母线长为3，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 17. （2025湖北武汉四调）已知正四棱锥的侧棱长为，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 18. （2025湖北武汉二调） 在三棱柱中，设，，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. D. 19．（2025·安徽滁州·一模）中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇面的圆心角为，上板长为若把该扇面围成一个圆台，则圆台的高为（ ） A． B． C． D． 20．（2025·安徽·一模）在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．14 21．（2025·安徽黄山·一模）已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 立体几何与空间向量小题 知识讲解 【一】体积和表面积 圆锥的展开图是扇形，此时母线是半径。 ； 斜二测法：横不变，纵一半。 ； ； ； ； ； 【二】线面平行、垂直的判定及性质 1、线面平行的判定及性质 判定：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行；则线面平行。 ⇒l∥α 线线平行⇒线面平行 性质：线面平行，过该直线的平面与此平面相交；则该直线与交线平行。 ⇒l∥m 线面平行⇒线线平行 2、面面平行的判定及性质 判定：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么面面平行。 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P， a∥α，b∥α⇒β∥α. 性质：面面平行，另一个平面与这两个平面相交，则两条交线平行。 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 面面平行⇒线线平行 3、直线与平面垂直的判定及性质 判定：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么线面垂直。 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 ⇒a∥b 4、平面与平面垂直的判定及性质 判定：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么面面垂直。 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 性质：面面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于交线，那么线面垂直。 ⇒l⊥α 【三】外接球模型 一、墙角模型，适用范围：3条棱两两垂直；可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合 直接用公式 二、麻花模型，适用范围：四面体的三组对棱相等的三棱锥 推导过程：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，（，，） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为， ，，，列方程组， 。 三、垂面模型，适用范围：有一条棱垂直于底面的棱锥。 推导过程：第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则 必过球心. 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径。（正弦定理. 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： ；公式：。 四、切瓜模型，适用范围：有两个平面互相垂直的棱锥 推导过程：分别在两个互相垂直的平面上取外心、过两个外心做两个垂面的垂线， 两条垂线的交点即为球心0，取B C的中点为，连接、、、为矩形 公式： 五、斗笠模型，适用于：顶点的投影在底面的外心上的棱锥。 推导过程：取底面的外心，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高，在上取一点作为球心0，根据勾股定理；公式： 六、矩形模型，适用范围：两个直角三角形的斜边为同一边，则该边为球的直径 推导过程：图中两个直角三角形和，其中，求外接圆半径；取斜边的中点，连接，则所以点即为球心：（为斜边长度） 【四】三角形四心 当且仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。 外心：三角形三边的垂直平分线的交点（或三角形外接圆的圆心） 内心：三角形三条内角平分线的交点（或内切圆的圆心）；r=2S/（a+b+c）；在Rt△ABC中，∠C=90°，r=（a+b-c）/2. 垂心：三角形三边上的高的交点； 重心：三角形三条中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离为2:1 立体几何与空间向量：真题 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即，故，故圆锥的体积为.故选：B. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为 ． 【详解】由题可得两个圆台的高分别为，，所以. 3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ． 【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，   因为，则， 故，则，所以所求体积为. 4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ． 【详解】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为， 所以正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为， 所以棱台的体积为. 方法二：棱台的体积为 5．【多选】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（    ）． A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为 C． D．的面积为 【详解】依题意，，，所以， A选项，圆锥的体积为，A选项正确；B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误；C选项，设是的中点，连接， 则，所以是二面角的平面角，则，所以， 故，则，C选项正确； D选项，，所以，D选项错误.故选：AC.   6．（2023·全国乙卷·高考真题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【详解】在中，，而，取中点，连接，有，如图，，，由的面积为，得，解得，于是， 所以圆锥的体积.故选：B 7．（2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 ． 【详解】 圆柱的底面半径为，设铁球的半径为r，且， 由圆柱与球的性质知，即，， 8．（2024·全国甲卷·高考真题）设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或          ②若，则或 ③若且，则       ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 综上只有①③正确，故选：A. 9．【多选】（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱中，D为BC中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，，则，则不成立，故A错误； 对于BD，，设平面的法向量为， 则，得，令，则，所以，， 则平面，平面，故BD正确； 对于C，，则，显然不成立，故C错误；故选：BD. 空间向量：2年模拟 1. （2026皖南八校）如图，在几何体中，侧棱，，均垂直于底面，已知，，，则该几何体的体积是_____. 【详解】如图所示，构造一个底面是边长为1的等边三角形，侧棱长为4的正三棱柱， 其中，，，， 因此，即， 根据三棱柱体积公式，，故该几何体的体积是. 2. （2026山东枣庄一模-多选）在正方体中，若点为底面的中心，则（ ） A. 平面 B. C. 与所成的角为 D. 与平面所成的角的正切值为 【详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系，设， 则， 所以，又因为，所以，B选项正确； 取中点，所以，所以，又因为平面，平面，所以平面，A选项正确；设与所成的角为，， 所以，所以与所成的角为，C选项错误； 设平面的法向量为，设与平面所成的角为， 则，所以， 所以，所以D选项正确.故选：ABD 3. （2026山东潍坊一模-多选）已知为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，则下列选项是“”的充分条件的是（ ） A. B. C. D. 【详解】对A：若，则，故A正确；对B：若，则，故B正确； 对C：若，不能确定与关系，故C错误；对D：若，则，故D正确故选：ABD. 3. （2026江西九江一模-多选）如图，正方体中，点分别为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 对于A，，显然与没有倍数关系， 故不平行，即与不平行，故A错误； 对于B，平面的一个法向量为， ，故，又平面，故平面，故B正确； 对于C，因，， 则，所以，故C正确； 对于D，，， 设平面的一个法向量为，则，故可取， 因，则与平行，故平面，故D正确. 故选：BCD 4. （2026湖南岳阳一模）如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为（ ） A B. C. D. 【详解】建立如图所示坐标系，设下底面正方形的中心为坐标原点， 因为下底面边长为，几何体的高为， 所以，，，，，，，.设球心，外接球半径为. 所以 则解得：. 所以.外接球表面积故选：B. 5. （2026湖南常德一模）若为两条直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【详解】选项A，若，，，，根据面面垂直的性质定理可得：，故A选项正确；选项B，若，， 则直线与直线可能平行，可能异面，故B选项不正确； 选项C，若，， 则直线与直线可能平行，可能相交，也可能异面，故C选项不正确；选项D，若，，， 则直线与直线可能平行，可能相交（包括垂直），也可能异面，故D选项不正确；故选：A. 6. （2026湖北孝感一模-多选）若三棱锥的所有棱长均为1，M，N分别为棱，的中点，则（ ） A. B. 该三棱锥表面积为 C. 该三棱锥外接球体积为 D. 异面直线，所成角的余弦值为 【详解】由题意三棱锥为棱长为1的正四面体，对于A：因为在正四面体中，M为中点，所以，，又，平面， 所以平面，平面，所以，所以A正确； 对于B：因为正四面体每个面都是边长为1的正三角形， 所以此正四面体的表面积为，所以B错误；对于C：把该正四面体放在正方体中，如下图所示： 设该正方体的棱长为，则有， 所以该正方体的对角线长为， 所以该正方体外接球的半径为，即该正四面体外接球的半径为， 所以该正四面体外接球的体积为，所以C正确； 对于D：因为， 所以 ，又， 所以异面直线，所成角的余弦值为，所以D正确.故选：ACD 7. （2026广东湛江一模）如图，正方体的棱长为4，其中，点F为的中点，则点C到平面的距离为（ ） A B. C. D. 【详解】以点D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 可得，, 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故，其中， 点C到平面的距离.故选：C． 8. （2026福建泉州一模）已知正三棱台的高为，则该棱台的侧面积为（ ） A. B. C. 18 D. 【详解】由题意，设上下底面中心分别为，则， 分别取中点，则为梯形的高，由可得，， 作，垂足为， 则，，则， 则.故选：B. 9.（2026安徽宿州一模） 一个底面直径为16cm，高为60cm的圆柱形水槽中装有高度为40cm的水，现向其中放入一个直径为8cm的铁球和一个底面直径和高均为8cm的圆锥形铁块，当铁球和圆锥形铁块都完全浸没入水中时，水槽中的水面高度达到（ ） A. 42cm B. 44cm C. 48cm D. 50cm 【详解】根据题意可知铁球的体积和圆锥形铁块的体积之和等于上升部分水的体积， 利用体积之和除以圆柱形水槽的底面积即得水面上升的高度， 即，故水槽中水面的高度达到了42cm.故选：A 10. （2026安徽黄山一模-多选）如图，在直棱柱中，，是中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 四点共面 C. 直棱柱不存在外接球 D. 棱的中点在平面内 【详解】在直棱柱中，平面， 又，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 对于A，因为， 所以， 所以，所以，A正确； 对于B， ，即，又直线， 因此，即四点共面，B正确； 对于C，在梯形中，， 则为锐角，，因此， 所以梯形无外接圆，则直棱柱没有外接球，C正确； 对于D，棱的中点， ， 假设棱的中点M在平面内， 则有，即，该方程组无解， 所以棱的中点不在平面内，D错误.故选：ABC 11. （2026安徽淮北一模-多选）已知正四棱锥，为棱上的动点．则（ ） A. 平面平面 B. 存在使得为直角三角形 C. 当为中点时，平面 D. 若，球与四棱锥的所有棱都相切，则球的表面积为 【详解】对于A，连接，设交于点，连接，如下图： 在正四棱锥中，，平面， 因为平面，所以，又平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故A正确； 对于B，在正四棱锥中，若为直角三角形，则，， 由，得，即， 而在正方形中，，由于，则，矛盾， 所以不存在使得为直角三角形，故B错误； 对于C，当为中点时，连接， 由于在正方形中，为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面，故C正确； 对于D，当时，，而，则， 在等腰直角中，到的距离为， 而到的距离也为1，则球的球心位于点，半径为1， 则球的表面积为，故D正确.故选：ACD 12. （2026安徽淮北一模）已知直线和平面，下列表述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【详解】由，条件中缺少，故A错误； 由，条件中缺少，故B错误； 由，条件中缺少，故C错误； 由，故D正确；故选：D. 13. （2026安徽合肥一模）已知空间中三条直线与平面分别交于不同的三点，则“三点共线”是“直线共面”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【详解】如图所示，空间中三条直线与平面分别交于不同的三点， 且三点共线，但直线不共面，所以“三点共线”是“直线共面”的不充分条件； 若直线共面，设其为，则均在平面内，也在平面内， 则在平面与的交线上，所以三点共线， 所以“三点共线”是“直线共面”的必要条件； 所以“三点共线”是“直线共面”的必要不充分条件.故选：B. 14. （2026安徽滁州一模-多选）在棱长为的正方体中，为棱上一点，且满足.下列说法正确的是（ ） A. 点到平面距离为 B. 直线与直线所成角的余弦值为 C. 若过点的平面垂直于直线，则平面截正方体所得截面的周长为 D. 若动点在侧面及其边界上运动，且，则直线与平面所成角的正切值的取值范围是 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、， 对于A选项，，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以点到平面的距离为，A对； 对于B选项，，，， 所以直线与直线所成角余弦值为，B错； 对于C选项，设平面交直线于点，交直线于点， ，，因为，、，所以，， 所以，解得，即点， ，解得，即点， 故截面为，且，， ，故的周长为，C对； 对于D选项，略。故选：ACD. 15. （2026安徽滁州一模）有一圆心角为，半径为2的扇形，将其围成一个圆锥，则此圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【详解】设圆锥的高为，母线为，底面半径为，由题可得，，则； 则，此圆锥的体积为.故选：B. 16.（2025湖北武汉五调） 已知圆台上底面直径为2，下底面直径为4，母线长为3，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【详解】由题意，如图，所以. 故选：A 17. （2025湖北武汉四调）已知正四棱锥的侧棱长为，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【详解】设底面边长为，则高，由，所以， 所以体积 ， 设，，则， 所以当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 所以当时取得极大值，即为最大值，此时该棱锥的体积最大，此时.故选：D． 18. （2025湖北武汉二调） 在三棱柱中，设，，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. D. 【详解】在三棱柱中，.故选B 19．（2025·安徽滁州·一模）中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇面的圆心角为，上板长为若把该扇面围成一个圆台，则圆台的高为（ ） A． B． C． D． 【详解】设小扇形的半径为xcm，则大扇形的半径为，设圆台的上下底面半径分别为， 则， 所以，所以，所以圆台的高为故选： 20．（2025·安徽·一模）在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．14 【详解】如图所示：， 将正四棱柱（图1）的侧面展开，得到展开图（图2）， 当五点共线时，取得最小值，且最小值为.故选：A 21．（2025·安徽黄山·一模）已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【详解】根据题意，构造如图所示的长方体，设其外接球的半径为， 易知三棱锥的外接球就是长方体的外接球，则， 所以三棱锥的外接球的表面积为.故选：D. 1 学科网（北京）股份有限公司 $