9.2.3 总体集中趋势的估计 同步训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

9.2.3 总体集中趋势的估计 同步训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： （满分：80分）（单选题、填空题每题5分；多选题每题6分） 一、选择题 1.假设有一组数据为6，8，3，6，4，6，5，这些数据的众数与中位数分别是(　　) A.5，6 B.6，4 C.6，5 D.6，6 2.为了解某专业大一新生的学习生活情况，辅导员将该专业部分学生一周的自习时间(单位：h)统计后制成如图所示的统计图，据此可以估计该专业所有学生一周自习时间的中位数为(　　) A.24.25 B.24 C.23.75 D.23.25 3.随着工业自动化和计算机技术的发展，机器人进入大量生产和实际应用阶段，如图为某年服务机器人各行业渗透率调查情况. 根据该图，下列结论错误的是(　　) A.物流仓储业是目前服务行业中服务机器人已应用占比最高的行业 B.教育业目前在大力筹备应用服务机器人 C.未计划使用服务机器人占比最高的是政务服务业 D.图中八大行业中服务机器人已应用占比的中位数是33.3% 4.(多选)某中学对参加高一年级体质测试的学生进行模拟训练，从中抽出N名学生，其中成绩的频率分布直方图如图所示.已知成绩在区间[90，100]内的学生人数为5.则(　　) A.x的值为0.015 B.N＝100 C.中位数为75 D.平均数为73 5.样本中共有5个个体，其值分别为a，1，2，3，4，若该样本的中位数为2，则a的取值范围为(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(－∞，2] D.[1，2] 6.(多选)已知样本甲：x1，x2，x3，…，xn与样本乙：y1，y2，y3，…，yn满足关系yi＝(i＝1，2，…，n)，则下列结论错误的是(　　) A.样本乙的极差等于样本甲的极差 B.若某个xi为样本甲的中位数，则yi是样本乙的中位数 C.样本乙的众数小于样本甲的众数 D.若某个xi为样本甲的平均数，则yi是样本乙的平均数 7.如果一组数据的中位数比平均数小很多，下面叙述一定错误的是(　　) A.数据中可能有异常值 B.数据中众数可能和中位数相同 C.数据中可能有极端大的值 D.这组数据是近似对称的 二、填空题 8.有17名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前8名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他只需要知道17名同学成绩的____________(平均数和中位数选一). 9.x，－1，3，7，10，平均数为5，中位数为________. 三、解答题 10.(8分)某小区广场上有甲、乙两群市民，两群市民的年龄(单位：岁)如下： 甲群　13，13，14，15，15，15，15，16，17，17； 乙群　54，3，4，4，5，5，6，6，6，57. (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？ (2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？ 11.(12分)某校对高一下学期期中数学考试成绩(单位：分)进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照[30，50)，[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值，并计算样本学生的数学考试成绩的平均分； (2)为了进一步了解学生数学成绩与学习习惯等方面的关系，按数学考试成绩再从这100人中用分层抽样的方法抽出20人进行分析，则数学考试成绩在[90，110)内的应抽多少人？ 12.(13分)已知A，B两家公司的员工月均工资(单位：万元)情况分别如图1、图2所示： (1)以每组数据的区间中点值为代表，根据图1估计A公司员工月均工资的平均数、中位数，你认为用哪个数据更能反映该公司普通员工的工资水平？请说明理由. (2)小明拟到A，B两家公司中的一家应聘，以公司普通员工的工资水平作为决策依据，他应该选哪个公司？ 9.2.3 总体集中趋势的估计 同步训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： （满分：80分）（单选题、填空题每题5分；多选题每题6分） 一、选择题 1.假设有一组数据为6，8，3，6，4，6，5，这些数据的众数与中位数分别是(　　) A.5，6 B.6，4 C.6，5 D.6，6 解析：D　依题意，原数据组由小到大排列为：3，4，5，6，6，6，8，所以这组数据的众数与中位数分别是6，6. 2.为了解某专业大一新生的学习生活情况，辅导员将该专业部分学生一周的自习时间(单位：h)统计后制成如图所示的统计图，据此可以估计该专业所有学生一周自习时间的中位数为(　　) A.24.25 B.24 C.23.75 D.23.25 解析：C　依题意，(0.02＋0.04＋0.10＋a＋2a)×2.5＝1，解得a＝0.08，故前3块小矩形的面积分别为0.05，0.25，0.4，则所求中位数为22.5＋×2.5＝23.75. 3.随着工业自动化和计算机技术的发展，机器人进入大量生产和实际应用阶段，如图为某年服务机器人各行业渗透率调查情况. 根据该图，下列结论错误的是(　　) A.物流仓储业是目前服务行业中服务机器人已应用占比最高的行业 B.教育业目前在大力筹备应用服务机器人 C.未计划使用服务机器人占比最高的是政务服务业 D.图中八大行业中服务机器人已应用占比的中位数是33.3% 解析：D　对A，由题图易知，物流仓储业在目前服务行业中服务机器人已应用占比最高，A正确；对B，教育业在目前服务行业中服务机器人筹备中占比最高，B正确；对C，政务服务业在目前服务行业中服务机器人未计划占比最高，C正确；对D，由题图易知，八大行业中服务机器人已应用占比已经排好序，故中位数是＝30.3%，D错误. 4.(多选)某中学对参加高一年级体质测试的学生进行模拟训练，从中抽出N名学生，其中成绩的频率分布直方图如图所示.已知成绩在区间[90，100]内的学生人数为5.则(　　) A.x的值为0.015 B.N＝100 C.中位数为75 D.平均数为73 解析：AB　由题意可知：每组的频率依次为0.05，10x，0.2，0.3，0.25，0.05，所以0.05＋10x＋0.2＋0.3＋0.25＋0.05＝1，解得x＝0.015，故A正确；因为成绩在区间[90，100]内的学生人数为5，频率为0.05，所以N＝＝100，故B正确；因为0.05＋0.15＋0.2＝0.4<0.5，0.05＋0.15＋0.2＋0.3＝0.7>0.5，所以中位数在[70，80)内，设为m，则0.4＋0.03(x－70)＝0.5，解得m＝，故C错误；平均数为＝0.05×45＋0.15×55＋0.2×65＋0.3×75＋0.25×85＋0.05×95＝72，故D错误.故选AB. 5.样本中共有5个个体，其值分别为a，1，2，3，4，若该样本的中位数为2，则a的取值范围为(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(－∞，2] D.[1，2] 解析：C　若3≤a≤4，则这组数据由小到大排列依次为1，2，3，a，4，中位数为3，不合乎题意；若a>4，则这组数据由小到大排列依次为1，2，3，4，a，中位数为3，不合乎题意；若2≤a<3，则这组数据由小到大排列依次为1，2，a，3，4，中位数为a＝2；若1≤a<2，则这组数据由小到大排列依次为1，a，2，3，4，中位数为2；若a<1，则这组数据由小到大排列依次为a，1，2，3，4，中位数为2.综上所述，实数a的取值范围是(－∞，2]. 6.(多选)已知样本甲：x1，x2，x3，…，xn与样本乙：y1，y2，y3，…，yn满足关系yi＝(i＝1，2，…，n)，则下列结论错误的是(　　) A.样本乙的极差等于样本甲的极差 B.若某个xi为样本甲的中位数，则yi是样本乙的中位数 C.样本乙的众数小于样本甲的众数 D.若某个xi为样本甲的平均数，则yi是样本乙的平均数 解析：ACD　由样本甲：x1，x2，x3，…，xn与样本乙：y1，y2，y3，…，yn满足yi＝(i＝1，2，…，n)，知：样本乙的极差不等于样本甲的极差，例如样本甲：0，1，2与样本乙：1，，，故A中结论不正确；不妨令x1≤x2≤x3≤…≤xn，因为y＝在R上单调递减，则y1≥y2≥y3≥…≥yn，所以若某个xi为样本甲的中位数，则yi是样本乙的中位数，故B中结论正确；若样本甲的众数为某个xi，则样本乙的众数为，所以样本乙的众数可能等于、大于或小于样本甲的众数，故C中结论不正确；若某个xi为样本甲的平均数，则yi不一定是样本乙的平均数，例如样本甲：0，1，2与样本乙：1，，，故D中结论不正确. 7.如果一组数据的中位数比平均数小很多，下面叙述一定错误的是(　　) A.数据中可能有异常值 B.数据中众数可能和中位数相同 C.数据中可能有极端大的值 D.这组数据是近似对称的 解析：D　一组数据的中位数比平均数小很多，说明数据中可能有异常值，故A选项不符合题意；一组数据的中位数比平均数小很多，可能众数和中位数相同，故B选项不符合题意；一组数据的中位数比平均数小很多，说明数据中可能有偏大或偏小的值，故C选项不符合题意；若这组数据是近似对称的，不会出现数据的中位数比平均数小很多，故D选项符合题意. 二、填空题 8.有17名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前8名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他只需要知道17名同学成绩的____________(平均数和中位数选一). 答案：中位数 解析：平均数是表示17名同学成绩的平均数，无法判断是否能进入决赛；中位数是17名同学成绩从小到大排列后，第9名的成绩，决赛取前8名，故需要知道的是中位数. 9.x，－1，3，7，10，平均数为5，中位数为________. 答案：6 解析：因为x，－1，3，7，10的平均数是5，所以x－1＋3＋7＋10＝5×5＝25，解得x＝6.所以将数据从小到大排列的顺序为－1，3，6，7，10，所以中位数为6. 三、解答题 10.(8分)某小区广场上有甲、乙两群市民，两群市民的年龄(单位：岁)如下： 甲群　13，13，14，15，15，15，15，16，17，17； 乙群　54，3，4，4，5，5，6，6，6，57. (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？ (2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？ 解　(1)甲群市民年龄的平均数为 ＝15(岁)， 中位数为15岁，众数为15岁，平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征. (2)乙群市民年龄的平均数为 ＝15(岁)， 中位数为5.5岁，众数为6岁. 由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差. 11.(12分)某校对高一下学期期中数学考试成绩(单位：分)进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照[30，50)，[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值，并计算样本学生的数学考试成绩的平均分； (2)为了进一步了解学生数学成绩与学习习惯等方面的关系，按数学考试成绩再从这100人中用分层抽样的方法抽出20人进行分析，则数学考试成绩在[90，110)内的应抽多少人？ 解　(1)由题意可知：各组的频率依次为0.1，0.1，0.15，0.4，20a，0.05， 则0.1＋0.1＋0.15＋0.4＋20a＋0.05＝1，解得a＝0.010 0， 估计样本学生的数学考试成绩的平均分＝0.1×40＋0.1×60＋0.15×80＋0.4×100＋0.2×120＋0.05×140＝93(分). (2)由(1)可知：[90，110)的频率为0.4， 所以数学考试成绩在[90，110)内的应抽取20×0.4＝8(人). 12.(13分)已知A，B两家公司的员工月均工资(单位：万元)情况分别如图1、图2所示： (1)以每组数据的区间中点值为代表，根据图1估计A公司员工月均工资的平均数、中位数，你认为用哪个数据更能反映该公司普通员工的工资水平？请说明理由. (2)小明拟到A，B两家公司中的一家应聘，以公司普通员工的工资水平作为决策依据，他应该选哪个公司？ 解　(1)A公司员工月均工资的平均数为 0.3×0.21＋0.5×0.29＋0.7×0.27＋0.9×0.21＋29×0.02＝1.166(万元). 由题图1可知A公司员工月均工资在0.6万元以下的比例为0.21＋0.29＝0.5， 所以A公司员工月均工资的中位数约为0.6万元. 用中位数更能反映该公司普通员工的工资水平，理由如下： 因为平均数受每一个数据的影响，越离群的数据对平均数的影响越大，该公司少数员工的月收入很高，在这种情况下平均数并不能较好地反映普通员工的收入水平，而中位数不受少数极端数据的影响，可以较好地反映普通员工的收入水平. (2)B公司员工月均工资的平均数为 (0.3×0.375＋0.5×0.750＋0.7×2.750＋0.9×1.000＋1.1×0.125)×0.2＝0.69(万元). 由题图2知，B公司员工月均工资在0.6万元以下的频率为(0.375＋0.75)×0.2＝0.225，在0.8万元以下的频率为(0.375＋0.75＋2.75)×0.2＝0.775. 设B公司员工月均工资的中位数为x万元， 则(x－0.6)×2.75＝0.5－0.225，得x＝0.7. 小明应选择B公司应聘，理由如下： B公司员工工资数据较为集中，月均工资的平均数和中位数均能反映该公司普通员工的平均收入水平，B公司员工月均工资平均数为0.69，中位数为0.7，均大于A公司员工月均工资的中位数0.6，所以以公司普通员工的工资水平作为决策依据，小明应该选B公司应聘. 学科网（北京）股份有限公司 $