10.3 平行线的性质 课件 2025-2026学年沪科版 七年级数学下册

沪科版数学7年级下册培优备课课件（精做课件） 10.3 平行线的性质 第10章 相交线、平行线与平移 授课教师： Home . 班 级： 七年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月6日 沪科版七年级数学下册10.3 平行线的性质 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 本课时主要学习平行线的三种核心性质、性质与判定的区别与联系及应用，是上一课时“平行线的判定方法”的逆用与延伸，也是几何推理的重要基础。本节课将结合“三线八角”基本图形，推导并讲解平行线的性质，规范推理格式，结合典型例题突破“性质与判定辨析”“复杂图形应用”等难点，通过分层练习题巩固应用，帮助同学们熟练掌握“由直线平行判定角的数量关系”的思路，规避推理易错点，提升几何推理能力。 一、核心知识点梳理 （一）性质前提与核心思路 1. 前提条件：两条直线平行，且被第三条直线所截（即“三线八角”基本图形），无“平行”前提则无法应用平行线的性质； 2. 核心思路：直线的位置关系 → 角的数量关系，即已知两条直线平行，可推出同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，与平行线的判定（角推线）形成互逆关系； 3. 关键提醒：应用性质的核心是先确定“两条直线平行”，再找准对应的同位角、内错角、同旁内角，进而得出角的数量关系。 （二）三种核心性质（重点） 性质1 文字表述 符号语言（规范书写） 关键要点 性质1 两直线平行，同位角相等 ∵ a∥b（已知） ∴ ∠1 = ∠2（两直线平行，同位角相等） 前提是“两直线平行”，对应同位角（F型）相等 性质2 两直线平行，内错角相等 ∵ a∥b（已知） ∴ ∠2 = ∠3（两直线平行，内错角相等） 前提是“两直线平行”，对应内错角（Z型）相等 性质3 两直线平行，同旁内角互补 ∵ a∥b（已知） ∴ ∠2 + ∠4 = 180°（两直线平行，同旁内角互补） 前提是“两直线平行”，对应同旁内角（U型）互补 补充说明 1. 三种性质可互相推导，例如：由两直线平行、同位角相等，可推出内错角相等（对顶角相等）、同旁内角互补（邻补角互补）； 2. 符号语言书写需规范：先写已知条件（两直线平行），再写推理依据（平行线的性质），最后得出角的数量关系，与判定的书写格式形成对应； 3. 性质与判定的核心区别：性质是“线平行→角关系”，判定是“角关系→线平行”，二者互逆，可结合使用解决复杂推理问题。 （三）平行线的性质与判定的区别与联系（难点突破） 对比维度 平行线的判定 平行线的性质 核心思路 角的数量关系 → 直线的位置关系（角推线） 直线的位置关系 → 角的数量关系（线推角） 已知条件 已知同位角相等、内错角相等或同旁内角互补 已知两条直线平行 得出结论 两条被截直线平行 同位角相等、内错角相等或同旁内角互补 推理依据 同位角相等，两直线平行等（判定方法） 两直线平行，同位角相等等（性质） 联系 二者互逆，相辅相成；判定可证明两直线平行，平行后可利用性质求角的度数或判断角的关系 （四）平行线性质的应用步骤（规范推理） 1. 定“平行”：明确已知的两条平行直线，确定被截线和截线（三线八角基本图形）； 2. 找“两角”：找出平行直线被截线所截形成的同位角、内错角或同旁内角； 3. 用“性质”：根据平行线的对应性质，得出两角相等或互补的结论； 4. 推“延伸”：结合对顶角相等、邻补角互补等隐含条件，推导其他角的关系或度数（可选）。 （五）常见图形的性质应用技巧 1. 复杂图形简化：遇到多条直线平行或相交的图形，先分离出“两条平行线+一条截线”的基本图形，再应用性质； 2. 隐含条件应用：灵活运用“对顶角相等”“邻补角互补”，将已知角转化为平行线对应的角，再利用性质求解； 3. 判定与性质结合：先通过判定方法证明两直线平行，再利用性质求角的度数；或先利用性质得出角的关系，再证明两直线平行。 二、全课时易错点归纳（重点规避） 1. 混淆“性质”与“判定”：误将“两直线平行，同位角相等”（性质）当作判定方法，或把“同位角相等，两直线平行”（判定）当作性质，导致推理逻辑颠倒； 2. 忽略“两直线平行”前提：未说明两条直线平行，直接得出同位角相等、内错角相等或同旁内角互补的结论； 3. 符号语言书写不规范：缺少推理依据、已知条件书写不全，或混淆性质与判定的书写格式； 4. 找错对应角：复杂图形中，未分离基本图形，导致找错平行线对应的同位角、内错角或同旁内角； 5. 误将“同旁内角相等”当作平行线的性质：两直线平行时，同旁内角是“互补”（和为180°），而非相等； 6. 忽略“三线八角”前提：两条直线平行，但未被第三条直线所截，无法应用同位角、内错角、同旁内角的相关性质。 三、典型例题解析（贴合考点，突破重难点） 例题1：用平行线的性质求角的度数（基础） 如图，直线a∥b，被直线l所截，已知∠1 = 60°，求∠2的度数。 解析：先确定三线：平行线a、b（被截线），截线l；∠1与∠2是同位角，根据平行线的性质1求解。 解：∵ a∥b（已知） ∴ ∠2 = ∠1 = 60°（两直线平行，同位角相等） 例题2：用内错角相等的性质求解（基础） 如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠AEF = 75°，求∠DFE的度数。 解析：AB∥CD，∠AEF与∠DFE是内错角，根据平行线的性质2，内错角相等，直接求解。 解：∵ AB∥CD（已知） ∴ ∠DFE = ∠AEF = 75°（两直线平行，内错角相等） 例题3：用同旁内角互补的性质求解（基础） 如图，AB∥CD，∠B = 110°，求∠BCD的度数。 解析：AB∥CD，∠B与∠BCD是同旁内角，根据平行线的性质3，同旁内角互补，结合邻补角关系求解。 解：∵ AB∥CD（已知） ∴ ∠B + ∠BCD = 180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵ ∠B = 110°（已知） ∴ ∠BCD = 180° - 110° = 70° 例题4：性质与判定的结合应用（中档） 如图，直线a、b被直线l所截，∠1 = ∠2，求证：∠3 + ∠4 = 180°。 解析：先通过∠1 = ∠2（同位角相等）判定a∥b，再利用平行线的性质3（同旁内角互补）得出∠3 + ∠4 = 180°。 证明：∵ ∠1 = ∠2（已知） ∴ a∥b（同位角相等，两直线平行） ∴ ∠3 + ∠4 = 180°（两直线平行，同旁内角互补） 例题5：结合隐含条件求解（中档） 如图，AB∥CD∥EF，∠1 = 50°，∠2 = 130°，求∠3的度数。 解析：利用平行线的性质，分别结合AB∥CD、CD∥EF，找到∠1、∠2与∠3的关系，再求解。 解：∵ AB∥CD（已知） ∴ ∠1 = ∠4 = 50°（两直线平行，内错角相等） ∵ CD∥EF（已知） ∴ ∠2 + ∠5 = 180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵ ∠2 = 130°（已知） ∴ ∠5 = 180° - 130° = 50° ∵ ∠3 + ∠4 + ∠5 = 180°（平角的定义） ∴ ∠3 = 180° - 50° - 50° = 80° 例题6：易错辨析（判断对错并说明理由） 判断下列推理是否正确，若不正确，请说明理由。 （1）∵ ∠1 = ∠2，∴ 两直线平行，∠3 = ∠4； （2）∵ a∥b，∴ 同位角相等，内错角互补； （3）∵ ∠A + ∠B = 180°，∴ AB∥CD，∠C = ∠A； 解析：（1）不正确，理由：先由∠1 = ∠2判定两直线平行，再由平行推出∠3 = ∠4，但推理过程缺少“两直线平行”的过渡，且未注明推理依据，逻辑不完整； （2）不正确，理由：两直线平行时，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，混淆了内错角与同旁内角的性质； （3）不正确，理由：先由∠A + ∠B = 180°判定AB∥CD（需说明∠A与∠B是同旁内角），再由AB∥CD推出∠C与∠A的关系（内错角或同位角相等），推理不完整且未明确角的位置关系。 四、课时练习题（分层巩固，查漏补缺） （一）基础题（每题4分，共20分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 同位角相等 B. 内错角相等 C. 同旁内角互补 D. 两直线平行，同旁内角互补 2. 直线a∥b，被直线l所截，若∠1 = 70°（∠1与∠2是内错角），则∠2 =（ ） A. 70° B. 110° C. 180° D. 无法确定 3. AB∥CD，∠A = 100°，则∠A的同旁内角∠C的度数是（ ） A. 100° B. 80° C. 70° D. 60° 4. 如图，a∥b，∠1 = 55°，则∠3 = ______°，依据是______。 5. 两直线平行，______相等，______相等，______互补。 （二）中档题（每题6分，共30分） 1. 如图，直线a∥b，被直线l所截，∠1 = 65°，求∠2、∠3的度数，并说明理由。 2. 如图，AB∥CD，EF⊥AB，垂足为E，求证：EF⊥CD（结合平行线的性质证明）。 3. 如图，AB∥CD，∠AEF = 60°，∠FCD = 120°，求证：EF∥CD（用两种方法证明）。 4. 如图，已知a∥b∥c，∠1 = 40°，∠2 = 60°，求∠3的度数。 5. 简述平行线的性质与判定的核心区别。 （三）提高题（每题10分，共50分） 1. 如图，在复杂图形中，分离出2组“两条平行线+一条截线”的基本图形，分别利用平行线的性质求角的度数，并写出完整的推理过程。 2. 已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，FH平分∠DFE，求证：EG∥FH。 3. 如图，已知∠1 = ∠2，∠3 = 100°，求∠4的度数，并说明理由（结合判定与性质）。 4. 判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）两直线平行，同位角互补； （2）内错角相等，两直线平行（性质）； （3）两直线平行，同旁内角相等。 5. 如图，AB∥CD，∠B = ∠D，求证：AD∥BC（结合平行线的性质与判定）。 五、参考答案与解析 （一）基础题 1.D 2.A 3.B 4.55，两直线平行，同位角相等（或内错角相等） 5.同位角，内错角，同旁内角 （二）中档题 140. 解：∠2 = 65°，∠3 = 115°； 理由：∵ a∥b（已知） ∴ ∠2 = ∠1 = 65°（两直线平行，内错角相等） ∠1 + ∠3 = 180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴ ∠3 = 180° - 65° = 115° 141. 证明：∵ EF⊥AB（已知） ∴ ∠AEF = 90°（垂直的定义） ∵ AB∥CD（已知） ∴ ∠AEF = ∠CFE = 90°（两直线平行，内错角相等） ∴ EF⊥CD（垂直的定义） 方法一：∵ AB∥CD（已知） ∴ ∠AEF = ∠EFD = 60°（两直线平行，内错角相等） ∵ ∠FCD = 120° ∴ ∠EFD + ∠FCD = 60° + 120° = 180° ∴ EF∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 方法二：∵ AB∥CD（已知） ∴ ∠AEF + ∠EFC = 180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵ ∠AEF = 60° ∴ ∠EFC = 120° ∵ ∠FCD = 120° ∴ ∠EFC = ∠FCD（内错角相等） ∴ EF∥CD（内错角相等，两直线平行） 143. 解：∵ a∥b（已知） ∴ ∠1 = ∠4 = 40°（两直线平行，内错角相等） ∵ b∥c（已知） ∴ ∠2 = ∠5 = 60°（两直线平行，内错角相等） ∵ ∠3 = ∠4 + ∠5（角的和差关系） ∴ ∠3 = 40° + 60° = 100° 144. 解：核心区别：平行线的判定是“角的数量关系→直线的位置关系”（角推线），已知角相等或互补，推出两直线平行；平行线的性质是“直线的位置关系→角的数量关系”（线推角），已知两直线平行，推出角相等或互补。 （三）提高题 147. 解析：（示例） 基本图形1：直线AB∥CD，被直线EF所截，∠AEF = 50°（已知） 解：∵ AB∥CD（已知） ∴ ∠DFE = ∠AEF = 50°（两直线平行，内错角相等） 基本图形2：直线CD∥EF，被直线GH所截，∠CGH = 130°（已知） 解：∵ CD∥EF（已知） ∴ ∠CGH + ∠EHG = 180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴ ∠EHG = 180° - 130° = 50°（答案不唯一，合理即可） 148. 证明：∵ AB∥CD（已知） ∴ ∠AEF = ∠DFE（两直线平行，内错角相等） ∵ EG平分∠AEF，FH平分∠DFE（已知） ∴ ∠GEF = ½∠AEF，∠HFE = ½∠DFE（角平分线的定义） ∴ ∠GEF = ∠HFE（等量代换） ∴ EG∥FH（内错角相等，两直线平行） 149. 解：∠4 = 100°； 理由：∵ ∠1 = ∠2（已知） ∴ a∥b（同位角相等，两直线平行） ∴ ∠3 = ∠4（两直线平行，同位角相等） ∵ ∠3 = 100°（已知） ∴ ∠4 = 100° 150. （1）不正确，理由：两直线平行，同位角相等，而非互补； （2）不正确，理由：“内错角相等，两直线平行”是平行线的判定方法，不是性质； （3）不正确，理由：两直线平行，同旁内角互补，而非相等。 151. 证明：∵ AB∥CD（已知） ∴ ∠B + ∠BCD = 180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵ ∠B = ∠D（已知） ∴ ∠D + ∠BCD = 180°（等量代换） ∴ AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行） 2026年4月6日星期一11时33分13秒 2026年4月6日星期一11时33分18秒 活动 画两条平行线 a∥b，然后画一条截线 c 与 a、b 相交，标出如图所示的角. 度量所形成的 8 个角的度数，把结果填入下表： 角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 度数 角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8 度数 b 1 2 a c 5 6 7 8 3 4 一、平行线的性质 1 平行线的性质 1 观察 ∠1~∠8中，哪些是同位角？它们的度数之间 有什么关系？说出你的猜想： 猜想 两条平行线被第三条直线所截，同位角＿＿＿. 相等 b 1 2 a c 5 6 7 8 3 4 a b d 再任意画一条截线 d，同样度量各个角的度数，你的猜想还成立吗？ 如果两直线不平行，上述结论还成立吗？ 一般地，平行线具有如下性质： 性质1 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等. b 1 2 a c 所以∠1 =∠2 (两直线平行，同位角相等). 因为直线 a∥b (已知)， 应用格式： 要点归纳 思考：在上一节中，我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”，类似地，已知“两直线平行，同位角相等”， 能否得到内错角之间的数量关系？ 二、平行线的性质 2 如图，已知 a∥b，那么 2 与3 相等吗？为什么? 解：相等，理由如下： 因为 a∥b(已知)， 所以 ∠1 =∠2(两直线平行，同位角相等). 又因为∠1 =∠3(对顶角相等)， 所以∠2 =∠3(等量代换). b 1 2 a c 3 性质2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等. 所以 ∠2 =∠3 （两直线平行，内错角相等）. 因为直线 a∥b（已知）， 应用格式： b 1 2 a c 3 要点归纳 b 1 2 a c 4 解：2 +4 = 180°， 因为 a∥b (已知)， 所以1 =2 (两直线平行，同位角相等). 因为1 +4 = 180° (平角的定义)， 所以2 +4 = 180° (等量代换). 思考：类似地，已知两直线平行，能否得到同旁内角之间的数量关系？ 三、平行线的性质 3 如图，已知 a∥b，那么 2 与 4 有什么关系呢？为什么? 性质3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补. b 1 2 a c 4 所以∠2 +∠4 = 180° （两直线平行，同旁内角互补）. 因为直线 a∥b（已知）， 应用格式： 典例精析 例1 如图，已知点 D，E，F 分别在三角形 ABC 的边 AB，AC，BC 上，且 DE∥BC，∠B = 48°. （1）求∠ADE 的度数； （2）若 FD 是∠BFE 的平分线，且EF∥AB. 求∠EDF 的度数. D A C B E F 解：（1）因为 DE∥BC， 所以∠ADE =∠B = 48°. 解：因为 FD 平分∠BFE， 所以∠BFD =∠EFD = ∠BFE. 由 EF∥AB， 得∠B +∠BFE = 180°， 且∠BFD = ∠BFE， 即∠B + 2∠BFD = 180°. 因为∠B = 48°，所以∠BFD = 66°. 因为DE∥BC， 所以∠EDF=∠BFD=66°. D A C B E F (2) 若 FD 是∠BFE 的平分线，且 EF∥AB. 求∠EDF 的度数. 核心必知 1.两直线平行，同位角______. 2.两直线平行，内错角______. 3.两直线平行，同旁内角______. 相等 相等 互补 中考考法 14 1星题 基础练 知识点1 两直线平行，同位角相等 (第1题) 1.如图，直线，被直线 所截， ， ，则 的度数是 ( ) B A. B. C. D. 中考考法 15 (第2题) 2.如图，直线，被直线 所截，且 ，与相交于点， 于点 ， ，则 的度数为( ) D A. B. C. D. 中考考法 16 (第3题) 3.[合肥三模] 如图，直线 ，直 角三角尺的 角的顶点在直线 上， 已知 ，则 的度数是 ( ) B A. B. C. D. 中考考法 17 知识点2 两直线平行，内错角相等 4.如图，直线经过点，， ，则 等 于( ) C (第4题) A. B. C. D. 中考考法 18 (第5题) 5.真实情境 深圳中考 如图为小颖在试鞋 镜前的光路图，入射光线 经平面镜后 反射入眼，若 ， ， ，则入射 角 的度数为( ) B A. B. C. D. 中考考法 19 (第6题) 6.用一张长方形纸条折成如图所示的图形， 如果 ，那么 的度数为( ) D A. B. C. D. 中考考法 20 知识点3 两直线平行，同旁内角互补 (第7题) 7.跨学科·音乐 如图，已知在音符中， ，若 ，则 的度 数为_____. 中考考法 21 (第8题) 8.立德树人·弘扬传统文化 相传墨翟以 木头制成木鸟，研制三年而成，是人类 最早的风筝起源.如图所示的风筝骨架 中，，若 ，则 的 度数为( ) B A. B. C. D. 中考考法 22 知识点4 平行线的性质与判定的综合应用 9.如图，若 ， ，则 ______. (第9题) 中考考法 23 (第10题) 10.如图，直线，被， 所截，且 ，，若 ，则 的度数 为( ) B A. B. C. D. 中考考法 24 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行 判定 性质 已知 得到 得到 已知 $