精品解析：2026年河南商丘市柘城县起台中学中考模拟数学试题.

2026年数学（五） 满分120分，考试时间100分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 表示（ ） A. 2026的相反数 B. 的相反数 C. 2026的倒数 D. 2026的绝对值 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值、倒数、相反数的定义，是一个负数，根据相反数的定义，它表示2026的相反数． 【详解】解：∵是一个负数，根据相反数的定义，它表示2026的相反数 ∴即为2026的相反数 故选：A. 2. 如图，要测量两堵围墙所形成的的度数，但人不能进入围墙，小刚提供的测量方案是：反向延长至点C，若他测量的度数是，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用邻补角的定义，求解即可. 【详解】解：由题意，. 3. 运动会的颁奖台可以近似地看作如图所示的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据简单几何体三视图的画法画出它的俯视图即可． 【详解】解：这个几何体的俯视图为： 故选：A． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考幂的定义及幂的乘方运算，根据幂的定义先化简，再由幂的乘方运算法则计算即可得到答案，熟记幂的定义及幂的乘方运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 5. 一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的红色和黄色玻璃球，共计40个，将球搅匀，从中随机摸出一个，记下颜色后放回，搅匀再摸球，通过大量重复摸球试验后，将摸到红球的频率绘制成如下所示的统计图，由此可估计袋子中红色玻璃球的个数为（ ） A. 24 B. 16 C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据统计图可得摸到红球的频率逐渐稳定在附近，则摸到红球的概率为，再根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：由统计图可知，随着试验次数的增加，摸到红球的频率逐渐稳定在附近， ∴摸到红球的概率为， ∴可估计袋子中红色玻璃球的个数为， 故选：B． 6. 如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质及平行线的性质．如图，证明，得到，根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解， 【详解】解：如图， 由图可知：， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 7. 若的运算结果为整式，则“□”中的式子可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的化简，解题思路是先利用分式除法法则和平方差公式化简原式，再根据“结果为整式”的条件判断□内的式子． 【详解】解：设□中的式子为， ∵原式 ， ∵运算结果为整式，需要分子能约去分母， ∴需包含因式，将选项代入，只有当时，原式，是整式，符合要求． 8. 兔年来临，小兰要做玩偶兔子和福袋作为新年礼物，她去市场买了36米布，每米布可以做兔子25只，或者福袋40个，小兰将1只玩偶兔子和2个福袋配成一套礼物，结果发现布没有剩余，恰好配套做成了礼物．若设用x米布做兔子，用y米布做福袋，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“小兰去市场买了36米布”、“1只玩偶兔子和2个福袋配成一套礼物”即可列出二元一次方程组． 【详解】解：∵“小兰去市场买了36米布” ∴ ∵“1只玩偶兔子和2个福袋配成一套礼物” ∴福袋的数量是玩偶兔子数量的2倍 ∴ 故： 故选：C 【点睛】本题考查配套问题．注意1只玩偶兔子和2个福袋配成一套礼物＝福袋的数量是玩偶兔子数量的2倍． 9. 如图，在中，，，是的角平分线，于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等腰三角形性质和三角形内角和定理得到，利用角平分线性质得到，利用三角形内角和定理得到，进而得到，利用勾股定理得到，进而得到，再证明，利用全等三角形性质得到，即可求得的长． 【详解】解：，， ， 是的角平分线，于点，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和定理，角平分线性质，勾股定理，全等三角形性质和判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 10. 道路上，小汽车刹车后车轮滑过的距离通常和车辆当时行驶的速度、道路的动摩擦因数有关，经验公式为，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：），表示动摩擦因数，其函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 小汽车行驶速度每增加，刹车后车轮滑过的距离就增加 B. 当小汽车行驶速度是时，刹车后车轮滑过的距离大约是 C. 当小汽车行驶速度为时，与前车保持的距离就不会发生碰撞 D. 此道路的动摩擦因数是1.2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据待定系数法求得二次函数的解析式，再利用图象和二次函数的性质，逐一判断即可． 【详解】解：由题意可得与的函数图象为二次函数， ∴小汽车行驶速度每增加，刹车后车轮滑过距离不一定增加，故A错误； 根据图象可得当小汽车行驶速度是时，刹车后车轮滑过的距离大约是，故B错误； 把代入，可得，解得，故D正确； ， 当时，， 故当小汽车行驶速度为时，与前车保持的距离会发生碰撞，故C错误， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先去括号，再化为，根据，计算即可． 详解】解： ． 故答案为：． 12. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的情况，根据方程有两个相等的实数根时判别式为0即可求解． 直接根据一元二次方程根的判别式列出式子，求解即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：5． 13. 数学选修课开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家图案的卡片A，B，C，D卡片除图案外其他均相同将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．小涵随机抽取了一张卡片，则小涵抽到的一张卡片中恰好有数学家华罗庚卡通图案的概率为：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：小涵随机抽取了一张卡片，则小涵抽到的一张卡片中恰好有数学家华罗庚卡通图案的概率为：， 故答案为：． 14. 如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点D，E，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查弧长计算公式，圆周角的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握弧长计算公式，圆周角的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；连接，由题意易得，，则有，，然后根据弧长计算公式可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴的长度为； 故答案为． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P为BF中点，连接PD，则线段PD长的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据中位线定理先判断出点P的轨迹是线段，再根据矩形的性质及已知条件判断是直角三角形，从而得出点D到线段上各点的连线中，最小，最大． 【详解】解：如图所示： 当点F与点C重合时，点P在点处，，当点F与点E重合时，点P在点处，， ∴且， 当点F在EC上除点C、E的位置时，有BP＝FP， 由中位线定理可知：且， ∴点P运动轨迹是线段， ∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点， ∴△ABE，△BEC、为等腰直角三角形， ∴∠ECB＝45°，∠DP1C＝45°， ∵， ∴∠P2P1B＝∠ECB＝45°， ∴， ∴DP的长最小，最大， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先进行乘方，开方和去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）利用多项式乘以多项式和完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 小问2详解】 解：原式 ． 17. 种子被称作农业的“芯片”，粮安天下，种子为基．农科院计划为某地区选择合适的甜玉米种子，随机抽取20块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量（单位：），并对数据（每公顷产量）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： ．块试验田每公顷产量的频数分布表和每公顷产量的统计图如下： 每公顷产量 频数 ： ．试验田每公顷产量在这一组的是：，，，，，． （1）写出表中的值； （2）随机抽取的这块试验田每公顷产量的中位数为______． （3）下列推断合理的______．（填序号）； 块试验田的每公顷产量数据中，每公顷产量低于的试验田数量占试验田总数的； 号试验田每公顷产量在块试验田的每公顷产量数据中从高到低排第名． （4）号试验田使用的是甲种种子，号试验田使用的是乙种种子，已知甲，乙两种种子的每公顷产量的平均数分别为及，若某种种子在各试验田每公顷产量的个数据的方差越小，则认为这种种子的产量越稳定．据此推断：甲、乙两种种子中，这个地区比较适合种植的种子是______（填“甲”或“乙”）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）乙． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表，求中位数，根据方差判断稳定性，掌握知识点的应用是解题的关键． （）运用频数总数减去已知频数即可得出； （）根据中位数的定义可求解； （）从统计图中可得每公顷产量低于的试验田数量有块，可判断；号试验田每公顷产量在块试验田的每公顷产量数据中从高到低排第名可判断； （）根据图象判断稳定性即可得出结果． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：随机抽取的这块试验田每公顷产量的中位数为在这一组的第和个数据和的平均数， ∴故中位数为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：块试验田的每公顷产量数据中，每公顷产量低于的试验田数量有块， 所以占试验田总数的百分数为，故正确； 号试验田每公顷产量在块试验田的每公顷产量数据中从高到低排第名，故错误， 故答案为：； 【小问4详解】 解：从 块试验田每公顷产量的统计图中可看出甲种种子每公顷产量波动大，乙种种子每公顷产量波动小， 据此推断：甲、乙两种种子中，这个地区比较适合种植的种子是乙； 故答案为：乙． 18. 潜水时，潜水深度增加会导致人的呼吸加快，因此气瓶的使用时间会缩短．经研究发现，在一定条件下，气瓶可用时间t（分钟）是潜水深度h（米）的反比例函数，其部分图象如图所示． （1）当潜水深度为30米时，求气瓶可用时间； （2）为保证安全，计划要求气瓶可用时间不少于15分钟且不超过40分钟，潜水深度应控制在什么范围内？ 【答案】（1）气瓶可用时间分钟； （2）潜水深度应控制在米到米范围内． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据图象上的已知点求出函数解析式，并利用函数的性质解决实际问题； （1）设函数解析式：，利用图象上给出的点求出的值，然后将代入该式，计算出对应的值； （2）根据题目要求“气瓶可用时间不少于15分钟且不超过40分钟”，列出关于的不等式组，得到关于的不等式组，求解即可． 【小问1详解】 解：设气瓶可用时间与潜水的反比例函数， 由图象知，当米时，分钟， 代入得：， 故函数关系式为：， 当米时，分钟， 答：气瓶可用时间分钟； 【小问2详解】 解：由题意，， 即， 解得：， 答：潜水深度应控制在米到米范围内． 19. 如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果． （1）当悬臂与桌面平行时，=___________° （2）问悬臂端点到桌面的距离约为多少？ （3）已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作出对应的图，关键平行线的性质即可求解； （2）过作与交于，过作与交于，可推出四边形为矩形，；在中解出，即可求解； （3）过作，，在中解出即可求解． 【小问1详解】 解：如图：当悬臂与桌面平行时，作 ，悬臂也与桌面平行 ∴ 故答案为： 【小问2详解】 解：过作与交于，过作与交于 ∴四边形为矩形 ∴， ∵ ∴ 在中 ∵ ∴ ∴ 【小问3详解】 解：过作，， ∴ 在中 ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了三角函数的实际应用．作垂线构造直角三角形是解题关键． 20. 如图，矩形中，，，是边上的一点，点在边上，且满足． （1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若，试确定的长． 【答案】（1）见解析 （2）1或4 【解析】 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，以为直径画圆，交于点和，根据，， 即可得，则点和即为所求； （2）根据矩形性质和，可以证明∽，对应边成比例进而可得的长． 【小问1详解】 解： 如图，连接，作的垂直平分线，以为直径画圆，交于点和， ∵，， ∴， 则点和即为所求； 【小问2详解】 解：∵矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，， ∴， ∴ 解得，， ∴的长为1或4． 【点睛】本题考查了作图复杂作图，圆内接四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质． 21. 某书店用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在书店购进甲种图书的数量比用1400元购进乙种图书的数量少10本． （1）甲乙两种图书的销售单价分别是多少元？ （2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？（购进两种图书全部售完） 【答案】（1）甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元； （2）甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大，最大利润是5333元． 【解析】 【分析】（1）乙种图书售价每本x元，则甲种图书售价为每本元，根据“用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本”列出方程求解即可； （2）设甲种图书进货a本，总利润w元，根据题意列出不等式及一次函数，解不等式求出解集，从而确定方案，进而求出利润最大的方案． 【小问1详解】 解：设乙种图书售价每本x元，则甲种图书售价为每本元．由题意得： ， 解得：． 经检验，是原方程的解． 所以，甲种图书售价为每本元， 答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元； 【小问2详解】 解：设甲种图书进货a本，总利润w元，则 ． 又∵， 解得：． ∵w随a的增大而增大， ∴当a最大时w最大， ∴当本时w最大，最大值为（元）． 此时，乙种图书进货本数为（本）． 答：甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大，最大利润是5333元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系或不等关系是解应用题的关键． 22. 如图，二次函数的图象与轴、轴分别交于点，，，顶点为点，点，为图象上的点，且． （1）若二次函数的图象经过点， ①则这个二次函数表达式为_________________； ②若，则__________． （2）若为等边三角形，求的值． 【答案】（1）①；②8 （2） 【解析】 【分析】（1）①把点代入函数解析式中即可求解； ②由得E、F两点关于抛物线的对称轴对称，得，再与联立求解得，即可求得的值，从而求解； （2）过点作轴于点，由等边三角形的性质及解直角三角形求得点B的坐标，再把点B的坐标代入抛物线中即可求解． 【小问1详解】 解：①∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴； ②抛物线的对称轴为直线，顶点， ∵， ∴E、F两点关于抛物线的对称轴直线对称， ∴， ∵， 联立，解得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，为等边三角形，，过点作轴于点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得． 23. 数学兴趣小组活动中，刘老师展示一个问题情境，供同学们探究： 问题情境：如图，中，，点P为斜边上不与A，B重合的一个动点，过点P作于点Q，分别过P，Q作，交于点D，请讨论可能发现的结论． 以下是讨论过程： 小明：我发现四边形是平行四边形． 理由：由作图可知，，∴四边形是平行四边形． 小亮：我和小明想法一样，但还可以用全等三角形来解决． 理由：∵，∴． 又∵，∴．∴． ∴四边形是平行四边形． 小红：我发现如果点D恰好落在上时，点P为的中点． 请仔细阅读讨论过程，完成下述任务： （1）小明推导四边形是平行四边形的依据是 ，小亮推导四边形是平行四边形的依据是 ，其中小亮得出的依据是 （填序号）； （2）当点D恰好落在上时，请证明小红的结论； （3）若的中点为E，当点E恰好落在一边的垂直平分线上时，直接写出此时的长． 【答案】（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④ （2）见解析 （3）的值为或或5 【解析】 【分析】（1）根据描述逐一判断即可； （2）由条件证四边形是平行四边形，再证四边形是平行四边形，即可得出结论； （3）分三种情况：当点E落在线段的垂直平分线上时、当点E落在线段的垂直平分线上时、当点E落在线段BC的垂直平分线上时，证，列比例式计算即可． 【小问1详解】 解：小明：， ∴四边形是平行四边形． ∴依据为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 小亮：， ∴四边形是平行四边形． ∴依据为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． ，， ∴依据为： 【小问2详解】 解：如图1，当点D恰好落在上时， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由讨论可知四边形是平行四边形， ∴， ∴，即点P为的中点； 【小问3详解】 解：分三种情况，设，则，， ①如图2中，当点E落在线段的垂直平分线上时， ，可得，即，得， ②如图3中，当点E落在线段的垂直平分线上时， ，可得，即，得. ③如图4中，当点E落在线段BC的垂直平分线上时，点M与点P重合，点N与点D重合， ∴. 综上所述，满足条件的AP的长为或或5． 【点睛】本题考查了三角形的折叠、平行四边形的判定、全等三角形的判定、相似三角形的判定、分类讨论等知识点，各个知识点的熟练运用是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年数学（五） 满分120分，考试时间100分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 表示（ ） A. 2026的相反数 B. 的相反数 C. 2026的倒数 D. 2026的绝对值 2. 如图，要测量两堵围墙所形成的的度数，但人不能进入围墙，小刚提供的测量方案是：反向延长至点C，若他测量的度数是，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 运动会的颁奖台可以近似地看作如图所示的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的红色和黄色玻璃球，共计40个，将球搅匀，从中随机摸出一个，记下颜色后放回，搅匀再摸球，通过大量重复摸球试验后，将摸到红球的频率绘制成如下所示的统计图，由此可估计袋子中红色玻璃球的个数为（ ） A. 24 B. 16 C. 12 D. 8 6. 如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 若的运算结果为整式，则“□”中的式子可能是（ ） A. B. C. D. 8. 兔年来临，小兰要做玩偶兔子和福袋作为新年礼物，她去市场买了36米布，每米布可以做兔子25只，或者福袋40个，小兰将1只玩偶兔子和2个福袋配成一套礼物，结果发现布没有剩余，恰好配套做成了礼物．若设用x米布做兔子，用y米布做福袋，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，是的角平分线，于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 道路上，小汽车刹车后车轮滑过的距离通常和车辆当时行驶的速度、道路的动摩擦因数有关，经验公式为，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：），表示动摩擦因数，其函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 小汽车行驶速度每增加，刹车后车轮滑过的距离就增加 B. 当小汽车行驶速度是时，刹车后车轮滑过的距离大约是 C. 当小汽车行驶速度为时，与前车保持距离就不会发生碰撞 D. 此道路的动摩擦因数是1.2 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，，则_______． 12. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_________． 13. 数学选修课开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家图案的卡片A，B，C，D卡片除图案外其他均相同将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．小涵随机抽取了一张卡片，则小涵抽到的一张卡片中恰好有数学家华罗庚卡通图案的概率为：_____． 14. 如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点D，E，则的长度为______． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P为BF中点，连接PD，则线段PD长的取值范围是______． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 种子被称作农业的“芯片”，粮安天下，种子为基．农科院计划为某地区选择合适的甜玉米种子，随机抽取20块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量（单位：），并对数据（每公顷产量）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： ．块试验田每公顷产量的频数分布表和每公顷产量的统计图如下： 每公顷产量 频数 ： ．试验田每公顷产量在这一组的是：，，，，，． （1）写出表中的值； （2）随机抽取的这块试验田每公顷产量的中位数为______． （3）下列推断合理的______．（填序号）； 块试验田的每公顷产量数据中，每公顷产量低于的试验田数量占试验田总数的； 号试验田每公顷产量在块试验田的每公顷产量数据中从高到低排第名． （4）号试验田使用的是甲种种子，号试验田使用的是乙种种子，已知甲，乙两种种子的每公顷产量的平均数分别为及，若某种种子在各试验田每公顷产量的个数据的方差越小，则认为这种种子的产量越稳定．据此推断：甲、乙两种种子中，这个地区比较适合种植的种子是______（填“甲”或“乙”）． 18. 潜水时，潜水深度增加会导致人的呼吸加快，因此气瓶的使用时间会缩短．经研究发现，在一定条件下，气瓶可用时间t（分钟）是潜水深度h（米）的反比例函数，其部分图象如图所示． （1）当潜水深度为30米时，求气瓶可用时间； （2）为保证安全，计划要求气瓶可用时间不少于15分钟且不超过40分钟，潜水深度应控制在什么范围内？ 19. 如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果． （1）当悬臂与桌面平行时，=___________° （2）问悬臂端点到桌面的距离约为多少？ （3）已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 20. 如图，矩形中，，，是边上的一点，点在边上，且满足． （1）请用不带刻度直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若，试确定的长． 21. 某书店用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在书店购进甲种图书的数量比用1400元购进乙种图书的数量少10本． （1）甲乙两种图书的销售单价分别是多少元？ （2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？最大利润多少？（购进两种图书全部售完） 22. 如图，二次函数图象与轴、轴分别交于点，，，顶点为点，点，为图象上的点，且． （1）若二次函数的图象经过点， ①则这个二次函数的表达式为_________________； ②若，则__________． （2）若为等边三角形，求的值． 23. 数学兴趣小组活动中，刘老师展示一个问题情境，供同学们探究： 问题情境：如图，中，，点P为斜边上不与A，B重合的一个动点，过点P作于点Q，分别过P，Q作，交于点D，请讨论可能发现的结论． 以下是讨论过程： 小明：我发现四边形是平行四边形． 理由：由作图可知，，∴四边形是平行四边形． 小亮：我和小明想法一样，但还可以用全等三角形来解决． 理由：∵，∴． 又∵，∴．∴． ∴四边形是平行四边形． 小红：我发现如果点D恰好落在上时，点P为的中点． 请仔细阅读讨论过程，完成下述任务： （1）小明推导四边形是平行四边形的依据是 ，小亮推导四边形是平行四边形的依据是 ，其中小亮得出的依据是 （填序号）； （2）当点D恰好落在上时，请证明小红的结论； （3）若的中点为E，当点E恰好落在一边的垂直平分线上时，直接写出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $