8.4.1 提公因式法 课件 2025-2026学年沪科版七年级数学下册

沪科版数学7年级下册培优备课课件（精做课件） 8.4.1 提公因式法 第8章 整式乘法与因式分解 授课教师： Home . 班 级： 七年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月6日 沪科版七年级数学下册8.4.1 提公因式法 练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 本套练习题围绕8.4.1提公因式法设计，核心知识点为：把多项式各项都含有的公共因式提出来，将多项式化为两个因式乘积的形式，叫做提公因式法（核心步骤：先找公因式，再提公因式，提完后检查是否还能继续分解）。公因式的确定方法：①系数取各项系数的最大公约数；②字母取各项都含有的相同字母；③相同字母的指数取各项中最低次幂。练习题涵盖公因式识别、直接提公因式、变式提公因式及易错点辨析，结合之前所学的整式乘法运算性质，难度由浅入深，贴合课堂重难点，旨在帮助巩固核心知识，提升因式分解能力，总字数约700字。 一、选择题（每小题3分，共15分） 1. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ） A. $$x^2 - y^2$$ B. $$x^2 + 2x$$ C. $$x^2 + 2xy + y^2$$ D. $$x^2 - xy + y^2$$ 2. 多项式$$3x^2 + 6x$$的公因式是（ ） A. 3 B. $$x$$ C. $$3x$$ D. $$3x^2$$ 3. 下列提公因式法分解因式正确的是（ ） A. $$2x^2 - 4x = 2x(x - 2)$$ B. $$3x^2 + 6x = 3x(x + 6)$$ C. $$x^2 - xy = x(x + y)$$ D.$$4x^2 - 2x = 2x(2x)$$ 4. 分解因式$$-6x^3 + 12x^2 - 3x$$时，公因式是（ ） A. $$-3x$$ B. $$3x$$ C. $$-3x^2$$ D. $$3x^2$$ 5. 把多项式$$2a(x - y) + 3b(x - y)$$分解因式，正确的是（ ） A. $$(x - y)(2a + 3b)$$ B. $$(2a + 3b)(x + y)$$ C. $$(2a - 3b)(x - y)$$ D. $$(2a + 3b)(x - y) + 0$$ 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 提公因式法：把多项式各项都含有的______提出来，将多项式化为两个因式______的形式，叫做提公因式法；公因式的确定：系数取各项系数的______，字母取各项都含有的______，相同字母的指数取各项中______。 2. 多项式$$4x^3 - 8x^2 + 12x$$的公因式是______；分解因式$$5x^2 - 10x = \_\_\_\_\_\_$$。 3. 分解因式：$$-a^2b + ab^2 = \_\_\_\_\_\_$$；$$3x^2y - 6xy^2 + 3xy = \_\_\_\_\_\_$$。 4. 若多项式$$x^2 + mx$$分解因式的结果是$$x(x + 3)$$，则m的值为______；分解因式$$2a(x + 1) + 3(x + 1) = \_\_\_\_\_\_$$。 5. 分解因式：$$x(x - 2) - 3(x - 2) = \_\_\_\_\_\_$$；$$4a^2b - 6ab^2 + 2ab = \_\_\_\_\_\_$$。 三、解答题（共70分） 1. （10分）判断下列分解因式是否正确，若不正确，请指出错误并改正。 ① $$3x^2 + 6x = 3x(x + 2)$$；② $$x^2 - xy = x(x - y)$$；③ $$-2x^2 + 4x = -2x(x + 2)$$；④ $$4x^3 - 2x^2 = 2x(2x^2 - x)$$；⑤ $$2a(x + y) - 3b(x + y) = (2a - 3b)(x + y)$$。 2. （15分）用提公因式法分解下列因式（需写出完整运算步骤）。 （1）$$6x^2 - 12x$$；（2）$$x^3 - x^2 + x$$；（3）$$-8a^2b + 12ab^2$$；（4）$$3x^2y - 6xy^2 + 9xy$$；（5）$$5a(x - 2) + 3b(2 - x)$$。 3. （15分）用提公因式法分解下列变式因式（需写出完整运算步骤）。 （1）$$x(x - 3) - 4(3 - x)$$；（2）$$2a(x + y) + 4b(x + y) - 6c(x + y)$$；（3）$$x^2(x - 1) + x(1 - x)$$；（4）$$-3x^2 + 6x - 3$$；（5）$$4a^2b^3 - 6a^3b^2 + 2a^2b$$。 4. （15分）利用提公因式法解决下列问题（需写出完整运算步骤）。 （1）已知$$a + b = 5$$，$$ab = 3$$，求$$a^2b + ab^2$$的值；（2）已知$$x - y = 2$$，求$$3x(x - y) - 3y(x - y)$$的值；（3）分解因式$$(x - 2)^2 - 2(x - 2)$$；（4）分解因式$$x^2y - xy^2 + xyz - xy$$；（5）已知$$2x + y = 3$$，求$$4x^2 + 2xy$$的值。 5. （15分）应用题：一个长方形的长为$$(3x + 2)$$厘米，宽为$$x$$厘米，另一个长方形的长为$$(2x + 3)$$厘米，宽为$$2x$$厘米，求两个长方形的面积和（面积公式：长方形面积=长×宽，结果用提公因式法分解因式，写出完整计算步骤）。 参考答案提示： 一、1.B 2.C 3.A 4.A 5.A 二、15.公共因式，乘积，最大公约数，相同字母，最低次幂 16.$$4x$$，$$5x(x - 2)$$ 17.$$-ab(a - b)$$，$$3xy(x - 2y + 1)$$ 18.3，$$(x + 1)(2a + 3)$$ 19.$$(x - 2)(x - 3)$$，$$2ab(2a - 3b + 1)$$ 三、23.①正确；②正确；③不正确，符号错误，改正：$$-2x(x - 2)$$；④不正确，提公因式不彻底，改正：$$2x^2(2x - 1)$$；⑤正确 24.（1）$$6x^2 - 12x = 6x(x - 2)$$；（2）$$x^3 - x^2 + x = x(x^2 - x + 1)$$；（3）$$-8a^2b + 12ab^2 = -4ab(2a - 3b)$$；（4）$$3x^2y - 6xy^2 + 9xy = 3xy(x - 2y + 3)$$；（5）$$5a(x - 2) + 3b(2 - x) = 5a(x - 2) - 3b(x - 2) = (x - 2)(5a - 3b)$$ 25.（1）$$x(x - 3) - 4(3 - x) = x(x - 3) + 4(x - 3) = (x - 3)(x + 4)$$；（2）$$2a(x + y) + 4b(x + y) - 6c(x + y) = 2(x + y)(a + 2b - 3c)$$；（3）$$x^2(x - 1) + x(1 - x) = x^2(x - 1) - x(x - 1) = x(x - 1)(x - 1) = x(x - 1)^2$$；（4）$$-3x^2 + 6x - 3 = -3(x^2 - 2x + 1) = -3(x - 1)^2$$；（5）$$4a^2b^3 - 6a^3b^2 + 2a^2b = 2a^2b(2b^2 - 3ab + 1)$$ 26.（1）$$a^2b + ab^2 = ab(a + b) = 3 \times 5 = 15$$；（2）$$3x(x - y) - 3y(x - y) = 3(x - y)(x - y) = 3(x - y)^2 = 3 \times 2^2 = 12$$；（3）$$(x - 2)^2 - 2(x - 2) = (x - 2)(x - 2 - 2) = (x - 2)(x - 4)$$；（4）$$x^2y - xy^2 + xyz - xy = xy(x - y + z - 1)$$；（5）$$4x^2 + 2xy = 2x(2x + y) = 2x \times 3 = 6x$$ 27.第一个长方形面积：$$x(3x + 2) = 3x^2 + 2x$$；第二个长方形面积：$$2x(2x + 3) = 4x^2 + 6x$$；面积和：$$3x^2 + 2x + 4x^2 + 6x = 7x^2 + 8x = x(7x + 8)$$平方厘米，即两个长方形的面积和为$$x(7x + 8)$$平方厘米 2026年4月6日星期一9时55分37秒 2026年4月6日星期一9时55分39秒 1. 运用整式乘法法则或公式填空： (1) m(a + b + c) = ； (2) (x + 1)(x - 1) = ； (3) (a + b)2 = . ma + mb + mc x2 - 1 a2 + 2ab + b2 2. 根据等式的性质填空： (1) ma + mb + mc = ( )( )； (2) x2 - 1 = ( )( )； (3) a2 + 2ab + b2 = ( )2. m a + b + c x + 1 x - 1 a + b 都是多项式化为几 个整式的积的形式 比一比，这些式子有什么共同点？ 因式分解 1 定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. 要点归纳 x2 - 1 (x + 1)(x - 1) 因式分解 整式乘法 x2 - 1 = (x + 1)(x - 1) 等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积 想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？ 是相反的变形，即 例1 下列从左到右的变形中是因式分解的有 (　　) ① x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；② x3＋x＝x(x2＋1)；③ (x－y)2＝x2－2xy＋y2；④ x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y). A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 B 方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个整式的积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式． 典例精析 pa + pb + pc 多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式. 相同因式 p 问题1 观察下列多项式，它们有什么共同特点？ x2 ＋ x 相同因式 x 用提公因式法分解因式 2 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. (a + b + c) pa + pb + pc p = 试找出找 3 x 2 – 6 xy 的公因式. 系数： 最大公约数 3 字母： 相同的字母 x 所以公因式是 3x. 指数： 相同字母的最低次数 1 问题2 如何确定一个多项式的公因式？ 点击视频开始播放← 找一找：下列各多项式的公因式是什么？ 3 a a2 3mn -2xy (1) 3x + 6y (2) ab - 2ac (3) a2 - a3 (4) 9m2n - 6mn (5) - 6x2y - 8xy2 分析：提公因式法的步骤 (分两步)： 第一步：找出公因式； 第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积. (2) 3ax2－6axy + 3a. (1) 4m2－8mn； 例2 把下列各式分解因式： 例2 把下列各式分解因式： (2) 3ax2－6axy + 3a. (1) 4m2－8mn； 解：4m2－8mn = 4m·m－4m·2n = 4m(m－2n). 3ax2－6axy + 3a = 3a·x2－3a·2xy + 3a·1 = 3a(x2－2xy + 1). 注意：某项作为整体提出后，余项用 1 补充. 例3 把下列各式分解因式： （1）2x(b + c)－3y(b + c)； （2）3n(x－2) + (2－x). 解：2x(b + c)－3y(b + c) = (b + c)(2x－ 3y). 2－x = －(x－2) 3n(x－2) + (2－x) = 3n(x－2) － (x－2) = (x－2)(3n－1). 公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式 整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法. 因式分解：12x2y + 18xy2. 解：原式 = 3xy(4x + 6y). 错误 公因式没有提尽，还可以提出公因式 2 注意：公因式要提尽. 正确解：原式 = 6xy(2x + 3y). 小明的解法有误吗？ 小明 当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是 1. 错误 注意：某项提出莫漏 1. 解：原式 = x(3x - 6y). 因式分解：3x2 - 6xy + x. 正确解：原式 = 3x·x - 6y·x + 1·x = x(3x - 6y + 1) 小亮的解法有误吗？ 小亮 提出负号时括号里的项没变号 错误 因式分解：- x2 + xy - xz. 解：原式 = - x(x + y - z). 注意：首项有负常提负. 正确解：原式 = - (x2 - xy + xz) = - x(x - y + z). 小华的解法有误吗？ 小华 例4 计算： (1) 39×37－13×91； (2) 29×20.23＋72×20.23＋13×20.23－20.23×14. (2) 原式＝20.23×(29＋72＋13－14)＝2023. ＝13×20＝260. 解：(1) 原式＝13×3×37－13×91 ＝13×(3×37－91) 方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，则用提取公因式的方法可使运算简便． 例5 已知 a＋b＝7，ab＝4，求 a2b＋ab2 的值. 所以原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28. 解：因为 a＋b＝7，ab＝4， 方法总结：含 a±b，ab 的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用 a±b 和 ab表示的式子，然后将 a±b，ab 的值整体代入即可. 1星题 基础练 知识点1 因式分解的定义 1.［知识初练］下列各式从左到右的变形中： ， ， ， ______的等号右边是整式的积的形式，左边是多项式，所以 属于因式分解的有______.(均填序号) 中考考法 19 2.[上海期中] 下列各式从左到右是因式分解的是( ) C A. B. C. D. 中考考法 20 知识点2 公因式 3.［知识初练］多项式 中各项系数的最大公因数是 ___，各项中的相同字母是___，各项中的相同字母的指数的 最小值是___，所以这个多项式的公因式是_____. 3 2 4.[合肥模拟] 多项式 的公因式是___. 中考考法 21 5.下列各组多项式中，没有公因式的是( ) D A.和 B.和 C.和 D.和 中考考法 22 知识点3 运用提公因式法进行因式分解 6.［知识初练］多项式 的公因式为_____ __，公因式提取出来后，剩下的部分是______，所以 因式分解的结果为______________. 中考考法 23 7.多项式 提取公因式后，剩下的因式是( ) C A. B. C. D. 中考考法 24 8.[长沙中考] 分解因式： ___________. 9.填空： (1) ________； (2)_____ . 中考考法 25 10.用提公因式法分解因式：(12分) (1) ; 解：原式 ； (2) ; 解：原式 ； (3) . 解：原式 . 中考考法 26 2星题 中档练 11.计算： 的值是______. 12.若，，则代数式 的值等于___. 2 【变式题】 已知长和宽分别为， 的长方形，其面积等于 15，周长等于16，则 _____. 240 中考考法 27 13.已知，，为三角形 的三边，且满足 ,则三角形 是______三角形. 等腰 14.若，则 等 于___________. 中考考法 28 15.利用提公因式法进行简便计算：(8分) (1) ； 解：原式 ； (2) . 解：原式 . 中考考法 29 16.教材改编题 已知是正整数，请说明 一定是2的倍 数.(8分) 解：.因为 为正整数， 所以与 是两个连续的正整数. 因为连续的两个正整数中必有一个为偶数， 所以为偶数，所以 一定是2的倍数. 中考考法 30 3星题 提升练 17.运算能力 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问 题：(12分) . (1)上述因式分解的方法是____________； 提公因式法 中考考法 31 (2)请用上述方法分解因式： ; 解： . 中考考法 32 (3)请用上述方法分解因式： 为正整数 . . 中考考法 33 因式 分解 定义 把一个多项式化为几个整式的乘积的形式 提公因式法 确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数 分两步：第一步找公因式；第二步提公因式 注意：①分解因式是一种恒等变形；②公因式：要提尽；③不要漏项；④提负号，要注意变号 $