2026届高三物理人教版二轮复习专题讲义：圆周运动的临界问题

圆周运动的临界问题 一．知识讲解 1．水平面内圆周运动的临界问题 （1）题型概述 物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力（如拉力、支持力、摩擦力）发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。 （2）与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 ①如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。 ②如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 （3）与弹力有关的临界极值问题 ①两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。 ②绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。 2．斜面上圆周运动的临界问题 （1）题型简述：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制等，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。 （2）解题关键——重力的分解和视图 物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。 3．解决临界问题的注意事项 （1）先确定研究对象受力情况，看哪些力提供向心力，哪些力可能突变引起临界问题。 （2）注意分析物体所受静摩擦力大小和方向随转盘转速的变化而发生的变化。 （3）关注临界状态，即静摩擦力达到最大值时。物体随转盘转动，静摩擦力提供向心力，随转速的增大，静摩擦力增大，当达到最大静摩擦力时开始滑动，出现临界情况，此时对应的角速度为临界角速度。 二．典例精讲 1．与摩擦力有关的临界问题 例题1 如图，两瓷罐P、Q（可视为质点）放在水平圆桌转盘上，质量分别为m、2m，离转轴OO′的距离分别为R、2R，与转盘间的动摩擦因数均为μ。若转盘从静止开始缓慢地加速转动，P、Q与转盘均保持相对静止，用ω表示转盘的角速度，则（ ） A．当ω增大时，P比Q先开始滑动 B．P、Q未滑动前所受的摩擦力大小相等 C．P开始滑动时，临界角速度为ω＝ D．Q开始滑动时，临界角速度为ω＝ 【答案】C 【解析】P、Q未滑动前所受的摩擦力分别为fP＝mω2R，fQ＝2m·ω2·2R＝4mω2R，P、Q未滑动前所受的摩擦力大小不相等，B项错误；根据牛顿第二定律得μmg＝mω2R，解得ω＝，P、Q开始滑动时的角速度分别为ωP＝，ωQ＝，当ω增大到时，Q先开始滑动，C项正确，A、D两项错误。 例题2 （多选）如图所示，在水平圆盘上，沿半径方向放置物体A和B，mA＝4 kg，mB＝1 kg它们分居在圆盘的圆心两侧，与圆心距离为rA＝0.1 m，rB＝0.2 m，中间用细线相连。A、B与盘间的动摩擦因数均为μ＝0.2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若圆盘从静止开始绕中心转轴非常缓慢地加速转动，直到A、B刚要与圆盘发生相对滑动。g＝10 m/s2，下列说法正确的是（ ） A．B的摩擦力先达到最大 B．A物体所受摩擦力的方向一直指向圆心 C．当ω＝50 rad/s时，A、B两物体出现滑动 D．当ω＝ rad/s时，绳子出现张力 【答案】AB 【解析】A达到最大静摩擦力时的临界角速度满足μmAg＝mAω0A2rA，代入数据解得ω0A＝ rad/s，同理可得B达到最大静摩擦力时的临界角速度满足μmBg＝mBω0B2rB，代入数据解得ω0B＝ rad/s，则当圆盘转动的速度逐渐变大时，B先达到临界角速度值，则B的摩擦力先达到最大，A项正确；当B的摩擦力达到最大时，转速再增加时，绳子出现张力，即当ω＝ rad/s时，绳子出现张力，D项错误；达到A的最大静摩擦力时的临界角速度前，A的向心力由静摩擦力提供，则静摩擦力指向圆心，A与B的角速度相等，A的质量是B的4倍，而A做圆周运动的半径是B的一半，根据F＝mω2r可知A需要的向心力大，所以当A、B两物体开始滑动时A背离圆心运动，B向着圆心运动，则在滑动之前一小段时间内（达到A的最大静摩擦力时的临界角速度后），A受的静摩擦力也指向圆心，故A物体所受摩擦力的方向一直指向圆心，B项正确；A、B两物体恰好出现滑动时，对A有T＋μmAg＝mAω12rA，对B有T－μmBg＝mBω12rB，解得ω1＝ rad/s，C项错误。 2．绳子拉力作用下的临界问题 例题3 （多选）如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m的小球上，OA＝OB＝AB，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB始终在竖直平面内，若转动过程OB、AB两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是（ ） A．OB绳的拉力范围为0～ B．OB绳的拉力范围为～ C．AB绳的拉力范围为0～ D．AB绳的拉力范围为0～ 【答案】BC 【解析】转动的角速度为0时，OB绳的拉力最小，AB绳的拉力最大，这时两者的值相同，设为T1，则2T1cos 30°＝mg，T1＝，增大转动的角速度，当AB绳的拉力刚好等于0时，OB绳的拉力最大，设这时OB绳的拉力为T2，则T2cos 30°＝mg，T2＝，因此OB绳的拉力范围为～，AB绳的拉力范围为0～，故B、C两项正确。 3．接触面上弹力作用下的临界问题 例题4 （多选）如图所示，一种圆锥筒状转筒左、右分别系着一长一短两根轻质绳子，两端挂着相同的小球，圆锥筒静止时绳子平行于圆锥面。当圆锥筒绕中心轴开始缓慢加速转动时，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ） A．角速度慢慢增大，一定是绳子较长的球先离开圆锥筒 B．角速度达到一定值时两个球一定同时离开圆锥筒 C．两个球都离开圆锥筒后，高度不一定相同 D．两个球都离开圆锥筒后，高度一定相同 【答案】AD 【解析】设绳子与竖直方向的夹角为θ，小球质量均为m，绳长为L，圆锥筒转动的角速度为ω，小球恰好离开圆锥筒时，圆锥筒对小球的支持力为0，有mgtan θ＝mω2Lsin θ，解得ω＝，对于小球来说，绳子的长度越长，小球离开圆锥筒的临界角速度越小，即越容易离开圆锥筒，A正确，B错误；当两个球都离开圆锥筒时，设此时绳子与竖直方向夹角为α，小球只受重力和绳子的拉力，有mgtan α＝mω2Lsin α，h＝Lcos α，整理有h＝，因为两个小球绕同一个轴转动，所以两小球的角速度相同，即两小球高度相同，C错误，D正确。 4．斜面上圆周运动的临界问题 例题5 如图所示为半径为R的匀质实心圆盘，盘面所在平面与水平面的夹角为θ，开始时圆盘静止。其上表面均匀覆盖着一层细沙没有掉落，细沙与盘面间的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现让圆盘绕垂直于盘面的固定轴旋转，其角速度从0开始缓慢增加到ω（未知）。此时圆盘表面上有的细沙被甩掉，重力加速度为g，则ω的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据Fn＝mω2r可知，在角速度相同的情况下，半径越大，向心力越大，所以最外边的细沙随着角速度的增大最先发生滑动，因为圆盘表面上有的细沙被甩掉，即面积的细沙发生滑动，剩下的未滑动，设未滑动部分的半径为r，则πr2＝，解得r＝，在最低点有mg(μcos θ－sin θ)＝mω2r，解得ω＝，D正确，A、B、C错误。 三．跟踪训练 1．将一平板折成如图所示形状，AB部分水平且粗糙，BC部分光滑且与水平方向成θ角，板绕竖直轴OO′匀速转动，放在AB板E处和放在BC板F处的物块均刚好不滑动，两物块到转动轴的距离相等，则物块与AB板间的动摩擦因数为（ ） A．tan θ B． C．sin θ D．cos θ 【答案】A 【解析】①两物块角速度相同；②刚好不滑动。设物块与AB部分的动摩擦因数为μ，板转动的角速度为ω，两物块到转轴的距离为L，由于物块刚好不滑动，则对AB板上的物块有μmg＝mω2L，对BC板上的物块有mgtan θ＝mω2L，因此μ＝tan θ，A项正确。 2．（多选）质量为m的小球（视为质点）由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，当轻杆绕轴以角速度ω匀速转动时，a绳与水平方向成θ角，b绳在水平方向上且长为l。重力加速度为g，下列说法正确的是（ ） A．a绳的弹力随角速度的增大而增大 B．当角速度ω＞时，b绳中产生弹力 C．当b绳中产生弹力后，角速度再增大时a绳的弹力不变 D．当b绳突然被剪断时，a绳的弹力一定发生变化 【答案】BC 【解析】当b绳的弹力为零时，小球受重力和a绳的弹力， 合力提供向心力，有＝mlω2，解得ω＝，可知当角速度ω＞时，b绳出现弹力，故B正确；根据竖直方向上受力平衡得Fasin θ＝mg，解得Fa＝，可知a绳的弹力不变，故A错误，C正确；由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断时，a绳的弹力可能不变，故D错误。 3．（多选）如图所示，位于水平面内的圆盘圆心为O点，轻杆AO垂直并且固定于粗糙的圆盘上， 长度为l的细绳一端固定于O上方处的A点，另一端与放置于圆盘上的物体拴接，初始时细绳恰好伸直，现让圆盘以AO为轴转动起来，当转动的角速度ω缓慢增大时（物体始终没有离开圆盘，已知重力加速度为g），下列说法正确的是（ ） A．物块始终受三个力的作用 B．物块所受到的摩擦力先增大后减小 C．细绳的拉力一直增大 D．要使物块不离开圆盘，转动的角速度的最大值为 【答案】BD 【解析】物块可能受到重力，支持力，摩擦力，绳子的拉力四个力的作用，A项错误；在摩擦力达到最大值之前，绳子的拉力为0，摩擦力为静摩擦力，并且摩擦力随角速度的增加而变大，当绳子出现拉力之后，随角速度的增加，绳子的拉力增大，摩擦力减小，因此B项正确，C项错误；设细绳与竖直方向夹角为θ，当圆盘对物体的弹力为零时mgtan θ＝mω2r，其中tan θ＝；r＝，得ω＝，所以D项正确。故选BD。 4．如图，有一倾斜的匀质圆盘（半径足够大），盘面与水平面的夹角为θ，绕过圆心并垂直于盘面的转轴以角速度ω匀速转动，有一物体（可视为质点）与盘面间的动摩擦因数为μ（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），重力加速度为g。要使物体能与圆盘始终保持相对静止，则物体与转轴间最大距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意易知临界条件是物体在圆盘上转到最低点受到的静摩擦力达到最大静摩擦力，由牛顿第二定律得μmgcos θ－mgsin θ＝mω2r，解得r＝，故A、B、D错误，C正确。 学科网（北京）股份有限公司 $