2026届高三物理人教版二轮复习专题讲义：带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动及临界问题

带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动及临界问题 一．知识讲解 1、带电粒子在有界磁场中的圆心、半径及运动时间的确定 （1）圆心的确定 ①若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲。 ②若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙。 ③若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心，如图丙。 （2）半径的计算 ①利用动力学方程求半径：由qvB＝得R＝求得。 ②利用几何关系求半径：（难点） 一般连接粒子的入射点、出射点及圆心构造出三角形，再结合切线、轨迹圆弧对应的弦等辅助线，常用到的几何关系： A．三个角：如图丁所示。 a．粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角：φ＝α。 b．弦切角等于弦所对应圆心角一半：θ＝。 B．由三角函数或勾股定理求解几何半径。 例如：如图戊所示，由R＝或R2＝L2＋(R－d)2求得R。 （3）运动时间的计算 ①利用圆心角θ、周期T计算：t＝。 ②利用弧长、线速度计算：t＝。 2、带电粒子在三类有界磁场中的运动轨迹分析 （1）直线边界（进出磁场具有对称性，如图（a）所示） （2）平行边界（往往存在临界条件，如图（b）所示） （3）圆形边界（进出磁场具有对称性） ①如图（c）所示，粒子沿半径方向射入必沿半径方向射出。 ②如图（d）所示，粒子不沿半径方向射入时，射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也一定为θ。 二．典例精讲 1．直线边界 例题1 （2025·湖北省·模拟题）如图所示，MN上方有垂直纸面向外的匀强场，一不计重力的带电粒子以初速度v0从随场边界MN上E点进入磁场，然后从场边界MN上F点射出，现只改变带电粒子的入射速度，粒子都仍从F点飞出磁场。则纸面内满足上述条件的粒子的速度矢量图可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】粒子在磁场中的轨道半径为r，则有Bqv＝，解得r＝，粒子离开磁场时弦长为：l＝2rsin θ＝，其中θ表示初速度与MN的夹角，则vsin θ表示速度在垂直MN方向的分速度，此值不变，B正确。 2．圆形边界 例题2 （2025·江苏省镇江市·期末考试）如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，O为圆心，A、C、D为圆形区域边界上的三点，∠AOC＝90°，∠AOD＝60°。现有一对质量相等、电荷量不等的粒子，从A点沿AO方向以相同大小的速度垂直磁场射入，一个从C点离开磁场，另一个从D点离开磁场，粒子的重力及相互作用力均不计。则下列说法正确的是（ ） A．从C点离开磁场的粒子的带正电 B．从C点和D点离开磁场的两个粒子的电荷量之比∶3 C．从C点和D点离开磁场的两个粒子在磁场中运动的时间之比为3∶2 D．从C点和D点离开磁场的两个粒子在磁场中运动的半径之比为2∶1 【答案】B 【解析】A．从C点离开磁场的粒子刚进入磁场时所受洛伦兹力水平向左，由左手定则可知，粒子带负电，选项A错误； D．设磁场区域的半径为R，粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子运动轨迹如图所示 由几何知识可知：r1＝Rtan 30°＝，r2＝R，从C点和D点离开磁场的两个粒子在磁场中运动的半径之比为∶1，选项D错误； B．粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝，解得q＝，两粒子的质量m与速度大小v相等，则两粒子的电荷量之比，选项B正确； C．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝，粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期之比，由几何知识可知，从C点离开磁场的粒子在磁场中转过的圆心角θC＝90°，从D点离开磁场的粒子θD＝120°，粒子在磁场中的运动时间t＝，从C点和D点离开磁场的两个粒子在磁场中运动的时间之比＝＝，选项C错误；故选B。 例题3 （2025·海南省海口市·期中考试）真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当电子在磁场中的运动轨迹和外圆相切时，电子在图中实线圆围成的区域内运动的半径最大，电子的运动轨迹如图， 令电子的半径为r，根据几何知识有r2＋a2＝(3a－r)2， 所以电子的最大半径为r＝，因为evB＝，所以B＝， 则磁感应强度的最小值为B＝，故ABD错误，C正确。故选：C。 3．多边形边界 例题4 （2024·北京市·模拟题）如图所示，正方形区域abcd内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一带电粒子从ad边的中点M以速度v垂直于ad边射入磁场，并恰好从ab边的中点N射出磁场。不计粒子的重力，下列说法正确的是（ ） A．粒子带负电 B．若粒子射入磁场的速度增大为2v，粒子将从a点射出 C．若粒子射入磁场的速度增大为2v，粒子将从b点射出 D．若粒子射入磁场的速度增大为2v，粒子在磁场中的运动时间将变短 【答案】D 【解析】A．根据左手定则可知粒子带正电。故A错误； BC．根据qvB＝，解得r＝ 设正方形边长为L，粒子以速度v和速度2v进入磁场，有，L＝ 轨迹如图 可知若粒子射入磁场的速度增大为2v，射出的位置在Nb之间。故BC错误； D．根据C选项分析可知，若粒子射入磁场的速度增大为2v，则在磁场中运动的轨迹所对应的圆心角将变小，由t＝，又T＝，粒子在磁场中的运动时间将变短。故D正确。 故选D。 例题5 （2025·江苏省南通市·月考试卷）如图所示，等边三角形acd在光滑绝缘水平面内，O为三角形的中心。在三角形acd内（含边界）存在竖直向下的匀强磁场。在O点给带正电小球P一初速度，使其沿水平面射向各个方向，小球均不会离开磁场，此时小球的初速度最大为v1。现在O点，给该带正电小球P另一初速度，平行da射向ac边，小球刚好不离开磁场，此时小球的初速度为v2，则v1与v2之比为（ ） A．2∶3 B．4∶9 C．3∶4 D．1∶2 【答案】C 【解析】设三角形边长为a，则小球速度最大时，则圆心为O1，则运动半径为2R1＝ 现在O点，给该带正电小球P另一初速度，平行da射向ac边，小球刚好不离开磁场，圆心为O2，运动半径为 根据qvB＝，解得v＝∝R，可得。故选C。 三．跟踪训练 1．（多选）（2025·山东省淄博市·模拟题）如图，在平面直角坐标系Oxy的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q的相同粒子从y轴上的P(0，)点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为α（0≤α≤180°）。当α＝150°时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则（ ） A．粒子一定带正电 B．当α＝45°时，粒子也垂直x轴离开磁场 C．粒子入射速率为 D．粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为 【答案】ACD 【解析】A．根据题意可知粒子垂直x轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，A正确； BC．当α＝150°时，粒子垂直x轴离开磁场，运动轨迹如图， 粒子运动的半径为r＝，洛伦兹力提供向心力qvB＝，解得粒子入射速率v＝， 若α＝45°，粒子运动轨迹如图， 根据几何关系可知粒子离开磁场时与x轴不垂直，B错误，C正确； D．粒子离开磁场距离O点距离最远时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，如图， 根据几何关系可知(2r)2＝，解得xm＝，D正确。故选ACD。 2．（多选）（2025·河南省郑州市·月考试卷）如图所示，边长为L的正方形MNPQ区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带正电的粒子从N点沿NP方向射入磁场，当粒子速度为v0时，粒子正好从M点射出，粒子重力忽略不计，则（ ） A．粒子的电荷和质量的比值为 B．当粒子速度为时，粒子在磁场中的运动时间为 C．当粒子速度为时，粒子在磁场中的运动时间为 D．若粒子从QM的中点射出，则粒子的速度大小为 【答案】BD 【解析】A．粒子正好从M点射出，粒子运动半径为r1＝，根据qv0B＝，解得＝，选项A错误； BC．粒子在磁场中的运动周期为T＝，粒子运动的周期与粒子的速率无关，故当粒子速度为时，粒子转动半个圆周从NM的中点射出，在磁场中的运动时间为t＝＝，选项B正确，C错误； D．若粒子从QM的中点射出，设粒子半径为r2，如图所示， 根据(L－r2)2＋，解得r2＝， 根据qvB＝，解得v＝，选项D正确。故选BD。 3．（多选）（2025·重庆市·联考题）如图所示，圆形区域内存在垂直于纸面的匀强磁场，一个质量为m、电荷量为q的带负电粒子从P点以速度v沿平行于直径CD的方向射入磁场，粒子经过圆心O，最后离开磁场。已知圆形区域半径为R，PO与CD间的夹角为45°，不计粒子重力。则下列说法正确的有（ ） A．圆形区域内磁场方向垂直于纸面向里 B．磁感应强度大小为 C．粒子离开磁场时到P点的距离为 D．粒子在磁场中运动的路程为πR 【答案】AB 【解析】A．根据题意由安培左手定则可判断圆形区域内磁场方向垂直于纸面向里，A正确； B．画出粒子的运动轨迹，如图所示 由于圆形区域半径为R，则P点到CD的距离为，设粒子做圆周运动的半径为r，根据几何关系有r＝，粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝，解得B＝，B正确； C．根据上述分析可知，粒子在磁场中运动轨迹为半个圆周，则粒子离开磁场时到P点的距离为圆周的直径d＝2r＝，C错误； D．根据上述分析可知，粒子在磁场中运动的轨迹为半个圆周，则s＝×2πr＝，D错误。故选AB。 4．（多选）（2025·湖南省·联考题）如图所示，在纸面内两直角边长均为L的三角形MNP区域内（不含边界）有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的带负电粒子从PM边的中点A平行PN边射入MNP区域，不计粒子受到的重力。下列说法正确的是（ ） A．粒子刚进入磁场时受到向左的洛伦兹力 B．v＝时，带电粒子垂直于PN边射出磁场 C．若粒子从PN边射出磁场，则＜v＜ D．若粒子从MN边射出磁场，则粒子在磁场中运动的最长时间为 【答案】BD 【解析】A．由左手定则可知粒子刚进入磁场时受到向右的洛伦兹力，故A错误； B．垂直于PN边射出磁场时，半径为，由Bqv＝可得速度v＝，故B正确； D．由几何关系可知，当运动轨迹与MN相切时，偏转的圆心角最大为45°，如图： 周期T＝，运动的最长时间tmax＝＝，故D正确； C．若粒子从PN边射出磁场：当运动轨迹与MN相切时，由几何关系得R2＋R2＝，解得轨道半径为，此时速度为vmax＝； 当粒子刚好从P点射出磁场时，运动轨迹与PN相切时，此时轨道半径最小为，此时速度为vmin＝； 所若粒子从PN边射出磁场，则≤v≤，故C错误。 学科网（北京）股份有限公司 $