3.4 相似三角形的判定定理2（教学设计）-2025-2026学年九年级数学上册（湘教版）

2026年道县优质教学资源评选活动 ---九年级上册第3单元第4课《相似三角形的判定定理2》教学设计 课程基本信息 主备人 吴军庆 课型 新授课 学科 数学 年级 九年级 学段 初中 版本章节 湘教版九年级上册第3章 教学目标 1、 理解并掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理；能准确运用定理判定三角形相似，区分夹角与对角的不同；规范书写定理的几何语言与证明过程。 2、 经历操作—猜想—验证—证明—应用的过程，发展合情推理与演绎推理能力；体会类比（全等SAS→相似SAS）、从特殊到一般的数学思想。 3、从具体三角形中抽象出“两边成比例、夹角相等”的核心条件，发展学生数学抽象能力；完成定理证明，规范推理步骤，做到言必有据，发展学生逻辑推理能力；借助测量、几何画板直观感知相似的形成，发展学生直观想象能力；建立“SAS 型相似”模型，解决简单几何问题，发展学生数学模型观念。 教学重难点 1、掌握两边成比例且夹角相等的相似三角形判定定理并正确应用； 2、能恰当地运用判定方法判定三角形是否相似； 3、辨析夹角相等与一边对角相等的本质区别。 学情分析 本节课授课对象为九年级上册学生，已具备以下基础与认知特点： 知识基础：已学习相似三角形定义、平行线判定相似、两角分别相等判定相似，掌握全等三角形 SAS 判定，能进行简单比例计算与几何说理。 能力水平：具备动手测量、观察猜想、类比推理的初步能力，但严谨证明、区分 “夹角” 与 “对角”、规范书写几何语言仍较薄弱。 认知障碍：易混淆 “两边成比例且夹角相等” 与 “两边成比例且一边对角相等”，易忽略对应边、对应角的顺序，定理证明中辅助线构造与逻辑推导存在困难。 学习风格：喜欢动手操作、几何画板直观演示，对类比全等过渡到相似的学习方式接受度高，需通过对比、反例强化理解。 教学准备 多媒体课件（PPT）、几何画板动态演示文件（可拖动改变边长比、夹角）、三角板、圆规、导学案（含例题、练习、当堂检测） 教学过程 教学环节 教学过程 设计意图 导 入 新 课 介绍几何分形，引入谢尔宾斯基 三角形，提出问题“这些三角形之间有什么关系？”回顾之前所学过三角形相似的判定方法。那么除了定义、平行线截三角形相似、两角相等两个三角形相似外还有哪些判定方法呢？ 用趣味分形图形吸引注意力，回顾已学相似判定，自然引出新判定方法的探究需求，衔接全等与相似，明确本节课学习方向。 探 究 新 知 探 究 新 知 SAS：两边相等且夹角相等的两个三角形全等. 类比全等三角形的条件(SAS)，如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形一定相似吗？ 猜想：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 [合作探究]: 如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠B=∠B'=50°， 且 ,请同学们分别量出∠A与∠A'，∠C与∠C'的度数，AC，A'C'的长度，求出的值.由此你发现△ABC与△A'B'C'相似吗？ 思考：当我们改变对应边的比值或夹角的时候两个三角形还会相似吗？ 利用几何画板验证猜想. [证明猜想]：已知：在△ABC与△A'B'C'中，∠A＝∠A'， . 求证：△ABC ∽△A'B'C'． 证明：在△A'B'C' 的边A'B'上取点D，使A'D=AB，过点 D 作 DE // B'C'，交A'C'于点 E. ∵ DE // B'C', D E ∴ △A′DE ∽△A'B'C', ∴ 又∵ A'D=AB, ∴ ∴ A'E=AC, 又∵∠A=∠A', A'D=AB, ∴ △A′DE ≌△ABC. ∴ △ABC ∽△A′B′C′ . [得出结论]相似三角形的判定定理2： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． [数学语言] ∵∠A＝∠A'，. ∴△ABC ∽△A'B'C' 1、类比猜想：由全等 SAS 类比得出相似猜想，降低认知门槛，体现知识迁移。 2、操作验证：让学生动手测量，亲身感知 “角度相等、边成比例则相似”，培养合情推理。 3、 几何画板演示：动态改变比值与夹角，直观验证猜想的一般性，突破特殊到一般。 4、 严格证明：完成从直观到逻辑的升华，训练演绎推理与规范表达。 典 例 精 析 例1如图，根据下列条件，判断△ABC 和△A′B′C′是否相似，并说明理由： (1) ∠A=30°， AB=5 cm，AC=10 cm， ∠A'=30°，A′B′ =3 cm ，A′C′=6 cm． (2) ∠C=30°， AB=5 cm， AC=10 cm， ∠C'=30°，A'B'=3 cm ，A'C'=6 cm． 例2 如图，在△ABC 与△ADE 中， 且∠1=∠2.求证：△ABC ∽△ADE. 例1意图：用正反例强烈对比，突出必须是夹角相等，突破易错点。 例2意图：训练角的等量代换（∠1=∠2→公共角 + 角 = 夹角），掌握复杂图形中判定相似的方法。 课 堂 练 习 1、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若,则下列结论中一定正确的是(　　) A．①与②相似 B．①与③相似 C．①与④相似 D．②与④相似 2、如图，已知△ABC，则下列三角形中，与△ABC相似的是 ( ) 3.已知如图，边长为4的等边三角形ABC中，E是BC的中 点，D在边AC上，且AD=3DC. (1)求证：ΔABE ∽ΔECD. (2) ∠AED= °. 意图：即时巩固定理，识别图形中的对顶角、比例线段，提升模型识别与应用能力。 拓 展 提 升 意图：从正方形模型→一般直角模型→任意等角模型，引导学生用类比思想迁移知识：将正方形中的相似判定方法，推广到更一般的几何情境中，自主建构 “一线三等角”这一初中几何核心相似模型，为后续相似三角形的综合应用打下模型基础。 课堂 小结 通过这节课的学习，你学到了什么新知识？获得了什么数学思想与方法？ 意图：梳理知识、方法、思想，形成结构化认知，强化重点与易错点。 作业布置 1、 必做题：课本P89：习题 T3 2、 选做题： 已知如图五个全等的正方形拼接在一起, 求∠ABC的度数. 意图：必做题夯实基础，选做题提升能力，兼顾不同层次学生。 板书设计 相似三角形的判定定理2 判定定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 数学语言： ∵ ∠A＝∠A'，. ∴ △ABC ∽△A'B'C' 关键：夹角相等（不是对角！） 典例示范： 例1： 例2： 课堂小结： 教学反思： 本节课以类比全等、操作探究为主线，完成了相似三角形判定定理 2 的教学，整体达成预设目标，现反思如下：1、导入用分形图形激发兴趣，探究环节遵循 “猜想 — 验证 — 证明”，符合学生认知规律。2、用正反例对比突破 “夹角 / 对角” 易错点，学生掌握较好。3、几何画板动态演示直观有效，降低定理理解难度。本节课定理证明过程中，部分学生会对辅助线构造理解不透彻，说理不够严谨；课堂时间会偏紧，练习讲评不够细致，少数学生几何语言书写不规范；对“对应边、对应角” 的强调不足，个别学生出现对应关系混乱。 改进措施：1、下次教学增加定理证明分步拆解，板书关键步骤，强化辅助线思路；2、增加对应关系标注训练，要求学生先标角、再写比例；3、预留更多时间给学生板演，及时纠错，规范书写格式。 — - 1 - — 学科网（北京）股份有限公司 $