第二十章 勾股定理 单元测试-2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十章 勾股定理 单元测试-2025-2026学年人教版数学八年级下册 一、选择题 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 2． △ABC的三边长分别为a，b，c，由下列条件不能判断△ABC为直角三角形的是（　　) A．a=5， b=6， c=7 B．∠B+∠C=90° C．a=6， b=8， c=10 D． 3．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A．三边的长度分别为1，2， B．，，的度数比为 C． D． 4．如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，则木杆折断之前的高度为（　　） A．5m B．7m C．8m D．9m 5．，，是的三边长，且满足，则的形状为（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 6．要焊接一个如图所示的钢架，需要的钢材长度是（　　） A． B． C． D． 7．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（　　） A． B． C．2.2 D．3 8．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE，CE.若AB＝5，BC＝3，则AE2－CE2等于（　　) A．7 B．9 C．16 D．25 9．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为0.7 m．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3 m，木板顶端向下滑动了0.9 m，则小猫在木板上爬动的距离为（　　) A．3 m B．2.5 m C．2 m D．1.5 m 10．如图，在四边形OABC中，AB＝BC＝3，∠A＝∠OBC＝90°，∠AOB＝30°，则OC的长为（　　) A．3 B．3 C．6 D．3 二、填空题 11．如果一个直角三角形的一个内角等于30°，其中一条较长的直角边长为3，那么斜边的长为　 　. 12．强大的台风使得一根旗杆在离地面3m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部4m处，则旗杆折断之前的高度是　 　． 13． 如图，在一次春游活动中，某中学八(1)班学生从A 地出发，沿北偏东 52°方向走了600 m到达 B地，然后由 B 地沿北偏西38°方向走了( 到达目的地点C，则A，C两地之间的距离为　 　. 14．《九章算术》是我国古代数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，同折者高几何？”其大意是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是　 　尺．（其中1丈尺） 15．如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是　 　米． 16．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为　 　． 17．如图所示，点A为小红家的位置，点B为小明家的位置，点C为学校的位置，三地之间的距离如图，已知学校在小明家的正西方向，则小红家在小明家的　 　方向． 18．如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面3米的处折断倒下，倒下后的树顶与树根的距离为4米，则这棵大树在折断前的高度为　 　米． 三、解答题 19．如图，在锐角三角形ABC中，高AD＝12，边AC＝13，BC＝14，求BD的长． 20．已知a，b，c满足． （1）求a，b，c的值； （2）试问：长为a，b，c的三条线段能否构成直角三角形？若能构成直角三角形，请说明理由；若不能构成直角三角形，请说明理由． 21．如图，已知某开发区有一块四边形空地，经测量，，，，， （1）求这块空地的面积； （2）现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？ 22．笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米． （1）判断△BCH的形状，并说明理由； （2）求原路线AC的长． 23．如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲渔船沿北偏东60°的方向以每小时8 n mile的速度前进，乙渔船沿南偏东30°的方向以每小时15 n mile的速度前进，两艘渔船同时出发，2 h后，甲渔船到达M岛，乙渔船到达P岛．求P岛与M岛之间的距离. 24．（1）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形，弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边为c，结合图①，验证勾股定理； （2）如图②，将四个全等的直角三角形紧密地拼接在一起，形成飞镖状，已知外围轮廓的周长为24，，求该飞镖状图案的面积． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：A、，不是勾股数； B、，不是勾股数； C、，是勾股数； D、，不是勾股数； 故答案为：C． 【分析】根据勾股数的定义，即三个正整数中，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数。本题按照勾股数的定义进行计算判定即可． 2．【答案】A 【解析】【解答】解：A：52+62≠72，不能判断△ABC为直角三角形，符合题意； B：∠B+∠C=90°，则∠C=180°-90°=90°，能判断△ABC为直角三角形，不符合题意； C：62+82=102，能判断△ABC为直角三角形，不符合题意； D：，则c2=a2+b2，能判断△ABC为直角三角形，不符合题意； 故答案为：A 【分析】根据勾股定理逆定理，三角形内角和定理逐项进行判断即可求出答案. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：A、， 是直角三角形，故此选项不符合题意； B、，， 最大角， 不是直角三角形，故此选项符合题意； C、， 又， ， ， 是直角三角形，故此选项不符合题意； D、，， ， 是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐项进行判断即可求出答案. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：设折断部分的高度为， 由题意和勾股定理，得：， ∴木杆折断之前的高度为； 故选C． 【分析】设折断部分的高度为，根据勾股定理可得x，再根据边之间的关系即可求出答案. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：，，且， 根据非负数和为0的性质，可得：，。 由，得，即； 根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且∠A = 90°。 由，得b = c；根据等腰三角形的判定，△ ABC是等腰三角形。 综上，△ ABC是等腰直角三角形。 故选：D 【分析】本题考查非负数性质、勾股定理逆定理、等腰三角形判定。根据“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”，分别推出a、b、c的关系，再结合三角形判定定理判断形状。 6．【答案】A 【解析】【解答】解：由图可知，所需要钢材长度=AB+BC+AC+BD=AB+BC+(AD+DC)+BD， ∵ AD=4m，DC=1m，BD=2m， ∴ 钢材长度=AB+BC+(4+1)+2=AB+BC+7， 在Rt△ABD中，由勾股定理可得：AB=， 在Rt△BDC中，由勾股定理可得：BC=， ∴ 所需钢材长度=， 故答案为：A. 【分析】先利用勾股定理算出直角三角形 ABD 和 BCD 的斜边 AB 与 BC 的长度，再把所有边长相加，即可得到焊接钢架所需的总钢材长度。 7．【答案】B 8．【答案】C 【解析】【解答】解：如图所示：连接AC，与BD交于点O， ∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形， ∴AC⊥BD， 在Rt△AOE中， 在Rt△COE中， 在Rt△AOB中， 在Rt△COB中， 故答案为：C. 【分析】连接AC， 与BD交于点O， 根据题意可得AC⊥BD， 在在Rt△AOE与Rt△COE中， 利用勾股定理可得 ，在在Rt△AOB与Rt△COB中，继续利用勾股定理可得 求解即可得. 9．【答案】B 【解析】【解答】解：如图， 已知AE=1.3m，AC=0.7m，BD=0.9m， 设CD=x，AB=DE=y， 则BC=0.9+x， 则在 中， 在 中， 联立方程组解得：x=1.5m，y=2.5m， 故答案为：B. 【分析】设CD=x，AB=DE=y，则根据木板长不会变这个等量关系列出方程组，即可求BC的长度，在] ABC中， 根据BC， AC即可求AB. 10．【答案】D 【解析】【解答】解： 又· ∴在 中， 故答案为：D. 【分析】根据30度所对的边是斜边的一半求得OB=6，根据勾股定理即可求得OC的长度. 11．【答案】2 【解析】【解答】解：∵直角三角形的一个内角等于30°，其中一条较长的直角边长为3 ∴较长的直角边对应的角度为60° 设30°所对的边长为x，则斜边长为2x ∴32+x2=(2x)2 解得： ∴斜边长为2 故答案为：2 【分析】由题意可得较长的直角边对应的角度为60°，设30°所对的边长为x，根据含30°角的直角三角形性质可得斜边长为2x，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案. 12．【答案】8m 【解析】【解答】解：如图，旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为4m，旗杆离地面3m折断，且旗杆与地面是垂直的， 所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形． 根据勾股定理，折断的旗杆为（m）， 所以旗杆折断之前高度为m． 故答案为：8m． 【分析】根据勾股定理即可求出答案. 13．【答案】1800m 【解析】【解答】解： 如图，连结AC 根据题意，得∠DAB=52°，∠EBC=38°. ∵EF∥AD， ∴∠FBA=∠DAB=52°， ∴∠ABC=180°-(∠EBC+∠FBA)=90°. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=====×=600×3=1800(m). 故A，C两地之间的距离为1800 m. 故答案为：1800m. 【分析】根据题意得Rt△ABC，再根据勾股定理计算出AC的长. 14．【答案】 【解析】【解答】解：设折断处离地面x 尺，则折断的度为尺， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 【分析】设折断处离地面x 尺，则折断的度为尺，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案. 15．【答案】8 【解析】【解答】解：一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处， 折断部分长为， 折断之前的高度为（米）， 故答案为：8． 【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用。根据题目描述，可以利用勾股定理计算斜边长度，进而求出树木折断前的总高度。 设折断部分为直角三角形，已知两直角边长度， 运用勾股定理：c=计算斜边长度，将斜边长度与未折断部分高度相加，得到树木原高度 16．【答案】2400 【解析】【解答】解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为， 故答案为：． 【分析】根据勾股定理可得，再与已知条件联立，即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积. 17．【答案】正北 【解析】【解答】解：因为，所以小明家、小红家、学校三点构成了一个直角三角形，而学校在小明家的正东方，则小红家在小明家的正北方向. 故答案为：正北 【分析】根据勾股定理的逆定理结合题意即可求解。 18．【答案】8 【解析】【解答】解：由题意可得：米，米，， 由勾股定理可得：米， ∴这棵大树在折断前的高度为米， 故答案为：． 【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，树干与地面垂直，因此折断后形成的为直角三角形，和为直角边，利用勾股定理求出折断部分BC的长度，大树折断前的高度为，将两段长度相加即可。 19．【答案】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， 在Rt△ACD中，CD＝ ＝ ＝5， ∵BC＝14， ∴BD＝BC﹣CD＝9 【解析】【分析】根据垂直关系在Rt△ACD中，利用勾股定理求出CD，已知BC，再根据线段的和差关系可求BD． 20．【答案】（1）解：， ∴， ∴，， （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴长为a，b，c的三条线段不能构成直角三角形． 【解析】【分析】 （1）根据偶次方的非负性、绝对值的非负性、算术平方根的非负性，且这三个非负项之和为0，所以每一项都必须等于0，分别建立方程求解即可； （2）分别计算，进而根据勾股定理的逆定理进行判断，即可求解． 21．【答案】（1）解：连接AC，如图： 在中，， 在中，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ ； （2）解：∵计划在该空地上种植草皮，每平方米草皮需200元，∴在该空地上种植草皮共需费用为：（元）． 【解析】【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理的综合应用，解题的关键是连接AC，将四边形分割为两个三角形，先判定直角三角形，再分别计算面积求差得到四边形面积，再根据单价计算总价。 (1)中先连接AC，在中，利用勾股定理求出；再根据勾股定理的逆定理，验证，判定是直角三角形且；最后用求出四边形ABCD的面积，其中三角形面积用计算。 (2)中根据“总价=单价×面积”，用四边形的面积乘以每平方米草皮的价格200元，即可求出总费用。 （1）解：连接AC，如图： 在中，， 在中，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ ； （2）解：∵计划在该空地上种植草皮，每平方米草皮需200元， ∴在该空地上种植草皮共需费用为：（元）． 22．【答案】解：（1）△HBC是直角三角形， 理由是：在△CHB中， ∵CH2+BH2=42+32=25， BC2=25， ∴CH2+BH2=BC2， ∴△HBC是直角三角形且∠CHB=90°； （2）设AC=AB=x千米，则AH=AB-BH=（x-3）千米， 在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-3，CH=4， 由勾股定理得：AC2=AH2+CH2， ∴x2=（x-3）2+42， 解这个方程，得x=， 答：原来的路线AC的长为千米． 【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可求出答案. （2）设AC=AB=x千米，则AH=AB-BH=（x-3）千米，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案. 23．【答案】解：由题意可知，∠MBP＝180°－60°－30°＝90°，BM＝8×2＝16(n mile)，BP＝15×2＝30(n mile)， ∴MP＝＝34(n mile)． 答：P岛与M岛之间的距离为34 n mile 【解析】【分析】由题意知， 为直角三角形，在直角三角形中运用勾股定理求解. 24．【答案】解：（1）， 即 则； （2） 设 依题意有 解得 ． 故该飞镖状图案的面积是24． 【解析】【分析】（1）根据，，进行推理验证即可； （2）求出直角三角形的边长，设，依题意有，求出x，再根据直角三角形的面积去求． 学科网（北京）股份有限公司 $