精品解析：贵州省遵义市2023年中小学生“π”节数学思维竞赛六年级数学试卷

遵义市2023年中小学生“”节数学思维竞赛 YMC2样卷 （考试时间：75分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的区县、学校、姓名和准考证号填写在答题卡上。 2.答题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的五个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 今年的年份（2023）的个位数比其余各位数字之和小1，则上一个这样的年份是在多少年前？（ ） A. 8年 B. 9年 C. 10年 D. 11年 E. 12年 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，四位数的年份为ABCD（A为千位，B为百位，C为十位，D为个位）。 需满足D ＝ （A ＋ B ＋ C）－1，且A ＋ B ＋ C ≤ 10（因为D为个位数，取值范围0到9）。需求2023年之前最近的满足此条件的年份。通过计算，当A＝2时，仅B＝0、C＝0或C＝1满足条件，对应年份2001和2012；2012年更接近2023年，且2013年至2022年均不满足条件。当A＝1时，年份均早于2001年，距离更远。因此，上一个这样的年份是2012年，距离2023年为11年前。 【详解】当前年份2023：A＝2，B＝0，C＝2，D＝3，A＋B＋C＝4，D＝3＝4－1，满足条件。 求上一个满足条件的年份，即小于2023的最大此类年份。 考虑A＝2（千位为2），则年份Y＝2000＋100B＋10C＋D。 由D＝（2＋B＋C）－1＝1＋B＋C，且Y<2023。 代入D：Y＝2000＋100B＋10C＋（1＋B＋C）＝2001＋101B＋11C。 Y<2023，故2001＋101B＋11C<2023，即101B＋11C<22。 B、C为整数，0≤B≤9，0≤C≤ 9。 若B≥1，则101B≥101＞22，不满足不等式，故B＝0。 则11C<22，C<2，故C＝0或1。 当C＝0，Y＝2001＋101×0＋11×0＝ 2001，D＝1＋0＋0＝1（因D＝1＋B＋C＝1＋0＋0＝1），验证：其余位和A＋B＋C＝2＋0＋0＝2，D＝1，1＝2－1，满足条件。 当C＝1，Y＝2001＋101×0＋11×1＝2012，D＝1＋0＋1＝2，其余位和2＋0＋1＝3，D＝2，2＝3－1，满足条件。2012年比2001年更接近2023年。 则上一个满足条件的年份是2012年，2023－2012 ＝ 11（年） 故答案为：D 2. 如图，一个长方体容器中装有120L的水，但没有装满。按不同的方式放置，水深分别为，，则该容器的容积为（ ）。 A. 160L B. 180L C. 200L D. 220L E. 240L 【答案】E 【解析】 【分析】设这个长方体容器长、宽、高分别为 x、y、z（单位dm），根据长方形的体积＝长×宽×高，由第一幅图可知：2xy＝120；由第二幅图可知：3xz＝120；由第三幅图可知：5yz＝120；化简转换即可求出 xyz的乘积，据此即可求出这个容器的体积。 【详解】设这个长方体容器长、宽、高分别为 x、y、z（单位dm）， 由题意可知，即， 将三个算式相乘，即可得到：， 因此。 所以这个容器的体积为240L。 故答案为：E 3. 如图，五个相同的长方形恰好能放置在一个边长为24的正方形里，则每个长方形的面积是（ ）。 A. 12 B. 18 C. 24 D. 32 E. 36 【答案】D 【解析】 【分析】通过观察图形中长方形的长和宽与正方形边长的关系 ，可以发现正方形边长＝长方形的长×3＝长方形的长×2＋长方形的宽×2，据此即可求出长方形的长和宽，进而求出长方形的面积。 【详解】正方形边长＝长方形的长×3＝长方形的长×2＋长方形的宽×2， 长方形的长：24÷3＝8 长方形的宽：24÷2－8 ＝12－8 ＝4 长方形面积：8×4＝32 故答案为：D 4. 在一场国际象棋比赛中，胜一轮得5分，平一轮得2分，负一轮得1分。甲、乙、丙、丁四个队参加比赛，且每队均比赛了3场。比赛结束后，甲队得了11分，乙、丙两队均得了8分，丁队没有平局，则丁队的得分是（ ）。 A. 5分 B. 6分 C. 7分 D. 8分 E. 9分 【答案】C 【解析】 【分析】甲、乙、丙、丁四个队参加国际象棋比赛，每队均比赛了3场。甲分别和乙、丙、丁各赛一场；乙分别和甲、丙、丁各赛一场；丙分别和甲、乙、丁各赛一场；丁分别和甲、乙、丙各赛一场。已知比赛中胜一轮得5分，平一轮得2分，负一轮得1分，甲队比赛3场得了11分，由11＝5＋5＋1可得甲队胜了两场，输了1场；乙队和丙队均得了8分，由8＝5＋2＋1可得乙，丙各胜一场，各平一场，各输一场；在比赛中胜的总场数与输的总场数是相同的，现在已经胜了2＋1＋1＝4（场），输了1＋1＋1＝3（场），可得丁的3场比赛中输的场数比胜的场数多1场，且丁的3场比赛中没有平局，则丁输了2场，胜了一场；得分为1＋1＋5＝7（分） 【详解】已知比赛中胜一轮得5分，平一轮得2分，负一轮得1分，甲队比赛3场得了11分，由11＝5＋5＋1可得甲队胜了两场，输了1场；乙队和丙队均得了8分，由8＝5＋2＋1可得乙，丙各胜一场，各平一场，各输一场；在比赛中胜的总场数与输的总场数是相同的，现在已经胜了2＋1＋1＝4（场），输了1＋1＋1＝3（场），可得丁的3场比赛中输的场数比胜的场数多1场，且丁的3场比赛中没有平局，则丁输了2场，胜了一场；得分为1＋1＋5＝7（分） 故答案为：C 【点睛】本题重点考查比赛中的得分问题，涉及整数的拆分及逻辑推理的综合应用。在比赛问题中胜的总场数和输的总场数是相同的，根据题中条件进行推理，一个结果可能有不同的情况，结合题中限定条件进行排除。 5. 遵义市“青苗计划”是经上级部门批准设立的数学拔尖人才培养项目，旨在通过早期发现和系统培养数理拔尖学生，助力国家“高精尖缺”人才的培养和关键领域“卡脖子”难题的解决。“青苗计划”的首字母为“QMJH”，若只能把相邻的两个字母互换，则“JHQM”需互换多少次才能获得“QMJH”？（ ） A. 3次 B. 4次 C. 5次 D. 6次 E. 7次 【答案】B 【解析】 【分析】我们的目标是把 “JHQM” 通过相邻互换变成 “QMJH”，每次只能交换相邻的两个字母。我们可以一个字母一个字母地把它们移到目标位置，数清楚每一步需要交换多少次。 【详解】初始顺序：J H Q M 目标顺序：Q M J H 第一步，将“H”和“Q”交换得到“JQHM”； 第二步，将“J”和“Q”交换得到“QJHM”； 第三步，将“M”和“H”交换得到“QJMH”； 第四步，将“J”和“M”交换得到“QMJH”，所以一共4次即可。 故答案选：B 6. 司机小王想要行驶一段的路程，他的油箱里装有燃油，汽车每行驶将消耗燃油。行驶后，他看见一个路标上面写着前方5个加油站的距离分别为，和。已知汽车油箱的规格为，如果他想只加一次燃油跑完全程，那么他应该在多少千米后的加油站停车加油？（ ） A. B. C. D. E. 【答案】B 【解析】 【分析】首先计算小王行驶55 km后的剩余油量和剩余路程。消耗油量＝已经行驶的路程÷10，则消耗5.5L；剩余油量＝油箱中现装的燃油－消耗量，即为 8.5 L，剩余路程＝总路程－已经行驶的路程，即为 465 km。 加油站位于当前位置前方35 km、45 km、55 km、75 km、95 km处。要只加一次油跑完全程，必须满足两个条件：能到达加油站（剩余油量 ≥ 0），且加满油至40 L后能到达终点（需消耗油量 ≤ 40 L）。通过逐项计算各选项对应的距离，判断是否满足条件。 【详解】55÷10＝5.5（L） 14－5.5＝8.5（L） 520－55＝465（km） 第一种：95 km后的加油站 距离：95 km 消耗油量：95÷10＝9.5（L） 8.5＜9.5，不能到达加油站，则此加油站不行； 第二种：75 km后的加油站 距离：75 km 消耗油量：75÷10＝7.5（L） 8.5＞7.5，能到达加油站，加满油至40 L。 从加油站到终点距离：465－75＝390（km） 需消耗油量：390÷10＝39（L） 39＜40，能到达终点，则此加油站可以； 第三种：55 km后的加油站 距离：55 km 消耗油量：55÷10＝5.5（L） 8.5＞5.5，能到达加油站，加满油至40 L。 从加油站到终点距离：465－55＝410（km） 需消耗油量：410÷10＝41（L） 41＞40，不能到达终点，则此加油站不行； 第四种：45 km后的加油站 距离：45 km 消耗油量：45÷10＝4.5（L） 8.5＞4.5，能到达加油站，加满油至40 L。 从加油站到终点距离：465－45 ＝ 420 （km） 需消耗油量：420÷10＝42（L） 42＞40，不能到达终点，则此加油站不行； 第五种：35 km后的加油站 距离：35 km 消耗油量：35÷10＝3.5（L） 8.5＞3.5，能到达加油站，加满油至40 L。 从加油站到终点距离：465－35＝430（km） 需消耗油量：430÷10＝43（L） 43＞40，不能到达终点，则此加油站不行； 综上，只有在75 km后加油站加油，才能跑完全程。 故答案为：B 7. 的结果的个位是（ ）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 【答案】A 【解析】 【分析】要算22022＋32023的个位，可以根据乘方中个位数字的变化规律分别找出22022和32023的个位数字，再把它们相加即可求出和的个位。 【详解】①21＝2 → 个位是 2 22＝4 → 个位是 4 23＝8 → 个位是 8 24＝16 → 个位是 6 25＝32 → 个位又回到 2 可以发现：2n 的个位是按 2、4、8、6 循环的，每 4 个数一循环。 2022÷4＝505 …… 2 余数是 2，说明 22022 的个位和 22 的个位一样，是 4。 ②31＝3 → 个位是 3 32＝9 → 个位是 9 33＝27 → 个位是 7 34＝81 → 个位是 1 35＝243 → 个位又回到 3 可以发现：3n 的个位是按 3、9、7、1 循环的，每 4 个数一循环。 2023÷4＝505 …… 3 余数是 3，说明 32023 的个位和 33 的个位一样，是 7。 4＋7＝11 故答案选：A 8. 某场射击比赛共进行60次，每次射击，射中靶心得6分，其他情况可能的得分分别为4分、3分、1分、0分。李达康每次射击至少得4分，当该射击比赛进行到时，他领先31分。如果李达康接下来的次都击中靶心，那么他一定获胜。则的最小值是（ ）。 A. 16 B. 20 C. 24 D. 25 E. 26 【答案】D 【解析】 【分析】求n的最小值，考虑最不利原则。一共进行60次比赛，进行时，已经比赛了20场，剩余40场比赛中，假设对方每次都射中靶心，李达康有n次射中靶心，其余（40－n）次每次得分为4分；每次双方差6－4＝2（分），31÷2＝15.5，经过15.5次对方会把之前落后的31分追平，之后两人都是每次6分，若要李达康一定获胜，所以最多只能有15次得分为4分，否则对方获胜，则40－n＝15，n＝25（次）。 【详解】要求n的最小值，考虑最不利原则。求出剩下比赛中李达康没有射中靶心次数的最大值，剩余的次数就是射中靶心的最小值。一共60次比赛，已经进行，还剩（场）。要想李达康射中靶心的次数最少，则对方射中靶心的次数最多。假设对方在剩余的比赛中都射中靶心，李达康有n次射中靶心，其余（40－n）次每次得分为4分，此时每场比赛中对方追回：6－4＝2（分），前20场比赛李达康领先31分，后面至少经过31÷2＝15.5场后对方把落后的分数追平，之后两人都是每次射中靶心，两人平局。要保证李达康获胜，对方最多只能追15场30分，这样结束时还是李达康领先1分，则40－n＝15，n＝25。 故答案为：D 【点睛】本题重点考查用抽屉原理解决最大最小值的问题，要想获胜至少总得分要高于对方，根据最不利原则进行假设，最后确定结果。 9. 一只蚂蚁沿如图所示的路径从点开始爬行，若这只蚂蚁同一点不经过两次，且连通，则从点到点有多少条不同的路径？（ ） A. 10条 B. 13条 C. 15条 D. 16条 E. 18条 【答案】E 【解析】 【分析】通过分类计数的方法，将从点P到点Q的路径按经过不同中间点的情况进行分类，然后分别计算每类路径的数量，最后将各类路径数量相加得到总路径数。 【详解】从P到A方向爬行时有：2＋1＋1＋2＝6（条）； 从P到B方向爬行时有：3条； 从P到C方向爬行时有：3＋1＝4（条）； 从P到D有：5条。 共有：6＋3＋4＋5＝18（条）。 故答案为：E。 10. 某数是2023的倍数，且恰好有2023个正约数，则满足条件的数共有多少个？（ ） A. 0个 B. 2个 C. 4个 D. 6个 E. 无数个 【答案】E 【解析】 【分析】这道题的核心是约数个数公式与倍数条件的综合运用。先对2023做质因数分解：2023＝7×，因此所求数 N 必须是7× 的倍数，即质因数分解中 7 的指数 ≥ 1，17 的指数 ≥ 2。 再看约数个数：N 有 2023 个正约数，而 2023＝7×17×17，根据约数个数公式，N 的质因数分解形式只能是 p6×q16×r16，因为 （6＋1）（16＋1）（16＋1）＝2023。 最后结合倍数条件：7 和 17 必须是 N 的质因数，且它们的指数（6 或 16）都满足 ≥ 1 和 ≥ 2 的要求，因此可以将 7 和 17 分配到 p，q，r 的位置中，剩下的位置可以是任意其他质数。 【详解】2023＝7× 设所求数为 N，则 N 是 2023 的倍数，故 N 的质因数分解中，7 的指数 a≥1，17 的指数 b≥2。 N 的质因数分解形式只能是：N＝p6×q16×r16，其中 p，q，r 为不同质数。 分配质因数7 和 17 必须是 p，q，r 中的两个，第三个可以是任意其他质数。分配方式有： p＝7，q＝17，r＝其他质数 p＝7，r＝17，q＝其他质数 q＝7，p＝17，r＝其他质数 q＝7，r＝17，p＝其他质数 r＝7，p＝17，q＝其他质数 r＝7，q＝17，p＝其他质数 由于 “其他质数” 有无穷多个，因此满足条件的数 N 有无数个。 故答案为E 【点睛】约数个数公式、质因数分解、倍数条件的综合运用。先通过约数个数确定数的质因数分解结构，再结合倍数条件筛选合法的质因数分配方式，最后注意 “第三个质因数可以是任意其他质数” 这一无穷多解的来源。 二、多项选择题：本题共5小题，每小题6分，共30分。在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的。 11. 从，，0，3，5，7中任选三个数，则（ ）。 A. 这三个数和的最大值为奇数 B. 这三个数差的最小值为 C. 这三个数均为奇数的可能性为0.125 D. 这三个数乘积的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，需要从给定的数中任选三个数，再根据每个选项的要求，进行相应的运算，最后根据运算结果对选项进行判断，据此解题。 【详解】选项A：这三个数和的最大值为奇数 因为753 0468，且数越大，和越大， 所以选出和最大的三个数相加，即：7 ＋ 5 ＋ 3 ＝ 15，而15 是奇数。 所以A选项正确。 选项B：这三个数差的最小值为 －20 “差”指任意两数相减的结果（可正可负）。最小差（最负的差）由最小数减最大数得到， 因为753 0468， 选出最小数是8，最大数是7，计算差值， 然后再从剩余的数中选出新的最大数5作差， 即 －8 － 7 －5＝ －20。最小差为 －20。 所以B选项正确。 选项C：这三个数均为奇数的可能性为 0.125 每三个数为一组，分别是－8，－6，－4；－8，－6，0；－8，－6，3；－8，－6，5；－8，－6，7；也就是以－8，－6为基础的三个数有5种； －8，－4，0；－8，－4，3；－8，－4，5；－8，－4，7；以－8，－4为基础的三个数有4种； 也就是以－8为基础的三个数有：5＋4＋3＋2＋1＝15（种）； 按照同样的方式以－6为基础的三个数有：4＋3＋2＋1＝10（种）； 以－4为基础的三个数有：3＋2＋1＝6（种）； 以0为基础的三个数有：2＋1＝3（种）； 以3为基础的三个数有1种； 总共有：15＋10＋6＋3＋1＝35（种）； 而奇数组有 3、5、7，也就是全奇数的三个数只有一种， 概率为 ≈ 0.0286，不等于 0.125。 所以选项C错误。 选项D：这三个数乘积的最小值为 －280 最小乘积（最负）需奇数个负数且绝对值最大。 组合 －8、7、5 的乘积为 （－8） × 7 × 5 ＝ －280。 其他组合如 －8、7、3 乘积为－168（大于 －280）， －8、－6、－4乘积为－192（大于 －280）， －6、7、5乘积为－210（大于 －280）等，均大于 －280。 所以该选项D正确。 故答案为：ABD。 【点睛】根据每个选项的要求，进行相应的运算，注意其中的规律性。 12. 如图是由棱长为的正方体搭成的几何体，所有表面都涂成了灰色，则（ ）。 A. 图中一共有10个正方体 B. 只有两个面涂色的正方体有1个 C. 只有三个面涂色的正方体有2个 D. 只有四个面涂色的正方体有6个 【答案】ACD 【解析】 【分析】观察图形可知小正方体总数为 10 个，然后再逐个判断每个小正方体涂色几个面，据此即可得到正确选项。 【详解】小正方体总数为 10 个，然后判断“涂色面数”： 上层两个小正方体的涂色面数分别为：4、4； 下层第一列三个小正方体的涂色面数分别为：4、2、3； 下层第二列三个小正方体的涂色面数分别为：3、2、4； 下层第三列两个小正方体的涂色面数分别为：4、4； 因此两个面涂色的小正方体有2个，三个面涂色的小正方体有2个，四个面涂色的小正方体有6个。 故答案为：ACD 13. 下列的瓷砖能由给定的两片（如图）拼成的是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】这两块“拼板”各由 8 个方格组成，需要在4×4 的方阵中仅要求不重叠，正好拼满，可以仔细比较并尝试各选项的摆法（可适当旋转、翻转其中一块），据此即可得到可以拼成的图案。 【详解】将3×3 的方阵以左下角为中心逆时针旋转180°可以得到：， 然后与另外一个图形进行拼接即可得到：， 故答案为：C 14. 设为50以内的两位正整数，则（ ）。 A. 能被11整除的所有的个数有4个 B. 能被3整除的所有的个数有18个 C. 能被的个位整除的所有的个数有7个 D. 是合数的所有的个数有34个 【答案】A 【解析】 【分析】题目中 A 是 50 以内的两位正整数，即 A∈{10，11，12，…，49}，共 40 个数。我们逐一判断选项即可解决。 【详解】选项 A：能被 11 整除的所有A的个数有 4 个 在 10-49 中，能被 11 整除的数是：11、22、33、44，共 4 个。A 正确； 选项 B：能被 3 整除的所有A的个数有 18 个 在 10-49 中：能被 3 整除的数最小的是 12，最大的是 48 个数 为： （48－12）÷3＋1＝13 （个），不是 18 个。B 错误； 选项 C：能被A的个位整除的所有A的个数有 7 个 逐个列举 10-49 中满足 “这个两位数能被个位整除” 的数： 个位 1：11，21，31，41 → 4 个 个位 2：12，22，32，42 → 4 个 个位 3：33→ 1 个 个位 4：24，44 → 2 个 个位 5：15，25，35，45 → 4 个 个位 6：36 → 1 个 个位 7：无 个位 8：48 → 1 个 个位 9：无 合计：17个，远大于 7。 C 错误； 选项 D：A是合数的所有A的个数有 34 个 10-49 中共有 40 个数，先数其中的质数：11， 13， 17， 19， 23， 29， 31， 37， 41， 43， 47 → 共 11 个质数。 合数个数为： 40－11＝29 （个），不是 34 个。D 错误。 故答案为A 【点睛】整除、约数、质数与合数的基本概念，以及区间内数的计数方法。 先明确 A 的范围，再用列举法或公式法逐一验证选项。 15. 已知数列的通项公式为，其中为正整数，则（ ）。 A. 存在正整数，使得 B. 5不能整除 C. D. 的个位数为3 【答案】C 【解析】 【分析】数列的性质，给定通项公式 （ 为正整数）。需逐项分析选项： 选项 A 要求存在  使得 ，但计算表明  对所有正整数  成立，故 A 错误。 选项 B 声称 5 不能整除 ，但当  为奇数时  可被 5 整除，2023 为奇数，故 B 错误。 选项 C 给出递推关系 ，经代数验证成立。 选项 D 声称  个位数为 3，根据个位数周期规律，当  时个位数为 3，2022 满足条件，故 D 正确。 【详解】A．，所以  对所有正整数  成立，不存在满足条件的 。此选项错误。 B．分析模 5 周期， 周期为 4： 时余 3， 时余 4， 时余 2， 时余 1；  周期为 4： 时余 2， 时余 4， 时余 3， 时余 1。 当  为奇数（即  或 ）时，。2023 为奇数，故  可被 5 整除。此选项错误。 C．由 ，得 ，。计算 ，与  相等，故递推关系成立。此选项正确。 D．分析个位数周期， 个位数周期为 4：3， 9， 7， 1； 个位数周期为 4：2， 4， 8， 6。 因此 个位数周期为 4： 时 5， 时 3， 时 5， 时 7。 2022 ÷ 4 ＝ 505 …… 2，余数为 2，故个位数为 3。此选项正确。 故答案为：CD 三、不定项选择题：本题共5小题，每小题6分，共30分。在每小题给出的四个选项中，至少有一项是符合题目要求的。 材料1：集合简介 1.集合的定义 在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类。把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合（有时简称为集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素。 集合通常用英文大写字母表示，集合的元素通常用英文小写字母表示。 如果是集合元素，就记作，读作“属于”；如果不是集合的元素，就记作，读作“不属于”。 一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作。 2.集合的表示 （1）列举法 前面提到集合都是用自然语言描述的，但在数学中，我们经常要使用符号来表示集合。 把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法。例如，由两个元素0，1组成的集合可用列举法表示为。 （2）描述法 以下集合用列举法表示方便吗？ 满足的所有数组成的集合。 显然，用列举法表示上述集合并不方便。但因为集合中的元素都具有性质“是大于3的数”，而不属于集合的元素都不具有这个性质，因此可以把集合表示为是大于3的数或，即是大于3的数或。 一般地，如果属于集合的任意一个元素都具有性质，而不属于集合的元素都不具有这个性质，则性质称为集合的一个特征性质。此时，集合可以用它的特征性质表示为。 这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法。 材料2：子集及集合运算简介 1.子集 给定集合，容易看出，集合的任意一个元素都是集合的元素。 一般地，如果集合的任意一个元素都是集合的元素，那么集合称为集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）。 对应地，如果不是的子集，则记作（或），读作“不包含于”（或“不包含”）。 2.真子集 一般地，如果集合是集合的子集，并且中至少有一个元素不属于，那么集合称为集合的真子集，记作（或），读作“真包含于”（或“真包含”）。 例如，分析集合之间的关系，可知是的子集（即），而且，因此是的真子集，即。 规定：是任何集合的子集。 3.并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作（读作“并”），即 4.交集 一般地，由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，称为集合与的交集，记作（读作“交”），即 5.全集与补集 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作。 对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即 材料3：群的定义 设是非空集合，在上有一个代数运算，对的任意两个元，其运算结果称为与的积，记为，如果还满足 （1）结合律：，任意； （2）有单位元，使得，任意； （3）对每个，有，使称为的一个逆元素，则称为一个群。 依据以上材料，回答第16~20题： 16. 设集合，则下面选项中正确的是（ ）。 集合A的子集个数为16 2是集合A的子集 ∅是集合A的真子集 A A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类．把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合 （有时简称为集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素，则错误；若集合A中有n（n≥0）个元素，则A的子集个数为，则正确；∅是任何非空集合的真子集，则正确；集合间的基本关系：两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作AB，则正确。所以D选项正确。 【详解】A选项错误：已知集合，则集合A的子集个数为，则正确；2是集合A中的一个元素而不是子集，则错误；∅是任何非空集合的真子集，则正确 B选项错误：2是集合A中的一个元素而不是子集，则错误；已知集合，则集合A的子集个数为则正确；集合A中的任何一个元素都是集合{0，1，2，3，4}中的元素，所以A{0，1，2，3，4}，则正确 C选项错误：2是集合A中的一个元素而不是子集，则错误；∅是任何非空集合的真子集，则正确；集合A中的任何一个元素都是集合{0，1，2，3，4}中的元素，所以A{0，1，2，3，4}，则正确 D选项正确：已知集合，则集合A的子集个数为，则正确；∅是任何非空集合的真子集，则正确；集合A中的任何一个元素都是集合{0，1，2，3，4}中的元素，所以A{0，1，2，3，4}，则正确 故答案为：D 17. 已知，，且，，则的值为（ ）。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】这道题考查集合的包含关系，关键在于理解“子集”和“非空集合”的含义。①已知 A⊆B 且 A≠∅，说明集合 A 不能是空的，它里面的元素必须都在集合 B 里。②集合 B 里只有一个元素 1，所以集合 A 里的元素也必须是 1。③集合 A 是方程 ax＝1 的解，因此这个方程必须有解，且解就是 1。因此令方程 ax＝1 的解为x＝1，代入方程即可求出a的值。 【详解】因为A⊆B 且 A≠∅，集合 B＝{1}， 所以 A 里的元素只能是 1，即方程 ax＝1 的解是 x＝1。 把 x＝1 代入方程 ax＝1中得：a×1＝1， 解得 a＝1。 故答案选：B 【点睛】在解决集合问题时，要特别注意 “空集是任何集合的子集” 这一知识点，当题目明确 “非空” 时，就要排除空集的可能。 18. 设是小于9的正整数，，。则（ ）。 A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】集合A是小于9的正整数集，即A ＝ {1，2，3，4，5，6，7，8}；B ＝ {1，2，3}；C ＝ {3，4，5，6}。全集U隐含为A，因为A包含了所有相关元素。需要逐项验证每个选项的正确性： 【详解】A．计算 ： 和  的交集是它们的公共元素，，，公共元素为 ，所以 。此选项正确。 B．计算 ：补集是  中不属于  的元素。，， 中不属于  的元素是 ，所以 。此选项正确。 C．先计算 ：，，并集为 。 再计算 ：，，交集为 。 但 ，因  包含元素  和 ，而结果中缺少这些元素。此选项错误。 D．先计算 ：，，并集为 。 计算 ：这是  中不属于  的元素。，， 中不属于  的元素是  和 ，所以 。此选项正确。 故答案为：A、B、D 19. 设是全集，则（ ）。 A. 若，则 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据集合的交、并、补运算及子集关系，结合具体例子验证各选项的正确性。选项A的条件推导错误；选项B符合德·摩根定律；选项C的等式不恒成立；选项D符合分配律。 【详解】A．若，则的所有元素都属于，即，而非。例如，取全集，，，则，但不是的子集（但），因此选项A错误。 B．是德·摩根定律的表述。例如，取全集，，，则，；，，，二者相等，因此选项B正确。 C．与不一定相等。例如，取全集，，，，则，；，，，二者不相等，因此选项C错误。 D．是并集对交集的分配律。例如，取全集，，，，则，；，，，二者相等，因此选项D正确。 故答案为：BD 20. 下列集合不是群的是（ ）。 A. ，乘法规定 B. 全体整数中的运算为普通乘法 C. 全体整数除以3的余数中的运算为普通加法 D. 设非空集合，其上定义乘法“”如下： 【答案】B 【解析】 【分析】要判断一个集合是不是 “群”，要满足 4 个条件： ①集合里任意两个元素做运算，结果还在这个集合里（封闭性）。 ②运算满足结合律（比如 （a○b）○c ＝ a○（b○c））。 ③有一个 “单位元”，就是和任何元素运算都不改变它那个元素（比如加法里的 0，乘法里的 1）。 ④每个元素都有 “逆元”，就是能找到一个元素和它运算后得到单位元（比如 3 的逆元是 － 3，因为 3＋（－3）＝0）。 我们就用这 4 条来挨个检查选项，找出不满足的那个。 【详解】A：G＝{g}，乘法规定 gg ＝ g 封闭性：g 和 g 运算还是 g，在集合里，满足。 结合律：只有一个元素，（g○g）○g ＝ g○g ＝ g，g○（g○g） ＝ g○g ＝ g，满足。 单位元：g 就是单位元，因为 g○g ＝ g，满足。 逆元：g 的逆元是 g，因为 g○g ＝ g（单位元），满足。 所以 A 是群。 B：G ＝ 全体整数，运算为普通乘法 封闭性：整数乘整数还是整数，满足。 结合律：满足。 单位元：1 是单位元，满足。 逆元：比如元素 2，找不到一个整数和它相乘等于 1（单位元），不满足。 所以 B不是群。 C：G ＝ 全体整数除以 3 的余数，运算为普通加法全体整数除以 3 的余数只有 0、1、2 这三个数。 封闭性：比如 1＋2＝3，3 除以 3 余 0，结果 0 在集合里；2＋2＝4，4 除以 3 余 1，结果 1 也在集合里，满足。 结合律：满足。 单位元：0 是单位元，因为任何数加 0 都不变，满足。 逆元：0 的逆元是 0；1 的逆元是 2（因为 1＋2＝3≡0）；2 的逆元是 1（因为 2＋1＝3≡0），满足。 所以 C 是群。 D：G＝{a，b}，运算表如下 ○ a b a a b b b a 封闭性：运算结果都是 a 或 b，在集合里，满足。 结合律：比如 （a○b）○b ＝ b○b ＝ a；a○（b○b） ＝ a○a ＝ a，满足。 单位元：a 是单位元（a○a＝a，a○b＝b；b○a＝b，b○b＝a），满足。 逆元：a 的逆元是 a（a○a＝a）；b 的逆元是 b（b○b＝a），满足。 所以 D 是群。 故答案为：B 【点睛】不要被 “乘法”“加法” 的名字迷惑，要看运算的实际定义；单位元和逆元都要在集合内部找。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市2023年中小学生“”节数学思维竞赛 YMC2样卷 （考试时间：75分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的区县、学校、姓名和准考证号填写在答题卡上。 2.答题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的五个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 今年的年份（2023）的个位数比其余各位数字之和小1，则上一个这样的年份是在多少年前？（ ） A. 8年 B. 9年 C. 10年 D. 11年 E. 12年 2. 如图，一个长方体容器中装有120L的水，但没有装满。按不同的方式放置，水深分别为，，则该容器的容积为（ ）。 A. 160L B. 180L C. 200L D. 220L E. 240L 3. 如图，五个相同的长方形恰好能放置在一个边长为24的正方形里，则每个长方形的面积是（ ）。 A. 12 B. 18 C. 24 D. 32 E. 36 4. 在一场国际象棋比赛中，胜一轮得5分，平一轮得2分，负一轮得1分。甲、乙、丙、丁四个队参加比赛，且每队均比赛了3场。比赛结束后，甲队得了11分，乙、丙两队均得了8分，丁队没有平局，则丁队的得分是（ ）。 A. 5分 B. 6分 C. 7分 D. 8分 E. 9分 5. 遵义市“青苗计划”是经上级部门批准设立的数学拔尖人才培养项目，旨在通过早期发现和系统培养数理拔尖学生，助力国家“高精尖缺”人才的培养和关键领域“卡脖子”难题的解决。“青苗计划”的首字母为“QMJH”，若只能把相邻的两个字母互换，则“JHQM”需互换多少次才能获得“QMJH”？（ ） A. 3次 B. 4次 C. 5次 D. 6次 E. 7次 6. 司机小王想要行驶一段的路程，他的油箱里装有燃油，汽车每行驶将消耗燃油。行驶后，他看见一个路标上面写着前方5个加油站的距离分别为，和。已知汽车油箱的规格为，如果他想只加一次燃油跑完全程，那么他应该在多少千米后的加油站停车加油？（ ） A B. C. D. E. 7. 的结果的个位是（ ）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 8. 某场射击比赛共进行60次，每次射击，射中靶心得6分，其他情况可能的得分分别为4分、3分、1分、0分。李达康每次射击至少得4分，当该射击比赛进行到时，他领先31分。如果李达康接下来的次都击中靶心，那么他一定获胜。则的最小值是（ ）。 A. 16 B. 20 C. 24 D. 25 E. 26 9. 一只蚂蚁沿如图所示的路径从点开始爬行，若这只蚂蚁同一点不经过两次，且连通，则从点到点有多少条不同的路径？（ ） A. 10条 B. 13条 C. 15条 D. 16条 E. 18条 10. 某数是2023的倍数，且恰好有2023个正约数，则满足条件的数共有多少个？（ ） A. 0个 B. 2个 C. 4个 D. 6个 E. 无数个 二、多项选择题：本题共5小题，每小题6分，共30分。在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的。 11. 从，，0，3，5，7中任选三个数，则（ ）。 A. 这三个数和的最大值为奇数 B. 这三个数差的最小值为 C. 这三个数均为奇数的可能性为0.125 D. 这三个数乘积的最小值为 12. 如图是由棱长为的正方体搭成的几何体，所有表面都涂成了灰色，则（ ）。 A. 图中一共有10个正方体 B. 只有两个面涂色的正方体有1个 C. 只有三个面涂色的正方体有2个 D. 只有四个面涂色的正方体有6个 13. 下列的瓷砖能由给定的两片（如图）拼成的是（ ）。 A. B. C. D. 14. 设为50以内的两位正整数，则（ ）。 A. 能被11整除的所有的个数有4个 B. 能被3整除的所有的个数有18个 C. 能被的个位整除的所有的个数有7个 D. 是合数的所有的个数有34个 15. 已知数列的通项公式为，其中为正整数，则（ ）。 A. 存在正整数，使得 B. 5不能整除 C. D. 的个位数为3 三、不定项选择题：本题共5小题，每小题6分，共30分。在每小题给出的四个选项中，至少有一项是符合题目要求的。 材料1：集合简介 1.集合的定义 在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类。把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合（有时简称为集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素。 集合通常用英文大写字母表示，集合的元素通常用英文小写字母表示。 如果是集合的元素，就记作，读作“属于”；如果不是集合的元素，就记作，读作“不属于”。 一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作。 2.集合表示 （1）列举法 前面提到的集合都是用自然语言描述的，但在数学中，我们经常要使用符号来表示集合。 把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法。例如，由两个元素0，1组成的集合可用列举法表示为。 （2）描述法 以下集合用列举法表示方便吗？ 满足的所有数组成的集合。 显然，用列举法表示上述集合并不方便。但因为集合中的元素都具有性质“是大于3的数”，而不属于集合的元素都不具有这个性质，因此可以把集合表示为是大于3的数或，即是大于3的数或。 一般地，如果属于集合的任意一个元素都具有性质，而不属于集合的元素都不具有这个性质，则性质称为集合的一个特征性质。此时，集合可以用它的特征性质表示为。 这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法。 材料2：子集及集合运算简介 1.子集 给定集合，容易看出，集合的任意一个元素都是集合的元素。 一般地，如果集合任意一个元素都是集合的元素，那么集合称为集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）。 对应地，如果不是的子集，则记作（或），读作“不包含于”（或“不包含”）。 2.真子集 一般地，如果集合是集合的子集，并且中至少有一个元素不属于，那么集合称为集合的真子集，记作（或），读作“真包含于”（或“真包含”）。 例如，分析集合之间关系，可知是的子集（即），而且，因此是的真子集，即。 规定：是任何集合的子集。 3.并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作（读作“并”），即 4.交集 一般地，由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，称为集合与的交集，记作（读作“交”），即 5.全集与补集 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作。 对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即 材料3：群的定义 设是非空集合，在上有一个代数运算，对的任意两个元，其运算结果称为与的积，记为，如果还满足 （1）结合律：，任意； （2）有单位元，使得，任意； （3）对每个，有，使称为的一个逆元素，则称为一个群。 依据以上材料，回答第16~20题： 16. 设集合，则下面选项中正确的是（ ）。 集合A的子集个数为16 2是集合A的子集 ∅是集合A的真子集 A A. B. C D. 17. 已知，，且，，则的值为（ ）。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 18. 设是小于9的正整数，，。则（ ）。 A. B. C. D. 19. 设是全集，则（ ）。 A. 若，则 B. C. D. 20. 下列集合不是群的是（ ）。 A. ，乘法规定 B. 全体整数中的运算为普通乘法 C. 全体整数除以3的余数中的运算为普通加法 D. 设非空集合，其上定义乘法“”如下： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $