常见的概率模型课件-2026届高三数学二轮复习

专题四 统计与概率 第3讲 常见的概率模型 1 1.(人A选必三P77练习2改编)鸡接种一种疫苗后,有90%不会感染某种病毒.如果有5只鸡接种了疫苗,则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为 ( ) A.0.33 B.0.66 C.0.5 D.0.45 设5只接种疫苗的鸡中没有感染病毒的只数为X,则X~B(5,0.9),所以P(X=4)= 0.94 0.1≈0.33. 【解析】 A 2.设随机变量X~N( 1,),Y~N( 2,),这两个正态密度曲线如图所示,则下列结论正确的是 ( ) A. 1> 2 B. 1< 2 C.P(X≤34)<P(Y≤34) D.P(X≤38)<P(Y≤38) 【解析】 由题图可知 1=30, 2=34,则 1< 2,所以A错误; 根据正态密度曲线的性质, 越大图象越矮胖,则 1> 2,所以B错误; 由图可知,P(X≤34)>=P(Y≤34),所以C错误; 由图可知,P(X≤38)<P(Y≤38),所以D正确. D 3.已知X~B(n,p),若4P(X=2)=3P(X=3),则p的最大值为 ( ) A. B. C. D. 由题意可知n≥3.因为4P(X=2)=3P(X=3),所以4p2(1-p)n-2=3p3(1-p)n-3,整理得4(1-p)=(n-2)p,即p=.又n∈N*,且n≥3,所以p≤. 【解析】 B 4.(人A选必三P80练习2改编)学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会,已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到,则甲班恰有2名同学被选到的概率为_. 从12名候选人中选4名有种选法,其中有2名甲班同学有种选法,故甲班恰有2名同学被选到的概率为=. 【解析】 5.某学校高二年级数学学业质量检测考试成绩X~N(80,25),如果规定大于85分为A等,那么在参加考试的学生中随机选择一名,他的成绩为A等的概率是_. P(X>85)=[1-P(75≤X≤85)]=[1-P( - ≤X≤ + )]≈=0.158 65. 【解析】 0.158 65 正态分布 目标 1 (1) (2025∙湛江二模)某林业科学院培育新品种草莓,新培育的草莓单果质量 (单位:g)近似服从正态分布N(50,4),现有该新品种草莓10 000个,估计其中单果质量超过52 g的草莓有 ( ) A.228个 B.456个 C.1 587个 D.3 174个 由 ~N(50,4)可知 =50, =2,则P( >52)=[1-P( - ≤ ≤ + )]≈0.158 65,故其中单果质量超过52 g的草莓约有10 000 0.158 65≈1 587个. 【解析】 1 C (2) (2025∙厦门一模)已知随机变量X服从正态分布N(1, 2),若P(X≤a)=0.3,且P(a≤X≤a+2)=0.4,则a= ( ) A.-1 B.- C.0 D. 由题意知随机变量X服从正态分布N(1, 2),P(X≤a)=0.3,如图,结合P(a≤X≤a+2)=0.4,得P(X≥a+2)=0.3,可知a,a+2关于x=1对称,所以a+a+2=2 1,解得a=0. 【解析】 C 解决正态分布问题有三个关键点:①对称轴x= ;②标准差 ;③分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率;由 , 及分布区间的特征,通过转化使分布区间转化为3 特殊区间,从而求出所求概率. (2025∙许昌二模节选)已知某校学生每分钟的跳绳个数X~N(170,100),该校学生经过训练后,跳绳个数都有明显进步.假设经过训练后每人每分钟的跳绳个数都增加10,该校有1 000名学生,预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在[170,200]内的人数(结果精确到整数). 训练前该校学生每人每分钟的跳绳个数X~N(170,100),则 =170, 2=100, =10,则所求即为训练前学生每分钟的跳绳个数在[160,190]的人数,160= - ,190= +2 ,P( - ≤X≤ +2 )=+≈+=0.341 35+0.477 25=0.818 6.由1 000 0.818 6=818.6≈819,估计训练前该校每分钟的跳绳个数在[160,190]内的人数为819,即预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在[170,200]内的人数为819. 【解答】 变式1 超几何分布 目标 2 (2025∙泰州一模)某校随机调查了100名同学的日运动时间(单位:分钟),得到如图所示的频率分布直方图. (1) 求该100名同学的平均日运动时间; 由题意得(0.010+0.020+a+0.020+0.005) 10=1,所以a=0.045,所以该100名同学的平均日运动时间为0.1 55+0.2 65+0.45 75+0.2 85+0.05 95=74(分钟). 【解答】 2 (2025∙泰州一模)某校随机调查了100名同学的日运动时间(单位:分钟),得到如图所示的频率分布直方图. (2) 为进一步调查运动方式,采用分层随机抽样的方式从日运动时间在[50,60),[60,70),[80,90)内的同学中抽取10人,再从中任选3人进行调查,求抽到日运动时间在[60,70)内的人数X的分布列和数学期望. 2 【解答】 抽取的日运动时间在[50,60),[60,70),[80,90)内的同学人数分别为2,4,4,所以X可取0,1,2,3,则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==, 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 故E(X)=0 +1 +2 +3 =. 若随机变量X服从超几何分布,则E(X)=np=. 二项分布 目标 3 (2025∙南昌二模)为宣扬中国文化,某校组织古诗词知识比赛,比赛分为两阶段,第一阶段为基础知识问答,每位选手都需要回答3个问题,答对其中至少2个问题,进入第二阶段,否则被淘汰.第二阶段分高分组和低分组,第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组,共回答4个问题,每答对一个得20分,答错不得分;第一阶段答对2个问题的选手进入低分组,共回答4个问题,每答对一个得10分,答错不得分.第一阶段,每个问题选手甲答对的概率都是;第二阶段,若选手甲进入高分组,则每个问题答对的概率都是,若选手甲进入低分组,则每个问题答对的概率都是. (1) 求选手甲第一阶段不被淘汰的概率; 3 【解答】 选手甲第一阶段不被淘汰,即甲回答3个问题答对其中2个或3个,其概率为p1=2 +3=. (2025∙南昌二模)为宣扬中国文化,某校组织古诗词知识比赛,比赛分为两阶段,第一阶段为基础知识问答,每位选手都需要回答3个问题,答对其中至少2个问题,进入第二阶段,否则被淘汰.第二阶段分高分组和低分组,第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组,共回答4个问题,每答对一个得20分,答错不得分;第一阶段答对2个问题的选手进入低分组,共回答4个问题,每答对一个得10分,答错不得分.第一阶段,每个问题选手甲答对的概率都是;第二阶段,若选手甲进入高分组,则每个问题答对的概率都是,若选手甲进入低分组,则每个问题答对的概率都是. (2) 求选手甲在该次比赛得分为40分的概率; 3 【解答】 选手甲在该次比赛得分为40分有两种情况:进入高分组,答对2个问题;进入低分组,答对4个问题.所求概率为p2=2 4+2 2=. (2025∙南昌二模)为宣扬中国文化,某校组织古诗词知识比赛,比赛分为两阶段,第一阶段为基础知识问答,每位选手都需要回答3个问题,答对其中至少2个问题,进入第二阶段,否则被淘汰.第二阶段分高分组和低分组,第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组,共回答4个问题,每答对一个得20分,答错不得分;第一阶段答对2个问题的选手进入低分组,共回答4个问题,每答对一个得10分,答错不得分.第一阶段,每个问题选手甲答对的概率都是;第二阶段,若选手甲进入高分组,则每个问题答对的概率都是,若选手甲进入低分组,则每个问题答对的概率都是. (3) 已知该次比赛选手甲进入了高分组,记选手甲在该次比赛中得分为X,求随机变量X的分布列和数字期望. 3 【解答】 X的可能取值有0,20,40,60,80,P(X=0)=4=,P(X=20)=3 ==,P(X=40)=2 2==,P(X=60)= 3==,P(X=80)=4=, 所以X的分布列为 X 0 20 40 60 80 P 所以E(X)=20 4 =20. 超几何分布与二项分布的联系与区别 分布名称 超几何分布 二项分布 试验类型 不放回抽样 放回抽样 试验种数 有两种物品 有两种结果 总体个数 有限 有限或无限 随机变量取值的概率 利用排列组合计算 利用独立重复试验计算 联系 当总体N很大时,超几何分布近似二项分布 (2025∙南阳期末)高三(1)班有55名同学,在某次考试中总成绩在650分以上的有4人:甲、乙、丙、丁;在600~650分的有15人:戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申.其中数学成绩超过120分的有10人:甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申. (1) 从该班同学中任选一人,求在数学成绩超过120分的条件下,总成绩超过650分的概率. 变式3 【解答】 方法一:记事件A=“所抽取的学生的数学成绩超过120分”,则P(A)==.记事件B=“所抽取的学生的总成绩超过650分”,则P(AB)=,所以P(B|A)===.即任取一人,在数学成绩超过120分的条件下,总成绩超过650分的概率为. 方法二:因为数学成绩超过120分的有10人,其中总成绩超过650分以上的有4人,所以任取一人,在数学成绩超过120分的条件下,总成绩超过650分的概率为=. (2025∙南阳期末)高三(1)班有55名同学,在某次考试中总成绩在650分以上的有4人:甲、乙、丙、丁;在600~650分的有15人:戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申.其中数学成绩超过120分的有10人:甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申. (2) 从数学成绩超过120分的同学中随机抽取3人. ①采取不放回抽样方式抽取,记X为成绩在600~650分的同学的个数,求X的分布列和期望; 变式3 【解答】 10名数学成绩超过120分的同学包含6个总成绩在600~650分,所以X的所有可能的取值为0,1,2,3,P(X=0)===,P(X=1)===,P(X=2)===,P(X=3)===. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 故E(X)=0 +1 +2 +3 =. (2025∙南阳期末)高三(1)班有55名同学,在某次考试中总成绩在650分以上的有4人:甲、乙、丙、丁;在600~650分的有15人:戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申.其中数学成绩超过120分的有10人:甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申. (2) 从数学成绩超过120分的同学中随机抽取3人. ②采取放回抽样方式抽取,记Y为成绩在600~650分的同学的个数,求E(Y)的值.(直接写出结果) 10名数学成绩超过120分的同学包含6个总成绩在600~650分,按放回抽样的方式随机抽取,则随机变量Y~B,所以E(Y)=3 =. 【解答】 变式3 二项分布的最值问题 新视角 (2025∙徐州2月调研节选)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓后要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现三次音乐获得150分,出现两次音乐获得100分,出现一次音乐获得50分,没有出现音乐则获得-300分.设每次击鼓出现音乐的概率为p,且各次击鼓是否出现音乐相互独立. (1) 若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0; 4-1 【解答】 由题可知,一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为f(p)=p(1-p)2=3p3-6p2+3p,则f′(p)=3(3p-1)(p-1),0<p<. 由f′(p)=0得p=或p=1(舍去).当p∈时,f′(p)>0;当p∈时,f′(p)<0,所以f(p)在上单调递增,在上单调递减,所以当p=时,f(p)有最大值,即f(p)的最大值点p0=. (2025∙徐州2月调研节选)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓后要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现三次音乐获得150分,出现两次音乐获得100分,出现一次音乐获得50分,没有出现音乐则获得-300分.设每次击鼓出现音乐的概率为p,且各次击鼓是否出现音乐相互独立. (2) 以(1)中确定的p0作为p的值,玩3盘游戏,出现音乐的盘数为随机变量X,求每盘游戏出现音乐的概率p1及随机变量X的期望E(X). 由(1)可知p=p0=,则每盘游戏出现音乐的概率为p1=1-3=.由题可知X~B,所以E(X)=3 =. 【解答】 4-1 对于f(p)=Cpk(1-p)n-k(n,k为常数),f′(p)=Cpk-1(1-p)n-k-1(k-np). (1) 当k=0时,f′(p)<0恒成立,f(p)在(0,1)上单调递减,f(p)无最值. (2) 当k=n时,f′(p)>0恒成立,f(p)在(0,1)上单调递增,f(p)无最值. (3)当k=1,2,…,n-1时,由于当p<时,f′(p)>0,f(p)单调递增;当p>时,f′(p)<0, f(p)单调递减,当p=时,f(p)取得最大值,f(p)max=f.又当p 0时,f(p) 0,当p 1时,f(p) 0,从而f(p)无最小值. (2025∙宜春二模节选)某冰雪体验中心招募初学者进行滑雪培训,对4个基本滑雪动作(站姿、滑行、转弯、刹车)进行指导.根据统计,每位初学者对站姿、滑行、转弯、刹车这4个动作达到熟练的概率分别为,,,,且4个基本滑雪动作是否达到熟练相互独立.若这4个基本滑雪动作至少3个达到熟练,则可称为滑雪入门. (1) 求初学者滑雪入门的概率; 设事件Ai(i=1,2,3,4)分别表示初学者对站姿、滑行、转弯、刹车达到熟练,“滑雪初学者滑雪入门”为事件B,所以P(B)=P(A1A2A3A4)+P(A2A3A4)+P(A1A3A4)+P(A1A2A4)+P(A1A2A3)= + + + + =. 【解答】 4-2 (2025∙宜春二模节选)某冰雪体验中心招募初学者进行滑雪培训,对4个基本滑雪动作(站姿、滑行、转弯、刹车)进行指导.根据统计,每位初学者对站姿、滑行、转弯、刹车这4个动作达到熟练的概率分别为,,,,且4个基本滑雪动作是否达到熟练相互独立.若这4个基本滑雪动作至少3个达到熟练,则可称为滑雪入门. (2) 现有一旅行团到该冰雪体验中心游玩,其中有30人参加滑雪培训,且均为初学者,每个人滑雪条件相当,令X为滑雪入门的人数,求E(X)及这30人中多少人滑雪入门的概率最大. 4-2 【解答】 因为初学者是相互独立的,随机变量X为滑雪入门的人数,则X~B,可得P(X=r)=30-rk(r=0,1,2,…,30),E(X)=30 =. 设有k人滑雪入门的概率最大,则解得≤k≤,因为k∈N*,所以k=9,所以这30人中9人滑雪入门的概率最大. 设随机变量X~B(n,p),若(n+1)p为整数,则当k0=(n+1)p-1或k0=(n+1)p时,P(X=k0)最大;若(n+1)p不为整数,则当k0=[(n+1)p]时,P(X=k0)最大. 因为 ~B,所以D( )=n∙∙=n,D(3 +2)=9∙n=36,所以n=16. 【解析】 参考数据:P( - ≤X≤ + )≈0.682 7,P( -2 ≤X≤ +2 )≈0.954 5,P( -3 ≤X≤ +3 )≈0.997 3. 1.(2025∙泰州一调)已知随机变量 服从二项分布B.若D(3 +2)=36,则n= ( ) A.144 B.48 C.24 D.16 D 2.(2025∙佛山二模)学校举办篮球赛,将6支球队平均分成甲、乙两组,则两支最强的球队被分在不同组的概率为 ( ) A. B. C. D. 由题意可知,两支最强的球队被分在不同组的分组组数为,所有的分组组数为,结合古典概型计算公式可得所求概率P==. 【解析】 C 3.(2025∙唐山一模)已知随机变量X~N( , 2), >0.若P(X< + )=p,则P( - <X< + )= ( ) A.1-p B.2-2p C.p- D.2p-1 因为X~N( , 2), >0且P(X< + )=p,所以P(X≥ + )=1-p,根据正态分布曲线的对称性,可得P(X≤ - )=P(X≥ + )=1-p,所以P( - <X< + )=1-P(X≤ - )-P(X≥ + )=1-2(1-p)=2p-1. 【解析】 D 4.(2025∙沈阳期中)袋中有大小、形状完全相同的8个白球,4个黑球,现从中随机地连续抽取3次,每次取1个球,若每次抽取后都不放回,设取到白球的个数是X,且Y=2X+1,则Y的数学期望E(Y)= ( ) A.3 B.4 C.5 D.8 X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,则E(X)= 0+ 1+ 2+ 3=2,所以E(Y)=2E(X)+1=5. 【解析】 C 5.(多选)下列判断正确的是 ( ) A.若随机变量 服从0-1分布,且P( =0)=0.35,则P( =1)=0.7 B.若随机变量 ~B,则D( )= C.若随机变量 ~H(3,3,10),则E( )=0.9 D.若随机变量 ~N(1, 2),P( ≤3)=0.8,则P( <-1)=0.2 【解析】 若 服从0-1分布,则P( =1)=1-P( =0)=0.65,故A错误. 若随机变量 ~B,则D( )=3 =,故B正确. 若随机变量 ~H(3,3,10),则E( )==0.9,故C正确. 若随机变量 ~N(1, 2),P( ≤3)=0.8,则P( <-1)=P( >3)=1-0.8=0.2,故D正确. 【答案】BCD 6.(多选)(2025∙赣州期末)小华是一位篮球爱好者,每天坚持投篮训练,每天至少训练10组,每组投篮50次,且每一组投篮命中的次数X~N(27,4),则 ( ) A. =27 B. =4 C.P(X>33)≈0.002 7 D.P(23≤X≤29)≈0.818 6 因为X~N(27,4),所以 =27, =2,故A正确,B错误. P(X>33)=P(X> +3 )≈=0.001 35,故C错误. P(23≤X≤29)=P( -2 ≤X≤ + )=P( -2 ≤X≤ )+P( ≤X≤ + )=≈=0.818 6,故D正确. 【解析】 AD 7.(多选)(2025∙保定二模)若0<p<1,随机变量X~B(6,p),Y~N(6,p2),则 ( ) A.P(Y>8)=P(Y<4) B.当D(X)=时,D(Y)= C.当D(Y)=时,D(X)= D.当p在变化时,P(X=1)的最大值为5 因为Y~N(6,p2),=6,所以由正态分布的性质可知P(Y>8)=P(Y<4),故A正确. 当D(X)=时,即6p(1-p)=,即9p2-9p+2=(3p-1)(3p-2)=0,解得p=,当p=时,D(Y)=p2=,当p=时,D(Y)=p2=,故B错误. 【解析】 当D(Y)=时,即p2=,因为0<p<1,所以p=,所以D(X)=6p(1-p)=6 =,故C正确. 因为X~B(6,p),所以P(X=1)=p(1-p)5=6p(1-p)5.设函数f(p)=6p(1-p)5(0<p<1),则f′(p)=6(1-p)5+6p 5(1-p)4 (-1)=6(1-p)4(1-6p),当0<p<时,f′(p)>0;当<p<1时,f′(p)<0,所以f(p)=6p(1-p)5在上单调递增,在上单调递减,所以当p=时,f(p)=6p(1-p)5取得最大值,且f(p)max=f=6 5=5,故D正确. 【答案】ACD 8.(2025∙南阳期末)某校高三年级有男生660人,女生440人,现按性别用分层随机抽样的方法从高三年级所有学生中抽取5人组成某活动志愿者小队,再从被抽取的这5人中抽取2人作为志愿者小队队长,则恰有1名男队长的概率为_. 由分层随机抽样知,所抽取的这5人中有3男2女,所以恰有1个男队长的概率P==. 【解析】 9.(2025∙福州二模)已知随机变量 ~N(4, 2),若P( ≤5)=0.6,则P(3< <4)=_. 因为P( ≤5)=0.6,所以P( ≤4+1)=0.6,所以P( ≥5)=1-0.6=0.4,根据正态分布的对称性得P( ≤3)=0.4,所以P(3< <4)==0.1. 【解析】 0.1 10.(2025∙阜阳模拟)某社区在重阳节开展敬老活动,已知当天参加活动的老人中女性占比为,现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品,若14人中有k名女性的可能性最大,则k的值为_. 【解析】 若从参加活动的老人中随机抽取14人,且抽到的女性人数为X,则X~B.设抽到k名女性的可能性最大,则 即解得8≤k≤9,又k∈N*,故k=8或9. 【答案】8或9 11.(2025∙石家庄三模)某短视频平台在2025年上半年推出了新一代的“AI推荐算法”,为了检测受众情况,该公司从点赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄,并按年龄差异绘制如图所示的频率分布直方图. (1) 估计这100名志愿者年龄的中位数(结果精确到0.01)和平均数; 【解答】 由频率分布直方图可知,前两组的频率之和为(0.01+0.015) 10=0.25,前三组的频率之和为(0.01+0.015+0.035) 10=0.6,所以中位数位于区间[35,45)中,中位数的估计值为35+10 =35+≈42.14. 由频率分布直方图可知,样本平均数的估计值为20 0.01 10+30 0.015 10+40 0.035 10+50 0.03 10+60 0.01 10=41.5.故估计这100名志愿者年龄的中位数和平均数分别为42.14和41.5. 11.(2025∙石家庄三模)某短视频平台在2025年上半年推出了新一代的“AI推荐算法”,为了检测受众情况,该公司从点赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄,并按年龄差异绘制如图所示的频率分布直方图. (2) 依据上述调研结果,按照各年龄段人数的比例, 用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中随机选 取20名志愿者参加座谈会,为了更好地了解青年群 体,需要从参加座谈会的年龄在[25,45)的人中 随机选出3人作为代表发言,设随机变量X表示代表年龄在[25,35)的志愿者人数,求X的分布列及数学期望. 【解答】 由题可知从中选取的20名志愿者中,年龄在[25,45)的有20 (0.015+0.035) 10=10(人),其中年龄在[25,35)的有20 0.015 10=3(人).由题知年龄在[25,35)的志愿者人数X服从超几何分布,X的所有可能取值为0,1,2,3,P(X=0)===,P(X=1)===,P(X=2)===,P(X=3)==, 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P X的数学期望E(X)=0 +1 +2 +3 =. 12.(2025∙福州期中)某校为了解全校学生“体能达标”的情况,从高二年级12个班中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试,并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”,否则为合格.若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%,则该年级体能达标为“合格”,否则该年级体能达标为“不合格”,需要加强锻炼. (1) 已知某班级的5名学生中,只有甲、乙两位同学体能测试不合格,从这5名学生中抽取两名,记X为抽取的两名学生中体能合格的人数,求随机变量X的分布列. 【解答】 由题意X的可能取值为0,1,2,则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==, 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 12.(2025∙福州期中)某校为了解全校学生“体能达标”的情况,从高二年级12个班中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试,并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”,否则为合格.若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%,则该年级体能达标为“合格”,否则该年级体能达标为“不合格”,需要加强锻炼. (2) 为了加强锻炼,甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能,并约定每轮比赛均采用五局三胜制(一方获胜三局则本轮比赛结束).假设甲同学每局比赛获胜的概率均为,求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下,前2局比赛均获胜的概率. 【解答】 令事件A表示“甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜”,事件A1表示“甲以3∶1获胜”,事件A2表示“甲以3∶2获胜”,事件B表示“甲前2局比赛均获胜”,所以P(A1)= 3=,P(A2)= 2 3=,于是P(A)=P(A1)+P(A2)=+=,P(AB)=2 +2 2 =,故P(B|A)===. 12.(2025∙福州期中)某校为了解全校学生“体能达标”的情况,从高二年级12个班中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试,并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”,否则为合格.若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%,则该年级体能达标为“合格”,否则该年级体能达标为“不合格”,需要加强锻炼. (3) 经过一段时间的体能训练后,该校再次进行了体能检测,高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布N( , 2).已知 =74, =7,请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格. 【解答】 由已知有 =74, =7,所以P(60≤X≤88)=P( -2 ≤X≤ +2 )≈0.954 5,所以P(X<60)=P(X>88)=[1-P(60≤X≤88)]≈ (1-0.954 5)≈0.022 75<5%,所以估计高二年级学生该次体能检测合格. $