解题方法信息提取1.3 数学转化 课件-2026届高三数学二轮复习

1.3　数学转化 数学转化是指借助数学知识与数学方法,通过观察、分析、联想、类比等思维过程,把有待解决或难以解决的问题转化并归结为一类比较容易解决或已经解决的问题,使原有问题得到最终解决的一种思维和策略.数学转化的本质是揭示内在联系、实现本质转化,它是一切数学思想方法的核心,是解决问题的有效策略,也是获取成功的思维方式. 1.3　数学转化 例1　(2025新高考Ⅰ卷,11,多选题)已知△ABC的面积为,cos 2A+cos 2B +2sin C=2,cos Acos Bsin C=,则(　　) A.sin C=sin2A+sin2B B.AB= C.sin A+sin B= D.AC2+BC2=3 1.3　数学转化 [思维路径] 1.3　数学转化 [解题过程] 由cos 2A+cos 2B+2sin C=2,得1-2sin2A+1-2sin2B+2sin C=2, 所以sin C=sin2A+sin2B.故A正确. sin2A+sin2B=sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 所以sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)=0.(*) 由cos Acos Bsin C=,可知A,B均为锐角. 若A+B>,则 所以sin A>cos B,sin B>cos A,与(*)式矛盾,舍去. 1.3　数学转化 同理,若A+B<,与(*)式也矛盾. 所以A+B=,所以B=-A,C=. 由cos Acos Bsin C=,得sin Acos A=. 在△ABC中设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 由S△ABC=absin C=,得ab=, 所以csin A·ccos A=,即c2sin Acos A=, 所以c2=2,所以AB=.故B正确. 所以AC2+BC2=AB2=2≠3.故D错误. 因为(sin A+sin B)2=(sin A+cos A)2=1+2sin Acos A=,所以sin A+sin B=.故C正确.故选ABC. [答案] ABC 1.3　数学转化 学友聊斋 1.3　数学转化 例2　(2023全国乙卷,文11)已知x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是 (　　) A.1+ B.4 C.1+3 D.7 1.3　数学转化 [思维路径] 1.3　数学转化 [解题过程] 由x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9,令0≤θ<2π, 则x-y=1+3cos θ-3sin θ=1+3cos(θ+), 当cos(θ+)=1时,x-y取最大值1+3.故选C. [答案] C 1.3　数学转化 例3　(2024新高考Ⅰ卷,19)设m为正整数,数列a1,a2,…,a4m+2是公差不为0的等差数列,若从中删去两项ai和aj(i<j)后剩余的4m项可被平均分为m组,且每组的4个数都能构成等差数列,则称数列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)—可分数列. (1)写出所有的(i,j),1≤i<j≤6,使数列a1,a2,…,a6是(i,j)—可分数列; (2)当m≥3时,证明:数列a1,a2,…,a4m+2是(2,13)—可分数列; (3)从1,2,…,4m+2中一次任取两个数i和j(i<j),记数列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)—可分数列的概率为Pm,证明:Pm>. 1.3　数学转化 [思维路径] 1.3　数学转化 [解题过程] (1)(1,2),(1,6),(5,6). (2)证明:当m≥3时,将数列a1,a2,…,a4m+2剔除a2和a13后,剩余的项可以平均分成如下m组:a1,a4,a7,a10;a3,a6,a9,a12;a5,a8,a11,a14;…;a4m-1,a4m,a4m+1,a4m+2. 以上各组的四个数依次成等差数列. 故数列a1,a2,…,a4m+2是(2,13)—可分数列. 1.3　数学转化 (3)证明:记使数列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)—可分数列的(i,j)有bm组. 当m变为m+1时,数列a1,a2,…,a4m+2变为a1,a2,…,a4m+2,a4m+3,a4m+4,a4m+5,a4m+6, 可将其分为3组. 第1组:(a1,a2,a3,a4). 第2组:(a5,a6,…,a4m+2). 第3组:(a4m+3,a4m+4,a4m+5,a4m+6). ①当ai,aj都在第2组时,数列a5,a6,…,a4m+2共有4m-2项,相当于把m换成了m-1,所以此时的(i,j)共有bm-1组. ②当ai在第1组,aj在第2组,或ai,aj都在第1组时,前两组组成的数列共有4m+2项,用排除法可知,此时的(i,j)共有bm-bm-1组. 1.3　数学转化 ③当ai在第2组,aj在第3组,或ai,aj都在第3组时,同②由前后的对称性可知,此时的(i,j)共有bm-bm-1组. ④当ai在第1组,aj在第3组时,至少有(i,j)=(1,4m+6)或(i,j)=(2,4m+5)这两种情形. 由上可知,bm+1≥bm-1+(bm-bm-1)+(bm-bm-1)+2=2bm-bm-1+2, 即bm+1-bm≥bm-bm-1+2.又易知b1=3,b2=7, 即bm-bm-1≥b2-b1+2(m-2)=2m. 所以bm-1-bm-2≥2(m-1),…,b2-b1≥2×2=4, 以上m-1个式子累加得,bm-b1≥2m+2(m-1)+…+4=m2+m-2, 即bm≥m2+m+1,m≥2.故Pm=. 1.3　数学转化 学友聊斋 1.3　数学转化 能 力 训 练 A组　基础性题组 题号 选题理由 1 本题需将命题q转化为正弦函数性质进行简化,然后结合充分必要条件的定义即可判断 2 需要利用等比数列的性质及前n项和公式对已知式进行转化,进而求解 3 通过平移,将异面直线夹角转化为同一平面的两直线夹角,利用余弦定理求解 4 将函数的递推式,转化为函数的周期定义式,利用周期性求f(2 025)的值 5 (1)将条件式中的数转化为具体边,实现等式的齐次化,再求角; (2)结合锐角三角形,利用正弦定理以及三角恒等变换求出t=的取值范围,再转化为利用导数求范围问题 1.3　数学转化 1.☆(2025江西南昌一模)设p:0<a<1,q:关于x的方程sin x+cos x=a有实数解,则p是q的(　A　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解题过程] 因为sin x+cos x=a, 所以sin x+cos x=2sin∈[-2,2],即-2≤a≤2. 因为p:0<a<1,q:-2≤a≤2, 所以由p可以推出q,由q不可以推出p,所以p是q的充分不必要条件.故选A. 1.3　数学转化 2.☆(2025江苏南京一模)已知数列{an}为等比数列,公比为2,且a1+a2=3.若ak+ak+1+ak+2+…+ak+9=214-24,则正整数k的值是(　B　) A.4 B.5 C.6 D.7 [解题过程] 因为数列{an}为等比数列,公比为2,且a1+a2=3,所以a1+2a1=3, 解得a1=1,故an=2n-1. 所以ak+ak+1+ak+2+…+ak+9=ak(1+2+22+…+29)=2k-1·=2k+9-2k-1=214-24,解得k=5.故选B. 1.3　数学转化 3.☆(2025辽宁辽阳一模)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,且∠A1AC=60°,D,E,F分别为A1C1,A1B1,BC的中点,则异面直线AD和EF所成角的余弦值为(　D　) A. B. C. D. 1.3　数学转化 [解题过程] 连接CD,DE,如图所示, 因为D,E分别为A1C1,A1B1的中点,所以DE∥B1C1且DE=B1C1. 因为BB1∥CC1且BB1=CC1, 所以四边形BB1C1C为平行四边形, 所以BC∥B1C1且BC=B1C1. 因为F为BC的中点, 所以CF∥DE且CF=BC=B1C1=DE, 所以四边形CDEF为平行四边形,则EF∥CD, 故异面直线AD和EF所成角等于∠ADC或其补角. 1.3　数学转化 在△AA1D中,AA1=2,A1D=1,∠AA1D=120°,由余弦定理可得 AD=. 在△CC1D中,CC1=2,C1D=1,∠CC1D=60°,由余弦定理可得 CD=. 在△ACD中,AC=2,CD=,AD=, 所以AC2+CD2=AD2,故AC⊥CD,所以cos∠ADC=. 因此,异面直线AD和EF所成角的余弦值为.故选D. 1.3　数学转化 4.☆☆(2025湖北武汉二模)函数f(x)满足f(x+1)=f(x)+f(x+2),若f(1)=2, f(11)=3,则f(2 025)=(　D　) A.1 B.-1 C.5 D.-5 1.3　数学转化 [解题过程] 由题意可得f(x+2)=f(x+1)-f(x), 用x+1代替x可得f(x+3)=f(x+2)-f(x+1), 两式相加得f(x+3)=-f(x), 所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x), 所以函数f(x)是以6为周期的周期函数, 所以f(11)=f(5)=3. 又f(5)=-f(2),所以f(2)=-3, 所以f(3)=f(2)-f(1)=-3-2=-5, 所以f(2 025)=f(337×6+3)=f(3)=-5. 故选D. 1.3　数学转化 5.☆☆(2025东北三省联考)已知△ABC是锐角三角形,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=cos B+b=c. (1)求A; (2)求的取值范围. 1.3　数学转化 [解题过程] (1)因为a=cos B+b=c, 所以acos B+b=c,由正弦定理得sin Acos B+sin B=sin C=sin(A+B), 即sin Acos B+sin B=sin Acos B+cos Asin B, 所以cos Asin B=sin B. 因为A,B∈,则sin B>0, 所以cos A=,即A=. 1.3　数学转化 (2)在△ABC中,由 可得<C<,则. 又tan C>,则0<,所以的取值范围为. 又,设t=, 设f(t)=2t+,其中t∈,则f'(t)=2-. 1.3　数学转化 由f'(t)<0可得<t<, 由f'(t)>0可得<t<2, 所以f(t)在区间上单调递减,在区间上单调递增, 所以f(t)min=f=2. 又因为f=3,f(2)=, 所以f(t)的取值范围为,即的取值范围为. 1.3　数学转化 B组　综合性题组 题号 选题理由 1 由题设实现an与Sn的转化,再结合数列各项正负情况去绝对值即可求解 2 根据题意,对解析式进行适当的转化和变形,然后判断函数的奇偶性和单调性,最后进行求解 3 根据复数模的定义,我们可以将复数的长度转换为两点间的距离,进而确定动点P的轨迹,并通过逐项求解来获得结果 4 (1)将边转化角或角转化边来求得cos A,即得角A; (2)结合图形,将大三角形的面积转化为两个小三角形的面积之和,根据面积相等列方程求解即可 1.3　数学转化 题号 选题理由 5 (1)体现分类讨论思想,直接求导即可; (2)(ⅰ)根据零点的定义,对函数式进行转化,求导后再对a分类讨论或分离参数求解; (ⅱ)分析的几何意义,将其转化为原点与直线上的动点(a,b)之间的距离,再设新函数并多次求导即可证明 1.3　数学转化 1.☆☆(2025天津卷,6)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=-n2+8n,则{|an|}的前12项和为(　C　) A.112 B.48 C.80 D.64 [解题过程] 因为Sn=-n2+8n,所以当n=1时,a1=S1=-12+8×1=7, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-n2+8n)-[-(n-1)2+8(n-1)]=-2n+9, 经检验,a1=7满足上式, 所以an=-2n+9(n∈N*). 当an>0时,n≤4;当an<0时,n≥5. 所以{|an|}的前12项和T12=|a1|+|a2|+…+|a12|=a1+a2+a3+a4-a5-a6-…-a12 =2S4-S12=2×(-16+32)-(-122+8×12)=80.故选C. 1.3　数学转化 2.☆☆(2025广东大湾区一模)设函数f(x)=ln(e2x+1)+|x|-x,则不等式f(2x-1)-f(x+1)≤0的解集为(　B　) A.(-∞,2] B.[0,2] C.[2,+∞) D.(-∞,0]∪[2,+∞) 1.3　数学转化 [解题过程] 由题知,f(x)=ln(e2x+1)+|x|-x,x∈R, 又f(-x)=ln(e-2x+1)+|x|+x=ln+|x|+x=ln(e2x+1)+|x|-x=f(x), 所以函数f(x)是偶函数. 当x≥0时,f(x)=ln(e2x+1),易得f(x)单调递增.不等式f(2x-1)-f(x+1)≤0, 即f(2x-1)≤f(x+1), 等价于f(|2x-1|)≤f(|x+1|), 所以|2x-1|≤|x+1|, 可得(2x-1)2≤(x+1)2,解得0≤x≤2, 所以不等式f(2x-1)-f(x+1)≤0的解集为[0,2].故选B. 1.3　数学转化 3.☆☆(2025河南郑州二模,多选题)已知复数z满足|z+1|+|z-1|=4,则下列说法正确的是(　ABC　) A.|z|≤2 B.|z-1|≥1 C.若z∈R,则|z|=2 D.若z2∈R,则|z|=2 1.3　数学转化 [解题过程] 设z=m+ni,则复数z在复平面内的对应点为P(m,n), 设F1(-1,0),F2(1,0), 则|z+1|=|m+1+ni|==|PF1|,同理|z-1|=|PF2|, ∴|z+1|+|z-1|=|PF1|+|PF2|=4,即点P的轨迹为椭圆,且椭圆长半轴a=2,焦半径c=1,∴短半轴b=, ∴点P的轨迹方程为=1. 1.3　数学转化 A选项,|z|=|OP|≤a=2,A选项正确; B选项,|z-1|=|PF2|≥a-c=1,B选项正确; C选项,若z∈R,即n=0,令y=0,则x=±2,∴|z|=2,C选项正确; D选项,z2=m2-n2+2mni,若z2∈R,则m=0或n=0. 当m=0时,n=±,此时|z|=;当n=0时,m=2,此时|z|=2,D选项错误. 故选ABC. 1.3　数学转化 4.☆☆(2025吉林长春二模)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且c=b-acos C,角A的平分线交BC于点D,且BD=2DC. (1)求角A; (2)若AC=3,求AD的长. 1.3　数学转化 [解题过程] (1)由c=b-acos C和正弦定理,可得sin C=sin B-sin Acos C. 因为sin B=sin(π-A-C)=sin(A+C)=sin Acos C+sin Ccos A, 所以sin C=sin Acos C+sin Ccos A-sin Acos C,即sin C=sin Ccos A. 因为sin C≠0,所以cos A=. 因为0<A<π,所以A=. 1.3　数学转化 (2)如图,因为AD是∠CAB的平分线,所以=2,解得AB=6. 又S△ABC=S△ABD+S△ACD, 则AB·ACsinAB·ADsinAC·ADsin, 即×6×3××6×AD××3×AD×,解得AD=2. 1.3　数学转化 5.☆☆☆(2025山东济南一模)已知a,b∈R,函数f(x)=ex-a-bx,x∈[0,+∞). (1)当a=0时,求f(x)的极值; (2)若f(x)存在零点. (ⅰ)当b=0时,求a的取值范围; (ⅱ)求证:a2+b2>2. [解题过程] (1)当a=0时,f(x)=ex-bx,f'(x)=ex-b, 当b≤1时,f'(x)≥0,函数f(x)单调递增,既无极大值也无极小值. 当b>1时,若x∈[0,ln b),f'(x)<0,函数f(x)单调递减; 若x∈(ln b,+∞),f'(x)>0,函数f(x)单调递增, 所以函数f(x)的极小值是f(ln b)=b-bln b,无极大值. 1.3　数学转化 (2)(ⅰ)当b=0时,f(x)=ex-a,因为函数f(x)存在零点,所以ex=a有解. 若x=0,此时无解, 所以x>0,f(x)=ex-a=0有解. f'(x)=ex-. ①若a≤0,则f(x)单调递增,f(x)>f(0)=1,此时不存在零点; ②若a>0,令h(x)=2ex-a(x>0),h(0)=-a<0,h(a2)=a-a>0, 由零点存在定理可知,存在x0∈(0,a2),使得h(x0)=0成立,所以f(x)在区间(0,x0)上为减函数,在区间(x0,+∞)上为增函数,故f(x)min=f(x0)=-a-a≤0,解得x0≥,故a≥,即a的取值范围为[,+∞). 1.3　数学转化 (ⅱ)证明:因为函数f(x)存在零点,所以f(x)=ex-a-bx=0有解x0,其中x0≥0. 若x0=0,则1-a×0-b×0=0,该式不成立,故x0>0,a+bx0-=0. 考虑直线x+x0y-=0, 表示原点与直线x+x0y-=0上的动点(a,b)之间的距离, ,所以a2+b2≥. 1.3　数学转化 当x0>0时,要证a2+b2>2,只需证>2,即证-2-2x0>0. 令g(x)=e2x-2x2-2x,x>0, 则g'(x)=2e2x-4x-2=2(e2x-2x-1), 令m(x)=e2x-2x-1,x>0,故m'(x)=2(e2x-1)>0, 所以m(x)在区间(0,+∞)上为增函数,故m(x)>m(0)=0,即g'(x)>0, 所以g(x)在区间(0,+∞)上为增函数, 故g(x)>g(0)=1,故>2,即a2+b2>2成立. 1.3　数学转化 C组　应用性题组 题号 选题理由 1 观察分段函数的特点,结合x的取值范围,对不等式进行变形转化,进而转化成求最值,即可求解 2 通过换底换高将体积比进行转化,利用向量等式得到高之比,根据棱锥的体积公式,即可求得答案 3 联想指数函数、对数函数的图形特点,将问题转化成公共点个数进行求解 4 根据已知,选择基底,实现向量的转化,借助夹角,将数量积转化为三角函数,利用三角函数式求值 5 (1)考查点的轨迹问题,利用曲线的定义求解方程; (2)结合不同解题思路,转化出|PQ|的表达式,求其最小值 1.3　数学转化 1.☆☆(2025浙江强基联盟)已知函数f(x)=对∀x∈,有f(x)f(-x)≥0恒成立,则a的取值范围是(　A　) A. B. C. D. 1.3　数学转化 [解题过程] f(x)f(-x)≥0等价于(2ax-ln x)[2x2-(2a+3)x+2]≥0, 即[x+]≥0, 故有在x∈上恒成立, 即在x∈上恒成立. 1.3　数学转化 令h(x)=,得h'(x)=, 可得h(x)=上单调递增,在(e,+∞)上单调递减, 所以h(x)max=,当x→+∞时,h(x)→0,h=-ln 2. 令g(x)=x+,由基本不等式可得g(x)min=2,当且仅当x=1时取等号, 当x→+∞时,g(x)→+∞. 1.3　数学转化 对于在x∈上恒成立, 可得 解得a∈. 1.3　数学转化 对于在x∈上恒成立, 可得此时无解. 故a的取值范围为.故选A. 1.3　数学转化 2.☆☆(2025河北唐山一模)在三棱锥A-BCD中,=2 =3,设三棱锥A-EFG的体积为V1,三棱锥A-BCD的体积为V2,则V1∶V2=(　B　) A. B. C. D. 1.3　数学转化 [解题过程] 设G到平面ABC的距离为h1,设D到平面ABC的距离为h2, 由于=3,故. 又=2, 则AE=AB,AF=AC, 故, 故.故选B. 1.3　数学转化 3.☆☆(2025广东深圳一模)已知曲线y=ex-1与曲线y=aln x+a(a>0)只有一个公共点,则a=(　B　) A. B.1 C.e D.e2 1.3　数学转化 [解题过程] [方法1]由已知曲线y=ex-1与曲线y=aln x+a(a>0)只有一个公共点, 则方程ex-1=a(ln x+1)只有一个实数解,而a>0,则只考虑x>,即a=. 令f(x)=,则f'(x)=, 而u(x)=1+ln x-上单调递增,且u(1)=0, 所以x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 而x→时,f(x)→+∞;x→+∞时,f(x)→+∞,所以a=f(1)=1. 1.3　数学转化 [方法2]由已知曲线y=ex-1与曲线y=aln x+a(a>0)只有一个公共点, 则曲线y=ex-1与曲线y=aln x+a(a>0)只有一个公切点,设其坐标为(x0,y0). 根据函数y=ex-1的图象与函数y=ln x+1的图象之间的关系, 所以有 即=aln x0+a,所以=ln x0+1. 设h(x0)=-ln x0-1,则h(x0)在(0,+∞)上单调递减,而h(1)=0, 所以x0=1,所以a=1. 1.3　数学转化 [方法3]由于函数f(x)=ex-1的反函数为g(x)=ln x+1,两函数关于y=x对称, 由于f'(x)=ex-1,令ex-1=1,则x=1,即函数f(x)=ex-1与函数y=x相切于点(1,1), 同理,g'(x)=,令=1,则x=1,即函数g(x)=ln x+1与函数y=x也相切于点(1,1), 于是函数f(x)=ex-1与函数g(x)=ln x+1相切于点(1,1),所以a=1.故选B. 1.3　数学转化 4.☆☆☆(2025天津高三检测)如图,已知矩形ABCD的边AB=3,AD=2,点P,Q分别在边BC,CD上.若=2,则用表示= 　-　;若∠PAQ=45°,则的最小值为　12(-1)　.  1.3　数学转化 [解题过程] 由=2, 则, 由=()-() ==-. 若∠BAP=θ∈(0,φ]且tan φ=,则φ∈,则∠DAQ=-θ, 1.3　数学转化 所以||=,||=, 所以=||||cos∠PAQ= , 而2θ+,2φ+, 所以的最小值为=12(-1). 1.3　数学转化 5.☆☆☆(2025福建厦门一模)已知动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=9内切,且与圆C2:(x-1)2+y2=1外切,记圆心M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; (2)设点P,Q在C上,且以PQ为直径的圆E经过坐标原点O,求圆E面积的最小值. 1.3　数学转化 [解题过程] (1)设圆M的半径为r,由题意可知C1(-1,0),C2(1,0),r<3, 且|MC1|=3-r,且|MC2|=1+r, 因为|MC1|+|MC2|=4>2=|C1C2|,故圆心M的轨迹为椭圆. 易知椭圆C的长轴长为2a=4,焦距为2c=2, 则a=2,c=1,b2=a2-c2=3, 故C的方程为=1. 1.3　数学转化 (2)[方法1]设P(x1,y1),Q(x2,y2), 由题意可得OP⊥OQ,则=0,即得x1x2+y1y2=0. 当直线PQ的斜率不存在时,设直线PQ:x=t, 则P(t,y),Q(t,-y), 由可得y2=3-, 所以x1x2+y1y2=t2-=0, 解得t2=,则y2=, 1.3　数学转化 此时,圆E的面积为π×. 当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ:y=kx+m, 由可得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, 所以x1+x2=,x1x2=, 所以x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m) =(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=(k2+1)+km+m2==0,所以-12k2+7m2-12=0,即7m2=12+12k2, 1.3　数学转化 代入Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=16(12k2+9-3m2)=16(k2+)>0, 所以|PQ|=|x1-x2|=, 当且仅当k2=0时,|PQ|取得最小值, 所以圆E面积的最小值为π×. 1.3　数学转化 [方法2]因为以PQ为直径的圆E经过坐标原点O,所以OP⊥OQ. ①当直线OP,OQ中有一条斜率不存在时,则另一条斜率为0, 易知|PQ|2=a2+b2=7,所以圆E的半径为,所以圆E的面积为. ②若直线OP,OQ的斜率均存在, 设直线OP:y=kx,直线OQ:y=-x,P(x1,y1),Q(x2,y2), 所以由可得,同理可得, 1.3　数学转化 所以|PQ|2=|OP|2+|OQ|2=(1+k2) =7-, 所以|PQ|2=7-≥7-, 当且仅当k2=1时,|PQ|2取得最小值, 所以此时圆E面积的最小值为π×. 因为,所以圆E面积的最小值为. 1.3　数学转化 [方法3]设P(2cos α,sin α),Q(2cos β,sin β). 因为OP⊥OQ, 所以=4cos αcos β+3sin αsin β=0, 所以|PQ|2=(2cos α-2cos β)2+(sin α-sin β)2 =6+cos2α+cos2β-(8cos αcos β+6sin αsin β)=6+cos2α+cos2β. 由4cos αcos β=-3sin αsin β, 可得16cos2αcos2β=9sin2αsin2β=9(1-cos2α)(1-cos2β), 整理得,7cos2αcos2β=9[1-(cos2α+cos2β)], 1.3　数学转化 由基本不等式,有cos2αcos2β≤, 所以9[1-(cos2α+cos2β)]≤. 设t=cos2α+cos2β>0,则9(1-t)≤, 即(7t-6)(t+6)≥0,解得t≥,所以|PQ|2=6+cos2α+cos2β=6+t≥, 所以圆E面积的最小值为π×. 1.3　数学转化 [方法4]设|OP|=m,P(mcos α,msin α). 因为OP⊥OQ,所以可设|OQ|=n,且Q(ncos,msin). 因为点P(mcos α,msin α)在C上, 所以=1, 所以.同理可得,=1, 所以, 所以, 1.3　数学转化 所以|PQ|2=|OP|2+|OQ|2 =m2+n2=(m2+n2)()=(2+)≥(2+2)=, 当且仅当m=n,α=,或α=,α=,α=时等号成立, 所以圆E面积的最小值为π×. 1.3　数学转化 D组　创新性题组 题号 选题理由 1 分析两个函数的单调性,求出它们的值域,再根据函数的值域相同,得到一个方程组,进而将问题转化为方程对应的函数有两个不同的零点问题求解 2 根据新定义对曲线方程进行转化,结合图象来确定选项的对错 3 明确新定义的内涵和要求,根据曲线方程的特点,分别从对称性、顶点个数、与直线的交点个数以及动点到定点距离最值等角度出发,转化为相应的数学知识和方法进行分析 1.3　数学转化 题号 选题理由 4 (1)应用线面、面面垂直的判定定理直接进行证明; (2)根据给定的点法式和一般式的定义,转化为求解平面的法向量;构建合适的空间直角坐标系,应用向量法求面面角的余弦值,进而可求正弦值 5 仔细阅读,充分理解题意,通过特例理清解题思路,再转化为一般情形,根据概率、组合数的性质,结合导数化简,求出期望,再利用作差比较法判断单调性,利用单调性确定取值范围即可 1.3　数学转化 1.☆☆(2025重庆名校联盟)定义双曲正弦函数:sinh x=.若双曲正弦函数在区间[a,b]上的值域与f(x)=mex-m(m>0)在区间[a,b]上的值域相同,则m的取值范围是(　B　) A.(1,2) B.∪(1,+∞) C. D.(0,1)∪(2,+∞) 1.3　数学转化 [解题过程] 因为(sinh x)'=>0,所以sinh x在[a,b]上为增函数, 所以sinh x在[a,b]上的值域为. 又f(x)=mex-m(m>0)在[a,b]上也是增函数, 所以f(x)在[a,b]上的值域为[mea-m,meb-m]. 因为两个函数的值域相同,所以 即方程=mex-m有两个不同的解. 1.3　数学转化 因为方程=mex-m⇔=m(ex-1)⇔=m(ex-1). 当ex-1=0,即x=0时,方程成立,即x=0是方程的一个解; 则当ex-1≠0,即x≠0时,m=只有一个解. 因为函数y=ex在R上单调递增,且ex>0, 所以函数y=在R上单调递减. 因为ex>0且ex≠1,所以≠1, 所以当m>且m≠1时,方程m=有且只有一个非零解. 综上,m>且m≠1.故选B. 1.3　数学转化 2.☆☆☆(2025安徽合肥一模,多选题)我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”,“优美曲线”与其对称轴的交点叫作“优美曲线”的顶点.对于“优美曲线”C:x2+25x2y2+y2-9=0,下列说法正确的是(　AC　) A.曲线C关于直线y=x对称 B.曲线C有4个顶点 C.曲线C与直线y=-x+3有4个交点 D.曲线C上动点P到原点距离的最小值为 1.3　数学转化 [解题过程] 对于A,将x,y交换方程依然成立,所以曲线关于y=x对称,A正确; 对于B,易得曲线有四条对称轴,即x轴,y轴,直线y=x,直线y=-x,共有8个顶点,B错误; 对于C,由 得x2+25x2(-x+3)2+(-x+3)2-9=0,即25x2(-x+3)2+2x(x-3)=0, 可得x(x-3)(25x2-75x+2)=0. 对于方程25x2-75x+2=0,Δ=(-75)2-4×25×2>0,则方程25x2-75x+2=0有两个不相等的实根,且方程的根不为0和3,所以方程x(x-3)(25x2-75x+2)=0有4个不相等的实根,从而曲线C与直线y=-x+3有4个交点,C正确; 1.3　数学转化 对于D,由x2+25x2y2+y2-9=0,得y2=,x2+y2=x2+≥2, 当且仅当,即x2=时,取等号, 则x2+y2的最小值为,曲线C上动点P到原点距离的最小值为,D错误. 故选AC. 1.3　数学转化 3.☆☆☆(2025四川成都二模)对于一个平面图形,如果存在一个圆能完全覆盖住这个平面图形,则称这个图形被这个圆能够完全覆盖,其中我们把能覆盖平面图形的最小圆称为最小覆盖圆,则曲线x4+y4-x2y2-x2-y2=0的最小覆盖圆的半径为　2　.  1.3　数学转化 [解题过程] 因为把x换成-x,方程不变,所以曲线x4+y4-x2y2-x2-y2=0关于y轴对称; 因为把y换成-y,方程不变,所以曲线x4+y4-x2y2-x2-y2=0关于x轴对称; 因为把x换成-x,同时把y换成-y,方程不变,所以曲线x4+y4-x2y2-x2-y2=0关于坐标原点对称;因为把x换成y,同时把y换成x,方程不变, 所以曲线x4+y4-x2y2-x2-y2=0关于直线y=x对称, 因此最小覆盖圆圆心必在坐标原点, 从而最小覆盖圆的半径为曲线x4+y4-x2y2-x2-y2=0上点到原点距离的最大值. 1.3　数学转化 因为x4+y4-x2y2-x2-y2=0, 所以(x2+y2)2-(x2+y2)=3x2y2≤3(当且仅当x2=y2时,取等号), 所以0≤x2+y2≤4,0≤≤2, 因此最小覆盖圆的半径为2. 1.3　数学转化 4.☆☆(2025陕西咸阳二模)在空间直角坐标系中,若平面α过点P(x0,y0,z0),且平面α的一个法向量为n=(a,b,c),则平面α的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0) =0,该方程称为平面α的点法式方程,整理后为ax+by+cz+t=0(其中t=-ax0-by0-cz0),该方程称为平面α的一般式方程. 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AC, 点E,F分别为棱AC,CC1的中点,AB⊥AC. (1)求证:平面A1B1E⊥平面ABF; (2)若AC=AB=2. (ⅰ)求平面A1B1E的点法式方程和一般式方程; (ⅱ)求平面A1B1E与平面BEC1所成二面角的正弦值. 1.3　数学转化 [解题过程] (1)证明:由四边形ACC1A1是正方形, 所以=()·()=. 由于AA1=AC,AA1⊥AC, 故=0,所以, 即A1E⊥AF. 由题得AA1⊥平面ABC, 又AB⊂平面ABC,所以AA1⊥AB. 1.3　数学转化 因为AB⊥AC,且AA1∩AC=A,AA1,AC⊂平面ACC1A1,所以AB⊥平面ACC1A1, 又A1E⊂平面ACC1A1, 所以AB⊥A1E. 因为AF∩AB=A,且AF,AB⊂平面ABF, 所以A1E⊥平面ABF, 又A1E⊂平面A1B1E, 所以平面A1B1E⊥平面ABF. 1.3　数学转化 (2)(ⅰ)由于AB⊥AC,且AA1⊥平面ABC, 以A为坐标原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A1(0,0,2),B1(2,0,2),E(0,1,0),B(2,0,0),C1(0,2,2), 所以=(2,0,0),=(0,1,-2),=(-2,1,0),=(-2,2,2). 设平面A1B1E的法向量为m=(x1,y1,z1), 则 1.3　数学转化 令z1=1,则y1=2,x1=0, 所以平面A1B1E的法向量为m=(0,2,1). 因为平面A1B1E过定点A1(0,0,2), 所以平面A1B1E的点法式方程为0×(x-0)+2×(y-0)+1×(z-2)=0, 即平面A1B1E的一般式方程为2y+z-2=0. 1.3　数学转化 (ⅱ)设平面BEC1的法向量为n=(x2,y2,z2), 则 令x2=1,则y2=2,z2=-1, 所以平面BEC1的法向量为n=(1,2,-1), 所以|cos<n,m>|=, 所以平面A1B1E与平面BEC1所成二面角的正弦值为. 1.3　数学转化 5.☆☆☆☆(2025山东潍坊一模)n维空间中点的坐标可以表示为(x1,x2,x3,…,xn),其中xi(i=1,2,3,…,n)为该点的第i个坐标.定义n维空间中任意两点A(x1,x2,x3,…,xn),B(y1,y2,y3,…,yn)之间的平均离差二乘距离d(A,B)=(xi-yi)2.设n维空间点集M={(x1,x2,x3,…,xn)|xi=0或1,其中i=1,2,3,…,n}(n≥2). (1)若n=3,A,B∈M,且点A(0,1,0),d(A,B)=,写出所有的点B的坐标; (2)任取n维空间中的不同两点P,Q∈M. (ⅰ)若n=4,求d(P,Q)=的概率; (ⅱ)记随机变量X=d(P,Q),求E(X2)的取值范围. 1.3　数学转化 [解题过程] (1)由定义可知,d(A,B)=[(0-y1)2+(1-y2)2+(0-y3)2]=, 即+(1-y2)2+=2,且y1,y2,y3∈{0,1}, 所以解得满足方程的B点坐标为(0,0,1),(1,0,0),(1,1,1). (2)(ⅰ)若n=4,设点P(p1,p2,p3,p4),Q(q1,q2,q3,q4), 因为(pi-qi)2=[(p1-q1)2+(p2-q2)2+(p3-q3)2+(p4-q4)2]=,pi=0或1,qi=0或1, 所以(p1-q1)2,(p2-q2)2,(p3-q3)2,(p4-q4)2中有两项等于0,两项等于1, 所以满足条件的所有可能情况有=6种. 因为两不同点P,Q所有可能情况共有24-1=15种, 所以d(P,Q)=的概率为P=. 1.3　数学转化 (ⅱ)设随机变量X=d(P,Q)=,其中k=1,2,3,…,n, 因为P, 所以E(X2)=+22+32+…+n2). 因为(1+x)n=x+x2+x3+…+xn, 两边同时求导,得n(1+x)n-1=+2x+3x2+…+nxn-1, 上式两边同乘x,求导得n(1+nx)(1+x)n-2=+22x+32x2+…+n2xn-1, 令x=1,得+22+32+…+n2=n(n+1)2n-2, 所以E(X2)=. 1.3　数学转化 因为<0, 所以E(X2)单调递减. 因为n≥2,所以E(X2)∈. 1.3　数学转化 $