解题方法信息提取2.2图形与图形关系的数学抽象 课件-2026届高三数学二轮复习

2.2　图形与图形关系的数学抽象 人类对图形的抽象始于描绘物体的外部形象,其核心是把三维空间的物体转化为线条,描绘在二维平面上,再从物体的存在形式中抽象出关于图形以及图形关系的概念,构成数学的研究对象.所谓点、线、面、体、角,都是抽象出来的概念.这种抽象不仅舍去了物体的颜色、构成材料等物体的本质要素,还忽略了所占空间——点不分大小,线不分宽窄,面不分厚薄,这些抽象的概念本身不是现实的存在,只是一种理念上的存在.现实世界物体间的关系反映到数学中,只剩下抽象的图形之间的位置关系和数量关系. 以线面垂直的判定定理为例,它不仅需要从现实直观中发现和抽象出线面垂直的条件,还需要借助数学语言准确表达这种重要的位置关系,发展空间观念.在这个过程中,数学抽象素养体现在提出线面垂直判定的猜想,用三种数学语言表征线面垂直的判定定理. 2.2　图形与图形关系的数学抽象 例1　(2025北京卷,4)为得到函数y=9x的图象,只需把函数y=3x的图象上的所有点(　　) A.横坐标变成原来的倍,纵坐标不变 B.横坐标变成原来的2倍,纵坐标不变 C.纵坐标变成原来的倍,横坐标不变 D.纵坐标变成原来的3倍,横坐标不变 2.2　图形与图形关系的数学抽象 [思维路径] 2.2　图形与图形关系的数学抽象 [解题过程] 因为y=9x=32x,所以将函数y=3x的图象上所有点的横坐标变成原来的倍,纵坐标不变,即可得到函数y=9x的图象. [答案] A 2.2　图形与图形关系的数学抽象 学友聊斋 2.2　图形与图形关系的数学抽象 例2　(2024全国甲卷,理7)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8,2.8]的大致图象为(　　) 2.2　图形与图形关系的数学抽象 [思维路径] 2.2　图形与图形关系的数学抽象 [解题过程] f(-x)=-(-x)2+(e-x-ex)sin(-x)=-x2+(ex-e-x)sin x=f(x), 又函数定义域为[-2.8,2.8], 故该函数为偶函数,可排除A,C; 又f(1)=-1+(e-)sin 1>-1+(e-)sin-1->0, 故可排除D. 故选B. [答案] B 2.2　图形与图形关系的数学抽象 学友聊斋 2.2　图形与图形关系的数学抽象 例3　(2023新高考Ⅰ卷,6)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=(　　) A.1 B. C. D. 2.2　图形与图形关系的数学抽象 [思维路径] 2.2　图形与图形关系的数学抽象 [解题过程] 由x2+y2-4x-1=0,得(x-2)2+y2=5, 故圆心C(2,0),半径R=. 过点D(0,-2)作圆的切线,与圆的两个切点为A,B, 连接AC,BC,CD,AB, 则AB⊥CD,∠CAD=∠CBD=, ∠ADC=∠BDC=, 由几何知识得,|BC|=|AC|=,|CD|==2. 2.2　图形与图形关系的数学抽象 由勾股定理得,|AD|=|BD|=. cos, sin, sin α=2sincos=2×. 故选B. [答案] B 2.2　图形与图形关系的数学抽象 学友聊斋 2.2　图形与图形关系的数学抽象 能 力 训 练 A组　基础性题组 题号 选题理由 1 从函数解析式抽象出函数的性质,得出图形 2 以双曲线为载体,利用平面图形的几何性质求离心率 3 通过图形和图形的交点个数问题,转化为方程解的个数问题,再次转化为函数图象问题 4 考查正态曲线与函数图形的对称性 5 立体几何中的图形问题,画出正六边形截面,根据对称性求得体积比 2.2　图形与图形关系的数学抽象 1.☆(2025江西部分学校一模)函数f(x)=cos πx的部分图象大致为 (　A　) 2.2　图形与图形关系的数学抽象 [解题过程] 函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), f(-x)=cos(-πx)=-cos πx=-f(x), 所以f(x)是奇函数,所以排除B,C; 又函数f(x)在原点附近的零点为和1,可取大于0且接近于0的一个数, 如0.1,得f(0.1)=(0.1-10)cos(0.1π)<0,所以排除D.故选A. 2.2　图形与图形关系的数学抽象 2.☆(2025北京卷,3)双曲线x2-4y2=4的离心率为(　B　) A. B. C. D. [解题过程] 由x2-4y2=4,得-y2=1,所以a2=4,b2=1,c2=a2+b2=5,即a=2,c=,所以e=.故选B. 2.2　图形与图形关系的数学抽象 3.☆☆(2025安徽合肥三模)若曲线y=ex与圆x2+y2-2mx+m2-2=0无交点,则实数m的取值范围为(　D　) A.(e,+∞) B. C.(2,+∞) D.(1,+∞) 2.2　图形与图形关系的数学抽象 [解题过程] 圆的标准方程为(x-m)2+y2=2,将曲线y=ex和圆同时向左平移m个单位长度后,题设条件转化为曲线y=ex+m与圆x2+y2=2无交点,即方程x2+e2x+2m=2无解,则e2x+2m=2-x2无解. 若2-x2≤0,则显然方程e2x+2m=2-x2无解;若2-x2>0,即-<x<时, 有2x+2m=ln(2-x2),则2m=ln(2-x2)-2x在(-)上无解. 令f(x)=ln(2-x2)-2x,x∈(-), 则f'(x)=-2=, 2.2　图形与图形关系的数学抽象 令f'(x)>0,得-<x<-1;令f'(x)<0,得-1<x<, 则f(x)在(-,-1)上单调递增,在(-1,)上单调递减, 故f(x)max=f(-1)=2,且当x→时,f(x)→-∞,当x→-时,f(x)→-∞, 则2m>2,即m>1, 则实数m的取值范围为(1,+∞).故选D. 2.2　图形与图形关系的数学抽象 4.☆☆(2025湖北武汉二模)已知连续型随机变量ξ服从正态分布N,记函数f(x)=P(ξ≤x),则f(x)的图象(　C　) A.关于直线x=对称 B.关于直线x=对称 C.关于点中心对称 D.关于点中心对称 2.2　图形与图形关系的数学抽象 [解题过程] 由连续型随机变量ξ服从正态分布N,可得μ=,σ2=,可得μ=,σ=,所以正态密度曲线关于x=对称, 即P(ξ≤x)=P(ξ≥1-x),由f(x)=P(ξ≤x),可得f(x)=P(ξ≤x)在x≤时增加较快,在x>时增加越来越慢,所以f(x)无对称轴,故A,B错误; f(x)+f(1-x)=P(ξ≤x)+P(ξ≤1-x)=P(ξ≥1-x)+P(ξ≤1-x)=1, 所以f(x)关于点中心对称,故C正确,D错误. 故选C. 2.2　图形与图形关系的数学抽象 5.☆☆(2025甘肃一模)用一个平面截正方体,截面形状为正六边形,则截出的两部分几何体的体积之比是　1　.  [解题过程] 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,I,J分别是AB,BC, CC1,C1D1,A1D1,AA1的中点,连接EF,FG,GH,HI,IJ,JE,则六边形EFGHIJ是正六边形, 根据对称性可知,截出的两部分几何体的体积之比是1. 2.2　图形与图形关系的数学抽象 B组　综合性题组 题号 选题理由 1 立体几何中的图形问题,画出轴截面,利用三角形知识求解 2 从图形中抽象出函数的性质,得出解析式 3 在直线与圆中,通过图形的几何性质,求最小值 4 通过两个余弦型曲线的交点确定一个直角三角形,借助勾股定理解题 5 根据曲线方程,作出图形,通过图形,计算得出结论 2.2　图形与图形关系的数学抽象 1.☆(2025江苏七市联考)已知圆锥的轴截面为正三角形,外接球的半径为1,则圆锥的体积为(　A　) A. B. C. D. [解题过程] 设圆锥的底面半径为r,由于圆锥轴截面为等 边三角形,则外接球半径即为轴截面等边三角形的外接圆 半径,由正弦定理可得2=,则r=.易知该圆锥的高 为h=r=,故该圆锥的体积为V=πr2h=π×. 故选A. 2.2　图形与图形关系的数学抽象 2.☆☆(2025甘肃金昌二模)如图,这是函数f(x)的部分图象,则f(x)的解析式为(　C　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)=- D.f(x)=- 2.2　图形与图形关系的数学抽象 [解题过程] 由题图可知,函数图象关于y轴对称,因此f(x)为偶函数,因此排除选项B,D这两个奇函数;由图象知,若x取一个很小的正数,比如x=0.000 1,函数值为负数,因此排除A.故选C. 2.2　图形与图形关系的数学抽象 3.☆☆(2025江西南昌一模)已知点M,N在圆x2+y2-2y-3=0上,点P在直线x-y-3=0上,Q为MN的中点,若|MN|=2,则|PQ|的最小值为(　C　) A. B.2- C.2- D. 2.2　图形与图形关系的数学抽象 [解题过程] 圆x2+y2-2y-3=0的标准方程为x2+(y-1)2=4, 所以圆心为C(0,1),半径为r=2. 由中垂线的性质可得CQ⊥MN, 则|CQ|=, 所以点Q在以点C为圆心,半径为的圆上. 点C到直线x-y-3=0的距离为d==2, 所以|PQ|min=|d-|CQ||=2-.故选C. 2.2　图形与图形关系的数学抽象 4.☆☆(2025广东广州一模)已知ω>0,曲线y=cos ωx与y=cos相邻的三个交点构成一个直角三角形,则ω=(　A　) A.π B.π C.π D.π 2.2　图形与图形关系的数学抽象 [解题过程] 设曲线y=cos ωx与y=cos(ωx-)相邻的三个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3). cos ωx=coscos ωx+sin ωx, 整理可得sin=0,解得x=,k∈Z,不妨取k=0,1,2, 则x1=,x2=,x3=,所以y1=,y2=-,y3=, 则AB2=BC2=+3,AC2=. 由题意得△ABC为直角三角形, 所以AB2+BC2=AC2,即+6=,解得ω=π.故选A. 2.2　图形与图形关系的数学抽象 5.☆☆(2025甘肃兰州一模,多选题)已知曲线C:x2+y2=2|x|-2|y|,则以下说法中正确的是(　BC　) A.点(1,-1)在曲线内部 B.曲线关于原点对称 C.曲线与坐标轴围成的面积为2π-4 D.曲线的周长是π 2.2　图形与图形关系的数学抽象 [解题过程] 选项A,当x=1时,得1+y2=2-2|y|,即y2+2|y|-1=0, 因为|y|≥0,故|y|=-1,故y=-1或y=1-, 因为-1<1-,故点(1,-1)在曲线外部,故A错误; 选项B,将x换成-x,将y换成-y,方程C:x2+y2=2|x|-2|y|不变,故曲线关于原点对称,故B正确; 2.2　图形与图形关系的数学抽象 选项C,将x换成-x,方程C:x2+y2=2|x|-2|y|不变,故曲线关于y轴对称, 设曲线在第一象限与坐标轴围成的面积为S, 则曲线与坐标轴围成的面积为4S. 当x>0,y>0时,方程C:x2+y2=2x-2y,即(x-1)2+(y+1)2=2, 其圆心坐标为C(1,-1),半径为r=, 如图,当y=0时,得x=0或x=2,故弦长OA=2. 由OC2+CA2=OA2,故∠OCA=,则S=πr2-r2=-1,故4S=2π-4,故C正确; 选项D,由题意可知,曲线的周长为4=4××2πr=2π,故D错误. 故选BC. 2.2　图形与图形关系的数学抽象 C组　应用性题组 题号 选题理由 1 根据棱台的体积公式,求出V1,V2,即可解出答案 2 将化学分子抽象成立体图形,转化为立体几何问题 3 本题具有很高的综合性,通过联想图形的演变过程,得出结果 4 通过图形观察来判断星芒的数量;构建空间图形与平面图形之间的联想互动,以助于问题的解决 2.2　图形与图形关系的数学抽象 1.☆☆(2025江苏常州三模)如图,两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水,AB=8,A1B1=2,图1中水面高度恰好为棱台高度的,图2中水面高度为棱台高度的,若图1和图2中纯净水的体积分别为V1,V2,则=(　D　) 图1 图2 A. B. C. D. 2.2　图形与图形关系的数学抽象 [解题过程] 设四棱台的高度为h,在题图1中,中间液面四边形的边长为5, 在题图2中,中间液面四边形的边长为6, 则V1=(64+25+)·,V2=(4+36+)·, 所以. 故选D. 2.2　图形与图形关系的数学抽象 2.☆☆(2025北京顺义一模)在六氟化硫的分子结构中,硫原子位于中心,六个氟原子均匀分布在其周围,形成一个八面体的结构.如图所示,该分子结构可看作正八面体,记为P-ABCD-Q,各棱长均相等,则平面PAB与平面QAB夹角的余弦值是(　D　) A. B. C. D. 2.2　图形与图形关系的数学抽象 [解题过程] 设正八面体的棱长为a,连接AC,BD相交于点O,连接OP,根据正八面体的性质可知ABCD为正方形,AC⊥BD,OP⊥平面ABCD, 如图所示,以O为坐标原点, 以OB,OC,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴 建立空间直角坐标系, 则A(0,-,0),B(,0,0),P(0,0,),Q(0,0,-), 所以=(0,),=(-,0,). 2.2　图形与图形关系的数学抽象 设平面PAB的法向量为n1=(x1,y1,z1), 所以即令x1=1, 则有所以n1=(1,-1,1). =(0,,-),=(-,0,-), 2.2　图形与图形关系的数学抽象 设平面QAB的法向量为n2=(x2,y2,z2), 所以即 令y2=1,则有所以n2=(-1,1,1). 设平面PAB与平面QAB的夹角为θ, 则cos θ=, 即平面PAB与平面QAB夹角的余弦值为.故选D. 2.2　图形与图形关系的数学抽象 3.☆☆☆(2025湖北十一校第二次联考)如图,在棱长为1的正方体内部,有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体Oi(i=1,2,…,8),有1个以正方体体心为球心的球体O0,O0与Oi(i=1,2,…,8)均相切,则该9部分的体积和的最大值为(　C　) A. B.(2-3)π C.π D. 2.2　图形与图形关系的数学抽象 [解题过程] 设球体O0的半径为r1,Oi(i=1,2,…,8)的半径为r2, 所以2r1+2r2=,即得r1+r2=. 又0<r2≤,所以≤r1≤,y=r1r2=r1×=-r1, 其函数图象开口向下,对称轴为r1=,所以≤y=-r1≤, 该9部分的体积和为V=π(r1+r2)(-r1r2) =π[(r1+r2)2-3r1r2]=2π.故选C. 2.2　图形与图形关系的数学抽象 4.☆☆☆(2025江苏七市二模)图1所示几何体是一个星形正多面体,称为星形十二面体,是由6对(12个)平行五角星面组成的,每对平行五角星面角度关系如图2所示.一个星形十二面体有　12　个星芒(凸起的正五棱锥),将所有的星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比是 　.(参考数据:tan218°=1- ) 图1 图2 2.2　图形与图形关系的数学抽象 [解题过程] 由题图可知,每个星形十二面体有12个星芒. 将每个正五棱锥沿着侧面展开与底面在同一个平面上,形成一个正五角星,则这个正五角星的五个顶点在圆O上, 连接OA,则OA垂直平分BC,设OA∩BC=E, 正五棱锥的侧面积等于5S△ABC,底面积等于5S△OBC. 正五边形的每个内角为=108°, 则∠ABC=∠ACB=72°, 故∠BAC=36°, 则∠OBC=∠OCB=×108°=54°, 2.2　图形与图形关系的数学抽象 所以∠BOE=36°,∠BAE=18°. 设BE=m,则=tan 18°, 则AE==tan 36°, 则OE=, 所以将所有的星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比为. 2.2　图形与图形关系的数学抽象 D组　创新性题组 题号 选题理由 1 在直线和圆的图形中借助图形抽象出数量关系,再转化成图形问题 2 将图形进行平移,图形与图形之间的对应关系找到,进而解决问题 3 将平面图形折叠,图形与图形之间的对应关系找到,进而解决问题 2.2　图形与图形关系的数学抽象 1.☆☆(2025山东泰安一模)已知直线l:mx+ny+t=0(m2+n2≠0)与圆C: x2+(y+3)2=8交于A,B两点,若m,n,t成等差数列,则∠ACB的最小值为(　C　) A. B. C. D. 2.2　图形与图形关系的数学抽象 [解题过程] 由题意可知,圆C:x2+(y+3)2=8的圆心为C(0,-3),半径r=2. 因为m,n,t成等差数列, 所以设m=n-d,t=n+d, 则mx+ny+t=0可化为(n-d)x+ny+n+d=0, 即(1-x)d+(x+y+1)n=0, 令解得 可知直线过定点D(1,-2),且12+(-2+3)2<8, 所以D(1,-2)在圆C内部. 2.2　图形与图形关系的数学抽象 当CD⊥AB时,弦长|AB|最短,此时∠ACB最小. 又|CD|=,所以|AB|=2=2=2,所以cos∠ACB==-. 又∠ACB∈(0,π), 所以∠ACB=. 故选C. 2.2　图形与图形关系的数学抽象 2.☆☆☆(2025湖北新八校二模)将函数f(x)=cos(ω>0)的图象向左平移个单位长度后与函数g(x)=sin ωx的图象重合,则ω的最小值为(　A　) A.4 B.5 C.6 D.8 [解题过程] 将函数f(x)=cos(ω>0)的图象向左平移个单位长度后,得到y=cos[ω]=cos=sin[] =sin, 由题有=2kπ,k∈Z,即ω=-2+6k,k∈Z,取k=1,得ω=4.故选A. 2.2　图形与图形关系的数学抽象 3.☆☆☆(2025江西十校协作体二模)如图,将绘有函数f(x)=Msin (M>0,0<φ<π)部分图象的纸片沿x轴折成钝二面角,夹角为,此时A,B之间的距离为3,则φ= 　.  2.2　图形与图形关系的数学抽象 [解题过程] 如图, 过A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为C,D,过A,D分别作y轴、x轴的垂线相交于点E,连接AB,BE,则∠BDE=,BD=DE=M,由余弦定理得BE2=M2+M2-2M2cos=3M2.由上可知,x轴垂直于BD,DE,又BD∩DE=D,BD,DE⊂平面BDE,所以x轴垂直于平面BDE,又AE∥x轴,所以AE⊥平面BDE.因为BE⊂平面BDE,所以AE⊥BE. 2.2　图形与图形关系的数学抽象 因为f(x)的周期T==6,所以AE=CD=3, 由勾股定理得3M2+9=18,解得M=. 由题图知,f(x)的图象过点,且在递减区间内, 所以f(0)=sin φ=,即sin φ=. 因为0<φ<π,点在递减区间内,所以φ=. 2.2　图形与图形关系的数学抽象 $