第10章 分式 分式方程 同步练习2025-2026学年 苏科版八年级数学下册

第十章 分式 第十章 分式 知识点4 分式方程 分式方程（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.解分式方程 （1）＝1 （2）＋2＝ （3）＝＋1 （4）－＝1 （5）＋＝1 （6）－＝3 2．探索规律： (1)直接写出计算结果： ＋＋＋…＋＝ ； 猜想：＝ ． (2)探究并解方程： ＋＋＝. 3．阅读某同学解下面分式方程的具体过程． 解方程：＋＝＋. 解：－＝－，① ＝，② ＝，③ x2－6x＋8＝x2－4x＋3，④ ∴x＝.⑤ 经检验，x＝是原方程的解． 请根据以上解方程的过程，回答下列问题： (1) 由①得到②的具体做法是 ，由②得到③的具体做法是 ，由③得到④的理由是 (2)上述解法对吗？若不对，请指出错误的原因，并改正． 第十章 分式 分式方程（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.解方程：（1）； （2）1． 2.解方程：（1）； （2）． 3.解方程：（1）； （2）． 4.下面是某位同学解分式方程的过程： 解：方程两边同乘以（x+2）（x﹣2），得：2（x﹣2）﹣3（x+2）＝1，① 去括号，得：2x﹣4﹣3x+6＝1，② 移项，得：2x﹣3x＝1+4﹣6，③ 解得：x＝1，④ 检验：当x＝1时，（x+2）（x﹣2）≠0，⑤ 所以，原分式方程的解为x＝1． （1）填空：第　　 步开始出现了错误（只填序号）； （2）请写出正确的解题过程． 第十章 分式 分式方程（三） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.解方程：（1）； （2）． 2.解下列方程：（1）； （2）． 3.解方程：（1）； （2）． 4.解方程：（1）； （2）． 5.请阅读下列材料回答问题：在解分式方程时，小明的解法如下： 解：方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）﹣1＝﹣x．① 去括号，得2x﹣2﹣1＝﹣x② 解得x＝1． 检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0．③ 所以原分式方程无解．④ （1）你认为小明在第 　　 步出现了错误；（只填序号） （2）针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，请你提出条解分式方程时的注意事项； （3）写出上述分式方程的正确解法． 第十章 分式 分式方程（四） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．解分式方程：（1）； （2）； （3）． 2．解下列方程：（1）2； （2）1． 3．如果两个实数a、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a、b组成的数对[a，b]称为关于x的分式方程的一个“关联数对”，如：a＝2，b＝﹣5使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对[2，﹣5]就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． （1）判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”．（直接判断是否即可，无需书写过程） ①[1，1]； ②[3，﹣5]； （2）若数对[n，8﹣n]是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值； （3）若数对[m﹣k，k]（m≠﹣1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程的“关联数对”．当k为整数时，求整数m的值． 第十章 分式 分式方程（五） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．下面是小王同学在黑板上解分式方程的部分过程，请你认真阅读，并解决老师提出的问题． 解分式方程： 解：第一步 2x﹣1＝3（x﹣1）﹣6（x+2）第二步 2x﹣1＝3x﹣3﹣6x+12第三步 … 问题解决： （1）以上解方程的过程中，第　　 步开始出现错误，错误的原因是　　 ； （2）请写出解该分式方程的正确过程． 2．小方同学解分式方程的过程如下，请认真阅读并解答下列问题： 解：第一步： 第二步：1﹣x＝6+1 第三步：﹣x＝﹣6+1﹣1 第四步：x＝6 第五步：检验：当x＝6时，x﹣6＝0 第六步：原分式方程无解． （1）解分式方程需要去分母：去分母的依据是（　 　 ）（填序号）； ①分式基本性质； ②等式基本性质； ③乘法分配律． （2）小方的解法在第　 　 步出错； （3）写出正确的解答过程． 分式方程（一）参考答案 1.解分式方程 （1）方程两边同时乘(x＋4)，得3x＝x＋4. 移项，得3x－x＝4. 合并同类项，得2x＝4， 解得x＝2. 检验：当x＝2时，x＋4≠0， ∴原分式方程的解为x＝2. （2）方程两边同时乘(x－2)，得 x－1＋2(x－2)＝－3. 去括号，得 x－1＋2x－4＝－3. 移项，得 x＋2x＝－3＋1＋4. 合并同类项，得3x＝2， 解得 x＝. 检验：当x＝时，x－2≠0， ∴原分式方程的解为x＝. （3）方程两边同时乘2(x－1)，得 2＝3＋2(x－1)． 去括号，得2＝3＋2x－2. 移项，得－2x＝3－2－2. 合并同类项，得－2x＝－1， 解得x＝. 检验：当x＝时，2(x－1)≠0， ∴原分式方程的解为x＝. （4）方程两边同时乘x(x－1)，得 x2＋x－2＝x(x－1)． 去括号，得x2＋x－2＝x2－x. 移项，得x2＋x－x2＋x＝2. 合并同类项，得2x＝2， 解得x＝1. 检验：当x＝1时，x(x－1)＝0， ∴x＝1是增根， ∴原分式方程无解． （5）方程两边同时乘2(x－2)，得 3－2x＝2(x－2)． 去括号，得3－2x＝2x－4. 移项，得－2x－2x＝－4－3. 合并同类项，得－4x＝－7， 解得x＝. 检验：当x＝时，2(x－2)≠0， ∴原分式方程的解为x＝. （6）方程两边同时乘2(x－2)，得 3－x＋1＝3(2－x)． 去括号，得3－x＋1＝6－3x. 移项，得－x＋3x＝6－3－1. 合并同类项，得2x＝2， 解得x＝1. 经检验，x＝1是方程－＝3的解， 2．解：（1） (2)＋＋＝. 方程的两边同时乘3，得 －＋－＋－＝， ∴－＝. 方程的两边同乘2x(x＋9)，得 2(x＋9)－2x＝9x，解得x＝2. 经检验，x＝2是原方程的根． ∴原方程的解为x＝2. 3.解：（1）通分 等式两边同时除以(－2x＋10) 分式的值相等且分子相同时，其分母必然相等 (2)上述解法不对．错误的原因如下： 由②得到③时，把－2x＋10默认为不等于0.在第②步后可以这样解： 去分母，得(2x－10)(x2－4x＋3)＝(2x－10)(x2－6x＋8)． 移项并分解因式，得(2x－10)[(x2－4x＋3)－(x2－6x＋8)]＝0，即2(x－5)(2x－5)＝0， ∴x－5＝0或2x－5＝0， 解得x＝5或x＝. 经检验，x＝5，x＝均是原方程的根． ∴原方程的解为x＝5或x＝. 分式方程（二）参考答案 1.解：（1）， 方程两边同时乘2（x﹣1），得2x＝x﹣1， 解得：x＝﹣1， 检验：把x＝﹣1代入2（x﹣1）≠0， ∴分式方程的解为x＝﹣1； （2）1． 方程两边同时乘x﹣2，得2x＝x﹣2+1 解得：x＝﹣1， 检验：把x＝﹣1代入x﹣2≠0， ∴分式方程的解为x＝﹣1． 2.解：（1）， 方程可化为， 方程两边同时乘（2x﹣1），得2x﹣3＝2（2x﹣1）， 解得： 检验：把代入2x﹣1得：， ∴是原分式方程的解． （2）， 方程两边同时乘（x﹣1）（x+2）得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3， 解得：x＝1， 检验：把x＝1代入（x﹣1）（x+2）得：（x﹣1）（x+2）＝（1﹣1）×（1+2）＝0， ∴x＝1是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 3.解：（1）， ， ， 方程两边同乘2（x﹣1）得： 2x﹣3＝﹣4（x﹣1）， 2x﹣3＝﹣4x+4， 2x+4x＝4+3， 6x＝7， ， 检验：当时，2（x﹣1）≠0， ∴是原分式方程的解； （2）， 方程两边同乘（2x+5）（2x﹣5）得： 2x（2x+5）﹣2（2x﹣5）＝（2x+5）（2x﹣5）， 4x2+10x﹣4x+10＝4x2﹣25， 6x+10＝﹣25， 6x＝﹣35， ， 检验：当时，（2x+5）（2x﹣5）≠0， ∴是原分式方程的解． 4.解：（1）该同学的做法从第②步去括号未变号，出现了错误， 故答案为：②； （2）， 方程两边同乘以（x+2）（x﹣2）得：2（x﹣2）﹣3（x+2）＝1， 去括号得：2x﹣4﹣3x﹣6＝1， 移项得：2x﹣3x＝1+4+6， 合并同类项得：﹣x＝11， 系数化为1得：x＝﹣11， 检验：当x＝﹣11时，（x+2）（x﹣2）＝117≠0， ∴原分式方程的解为x＝﹣11． 分式方程（三）参考答案 1.解：（1）， x﹣1﹣2（x﹣3）＝﹣2， 解得：x＝7， 经检验，x＝7是原方程的根； （2）， x﹣2+4x＝2（x+2）， 解得：x＝2， 经检验，x＝2是分式方程的增根， 所以原方程无解． 2.解：（1）， 去分母得x（x﹣1）﹣4＝x2﹣1． 去括号得x2﹣x﹣4＝x2﹣1． 解得x＝﹣3． 经检验，x＝﹣3是分式方程的解． （2）． 去分母得2x﹣1＝3（x﹣1）， 去括号得2x﹣1＝3x﹣3， 移项得2x﹣3x＝﹣3+1， 解得x＝2， 经检验，x＝2是分式方程的解． 3.解：（1）去分母得：12﹣2（x+3）＝2（x﹣3）， 解得：x＝3， 检验：当x＝3时，原式x2﹣9＝0， 所以原方程无解； （2）去分母得：4x+2x+6＝7， 解得：， 检验：当时，x+3≠0， 所以原方程的解为． 4.解：（1）去分母得x＝2（x+1）， 去括号得x＝2x+2， 移项，合并同类项得﹣x＝2， 系数化为1得x＝﹣2， 检验，当x＝﹣2时，x（x+1）＝﹣2×（﹣2+1）＝2≠0， ∴x＝﹣2是原方程的解； （2）去分母得x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝8， 去括号得x2+2x﹣x2+4＝8， 移项，合并同类项得2x＝4， 系数化为1得x＝2， 检验，当x＝2时，（2+2）（2﹣2）＝0， ∴x＝2是原方程的增根， ∴原方程无解． 5.解：（1）去分母时，每项都乘以最简公分母，小明在第①步出现了错误， 故答案为：①； （2）如：去分母时，每项都乘以最简公分母，不能漏乘； 去分母时，若分子是多项式，去掉分数线后以小括号代替，表示整体等（答案合理即可） （3）方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1）， 得2（x﹣1）﹣（x+1）（x﹣1）＝﹣x（x+1），2x﹣2﹣x2+1＝﹣x2﹣x3x＝1． 检验：当时，， ∴原方程的解是． 分式方程（四）参考答案 1.解：（1）方程两边都乘x（x﹣1），得2x＝3（x﹣1）， 解这个方程，得x＝3， 检验：当x＝3时，x（x﹣1）≠0， ∴x＝3是原方程的根． （2）方程两边都乘（3﹣2 x），得x+1＝5（3﹣2x）+8， 解这个方程，得x＝2， 检验：当x＝2时，3﹣2x≠0， ∴x＝2是原方程的根． （3）方程两边都乘x（x﹣4），得x2﹣20＝x（x﹣4）， 解这个方程，得x＝5， 检验：当x＝5时，x（x﹣4）≠0， ∴x＝5是原方程的根． 2.解：（1）化为整式方程得：3﹣x＝﹣2x+4， 解得：x， 经检验x是分式方程的解， 所以原方程的解是：x； （2）化为整式方程得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1， 解得：x＝1， 经检验x＝1不是分式方程的解， 所以原方程无解． 3.解：（1）①若a＝1，b＝1，则分式方程的解为无解，不符合“关联数对”的定义， ∴[1，1]不是关于x的分式方程的“关联数对”； ②若a＝3，b＝﹣5，分式方程的解为，符合“关联数对”的定义， ∴[3，﹣5]是关于x的分式方程的“关联数对”； （2）由条件可知， ∴， 整理得：8n+1＝8﹣n， 解得：； （3）由条件可知，， ∴， ∴m（m﹣k）+1＝k， ∴ ， ∵k为整数， ∴m为整数， ∴为整数， ∴m+1＝±2或m+1＝±1， 解得m＝﹣3或﹣2或0或1． 分式方程（五）参考答案 1.解：（1）小王同学在黑板上解分式方程的过程中，去括号时，﹣6（x+2）的第二项没有变号． 故答案为：三；括号前面是“﹣”，去括号后，第二个括号内的第二项没有变号； （2）， 2x﹣1＝3（x﹣1）﹣6（x+2）， 2x﹣1＝3x﹣3﹣6x﹣12， 2x﹣3x+6x＝1﹣3﹣12， 5x＝﹣14， 解得：， 检验：当时，3（x+2）≠0， ∴原分式方程的解为． 2.解：（1）解分式方程需要去分母：去分母的依据是等式基本性质， 故答案为：②； （2）小方的解法在第一步出错， 故答案为：一； （3）， ， 1﹣x＝﹣6+x﹣6， ﹣x﹣x＝﹣6﹣6﹣1 ﹣2x＝﹣13， x， 检验：当x时，x﹣6≠0， 所以原分式方程的解是x． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $