精品解析：北京市陈经纶中学2025－2026学年八年级下学期数学学科3月阶段反馈

八年级数学学科3月阶段反馈 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键；因此此题可根据最简二次根式的条件“被开方数不能含有开得尽方的数或因式及被开方数不能含有分母”进行排除选项即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故不符合题意； B、，不是最简二次根式，故不符合题意； C、，不是最简二次根式，故不符合题意； D、是最简二次根式，故符合题意； 故选：D． 2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质一一判断即可． 【详解】解：A、只有正方形和矩形的对角线相等，菱形和平行四边形的对角线不一定相等，不符合题意； B、平行四边形、矩形、菱形、正方形对角线都互相平分，符合题意； C、只有菱形和正方形的对角线平分一组对角，矩形和平行四边形的对角线不一定平分一组对角，不符合题意； D、只有菱形和正方形的对角线互相垂直，矩形和平行四边形的对角线不一定互相垂直，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关性质，解决本题的关键是结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关性质进行分析． 3. 以下列各组数为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 6，8，9 C. 1，2， D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】A、∵，∴， ∴不能构成直角三角形，故A不符合题意； B、∵，∴， ∴不能构成直角三角形，故B不符合题意； C、∵， ∴不能构成直角三角形，故C不符合题意； D、∵，∴， ∴能构成直角三角形，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加、减、乘、除、四则运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项二次根式，不能合并，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确， 故选：D． 5. 如图两段公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为千米，则、两点间的距离为（ ）千米 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可得，解答即可． 【详解】解：， ∴ 是公路的中点， ， ，两点间的距离为； 故选：B 6. 如图，的周长为，且，、相交于点，交于，则的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，属于常考题型，熟练掌握平行四边形和线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质和已知条件可得垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质可知，再结合平行四边形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴． ∴的周长． 故选：C． 7. 如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5，由此可计算出学校旗杆的高度是（ ） A. 8m B. 10m C. 12m D. 15m 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答． 【详解】解：设旗杆的长度为xm，则绳子的长度为：（x+1）m，如图， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+52=（x+1）2， 解得：x=12， ∴旗杆的高度为12m． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键． 8. 如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连结，，则的最小值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】连接，在的延长线上截取，连接，，，则的最小值转化为的最小值，在的延长线上截取，则，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：如图，连接， 在矩形中，，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， 则，则的最小值转化为的最小值， 在的延长线上截取，连接， ， 是的垂直平分线， ， ， 连接，则， ，， ． 的最小值为13． 故选：C． 【点睛】本题考查的是最短线路问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，即，据此求解即可. 【详解】解：若在实数范围内有意义，则， 解得. 故答案为：. 10. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式乘法运算，涉及平方差公式，由平方差公式化简后计算即可得到答案．熟记平方差公式及二次根式乘法运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 如图，点D、E分别是的边、的中点，点F在的延长线上，且．若，，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质求出的长，进而求出的长，然后根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：在中，，E是的中点， ， ， 点D、E分别是的边、的中点， 是的中位线， ． 12. 如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A坐标是（8，0），点C的坐标是（2，6），则点B的坐标是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，结合A点和C点的坐标，就可以写出B点的坐标． 【详解】解：根据平行四边形的性质可得： ，根据已知条件A（8，0）可知OA=8，C（2，6），可知B点的横坐标为2+8=10，B点的纵坐标为6，所以B（10，6）. 故答案为：（10，6）. 【点睛】本题主要考查坐标的表示，再结合考查平行四边形的性质，难度系数较低，但应当熟练掌握． 13. 如图，四边形是菱形，，，于，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高． 由四边形是菱形，，，可求得此菱形的面积与的长，求得答案． 【详解】解：设与交于， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ， ∴，， ∵， ∴ ． 故答案为：． 14. 如图，数轴上点表示数为3，，，以原点为圆心，为半径作弧，与数轴交于一点，则点表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、在数轴上表示无理数、基本尺规作图-作相等线段等知识，先由勾股定理求出，再由基本尺规作图得到，从而得到答案．熟练掌握勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示，在中，，，，则由勾股定理可得， 以原点为圆心，为半径作弧，与数轴交于一点， ， 则点表示的数为， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，D，E分别是边和上的点，把沿着直线折叠，若B恰好落在中点M上，则长为______． 【答案】 【解析】 【分析】在中，利用勾股定理求得，结合点M是中点可得，由翻折可知，在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 点M是中点， ， 由翻折可知， 在中， ， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是熟练掌握折叠的性质，并运用勾股定理正确计算． 16. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是_____寸． 【答案】101 【解析】 【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论． 【详解】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示： 由题意得：OA＝OB＝AD＝BC， 设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸， 则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸， ∴AE＝（r﹣1）寸， 在Rt△ADE中， AE2＋DE2＝AD2，即（r﹣1）2＋102＝r2， 解得：r＝50.5， ∴2r＝101（寸）， ∴AB＝101寸， 故答案为：101 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键． 三、解答题（共52分，其中17--24每题5分，25，26每题6分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质和运算法则计算即可求解，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 已知，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据，，即可求得x＋y与x−y的值，然后根据平方差公式对所求式子因式分解，再将x＋y与x−y的值代入即可解答本题． 【详解】解：∵，， ∴x＋y＝4，x−y＝， ∴． 【点睛】本题考查因式分解和二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法． 19. 如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键． 在中，利用勾股定理求出的长，在中，根据勾股定理逆定理求出，再利用四边形的面积为进行计算即可． 【详解】解：连接， 在中，， 由勾股定理得：， 在中，，， ， ， ， ， 四边形的面积为． 20. 已知：如图，直线与直线相交于点O． 求作：矩形，使矩形的四个顶点在这两条直线上． 作法：①在直线上任取一点A（不与点O重合） ②以点O为圆心，为半径作弧依次与直线、于点B、C、D； ③连接，，，． 即四边形就是所求作的矩形． 问题： （1）使用直尺和圆规，按照作法补全图（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵，， ∴四边形是 ．（ ） ∵， ∴， 即 ∴四边形是矩形．（ ）（填推理的依据）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题干中的要求作图即可； （2）首先判定平行四边形，再根据对角线相等判定矩形即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ∵， ∴， 即， ∴四边形是矩形．（对角线相等的平行四边形是矩形） 【点睛】本题考查了尺规作图，矩形的判定，解题的关键是通过尺柜作图得到相应的判定条件． 21. 如图，在中，E、F是对角线上的两点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、平行四边形的判定等知识点，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键． 连接，交于点O，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明结论． 【详解】证明：连接，交于点O． 在中，，． 又， ． ∴四边形是平行四边形． 22. 如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F． （1）求证：AB=CF； （2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）要证明AB=CF可通过△AEB≌△FEC证得，利用平行四边形ABCD的性质不难证明； （2）由平行四边形ABCD的性质可得AB=CD，由△AEB≌△FEC可得AB=CF，所以DF=2CF=2AB，所以AD=DF，由等腰三角形三线合一的性质可证得ED⊥AF ． 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DF， ∴∠BAE=∠F， ∵E是BC的中点， ∴BE=CE， 在△AEB和△FEC中， ， ∴△AEB≌△FEC（AAS）， ∴AB=CF； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD， ∵AB=CF，DF=DC+CF ， ∴DF=2CF， ∴DF=2AB， ∵AD=2AB， ∴AD=DF， ∵△AEB≌△FEC， ∴AE=EF， ∴ED⊥AF ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质及判定、平行四边形的性质、等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键． 23. 已知：如图，矩形中，对角线、相交于点，过，两点分别作，的平行线，两直线相交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】（1）由两个平行条件可得四边形BFCO是平行四边形，再由矩形的对角线的性质即可得四边形BFCO是菱形； （2）由矩形的性质及已知AB、BC，可求得AC的长，从而得OC的长，再由（1）的结论即可求得四边形BFCO的周长． 【小问1详解】 ∵BF∥AC，CF∥BD， ∴BF∥OC，CF∥OB， ∴四边形BFCO是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OB=OC， ∴四边形BFCO是矩形； 【小问2详解】 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， 由勾股定理得：， ∴， 由（1）知，四边形BFCO是菱形， ∴BF=FC=OC=OB， ∴四边形BFCO的周长为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识，证明四边形BFCO是菱形是关键． 24. 按要求画出图形： （1）在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，按下列要求在网格中画出图形：在图1中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为4，，；请你判断这个三角形______直角三角形（填“是”或“不是”）． （2）如图2，已知点，B为第二象限内的一个整点（即横纵坐标都为整数的点），且．画出以A，B，O及合适的第四个点C为顶点的所有平行四边形． 【答案】（1）不是，见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，坐标与图形，熟练掌握网格特点，是解题的关键． （1）根据三角形三边长分别为4，，画出三角形，根据勾股定理逆定理进行判断即可； （2）先根据点，B为第二象限内的一个整点，且，得出点，然后根据平行四边形的特点，画出平行四边形即可． 【小问1详解】 解：为所求作的三角形，如图所示： ∵， ∴这个三角形不是直角三角形； 【小问2详解】 解：以A、B、O及合适的第四个点C为顶点的所有平行四边形，如图所示： 25. 阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，学习了分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”；与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下： ，， 因为，． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而， 当时，分母有最小值，所以的最大值是． 解决下述问题： （1）________； （2）比较和的大小； （3）求的最大值． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了平方差公式． （1）利用分母有理化得到，即可解答； （2）将变形为，变形为，利用即看判断； （3）根据二次根式有意义的条件得到由，则，利用分母有理化得到，由于时，有最小值3，从而得到y的最大值． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ， ∵， ∴； ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴时，有最小值， ∴的最大值为． 26. 在平面直角坐标系中，，，．若为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于的长，则称点为矩形的矩宽点． 例如：下图中的点为矩形的一个矩宽点． （1）在点，，中，矩形的矩宽点是______； （2）若点为矩形的矩宽点，求的值． 【答案】（1）和 （2）或 【解析】 【分析】本题考查的知识点是矩形的性质，解题关键是熟练掌握矩形的性质． （1）根据矩形对边相等的性质计算相应的周长，判断是否符合矩宽点定义即可； （2）根据矩形对边相等的性质分四种情况进行讨论即可求解． 【小问1详解】 解：结合矩形性质可得：， 点是矩形的矩宽点， 过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线分矩形的四个小矩形周长均， 点不是矩形的矩宽点， ， 点是矩形的矩宽点． 故答案为：和； 【小问2详解】 解：若为矩形的矩宽点，结合矩形性质得： 或或或， 解得或或， 为矩形内的点， 和不合题意，舍去， 的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学学科3月阶段反馈 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直 3. 以下列各组数为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A 2，3，4 B. 6，8，9 C. 1，2， D. 5，12，13 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图两段公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为千米，则、两点间的距离为（ ）千米 A. B. C. D. 6. 如图，的周长为，且，、相交于点，交于，则的周长为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5，由此可计算出学校旗杆的高度是（ ） A. 8m B. 10m C. 12m D. 15m 8. 如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连结，，则的最小值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 15 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x取值范围是_______． 10. ______． 11. 如图，点D、E分别是的边、的中点，点F在的延长线上，且．若，，则的长为________． 12. 如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A坐标是（8，0），点C的坐标是（2，6），则点B的坐标是___________. 13. 如图，四边形是菱形，，，于，则_____． 14. 如图，数轴上点表示的数为3，，，以原点为圆心，为半径作弧，与数轴交于一点，则点表示的数为______． 15. 如图，在中，，，，D，E分别是边和上的点，把沿着直线折叠，若B恰好落在中点M上，则长为______． 16. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是_____寸． 三、解答题（共52分，其中17--24每题5分，25，26每题6分） 17. 计算： 18. 已知，，求代数式的值． 19. 如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 20. 已知：如图，直线与直线相交于点O． 求作：矩形，使矩形的四个顶点在这两条直线上． 作法：①直线上任取一点A（不与点O重合） ②以点O为圆心，为半径作弧依次与直线、于点B、C、D； ③连接，，，． 即四边形就是所求作的矩形． 问题： （1）使用直尺和圆规，按照作法补全图（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵，， ∴四边形是 ．（ ） ∵， ∴， 即 ∴四边形是矩形．（ ）（填推理的依据）． 21. 如图，在中，E、F是对角线上的两点，且．求证：四边形是平行四边形． 22. 如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F． （1）求证：AB=CF； （2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF． 23. 已知：如图，矩形中，对角线、相交于点，过，两点分别作，的平行线，两直线相交于点． （1）求证：四边形菱形； （2）若，，求四边形的周长． 24. 按要求画出图形： （1）在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，按下列要求在网格中画出图形：在图1中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为4，，；请你判断这个三角形______直角三角形（填“是”或“不是”）． （2）如图2，已知点，B为第二象限内的一个整点（即横纵坐标都为整数的点），且．画出以A，B，O及合适的第四个点C为顶点的所有平行四边形． 25. 阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，学习了分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”；与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下： ，， 因为，． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而， 当时，分母有最小值，所以的最大值是． 解决下述问题： （1）________； （2）比较和的大小； （3）求的最大值． 26. 在平面直角坐标系中，，，．若为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于的长，则称点为矩形的矩宽点． 例如：下图中的点为矩形的一个矩宽点． （1）在点，，中，矩形的矩宽点是______； （2）若点为矩形的矩宽点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $