精品解析：河南省郑州经济技术开发区外国语学校2025-2026学年第二学期第一次学情调研九年级数学试题卷

2025-2026学年第二学期第一次学情调研九年级数学试题卷 时间：100分钟 分值：120分 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的性质进行作答即可． 【详解】解：的绝对值是2， 故选：D 2. 如图所示的几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图所示的几何体的俯视图为． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，单项式除以单项式，同底数幂的乘法，分别根据合并同类项，幂的乘方，单项式除以单项式，同底数幂的乘法运算法则逐项计算即可． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，正确，故本选符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 4. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式可判断反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标可判断三个点所在的象限，据此可得答案． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵点在反比例函数的图象上，且， ∴点A和点B在第二象限，点C在第四象限， ∴． 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；根据题意可得，且，计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：且， 故选：A． 6. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别连接、、，其所在直线交于点，即可得到答案． 【详解】如图，分别连接、、，其所在直线交于点 则点G为所求的位似中心， 故选：C． 【点睛】本题考查了确定位似中心，即延长对应点的连线，其交点即为位似中心，熟练掌握知识点是解题的关键． 7. 如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由图像可得，二次函数的对称轴为，与轴的一个交点为，根据对称性求得另一点的坐标，即可求解． 【详解】解：由图像可得，二次函数的开口向下，对称轴为，与轴的一个交点为 由对称性可得，与轴的另一个交点为， 则不等式的解集为， 故选：C 【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像求解不等式，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想求解问题． 8. 随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（ ） A. 0.1吨 B. 0.15吨 C. 6吨 D. 9吨 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是根据工作时间差建立方程并求解． 设普通机器人的工作效率为未知数，根据智能机器人效率是其倍表示出智能机器人效率；再根据“装载吨货物的时间差为分钟”建立分式方程，求解后得到智能机器人的效率． 【详解】解：设普通机器人每小时装载货物吨，则智能机器人每小时装载货物吨． ， 解得， ∴智能机器人每小时装载货物吨． 故选：D． 9. 如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点F，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点E，连接交于点O，过点A作于点H．若，，则（ ） A. 15 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 证明四边形是菱形，利用勾股定理即可得的长，求出菱形的面积,根据等面积法即可求出的长． 【详解】解：由尺规作图的过程可知，直线是线段的垂直平分线，， ，， ∵， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，，， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， 故选：C 10. 烟雾报警器通过监测烟雾的浓度来实现火灾防范．图为某医院安装的烟雾报警器，图为其“控制电路”和“工作电路”示意图，其中“控制电路”由光敏电阻、电磁铁（线圈阻值）、电源电压、开关等组成（控制电路中的电流）；“工作电路”由工作电源、扬声器、指示灯、导线等组成．其工作原理：正常情况下，动触片与触点接触，指示灯正常工作．当有烟雾时，光敏电阻接收到的光照强度减弱，当减弱到一定程度时，动触片与触点接触，扬声器发出报警声，已知触发报警器报警的电流不变．图为光敏电阻（单位：）与光照强度（单位：）之间的关系图象，则下列说法不正确的是（ ） A. 光敏电阻的阻值随光照强度的增大而减小 B. 当光敏电阻的阻值为时，光照强度为 C. 若使得烟雾报警器可以在更低浓度的烟雾下报警，可以使控制电路电压适当增大 D. 当光照强度为时，控制电路中的电流为 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解答本题的关键． 根据反比函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】A、由题图可知光敏电阻的直值随光照强度的增大雨减小，故A选项正确； B、由题图可知图象上点的横、纵坐标之积为定值，可得，将代入反比例函数，得； C、要使报警器在浓度更低的烟雾下报警，此时光照强度增强，由题图，可知光的电阻的阻值减小，从而控制电路的总电阻减小．因为触发投资器报警的电流不交，由，可知应减小控制电路电压，故C选项错误； D、当光照强度为时，可知光敏电阻控制电路中的电流，故D选项正确； 故选 C． 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 12. 如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值：_________． 【答案】4（答案不唯一，满足均可） 【解析】 【分析】先分别求得反比例函数图像过A、B时k的值，从而确定k的取值范围，然后确定符合条件k的值即可． 【详解】解：当反比例函数图像过时，； 当反比例函数图像过时，； ∴k的取值范围为 ∴k可以取4． 故答案为4（答案不唯一，满足均可）． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数的解析式，确定边界点的k的值是解答本题的关键． 13. 如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意得到，再判定，即可求解． 【详解】解：设点到的高为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 14. 如图，在矩形中，对角线交于点O，以点O为圆心，长为半径作弧经过点C，过点O作，分别与边交于点E、F．若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理得，，由矩形，可得，则是等边三角形，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵矩形， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，扇形面积，等边三角形的判定与性质，正切等知识．熟练掌握矩形的性质，勾股定理，扇形面积，等边三角形的判定与性质，正切是解题的关键． 15. 如图，在正方形中，，点在边上，，将线段绕点旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为___________． 【答案】5或 【解析】 【分析】首先根据题意得到点P的运动轨迹是以点A为圆心，1为半径长的圆，当与相切时，最大，然后分点P在左侧和点P在右侧两种情况讨论，根据勾股定理求出，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段， ∴点P的运动轨迹是以点A为圆心，1为半径长的圆， ∴当与相切时，最大 如图1，当点P在左侧时， 根据题意得，，， ∵ 过点P作，交的延长线于点H， ∴ ∴， 又∵ ，即 ，， ∴在中，； 如图2，当点P在右侧时， 同理，可得，， ∴ ∴在中，． 综上所述，的长为5或． 故答案为：5或． 【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质等知识，解题的关键是得到当与相切时，最大． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 计算与化简 （1）计算：． （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的混合运算计算即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．我校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是A．决策类人工智能、B．人工智能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图： A．决策类人工智能B．人工智能机器人 C．语音类人工智能D．视觉类人工智能 项目 选择人数 频率 A．决策类人工智能 8 a B．人工智能机器人 0.25 C．语音类人工智能 28 D．视觉类人工智能 24 0.3 （1）填空：___________，___________；扇形统计图中C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角的度数为___________； （2）若该中学共有900名九年级学生，那么估计该中学选择“B（人工智能机器人）”专业意向的学生有___________人； （3）已知甲乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，丁同学选了”C（语音类人工智能）”，从中选2人到深圳华为总部观摩学习，请利用画树状图或列表的方法，求出这两位同学选的项目一样的概率． 【答案】（1）；；； （2）225； （3） 【解析】 【分析】（1）用表格中的人数除以频率可得调查的人数，用的人数除以调查的人数可得的值，用调查的人数乘以的频率可得的值，用乘以的人数所占的百分比，即可得出答案． （2）根据用样本估计总体，用900乘以B的频率，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及这两位同学选的项目一样的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：调查的学生人数为（人）， ∴，， C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角， 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：（人）； 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中两位同学选的项目一样的结果有2种， ∴这两位同学选的项目一样的概率为． 18. 交警部门提醒市民：出门戴头盔，放心平安归！某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出320个，六月份售出500个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔的销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为550个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少10个，现在既要使月销售利润达到7500元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】（1） （2）5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔的销售量的月增长率为，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到7500元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔的销售量的月增长率为， 根据题意得， 解得，（舍去）， 答：该品牌头盔的销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个应涨价元， 根据题意得， 整理得， 解得或， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，且点，分别为一次函数与轴，轴的交点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）若点为该反比例函数图象上的一点，连接，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出点坐标，进而代入反比例函数解析式解答即可求解； （2）设点的横坐标为，由得，解方程求出进而即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，设点的横坐标为， ∵， ∴ 解得， 把代入得，， 把代入得，， ∴或． 20. 钓鱼是一项水上休闲运动，深受沿海地区市民喜爱．如图，一人坐在坡度为的河堤上垂钓，坡面距离．是一根长为的鱼竿，与水平方向的夹角为，鱼线垂直于水面．当有鱼上钩时，鱼竿的竿梢点到达了点位置，鱼竿与水平方向的夹角变为．在整个垂钓过程中，鱼线始终垂直于水面．（，，） （1）求鱼线的长度； （2）鱼上钩时，鱼线变短了______米． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题； （1）过点作于点，作于点，得到四边形为矩形，推出，根据，设，则，利用勾股定理求得，最后利用，求得，即可求解； （2）过点作于点，于点，得到四边形为矩形，，根据，可求得，进而求得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点，作于点， ∴四边形为矩形， ∴ ∵河堤的坡度为 ， ∴， 设，则， 在中，， 由勾股定理，得， 即， 解得， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴鱼线的长度为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点，作于点， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ∵， ∴， 由（1）知，，， ∴， ∴， ∴， ∴鱼上钩时，鱼线变短了米， 故答案为：． 21. 如图，为菱形的对角线上一点，以点为圆心，长为半径的与相切于点． （1）比较大小：___________（填或）； （2）判断直线与的位置关系，并说明理由； （3）若菱形的边长为2，，则的半径为___________ 【答案】（1） （2） 解：与相切，理由如下： 如图所示，过点O作于点N， ∵与相切于点， ∴， 由（1）可得，即平分， 又∵， ∴， ∴与相切； （3） 【解析】 【分析】（1）由菱形的对角线平分一组对角可得答案； （2）过点O作于点N，由切线的性质得到，由角平分线的性质得到，则与相切； （3）由菱形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到；由切线的性质得到，，设，则，解直角三角形得到，则，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵以点为圆心，长为半径的与相切于点， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，即的半径为． 22. 某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图1所示，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为（即），当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离达最大值，其最大值为3米．以为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，解决问题： （1）求水柱所在抛物线的解析式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由； （3）河水离地平面距离为多少米时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ 【答案】（1） （2）不能，理由见解析 （3）米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析，二次函数图形的平移，解直角三角形的计算是解题的关键． （1）根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，且过，设抛物线解析式为，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，当时，（米），再与护栏高度进行比较，即可求解； （3）根据坡比得到（米），则点到原点的水平距离为（米），即，且，可求出直线的解析式为，联立方程得，由此求解即可． 【小问1详解】 解：当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米， ∴抛物线的顶点坐标为， 以O为原点建立平面直角坐标系， ∴点， 设抛物线解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴水柱所在抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：水柱不能喷射到护栏上，理由如下： 当时，， ， 水柱不能喷射到护栏上； 【小问3详解】 解：河道坝高米，坝面的坡比为（其中）， ，即， 则点与原点的水平距离为， 点的坐标为， 又点的坐标为， 设的解析式为， ，解得， ， ， 解得（不合题意，舍去），， 当时，， 即河水离地平面距离为米时，水柱刚好落在水面上． 23. 若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是，则称这两个顶点关于这条底边互为“唯美点”． 【概念理解】 （1）点在线段的垂直平分线上（点在直线上方），且．若点与点关于互为“唯美点”，则___________． 【性质探究】 （2）如图，在矩形中，为边上一点，且平分，交于点，连接，．求证：点与点关于互为“唯美点”． 【拓展应用】 （3）如图，在矩形中，为线段上一动点（不与端点重合），为平面内一点，点与点关于互为“唯美点”，直线交直线于点，在点运动过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）或 （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论：情况一：点与点在同侧；情况二：点与点在异侧；计算即可解答； （2）证明得，，再结合均为等腰三角形，其中，即可得证； （3）分两种情况讨论：当点在线段上时，如解图所示，连接；当点在线段的延长线上时，如解图所示，连接；综上即可解答． 【详解】． 解：（1）情况一：点与点在同侧， 点、 关于互为“唯美点”，且， ， 又点在线段的垂直平分线上， ，， ，， 则； 情况二：点与点在异侧， 点、 关于互为“唯美点”，且， ， 又点在线段的垂直平分线上， ，， ，， 由于、在异侧， ； 综上所述，或， 故答案为：或； （2）证明：平分， ， 在和中， ， ， ， ， 又均为等腰三角形，其中， 点与点关于互为“唯美点”； （3）当点在线段上时，如解图所示，连接， 点与点关于互为“唯美点”， ， ， 又， ， 设， ，， ， ， 在中，， 即， 解得， ； 当点在线段的延长线上时，如解图所示，连接， 同理，可得， 设，则， ， 在中，， 即， 解得， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期第一次学情调研九年级数学试题卷 时间：100分钟 分值：120分 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2 2. 如图所示的几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 6. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 8. 随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（ ） A. 0.1吨 B. 0.15吨 C. 6吨 D. 9吨 9. 如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点F，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点E，连接交于点O，过点A作于点H．若，，则（ ） A. 15 B. C. D. 10. 烟雾报警器通过监测烟雾的浓度来实现火灾防范．图为某医院安装的烟雾报警器，图为其“控制电路”和“工作电路”示意图，其中“控制电路”由光敏电阻、电磁铁（线圈阻值）、电源电压、开关等组成（控制电路中的电流）；“工作电路”由工作电源、扬声器、指示灯、导线等组成．其工作原理：正常情况下，动触片与触点接触，指示灯正常工作．当有烟雾时，光敏电阻接收到的光照强度减弱，当减弱到一定程度时，动触片与触点接触，扬声器发出报警声，已知触发报警器报警的电流不变．图为光敏电阻（单位：）与光照强度（单位：）之间的关系图象，则下列说法不正确的是（ ） A. 光敏电阻的阻值随光照强度的增大而减小 B. 当光敏电阻的阻值为时，光照强度为 C. 若使得烟雾报警器可以在更低浓度的烟雾下报警，可以使控制电路电压适当增大 D. 当光照强度为时，控制电路中的电流为 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 计算：_______． 12. 如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值：_________． 13. 如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则__________． 14. 如图，在矩形中，对角线交于点O，以点O为圆心，长为半径作弧经过点C，过点O作，分别与边交于点E、F．若，，则图中阴影部分的面积为________． 15. 如图，在正方形中，，点在边上，，将线段绕点旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为___________． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 计算与化简 （1）计算：． （2）化简： 17. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．我校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是A．决策类人工智能、B．人工智能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图： A．决策类人工智能B．人工智能机器人 C．语音类人工智能D．视觉类人工智能 项目 选择人数 频率 A．决策类人工智能 8 a B．人工智能机器人 0.25 C．语音类人工智能 28 D．视觉类人工智能 24 0.3 （1）填空：___________，___________；扇形统计图中C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角的度数为___________； （2）若该中学共有900名九年级学生，那么估计该中学选择“B（人工智能机器人）”专业意向的学生有___________人； （3）已知甲乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，丁同学选了”C（语音类人工智能）”，从中选2人到深圳华为总部观摩学习，请利用画树状图或列表的方法，求出这两位同学选的项目一样的概率． 18. 交警部门提醒市民：出门戴头盔，放心平安归！某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出320个，六月份售出500个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔的销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为550个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少10个，现在既要使月销售利润达到7500元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，且点，分别为一次函数与轴，轴的交点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）若点为该反比例函数图象上的一点，连接，求点的坐标． 20. 钓鱼是一项水上休闲运动，深受沿海地区市民喜爱．如图，一人坐在坡度为的河堤上垂钓，坡面距离．是一根长为的鱼竿，与水平方向的夹角为，鱼线垂直于水面．当有鱼上钩时，鱼竿的竿梢点到达了点位置，鱼竿与水平方向的夹角变为．在整个垂钓过程中，鱼线始终垂直于水面．（，，） （1）求鱼线的长度； （2）鱼上钩时，鱼线变短了______米． 21. 如图，为菱形的对角线上一点，以点为圆心，长为半径的与相切于点． （1）比较大小：___________（填或）； （2）判断直线与的位置关系，并说明理由； （3）若菱形的边长为2，，则的半径为___________ 22. 某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图1所示，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为（即），当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离达最大值，其最大值为3米．以为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，解决问题： （1）求水柱所在抛物线的解析式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由； （3）河水离地平面距离为多少米时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ 23. 若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是，则称这两个顶点关于这条底边互为“唯美点”． 【概念理解】 （1）点在线段的垂直平分线上（点在直线上方），且．若点与点关于互为“唯美点”，则___________． 【性质探究】 （2）如图，在矩形中，为边上一点，且平分，交于点，连接，．求证：点与点关于互为“唯美点”． 【拓展应用】 （3）如图，在矩形中，为线段上一动点（不与端点重合），为平面内一点，点与点关于互为“唯美点”，直线交直线于点，在点运动过程中，当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $