专题02 圆周运动（期中专项训练）高一物理下学期教科版

专题02 圆周运动 题型1圆周运动中的运动学分析 题型2圆周运动中的动力学分析 题型3圆锥摆 题型4圆周运动与平抛运动的多解问题 题型5生活中的圆周运动 题型6水平面内圆周运动的临界问题 题型7竖直面内圆周运动的临界问题 题型8斜面上圆周运动的临界问题 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 圆周运动中的运动学分析（共5小题） 1．（25-26高一下·全国·随堂练习）某高中开设了糕点制作的选修课，小明同学在体验糕点制作的“裱花”环节时，如图所示，他在绕中心匀速转动的圆盘上放了一块直径8英寸（20cm）的蛋糕，在蛋糕边缘上每隔4s“点”一次奶油，蛋糕随圆盘转一周后均匀“点”上了15次奶油，则下列说法正确的是（　　） A．圆盘转动的转速为 B．圆盘转动的角速度大小为rad/s C．蛋糕边缘的奶油的线速度大小为m/s D．圆盘转动的周期为15s 2．（25-26高一·全国·课堂例题）如图所示为一皮带传动装置的示意图。右轮半径为r，A是它边缘上的一点。左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r。B点在小轮上，到小轮中心的距离为r。C点和D点分别位于小轮和大轮的边缘上。如果传动过程中皮带不打滑，求： (1)A、C两点的线速度之比； (2)A、B两点角速度之比； (3)B、D两点的角速度之比； (4)B、D两点的周期之比； (5)A、D两点在相同的时间内通过的路程之比 3．（25-26高一上·湖北武汉·月考）如图，主动轮大圆盘与从动轮小圆盘通过皮带（不打滑）连接，大圆盘与小圆盘的半径之比为，材料相同的可以视为质点的两物体质量之比为，两个物体距离转动轴的距离相等。现在让圆盘匀速转动起来，下列说法中正确的是（　　） A．物体A与物体B相对圆盘滑动之前的角速度之比为 B．物体A与物体B相对圆盘滑动之前的摩擦力之比为 C．物体A与物体B相对圆盘滑动之前的向心加速度之比为 D．如果增加主动轮的转速，则物体先相对圆盘滑动 4．（2026·湖北黄石·二模）一款“转转杯”玩具可简化如图，水平大圆盘绕竖直轴OO′顺时针转动，其上均匀分布五个相同的小圆盘，绕各自圆心逆时针转动，大小圆盘转动的角速度大小均为ω。取图示时刻为计时起点，此时小圆盘边缘两点A、B的位置如图所示，不考虑小圆盘的厚度，下列说法正确的是（   ） A．t = 0时刻A点对地速度大小为(L－r)ω B．t = 0时刻B点对地速度大小为 C．时A点到大圆盘圆心的距离最远 D．时B点到大圆盘圆心的距离最远 5．（25-26高一下·河南南阳·月考）如图所示，竖直圆盘绕过圆心的水平轴逆时针匀速转动，点是圆盘边缘上的点。圆盘转至OA水平时，将一小球从点右侧的点（、、在同一直线上）斜向左上方抛出，初速度大小，与水平方向夹角。当点转到圆盘最高点时，小球也恰好到达圆盘最高点，且轨迹与圆盘最高点相切。不计空气阻力，重力加速度。，。求： (1)AP间的距离； (2)点可能的线速度大小。 题型二 圆周运动中的动力学分析（共5小题） 6．（2026·广东广州·一模）图（a）所示的油纸伞是我国古人智慧的结晶。图（b）为其结构示意图，ON是一条可绕伞顶O转动的伞骨，伞撑两端分别与ON中点M和滑环P铰接。保持伞柄不动，向上推滑环P，使得伞骨ON以恒定角速度开伞，则（　　） A．M点的线速度方向总是沿PM方向 B．M点的向心加速度方向沿MP方向 C．N点线速度大小是M点的2倍 D．N点的向心加速度大小是M点的4倍 7．（2026·江西南昌·一模）超重耐力与适应性训练，是大部分航天员最深刻的记忆。如图所示，超重耐力与适应性训练的主要设备是载人离心机。在高速旋转的离心机中航天员要承受8倍重力加速度（即向心加速度为），若训练用离心机的旋转臂长为，重力加速度取，为达到训练要求，离心机匀速旋转的角速度大小约为（    ） A．2rad/s B．3rad/s C． D．5rad/s 8．（2026·山东·一模）如图所示，竖直放置的薄圆筒内壁光滑，在内表面距离底面高为的点处，给一个质量为的小滑块沿水平切线方向的初速度，小滑块将沿筒内表面旋转滑下。假设滑块下滑过程中表面与筒内表面紧密贴合，圆筒内半径，重力加速度取。小滑块第一次滑过点正下方时，恰好经过点，且的距离为0.2m。则下列说法正确的是（　　） A．小滑块的初速度为 B．小滑块经过点的速度大小为 C．小滑块运动过程中受到的筒壁的支持力不变 D．小滑块最后刚好能从点正对面的点滑离圆筒 9．（25-26高一上·河北唐山·期末）轻绳一端固定在拉力传感器上，另一端系有质量为m的小球，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，轻绳恰好被拉断，球的速度保持不变并水平飞出。已知拉力传感器离地面高度为h，绳长为，绳承受的最大拉力是小球重力的10倍，重力加速度为g，忽略空气阻力，小球可视为质点。求： (1)小球飞出时的速度； (2)小球落地的水平距离。 10．（25-26高一上·江苏南通·月考）如图所示，长度为2L的光滑轻质细管与水平面的夹角为θ，可绕竖直轴O₁O₂转动，两根轻弹簧分别固定在轻管两端，弹簧的原长都是L，劲度系数为k，两弹簧间连接一质量为m的小球。已知重力加速度为g，小球可视为质点，不计空气阻力。 (1)当轻管静止时，求每根弹簧的形变量大小x0； (2)当轻管绕竖直轴以角速度ω0匀速转动时，两弹簧刚好恢复原长，求ω0的大小。 题型三 圆锥摆（共5小题） 11．（25-26高一下·山西太原·开学考试）如图甲所示，倾角为45°的斜面置于粗糙的水平地面上，有一滑块通过轻绳绕过定滑轮与质量为m的小球相连（绳与斜面平行），滑块质量2m，滑块恰好静止在粗糙的斜面上。图乙中，换成让小球在水平面上做匀速圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角为，且，此时滑块、斜面仍然处于静止状态，重力加速度为g，下列说法中正确的是（　　） A．甲图滑块受到斜面的摩擦力为 B．甲图斜面受到地面的摩擦力为 C．乙图中时，滑块恰好不受摩擦力 D．乙图中小球转动角速度越小，滑块受到的摩擦力越大 12．（25-26高一下·河南南阳·月考）四个小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动。如图甲所示，小球A、B完全相同在同一水平面内做圆锥摆运动（连接B球的绳较长）；如图乙所示，小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接C、D的绳与竖直方向之间的夹角相等（连接D球的绳较长），则下列说法正确的是（　　） A．小球A、B所需的向心加速度大小相等 B．小球A、B的线速度大小相等 C．小球C、D所需的向心加速度大小相等 D．小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小一定相等 13．（2026·湖北恩施·二模）如图所示，一半径为R的光滑圆环竖直放置，AB为其竖直直径。一根细绳一端固定在A点，另一端连接一个质量为m的小球，小球套在圆环上并处于静止状态，细绳与AB夹角为30°。圆环现以角速度绕AB轴匀速转动，重力加速度为g，则（　　） A．小球一定受三个力的作用 B．绳中拉力为0时， C．圆环对小球的弹力为0时， D．若小球不相对圆环滑动，则不超过 14．（25-26高一下·天津河北·月考）如图所示，一长为的轻绳下端拴着质量为的小球，现使小球在水平面内做匀速圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角为，重力加速度大小为，求： (1)小球运动的向心力大小； (2)角速度大小； (3)轻绳的拉力大小。 15．（25-26高一上·浙江杭州·期末）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图（a）、（b）所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅（视为质点），转椅质量为50kg。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。在图（a）中，若圆盘在水平雪地上以角速度=1rad/s匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1=4m的匀速圆周运动，转椅与雪地之间的动摩擦因数为=0.3，重力加速度为g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力。求： (1)转椅所受的合力大小； (2)AB与OB之间夹角的值； (3)将圆盘升高，如图（b）所示，圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2=3m的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为，绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为。求此时圆盘的角速度。（可保留根号） 题型四 圆周运动与平抛运动的多解问题（共5小题） 16．（25-26高一·全国·随堂练习）在一次训练中，滑雪运动员（可视为质点）以某一水平速度从M点沿着圆轨道加速下滑，至N点脱离轨道，最终落在地面上的P点，如图所示。其中MN段为光滑圆轨道（圆心为O），不计空气阻力。下列说法错误的是（　　） A．在M点时，该运动员所受支持力小于重力 B．从N点到P点的过程中，运动员做平抛运动 C．从M点到N点的过程中，运动员的速率变化得越来越快 D．从M点到N点的过程中，运动员对轨道的压力逐渐减小 17．（25-26高一下·云南玉溪·开学考试）如图所示，质量为m的小球在长为R的轻绳作用下在竖直平面内做圆周运动，细绳能承受的最大拉力Tm=6mg，转轴离地高度h，重力加速度为g。求： (1)若小球某次运动过程中在最低点时细绳恰好被拉断，则此时小球运动的线速度大小； (2)在第（1）问中，若轻绳长R=1m，小球质量m=0.7kg，转轴离地高度h=6m，g取10m/s2，则绳断后，小球落地点与抛出点间的水平距离； (3)在第（1）问中，细绳断后小球最终落到水平地面上。若绳长R长短可调整，则R为多大时？小球做平抛运动的水平距离x的最大，最大值是多少？ 18．（25-26高一上·河南郑州·期末）某电视台正在策划的“快乐向前冲”节目的场地设施如图所示，AB为水平直轨道，上面安装有电动悬挂器，可以载人运动，下方水面上漂浮着一个半径为铺有海绵垫的转盘，转盘轴心在正下方且离平台的水平距离为，平台与转盘平面的高度差为，A点位于平台边缘的正上方，水平直轨道与平台间的高度差可忽略不计。选手抓住悬挂器后，按动开关，在电动机的带动下从点沿轨道做初速度为零、加速度为的匀加速直线运动，启动后2s人脱离悬挂器。设人的质量为（人可看成质点，忽略空气阻力），人与转盘间的最大静摩擦力为，重力加速度为。求： (1)假设选手落到转盘上瞬间相对转盘速度立即变为零，为保证他落在任何位置都不会被甩下转盘，转盘的角速度最大值； (2)若，，，取，选手要想落在转盘上，加速度的范围。 19．（25-26高一上·江苏淮安·期末）如图所示，由半圆形ABC和直线形CD细圆管组成的轨道固定在水平桌面上（圆）半径比细圆管内径大得多），轨道内壁光滑。已知ABC的半径，CD段为水平直管。弹射装置将一质量的小球（可视为质点）以某一水平速度从A端弹入轨道，经一段时间，从D端离开轨道后做平抛运动，落地点F离D端的水平距离，D端距地面高度不计空气阻力，重力加速度g取。求小球 (1)离开D端时速度大小； (2)在ABC轨道内运动时向心加速度大小； (3)在ABC轨道内运动过程中受到轨道的作用力大小。 20．（25-26高一上·吉林长春·期末）如图无人机进行定点投放性能测试，在空中绕点做平行于地面、的匀速圆周运动。点在地面上的正上方，其高度差，无人机及物品总质量。若物品相对无人机无初速度释放，不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A．无人机处于平衡状态 B．无人机的向心加速度大小为 C．无人机投放物品前受到空气的作用力大小为 D．物品落地点距的距离为 题型五 生活中的圆周运动（共5小题） 21．（25-26高一·全国·课堂例题）如图所示，质量m＝2.0×104kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形路面和凸形桥面，路面和桥面的圆弧半径均为20m。如果路面和桥面允许承受的压力均不得超过3.0×105N，则：（g取10m/s2） (1)汽车允许的最大速率是多少？ (2)若以所求速率行驶，汽车对路面和桥面的最小压力是多少？ 22．（25-26高一上·陕西西安·期末）城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥。如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，从A端以不变的速率驶过该立交桥，小汽车速度大小为，则（　　） A．小汽车通过桥顶时受重力、支持力、向心力 B．小汽车通过桥顶时车速越快，对桥面压力越大 C．小汽车在桥上最高点受到桥面的支持力大小为 D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于 23．（25-26高一下·全国·月考）在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计速度是108km/h，汽车在这种水平路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的，试求： (1)如果汽车在这种高速路的水平路面弯道上转弯，其弯道的最小半径是多少？ (2)如果弯道的路面设计为倾斜，弯道半径为360m，要使汽车通过此弯道时不产生侧向摩擦力，则弯道路面的倾斜角度的正切值tanθ是多少？ 24．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）图甲为赤峰市乌兰布统草原上的一段“S”形水平公路。汽车行驶的轨迹可简化为两个圆弧M、N和中间直道PQ，P、Q两点为切点，如图乙所示。已知两圆弧半径分别为、，直道长度为，路面对轮胎的最大横向静摩擦力是车重的倍，，。求： (1)汽车能安全通过M段圆弧的最大速度； (2)汽车以进入直道后，先以加速度匀加速运动一段时间，再匀速运动通过点进入段圆弧。要使汽车能安全通过段圆弧，汽车在直道上运动的最短时间。 25．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期末）如图甲所示，高铁列车通过弯道时为了保证安全，在铁路转弯处设计成外侧铁轨高于内侧铁轨。如图乙所示，设定某高铁列车在倾斜轨道上匀速转弯，其轨道半径为R，轨道平面与水平面的夹角为θ，该列车的质量为m，重力加速度为g，且该列车始终未脱离轨道，忽略空气阻力和一切摩擦。 (1)若该列车转弯时恰好不受内外轨的侧压力，求此时该列车行驶的速度的大小。 (2)若该列车实际行驶的速度，其中k为已知常量且，试分析哪一侧轨道对车轮产生侧压力，并求出该侧压力的大小。 题型六 水平面内圆周运动的临界问题（共5小题） 26．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）如图，用劲度系数为k，原长均为的符合胡克定律的六根橡皮筋，将六个完全相同质量为m的小球连接成正六边形，放在光滑水平桌面上。现在使这个系统绕垂直于桌面通过正六边形中心的轴匀速转动。在系统稳定后，观察到正六边形边长变为l，下列说法正确的是（　　） A．小球受到橡皮筋的弹力为 B．小球匀速转动的周期为 C．小球匀速转动的线速度为 D．小球在任意相等时间内的速度变化量相等 27．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期末）如图所示，一水平圆盘上沿直径用水平轻绳连接两个可视为质点的物体A、B，绳恰好伸直且无弹力。A的质量为m，A与圆心相距r；B的质量为2m，B与圆心相距3r。A、B与圆盘间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，绳能承受的最大拉力，重力加速度为g，不计空气阻力。在圆盘围绕其中轴线转动的转速从零缓慢增大至物体刚要滑动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物体A受到的摩擦力始终指向圆心 B．物体B受到的摩擦力先变大后不变 C．圆盘的最大角速度 D．圆盘的最大角速度 28．（2026·江西上饶·一模）如图（a）所示，一可视为质点的滑块放在水平转台上，滑块恰好能随转台绕O点做半径为r的匀速圆周运动，图（b）为俯视图。某学校物理兴趣小组利用位移传感器采集滑块的位置和时刻信息，画出某时刻起滑块沿x轴上的分速度vx随时间t的变化关系如图（c）所示。取水平向右为正方向，滑块所受最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小，不计空气阻力。则滑块与转台间动摩擦因数和图（c）中阴影部分面积S大小分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 29．（25-26高一上·陕西西安·期末）某游戏转盘装置如图所示，游戏转盘水平放置且可绕转盘中心的转轴转动。转盘上放置两个物块A、B，物块A、B通过轻绳相连。开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使其角速度缓慢增大。整个过程中，物块A、B都相对于盘面静止，物块A、B到转轴的距离分别为2r、3r，A物块的质量为2m，B物块的质量为m，与转盘间的动摩擦因数均为，接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．当时，物块B受到的摩擦力大小为 B．当时，物块A受到的摩擦力逐渐增大 C．当时，物块B受到的摩擦力逐渐减小 D．为了确保物块A、B都相对于转盘静止，转盘的角速度不能超过 30．（25-26高一上·江苏南京·期末）如图所示，水平转台上放有一质量的木块A，将一轻绳的一端系在A上，另一端穿过转台中心的光滑小孔O，悬挂一质量的木块B。已知木块A与O点间距离，且始终相对转台静止。重力加速度g取。 (1)若木块A与转台间恰好没有摩擦力，求转台的角速度？ (2)若木块A与转台间的动摩擦因数，且最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小。求转台角速度的最大值和最小值。 题型七 竖直面内圆周运动的临界问题（共5小题） 31．（25-26高一上·浙江金华·期末）如图所示，段是粗糙水平轨道，段是半径的固定半圆弧轨道，A点有一个质量的小滑块受一水平恒力F作用，从静止开始运动，到达B点时撤去F，用DIS力传感器测得小滑块对圆轨道B点的压力大小为。当时，测得，这时小滑块恰好能过C点，且水平抛出后恰好落在A点，求： (1)小滑块在C点的速度大小及间距离L； (2)小滑块在B点的速度大小及与水平轨道间的动摩擦因数； (3)若改变水平恒力F的大小，会随之变化，求随F变化的关系式。 32．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）如图所示，一个质量为m的小球通过长为L的轻绳与悬点O连接。初始时刻，将小球从水平位置A点由静止释放，到达最低点B时速度为，绳恰好断裂。已知B点到水平地面的距离为L，，重力加速度为g。 (1)求小球落地点距B点的水平位移大小x； (2)求轻绳能承受的最大拉力大小； (3)若将小球从A处以一定初速度竖直下抛，当其运动到C处时绳子恰好断裂，此时绳与竖直方向夹角为，求从此时起经时间t小球距地面的高度H（小球未落地）。 33．（25-26高一上·江苏镇江·期末）如图所示，半圆形金属轨道固定在水平面上，轨道半径，直径竖直。将一质量的小球从轨道最低点B以某一速率水平向左射入，发现小球恰能通过轨道最高点A，不计空气阻力，重力加速度。 (1)求小球经过A点的速率及从A点抛出到落地经历的时间； (2)已知小球经过B点的速率与小球落地的速率相等，求小球进入轨道时对B点的压力大小。 34．（25-26高一上·浙江杭州·期末）如图甲所示，小球在竖直平面内光滑的固定圆管中，绕圆心O点做半径为R的圆周运动（小球直径略小于管的口径且远小于R）。当小球运动到最高点时，速度大小设为v，圆管与小球间弹力的大小设为F，改变速度v得到F-v2图像如图乙所示，重力加速度g取10m/s2，则下列说法错误的是（　　） A．小球的质量为4kg B．固定圆管的半径为1m C．小球在最高点的速度为2m/s时，小球受到圆管的弹力大小为24N，方向向下 D．小球在最高点的速度为4m/s时，小球受到圆管的弹力大小为24N，方向向下 35．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）图甲为一种小型打夯机，利用冲击和冲击振动作用分层夯实回填土，图乙为这种打夯机的结构示意图。质量为m的摆锤通过轻杆与总质量为M的底座（含电动机）上的转轴相连，轻杆质量忽略不计。电动机带动摆锤绕转轴O在竖直面内以角速度匀速转动，转动半径为l，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．摆锤转到最低点时，底座对地面的压力不可能为零 B．若摆锤转到最高点时，底座对地面的压力刚好为零，则角速度 C．若摆锤转到最高点时，轻杆对摆锤的弹力为0，则角速度 D．摆锤转到轻杆水平时，轻杆对摆锤的作用力大小为 题型八 斜面上圆周运动的临界问题（共5小题） 36．（24-25高一下·贵州毕节·月考）如图所示，一质量为m的小球套在倾斜轻质细杆上，细杆绕着过底端O点的竖直轴做匀速圆周运动，转动的角速度从零开始逐渐增加。细杆与竖直方向成60°角，小球套在细杆上无松动，与细杆之间的动摩擦因数为，重力加速度为g，距离杆的底端O点的距离为L，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（　　） A．初始细杆未转动时，小球会沿杆下滑 B．小球受到杆的摩擦力可能为0 C．当转动角速度大于时，小球受到沿杆向下的摩擦力 D．转动的角速度越大，小球受到的摩擦力越大 37．（24-25高一下·山东济宁·期末）如图所示，半径为的倾斜圆盘倾角为，绕过圆心O且垂直于盘面的转轴匀速转动。将一质量为m的小物块（可视为质点）放在圆盘边缘，并能随圆盘一起转动。已知小物块与圆盘间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。则圆盘匀速转动的最大角速度为（　　） A． B． C． D． 38．（24-25高一下·山东青岛·期末）如图所示，倾斜圆盘绕过圆心O且与盘面垂直的转轴以角速度ω匀速转动，盘面有一可视为质点的物块随圆盘一起做匀速圆周运动。已知物块的质量为0.1kg，物块到转轴的距离为0.5m，物块与盘面的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面夹角θ = 30°，重力加速度g = 10m/s2。下列说法正确的是（   ） A．角速度ω的最大值为 B．运动过程中摩擦力方向始终通过圆盘中心 C．ω越大物块在最高点受到的摩擦力一定越大 D．物块在最高点受到的摩擦力最小值为0.25N 39．（23-24高一下·四川绵阳·期中）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴2.5 m处有一小物体（可视为质点）与圆盘始终保持相对静止，小物体与盘面间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2，则以下说法中正确的是（　　） A．小物体随圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动时，ω越大，小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大 B．小物体在最高点处受到的摩擦力一定背离圆心 C．ω的最大值是1.0 rad/s D．ω的最大值是rad/s 40．（24-25高一下·云南昆明·期中）一顶角为2的圆锥形筒，开口朝上，对称轴位于竖直方向，圆锥筒绕对称轴以恒定的角速度旋转，在筒内侧面距筒顶处放一物块（可视为质点），如图所示。已知物块与筒间的动摩擦因数为，取重力加速度，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，物块能相对筒静止，求的取值范围。（最后计算结果保留两位有效数字） $专题02 圆周运动 题型1圆周运动中的运动学分析 题型2圆周运动中的动力学分析 题型3圆锥摆 题型4圆周运动与平抛运动的多解问题 题型5生活中的圆周运动 题型6水平面内圆周运动的临界问题 题型7竖直面内圆周运动的临界问题 题型8斜面上圆周运动的临界问题 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 圆周运动中的运动学分析（共5小题） 1．（25-26高一下·全国·随堂练习）某高中开设了糕点制作的选修课，小明同学在体验糕点制作的“裱花”环节时，如图所示，他在绕中心匀速转动的圆盘上放了一块直径8英寸（20cm）的蛋糕，在蛋糕边缘上每隔4s“点”一次奶油，蛋糕随圆盘转一周后均匀“点”上了15次奶油，则下列说法正确的是（　　） A．圆盘转动的转速为 B．圆盘转动的角速度大小为rad/s C．蛋糕边缘的奶油的线速度大小为m/s D．圆盘转动的周期为15s 【答案】B 【详解】ABD．由题意可知，圆盘转一周所需的时间为，可知周期为，可得转速为，角速度为，故AD错误，B正确； C．直径8英寸（20cm）的蛋糕，可知半径为10cm，根据可知蛋糕边缘的奶油的线速度大小为，故C错误。 故选B。 2．（25-26高一·全国·课堂例题）如图所示为一皮带传动装置的示意图。右轮半径为r，A是它边缘上的一点。左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r。B点在小轮上，到小轮中心的距离为r。C点和D点分别位于小轮和大轮的边缘上。如果传动过程中皮带不打滑，求： (1)A、C两点的线速度之比； (2)A、B两点角速度之比； (3)B、D两点的角速度之比； (4)B、D两点的周期之比； (5)A、D两点在相同的时间内通过的路程之比 【答案】(1)1:1 (2)2:1 (3)1:1 (4)1:1 (5)1:2 【详解】（1）A、C两点同缘转动，则线速度相等，则线速度之比1:1； （2）根据可知A、C两点的半径之比为1:2，可知角速度之比2:1；B、C两点同轴转动，则角速度相等，即A、B两点角速度之比2:1； （3）B、D两点同轴转动，则角速度相等，则角速度之比1:1； （4）根据，可知B、D两点的周期之比1:1； （5）A、D两点角速度之比2:1，半径之比为1:4，根据可知线速度之比为1:2，根据x=vt可知在相同的时间内通过的路程之比1:2。 3．（25-26高一上·湖北武汉·月考）如图，主动轮大圆盘与从动轮小圆盘通过皮带（不打滑）连接，大圆盘与小圆盘的半径之比为，材料相同的可以视为质点的两物体质量之比为，两个物体距离转动轴的距离相等。现在让圆盘匀速转动起来，下列说法中正确的是（　　） A．物体A与物体B相对圆盘滑动之前的角速度之比为 B．物体A与物体B相对圆盘滑动之前的摩擦力之比为 C．物体A与物体B相对圆盘滑动之前的向心加速度之比为 D．如果增加主动轮的转速，则物体先相对圆盘滑动 【答案】D 【详解】A．皮带不打滑，两圆盘边缘线速度相等，即 。由 ，得 ，已知 ，因此： ，即 ，故A错误； B．物体随圆盘转动，摩擦力提供向心力 ，两物体到转轴距离 相等，，因此： ，摩擦力之比为 ，故B错误； C．向心加速度 ，因此： ，向心加速度之比为 ，故C错误； D．物体刚好相对滑动时，最大静摩擦力提供向心力：，得临界角速度 。两物体材料相同（ 相同）， 相同，因此临界角速度 相同。 由于实际转动中 ，增加主动轮转速时， 增大， 同步增大， 先达到临界角速度，因此B物体先相对滑动，故D正确。 故选D。 4．（2026·湖北黄石·二模）一款“转转杯”玩具可简化如图，水平大圆盘绕竖直轴OO′顺时针转动，其上均匀分布五个相同的小圆盘，绕各自圆心逆时针转动，大小圆盘转动的角速度大小均为ω。取图示时刻为计时起点，此时小圆盘边缘两点A、B的位置如图所示，不考虑小圆盘的厚度，下列说法正确的是（   ） A．t = 0时刻A点对地速度大小为(L－r)ω B．t = 0时刻B点对地速度大小为 C．时A点到大圆盘圆心的距离最远 D．时B点到大圆盘圆心的距离最远 【答案】B 【详解】AB．以地面为参照系记有A、B点的小圆盘的圆心为C，则C相对于地面的速度为ωL方向顺时针，t = 0时水平向右，而A点相对于C点的速度为ωr，在t = 0时方向水平向右，则A点在t = 0时相对地面的速度大小为(L＋r)ω，同理B点相对于C点的速度为ωr，在t = 0时方向竖直向上，则B点在t = 0时相对地面的速度大小为，故A错误、B正确； CD．以大圆盘为参照系，小圆盘以2ω的角速度逆时针转动，则在时，A点转动了2π此时A点到大圆盘圆心的距离最近，在时，B点转动了π，此时B点到大圆盘圆心的距离为，非最远距离，故CD错误。 故选B。 5．（25-26高一下·河南南阳·月考）如图所示，竖直圆盘绕过圆心的水平轴逆时针匀速转动，点是圆盘边缘上的点。圆盘转至OA水平时，将一小球从点右侧的点（、、在同一直线上）斜向左上方抛出，初速度大小，与水平方向夹角。当点转到圆盘最高点时，小球也恰好到达圆盘最高点，且轨迹与圆盘最高点相切。不计空气阻力，重力加速度。，。求： (1)AP间的距离； (2)点可能的线速度大小。 【答案】(1)0.4m (2) 【详解】（1）小球斜上抛运动到圆盘最高点时竖直速度为0，由 得 圆盘的半径等于小球竖直位移的大小，即 得 小球水平方向匀速直线运动，OP间的距离等于其水平位移，有 得 则AP间的距离 （2）根据题意可知，圆盘可能转过 即 解得 又有 得 题型二 圆周运动中的动力学分析（共5小题） 6．（2026·广东广州·一模）图（a）所示的油纸伞是我国古人智慧的结晶。图（b）为其结构示意图，ON是一条可绕伞顶O转动的伞骨，伞撑两端分别与ON中点M和滑环P铰接。保持伞柄不动，向上推滑环P，使得伞骨ON以恒定角速度开伞，则（　　） A．M点的线速度方向总是沿PM方向 B．M点的向心加速度方向沿MP方向 C．N点线速度大小是M点的2倍 D．N点的向心加速度大小是M点的4倍 【答案】C 【详解】A．由题意可知，M点做匀速圆周运动，线速度方向始终沿圆周的切线方向，始终与ON垂直，而非沿PM方向，故A错误； B．由题意可知，ON是一条可绕伞顶O转动的伞骨，M点以O点为圆心做匀速圆周运动，所以向心加速度方向始终沿M指向圆心O，不是沿MP方向，故B错误； C．由匀速圆周运动规律可知 由于， 所以有 所以N点线速度大小是M点的2倍，故C正确； D．由向心加速度公式可知 由于， 所以有 所以N点的向心加速度大小是M点的2倍，故D错误。 故选C。 7．（2026·江西南昌·一模）超重耐力与适应性训练，是大部分航天员最深刻的记忆。如图所示，超重耐力与适应性训练的主要设备是载人离心机。在高速旋转的离心机中航天员要承受8倍重力加速度（即向心加速度为），若训练用离心机的旋转臂长为，重力加速度取，为达到训练要求，离心机匀速旋转的角速度大小约为（    ） A．2rad/s B．3rad/s C． D．5rad/s 【答案】B 【详解】根据 可得 故选B。 8．（2026·山东·一模）如图所示，竖直放置的薄圆筒内壁光滑，在内表面距离底面高为的点处，给一个质量为的小滑块沿水平切线方向的初速度，小滑块将沿筒内表面旋转滑下。假设滑块下滑过程中表面与筒内表面紧密贴合，圆筒内半径，重力加速度取。小滑块第一次滑过点正下方时，恰好经过点，且的距离为0.2m。则下列说法正确的是（　　） A．小滑块的初速度为 B．小滑块经过点的速度大小为 C．小滑块运动过程中受到的筒壁的支持力不变 D．小滑块最后刚好能从点正对面的点滑离圆筒 【答案】D 【详解】A．小滑块水平方向做匀速圆周运动，竖直方向做自由落体运动，则从O点到O1点的时间 则初速度，A错误； B．小滑块经过点的水平速度为2m/s，因有竖直速度，可知经过点的速度大于，B错误； C．小滑块运动过程中，因水平速度不变，则根据，可知受到的筒壁的支持力大小不变，但方向不断变化，C错误； D．小滑块运动的总时间为 则转过的圈数为圈 可知最后刚好能从点正对面的点滑离圆筒，D正确。 故选D。 9．（25-26高一上·河北唐山·期末）轻绳一端固定在拉力传感器上，另一端系有质量为m的小球，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，轻绳恰好被拉断，球的速度保持不变并水平飞出。已知拉力传感器离地面高度为h，绳长为，绳承受的最大拉力是小球重力的10倍，重力加速度为g，忽略空气阻力，小球可视为质点。求： (1)小球飞出时的速度； (2)小球落地的水平距离。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）以小球为研究对象，在最低点对其受力分析（如图所示），根据向心力公式有 解得小球飞出时的速度 （2）在竖直方向上，根据位移公式有 在水平方向上，根据位移公式有 联立解得小球落地的水平距离 10．（25-26高一上·江苏南通·月考）如图所示，长度为2L的光滑轻质细管与水平面的夹角为θ，可绕竖直轴O₁O₂转动，两根轻弹簧分别固定在轻管两端，弹簧的原长都是L，劲度系数为k，两弹簧间连接一质量为m的小球。已知重力加速度为g，小球可视为质点，不计空气阻力。 (1)当轻管静止时，求每根弹簧的形变量大小x0； (2)当轻管绕竖直轴以角速度ω0匀速转动时，两弹簧刚好恢复原长，求ω0的大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对小球由平衡知识可知 解得 （2）当轻管绕竖直轴以角速度 匀速转动时，两弹簧刚好恢复原长，对小球分析可知： 解得 题型三 圆锥摆（共5小题） 11．（25-26高一下·山西太原·开学考试）如图甲所示，倾角为45°的斜面置于粗糙的水平地面上，有一滑块通过轻绳绕过定滑轮与质量为m的小球相连（绳与斜面平行），滑块质量2m，滑块恰好静止在粗糙的斜面上。图乙中，换成让小球在水平面上做匀速圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角为，且，此时滑块、斜面仍然处于静止状态，重力加速度为g，下列说法中正确的是（　　） A．甲图滑块受到斜面的摩擦力为 B．甲图斜面受到地面的摩擦力为 C．乙图中时，滑块恰好不受摩擦力 D．乙图中小球转动角速度越小，滑块受到的摩擦力越大 【答案】CD 【详解】AB．根据题意，对甲图中小球受力分析，由平衡条件可知，绳子的拉力为 对甲图中滑块受力分析，由于可知滑块受沿斜面向上的摩擦力，如图所示 由平衡条件有 解得 对滑块与斜面整体受力分析，设地面对斜面的摩擦力为，受力图如图所示 由平衡条件有 解得 故错误； ．根据题意，对图乙中小球受力分析， 如图所示几何关系有， 若，则有 对乙图中滑块受力分析，则有 滑块恰好不受摩擦力 由于，则有 对乙图中滑块受力分析，则有 解得 若乙图中小球转动角速度越小，则所需向心力减小，即小球的合力减小，则减小，变大，CD正确。 故选CD。 12．（25-26高一下·河南南阳·月考）四个小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动。如图甲所示，小球A、B完全相同在同一水平面内做圆锥摆运动（连接B球的绳较长）；如图乙所示，小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接C、D的绳与竖直方向之间的夹角相等（连接D球的绳较长），则下列说法正确的是（　　） A．小球A、B所需的向心加速度大小相等 B．小球A、B的线速度大小相等 C．小球C、D所需的向心加速度大小相等 D．小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小一定相等 【答案】C 【详解】AC．设绳与竖直方向的夹角为，绳长为，小球的质量为m，则对做圆锥摆运动的小球进行受力分析，如图所示： 小球在水平面内做匀速圆周运动，则由合外力提供向心力，根据牛顿第二定律有 解得小球做匀速圆周运动的加速度大小为 由于连接小球A、B的绳与竖直方向的夹角不相等，所以小球A、B所需的向心加速度大小不相等；同理可知，由于连接小球C、D的绳与竖直方向的夹角相等，所以小球C、D所需的向心加速度大小相等，故A错误，C正确； B．设小球A、B与悬点间的竖直高度为h，则根据可得，小球做匀速圆周运动的线速度大小为 由于连接小球A、B的绳与竖直方向的夹角不相等，所以小球A、B的线速度大小不相等，故B错误； D．设绳的拉力为，由于做圆锥摆运动的小球在竖直方向受力平衡，则有 解得 虽然连接小球C、D的绳与竖直方向的夹角相等，但由于不知道两球的质量关系，所以不能确定小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小是否相等，故D错误。 故选C。 13．（2026·湖北恩施·二模）如图所示，一半径为R的光滑圆环竖直放置，AB为其竖直直径。一根细绳一端固定在A点，另一端连接一个质量为m的小球，小球套在圆环上并处于静止状态，细绳与AB夹角为30°。圆环现以角速度绕AB轴匀速转动，重力加速度为g，则（　　） A．小球一定受三个力的作用 B．绳中拉力为0时， C．圆环对小球的弹力为0时， D．若小球不相对圆环滑动，则不超过 【答案】B 【详解】解析：初始状态时，小球受重力、拉力和圆环弹力的作用，当圆环以角速度ω匀速转动，由正交分解可得： 水平方向： 竖直方向： 解得： 当时，支持力为0，故C错误； 当时，细绳拉力为0，故B正确 ； 当 ，小球不滑动，故D错误； ，支持力沿半径向外； ，支持力沿半径向内。 故选B。 14．（25-26高一下·天津河北·月考）如图所示，一长为的轻绳下端拴着质量为的小球，现使小球在水平面内做匀速圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角为，重力加速度大小为，求： (1)小球运动的向心力大小； (2)角速度大小； (3)轻绳的拉力大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球的受力如图所示 小球所受重力和拉力的合力提供向心力，则小球运动的向心力大小 （2）根据， 求得 （3）由小球的受力分析图可知，轻绳的拉力大小 15．（25-26高一上·浙江杭州·期末）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图（a）、（b）所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅（视为质点），转椅质量为50kg。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。在图（a）中，若圆盘在水平雪地上以角速度=1rad/s匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1=4m的匀速圆周运动，转椅与雪地之间的动摩擦因数为=0.3，重力加速度为g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力。求： (1)转椅所受的合力大小； (2)AB与OB之间夹角的值； (3)将圆盘升高，如图（b）所示，圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2=3m的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为，绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为。求此时圆盘的角速度。（可保留根号） 【答案】(1)200N (2)37° (3) 【详解】（1）转椅做匀速圆周运动，合外力提供向心力 所以F合=200N （2）转椅做匀速圆周运动，设此时轻绳拉力为T，受力分析可知 轻绳拉力沿切线方向的分量与转椅受到地面的滑动摩擦力平衡则有 沿径向方向的分量提供圆周运动的向心力 联立解得 所以夹角 （3）设此时轻绳拉力为，沿A1B和垂直A1B竖直向上的分力分别为， 对转椅根据牛顿第二定律得 沿切线方向 竖直方向 联立解得 题型四 圆周运动与平抛运动的多解问题（共5小题） 16．（25-26高一·全国·随堂练习）在一次训练中，滑雪运动员（可视为质点）以某一水平速度从M点沿着圆轨道加速下滑，至N点脱离轨道，最终落在地面上的P点，如图所示。其中MN段为光滑圆轨道（圆心为O），不计空气阻力。下列说法错误的是（　　） A．在M点时，该运动员所受支持力小于重力 B．从N点到P点的过程中，运动员做平抛运动 C．从M点到N点的过程中，运动员的速率变化得越来越快 D．从M点到N点的过程中，运动员对轨道的压力逐渐减小 【答案】B 【详解】A．根据题意，该运动员从M点到N点做圆周运动，在M点由沿半径方向的合力提供向心力，由于在M点没有脱离轨道，则有 解得 因此在M点时，该运动员所受支持力小于重力，故A正确，不符合题意； B．运动员在N点脱离轨道，说明此时轨道对运动员的支持力为零，运动员只受重力作用。但在N点，轨道的切线方向斜向下，即运动员的速度方向斜向下，不水平。物体只受重力且有斜向下的初速度，做的是斜抛运动（匀变速曲线运动），不是平抛运动，故B错误，符合题意； C．运动员速率的变化快慢由切向加速度决定。运动员受重力和支持力，支持力垂直于速度方向，不改变速率。设运动员所在位置半径与竖直方向夹角为 θ，重力的切向分力（θ 为半径与竖直方向的夹角）提供切向加速度，即 解得 从M到N的过程中，θ 逐渐增大，sinθ 逐渐增大，所以切向加速度逐渐增大，即速率变化得越来越快，故C正确，不符合题意； D．在从M到N的过程中，设运动员所在位置半径与竖直方向夹角为 θ，由牛顿第二定律可得 解得 下滑过程中，θ 增大，cosθ 减小；同时重力做正功，速度 v 增大。这两者都导致支持力 减小。根据牛顿第三定律，运动员对轨道的压力逐渐减小，故D正确，不符合题意。 故选B。 17．（25-26高一下·云南玉溪·开学考试）如图所示，质量为m的小球在长为R的轻绳作用下在竖直平面内做圆周运动，细绳能承受的最大拉力Tm=6mg，转轴离地高度h，重力加速度为g。求： (1)若小球某次运动过程中在最低点时细绳恰好被拉断，则此时小球运动的线速度大小； (2)在第（1）问中，若轻绳长R=1m，小球质量m=0.7kg，转轴离地高度h=6m，g取10m/s2，则绳断后，小球落地点与抛出点间的水平距离； (3)在第（1）问中，细绳断后小球最终落到水平地面上。若绳长R长短可调整，则R为多大时？小球做平抛运动的水平距离x的最大，最大值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）小球在最低点时细绳恰好被拉断，根据牛顿第二定律可得 解得 （2）绳断后，小球做平抛运动的初速度为 竖直方向有 解得 小球落地点与抛出点间的水平距离为 （3）小球离开最低点后做平抛运动，竖直方向满足 水平方向满足 联立解得 由数学知识可知，当时有最大值，最大值为。 18．（25-26高一上·河南郑州·期末）某电视台正在策划的“快乐向前冲”节目的场地设施如图所示，AB为水平直轨道，上面安装有电动悬挂器，可以载人运动，下方水面上漂浮着一个半径为铺有海绵垫的转盘，转盘轴心在正下方且离平台的水平距离为，平台与转盘平面的高度差为，A点位于平台边缘的正上方，水平直轨道与平台间的高度差可忽略不计。选手抓住悬挂器后，按动开关，在电动机的带动下从点沿轨道做初速度为零、加速度为的匀加速直线运动，启动后2s人脱离悬挂器。设人的质量为（人可看成质点，忽略空气阻力），人与转盘间的最大静摩擦力为，重力加速度为。求： (1)假设选手落到转盘上瞬间相对转盘速度立即变为零，为保证他落在任何位置都不会被甩下转盘，转盘的角速度最大值； (2)若，，，取，选手要想落在转盘上，加速度的范围。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因选手落到转盘边缘所需向心力最大有 转盘的角速度最大值为 （2）人匀加速运动的位移为 末的速度 平抛运动竖直方向有 水平射程 选手要想落在转盘上满足 联立解得 19．（25-26高一上·江苏淮安·期末）如图所示，由半圆形ABC和直线形CD细圆管组成的轨道固定在水平桌面上（圆）半径比细圆管内径大得多），轨道内壁光滑。已知ABC的半径，CD段为水平直管。弹射装置将一质量的小球（可视为质点）以某一水平速度从A端弹入轨道，经一段时间，从D端离开轨道后做平抛运动，落地点F离D端的水平距离，D端距地面高度不计空气阻力，重力加速度g取。求小球 (1)离开D端时速度大小； (2)在ABC轨道内运动时向心加速度大小； (3)在ABC轨道内运动过程中受到轨道的作用力大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球离开轨道后做平抛运动，竖直方向 水平方向 代入数据得 （2）小球在半圆形轨道内做匀速圆周运动，由， 代入数据得 （3）细圆管对小球水平方向作用力提供向心力，大小为 细圆管对小球竖直方向作用力与重力平衡，大小为 故细圆管对小球的作用力大小为 代入数据得 20．（25-26高一上·吉林长春·期末）如图无人机进行定点投放性能测试，在空中绕点做平行于地面、的匀速圆周运动。点在地面上的正上方，其高度差，无人机及物品总质量。若物品相对无人机无初速度释放，不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A．无人机处于平衡状态 B．无人机的向心加速度大小为 C．无人机投放物品前受到空气的作用力大小为 D．物品落地点距的距离为 【答案】BC 【详解】A．无人机做匀速圆周运动，所受合力不为零，不是平衡状态，故A错误； B．根据题意，由公式可得，无人机的向心加速度大小为，故B正确； C．无人机所受重力和空气作用力的合力提供向心力，则有 由三角形法则可得，无人机投放物品前受到空气的作用力大小为，故C正确； D．物品离开无人机后做平抛运动，竖直方向上有 解得 物品沿切线方向的位移 则物品落地点距的距离为，故D错误。 故选BC。 题型五 生活中的圆周运动（共5小题） 21．（25-26高一·全国·课堂例题）如图所示，质量m＝2.0×104kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形路面和凸形桥面，路面和桥面的圆弧半径均为20m。如果路面和桥面允许承受的压力均不得超过3.0×105N，则：（g取10m/s2） (1)汽车允许的最大速率是多少？ (2)若以所求速率行驶，汽车对路面和桥面的最小压力是多少？ 【答案】(1)10m/s (2) 【详解】（1）汽车在最低点受到的支持力最大，根据牛顿第二定律得 代入数据解得 N最大时，速率v达到最大，即汽车允许的最大速率是10m/s。 （2）当汽车运动到最高点时，支持力最小，根据牛顿第二定律得 解得 根据牛顿第三定律可知，压力也等于。 22．（25-26高一上·陕西西安·期末）城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥。如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，从A端以不变的速率驶过该立交桥，小汽车速度大小为，则（　　） A．小汽车通过桥顶时受重力、支持力、向心力 B．小汽车通过桥顶时车速越快，对桥面压力越大 C．小汽车在桥上最高点受到桥面的支持力大小为 D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于 【答案】C 【详解】A．小汽车通过桥顶时竖直方向受重力、支持力作用，其中重力和支持力的合力提供向心力，A错误； BC．小汽车通过桥顶时，竖直方向 可知小汽车在桥上最高点受到桥面的支持力大小为 则车速越快，对桥面压力越小，B错误，C正确； D．小汽车到达桥顶时，为保证安全，则，可得，D错误。 故选C。 23．（25-26高一下·全国·月考）在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计速度是108km/h，汽车在这种水平路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的，试求： (1)如果汽车在这种高速路的水平路面弯道上转弯，其弯道的最小半径是多少？ (2)如果弯道的路面设计为倾斜，弯道半径为360m，要使汽车通过此弯道时不产生侧向摩擦力，则弯道路面的倾斜角度的正切值tanθ是多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如果汽车在这种高速路的水平路面弯道上转弯，根据牛顿第二定律可得 其中， 解得其弯道的最小半径为 （2）要使汽车通过此弯道时不产生侧向摩擦力，此时重力和支持力的合力提供向心力，则有 可得弯道路面的倾斜角度的正切值为 24．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）图甲为赤峰市乌兰布统草原上的一段“S”形水平公路。汽车行驶的轨迹可简化为两个圆弧M、N和中间直道PQ，P、Q两点为切点，如图乙所示。已知两圆弧半径分别为、，直道长度为，路面对轮胎的最大横向静摩擦力是车重的倍，，。求： (1)汽车能安全通过M段圆弧的最大速度； (2)汽车以进入直道后，先以加速度匀加速运动一段时间，再匀速运动通过点进入段圆弧。要使汽车能安全通过段圆弧，汽车在直道上运动的最短时间。 【答案】(1)15m/s (2)28s 【详解】（1）静摩擦力最大时最大，则由牛顿第二定律 解得 （2）当汽车在N弯道上速度最大时，汽车在PQ上运动的时间最短，则     解得 汽车在PQ上做匀加速运动的时间 汽车在PQ上做匀加速运动的位移 汽车在PQ上做匀速运动的时间 汽车在PQ上运动的最短时间 解得 25．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期末）如图甲所示，高铁列车通过弯道时为了保证安全，在铁路转弯处设计成外侧铁轨高于内侧铁轨。如图乙所示，设定某高铁列车在倾斜轨道上匀速转弯，其轨道半径为R，轨道平面与水平面的夹角为θ，该列车的质量为m，重力加速度为g，且该列车始终未脱离轨道，忽略空气阻力和一切摩擦。 (1)若该列车转弯时恰好不受内外轨的侧压力，求此时该列车行驶的速度的大小。 (2)若该列车实际行驶的速度，其中k为已知常量且，试分析哪一侧轨道对车轮产生侧压力，并求出该侧压力的大小。 【答案】(1) (2)若外轨对外侧车轮产生侧压力大小为；若内轨对内侧车轮产生侧压力大小为。 【详解】（1）若该列车转弯时恰好不受内外轨的侧压力，则可得 （2）若可知，重力和轨道的支持力的合力不足以提供做圆周运动的向心力，此时外轨对外轮产生侧压力，如图， 则， 解得 同理若可知，重力和轨道的支持力的合力大于列车做圆周运动所需的向心力，此时内轨对内轮产生侧压力，则， 解得 题型六 水平面内圆周运动的临界问题（共5小题） 26．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）如图，用劲度系数为k，原长均为的符合胡克定律的六根橡皮筋，将六个完全相同质量为m的小球连接成正六边形，放在光滑水平桌面上。现在使这个系统绕垂直于桌面通过正六边形中心的轴匀速转动。在系统稳定后，观察到正六边形边长变为l，下列说法正确的是（　　） A．小球受到橡皮筋的弹力为 B．小球匀速转动的周期为 C．小球匀速转动的线速度为 D．小球在任意相等时间内的速度变化量相等 【答案】B 【详解】A．根据胡克定律可知，小球受到橡皮筋的弹力为，故A错误； B．每个小球做匀速圆周运动的半径均为，选取其中任意一个小球为研究对象，小球所受两条橡皮筋弹力的合力提供向心力，有 解得，故B正确； C．小球匀速转动的线速度为，故C错误； D．小球在任意相等的时间内速度变化量大小相等，但方向不同，即速度变化量不相等，故D错误。 故选B。 27．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期末）如图所示，一水平圆盘上沿直径用水平轻绳连接两个可视为质点的物体A、B，绳恰好伸直且无弹力。A的质量为m，A与圆心相距r；B的质量为2m，B与圆心相距3r。A、B与圆盘间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，绳能承受的最大拉力，重力加速度为g，不计空气阻力。在圆盘围绕其中轴线转动的转速从零缓慢增大至物体刚要滑动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物体A受到的摩擦力始终指向圆心 B．物体B受到的摩擦力先变大后不变 C．圆盘的最大角速度 D．圆盘的最大角速度 【答案】BC 【详解】刚开始角速度较小时，A、B两个物体由所受的静摩擦力提供向心力，因B物体离中心轴更远，故B物体所需要向心力更大，即B物体所受到的静摩擦力先达到最大值，此时则有 解得 当时，随转速增大A、B两物体所受的静摩擦力都增大，轻绳无拉力，此时A、B所受摩擦力方向都指向圆心； 当A所受的摩擦力为零时，以A为研究对象，有 以B为研究对象，有 解得 当时，轻绳拉力增大，A物体所受静摩擦力的大小减小，方向指向圆心，B物体所受静摩擦力达到最大，大小不变，方向指向圆心； 当时，A所受的静摩擦力沿半径背离圆心，当刚要发生相对滑动时，以B为研究对象，有 以A为研究对象，有 解得， 当时，A物体所受的静摩擦力的大小增大，方向背离圆心，B物体所受静摩擦力达到最大，大小不变，方向指向圆心。最大角速度，故BC正确，AD错误。 故选BC。 28．（2026·江西上饶·一模）如图（a）所示，一可视为质点的滑块放在水平转台上，滑块恰好能随转台绕O点做半径为r的匀速圆周运动，图（b）为俯视图。某学校物理兴趣小组利用位移传感器采集滑块的位置和时刻信息，画出某时刻起滑块沿x轴上的分速度vx随时间t的变化关系如图（c）所示。取水平向右为正方向，滑块所受最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小，不计空气阻力。则滑块与转台间动摩擦因数和图（c）中阴影部分面积S大小分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】根据最大静摩擦力提供向心力有 由图（c）可知， 解得 图（c）中阴影部分面积S大小等于沿x轴方向的位移大小，对应滑块匀速圆周运动的圆心角为 阴影部分面积S大小 故选D。 29．（25-26高一上·陕西西安·期末）某游戏转盘装置如图所示，游戏转盘水平放置且可绕转盘中心的转轴转动。转盘上放置两个物块A、B，物块A、B通过轻绳相连。开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使其角速度缓慢增大。整个过程中，物块A、B都相对于盘面静止，物块A、B到转轴的距离分别为2r、3r，A物块的质量为2m，B物块的质量为m，与转盘间的动摩擦因数均为，接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．当时，物块B受到的摩擦力大小为 B．当时，物块A受到的摩擦力逐渐增大 C．当时，物块B受到的摩擦力逐渐减小 D．为了确保物块A、B都相对于转盘静止，转盘的角速度不能超过 【答案】BCD 【详解】A．假设轻绳无张力，对A由牛顿第二定律可得 解得 同理对B有 解得 由此可知B先达到最大静摩擦力，绳子开始出现张力，设角速度时，A达到最大静摩擦力，则有， 联立解得 当转盘的角速度大小为时，物块B所需向心力大小为 由于 则此时物块B受到的摩擦力大小为，故A错误； B．当时，则有， 联立解得 由此可知A受到摩擦力增大，故B正确； C．当时，则有， 联立解得，由此可知B受到的摩擦力逐渐减小，故C正确； D．由C分析知，B摩擦力最终反向至最大静摩擦力，设当角速度为、轻绳弹力为F时，物块A、B与盘面间的摩擦力均达到最大静摩擦力，则有， 联立解得 由此可知为了确保物块A、B都相对于转盘静止，转盘的角速度不能超过，故D正确。 故选BCD。 30．（25-26高一上·江苏南京·期末）如图所示，水平转台上放有一质量的木块A，将一轻绳的一端系在A上，另一端穿过转台中心的光滑小孔O，悬挂一质量的木块B。已知木块A与O点间距离，且始终相对转台静止。重力加速度g取。 (1)若木块A与转台间恰好没有摩擦力，求转台的角速度？ (2)若木块A与转台间的动摩擦因数，且最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小。求转台角速度的最大值和最小值。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）以B为对象，根据平衡条件可得绳子拉力大小为 若木块A与转台间恰好没有摩擦力，则有 解得转台的角速度为 （2）若木块A与转台间的动摩擦因数，则木块A与转台间的最大静摩擦力为 当转台角速度最大时，木块A与转台间的摩擦力沿半径向里，且达到最大值，由牛顿第二定律可得 解得 当转台角速度最小时，木块A与转台间的摩擦力沿半径向外，且达到最大值，由牛顿第二定律可得 解得 题型七 竖直面内圆周运动的临界问题（共5小题） 31．（25-26高一上·浙江金华·期末）如图所示，段是粗糙水平轨道，段是半径的固定半圆弧轨道，A点有一个质量的小滑块受一水平恒力F作用，从静止开始运动，到达B点时撤去F，用DIS力传感器测得小滑块对圆轨道B点的压力大小为。当时，测得，这时小滑块恰好能过C点，且水平抛出后恰好落在A点，求： (1)小滑块在C点的速度大小及间距离L； (2)小滑块在B点的速度大小及与水平轨道间的动摩擦因数； (3)若改变水平恒力F的大小，会随之变化，求随F变化的关系式。 【答案】(1)， (2)，0.75 (3) 【详解】（1）由于小滑块刚好通过最高点C，根据牛顿第二定律可得 解得 从C点飞出后，小滑块做平抛运动则有 解得小滑块平抛运动的时间为 水平方向则有 （2）小滑块在B点时，根据牛顿第二定律可得 解得 小滑块做匀加速直线运动，则有 结合牛顿第二定律可得 联立解得 （3）根据匀变速运动规律可得 由牛顿第二定律可得， 联立解得     32．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）如图所示，一个质量为m的小球通过长为L的轻绳与悬点O连接。初始时刻，将小球从水平位置A点由静止释放，到达最低点B时速度为，绳恰好断裂。已知B点到水平地面的距离为L，，重力加速度为g。 (1)求小球落地点距B点的水平位移大小x； (2)求轻绳能承受的最大拉力大小； (3)若将小球从A处以一定初速度竖直下抛，当其运动到C处时绳子恰好断裂，此时绳与竖直方向夹角为，求从此时起经时间t小球距地面的高度H（小球未落地）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）绳恰好断裂后小球做平抛运动，其竖直方向为自由落体运动，则根据自由落体运动的位移公式有 解得小球从点落到地面的时间为 又因为小球水平方向做的是匀速直线运动，则有 解得小球落地点距B点的水平位移大小为 （2）对小球在B点时进行受力分析，由牛顿第二定律有 解得轻绳能承受的最大拉力大小为 （3）对小球在C点进行受力分析，由牛顿第二定律有 解得 C点距地面的高度为 对小球在C点的速度进行分解，如图所示： 可得 小球离开C点后在竖直方向做匀加速直线运动，则根据匀变速直线运动的位移公式可知，小球下落的距离为 所以从绳子断裂时起经时间t小球距地面的高度为 33．（25-26高一上·江苏镇江·期末）如图所示，半圆形金属轨道固定在水平面上，轨道半径，直径竖直。将一质量的小球从轨道最低点B以某一速率水平向左射入，发现小球恰能通过轨道最高点A，不计空气阻力，重力加速度。 (1)求小球经过A点的速率及从A点抛出到落地经历的时间； (2)已知小球经过B点的速率与小球落地的速率相等，求小球进入轨道时对B点的压力大小。 【答案】(1)5m/s； (2) 【详解】（1）小球恰能通过轨道最高点A，由 得 从A点抛出后做平抛运动，则由 得 （2）由 得 速度合成 得 由 得 由牛顿第三定律知，小球进入轨道时对B点的压力大小为。 34．（25-26高一上·浙江杭州·期末）如图甲所示，小球在竖直平面内光滑的固定圆管中，绕圆心O点做半径为R的圆周运动（小球直径略小于管的口径且远小于R）。当小球运动到最高点时，速度大小设为v，圆管与小球间弹力的大小设为F，改变速度v得到F-v2图像如图乙所示，重力加速度g取10m/s2，则下列说法错误的是（　　） A．小球的质量为4kg B．固定圆管的半径为1m C．小球在最高点的速度为2m/s时，小球受到圆管的弹力大小为24N，方向向下 D．小球在最高点的速度为4m/s时，小球受到圆管的弹力大小为24N，方向向下 【答案】C 【详解】AB．小球在圆管最高点时，受力分两种情况：当时，圆管内壁对小球有向上的弹力，合力提供向心力 得 当时，圆管外壁对小球有向下的弹力，合力提供向心力： 得 从图乙可知当时，，代入，得 当时，，此时，约去得 故AB正确； C．当时，，代入 得 此时弹力方向向上（圆管内壁托住小球），故C错误； D．当时，，代入 得，此时弹力方向向下（圆管外壁压住小球），D正确。 由于本题选择错误的，故选C。 35．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）图甲为一种小型打夯机，利用冲击和冲击振动作用分层夯实回填土，图乙为这种打夯机的结构示意图。质量为m的摆锤通过轻杆与总质量为M的底座（含电动机）上的转轴相连，轻杆质量忽略不计。电动机带动摆锤绕转轴O在竖直面内以角速度匀速转动，转动半径为l，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．摆锤转到最低点时，底座对地面的压力不可能为零 B．若摆锤转到最高点时，底座对地面的压力刚好为零，则角速度 C．若摆锤转到最高点时，轻杆对摆锤的弹力为0，则角速度 D．摆锤转到轻杆水平时，轻杆对摆锤的作用力大小为 【答案】AB 【详解】A．摆锤转到最低点时，轻杆对摆锤有向上的拉力作用，根据向心力公式有 此时轻杆对底座有向下的拉力作用，所以底座对地面的压力不可能为0，故A正确； B．若摆锤转到最高点时，底座对地面的压力刚好为零，则轻杆对底座有向上的作用力，大小为Mg，所以对摆锤分析，有 可解得，故B正确； C．若摆锤转到最高点时，轻杆对摆锤的弹力为0，则对摆锤分析，有 此时，故C错误； D．摆锤转到轻杆水平时，轻杆对摆锤的作用力的水平分量提供向心力，大小为 所以轻杆对摆锤的作用力为，故D错误。 故选AB。 题型八 斜面上圆周运动的临界问题（共5小题） 36．（24-25高一下·贵州毕节·月考）如图所示，一质量为m的小球套在倾斜轻质细杆上，细杆绕着过底端O点的竖直轴做匀速圆周运动，转动的角速度从零开始逐渐增加。细杆与竖直方向成60°角，小球套在细杆上无松动，与细杆之间的动摩擦因数为，重力加速度为g，距离杆的底端O点的距离为L，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（　　） A．初始细杆未转动时，小球会沿杆下滑 B．小球受到杆的摩擦力可能为0 C．当转动角速度大于时，小球受到沿杆向下的摩擦力 D．转动的角速度越大，小球受到的摩擦力越大 【答案】BC 【详解】A．初始细杆未转动时，小球与细杆之间的最大静摩擦力为 因为，可知小球会保持静止，小球与杆之间为静摩擦力且没有达到最大值，故A错误； B．当小球受到杆的摩擦力为0时，对小球进行受力分析如图所示 竖直方向有 水平方向有 解得 可知当角速度增大到时，小球受到杆的摩擦力为0，故B正确； CD．当角速度时，小球受到沿杆向上的摩擦力，受力分析如图所示 水平方向有 竖直方向有 解得摩擦力 可知角速度越大，摩擦力越小。 当角速度时，小球受到沿杆向下的摩擦力，受力分析如图所示 水平方向有 竖直方向有 解得摩擦力 可知角速度越大，摩擦力越大。 综上，故C正确，D错误。 故选BC。 37．（24-25高一下·山东济宁·期末）如图所示，半径为的倾斜圆盘倾角为，绕过圆心O且垂直于盘面的转轴匀速转动。将一质量为m的小物块（可视为质点）放在圆盘边缘，并能随圆盘一起转动。已知小物块与圆盘间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。则圆盘匀速转动的最大角速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】物块随圆盘做匀速圆周运动，在最低点时受到的摩擦力最先达到最大，小物块与圆盘间的动摩擦因数为，则有 解得 故选B。 38．（24-25高一下·山东青岛·期末）如图所示，倾斜圆盘绕过圆心O且与盘面垂直的转轴以角速度ω匀速转动，盘面有一可视为质点的物块随圆盘一起做匀速圆周运动。已知物块的质量为0.1kg，物块到转轴的距离为0.5m，物块与盘面的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面夹角θ = 30°，重力加速度g = 10m/s2。下列说法正确的是（   ） A．角速度ω的最大值为 B．运动过程中摩擦力方向始终通过圆盘中心 C．ω越大物块在最高点受到的摩擦力一定越大 D．物块在最高点受到的摩擦力最小值为0.25N 【答案】AD 【详解】A．小物块在最低点即将滑动时，由牛顿第二定律有μmgcos30°－mgsin30° = mω2maxr 代入数据解得角速度的最大值，故A正确； B．由于做匀速圆周运动，合力方向指向圆盘中心，除掉最高点和最低点外其他位置摩擦力方向均不通过圆盘中心，故B错误； CD．小物块在最高点不受摩擦力，根据牛顿第二定律有 解得小物块在最高点不受摩擦力时的角速度 由于ω0 > ωmax，则在最高点一定有mgsinθ－f = mω2r 可知ω越大物块在最高点受到的摩擦力一定越小，则在最高点时摩擦力最小值为 解得，故C错误、D正确。 故选AD。 39．（23-24高一下·四川绵阳·期中）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴2.5 m处有一小物体（可视为质点）与圆盘始终保持相对静止，小物体与盘面间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2，则以下说法中正确的是（　　） A．小物体随圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动时，ω越大，小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大 B．小物体在最高点处受到的摩擦力一定背离圆心 C．ω的最大值是1.0 rad/s D．ω的最大值是rad/s 【答案】BC 【详解】CD．当物体转到圆盘的最低点恰好不滑动时，圆盘的角速度最大，此时小物体受竖直向下的重力、垂直于斜面向上的支持力、沿斜面指向圆心的摩擦力，由沿斜面的合力提供向心力，支持力FN＝mgcos30° 摩擦力Ff＝μFN＝μmgcos30° 又由牛顿第二定律μmgcos 30°－mgsin 30°＝mω2R 解得ω＝1.0rad/s，选项C正确，D错误； B．由题意可知ω的最大值是1.0 rad/s，故小物体在最高点处 故小物体在最高点处受到的摩擦力一定背离圆心，故B正确； A．当物体在最高点时，也可能受到重力、支持力与摩擦力三个力的作用，摩擦力的方向沿斜面向上（即背离圆心），根据牛顿第二定律 可知ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力越小，故A错误； 故选BC。 40．（24-25高一下·云南昆明·期中）一顶角为2的圆锥形筒，开口朝上，对称轴位于竖直方向，圆锥筒绕对称轴以恒定的角速度旋转，在筒内侧面距筒顶处放一物块（可视为质点），如图所示。已知物块与筒间的动摩擦因数为，取重力加速度，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，物块能相对筒静止，求的取值范围。（最后计算结果保留两位有效数字） 【答案】 【详解】分析可知物块受到重力mg、支持力N、摩擦力f而做圆周运动，物块恰好要下滑时物块受沿内侧面向上的摩擦力，此时l有最小值，则竖直方向有 水平方向有 其中 联立解得 物块恰好要上滑时物块受沿内侧面向下的摩擦力，此时l有最大值，则竖直方向有 水平方向有 其中 联立解得 综合可知 $